机器人学导论 第二章ppt课件

2.4总结
❖ 介绍了一个包括姿态和位置信息的4x4齐次变换矩 阵，作为表示坐标系的一般工具。
❖ 它是坐标系{B}相对于{A}的描述：
❖ 它是变换映射：
2.5变换算法
❖ 混合变换（乘法变换） ❖ 已知 C P ，求 AP
已知坐标系{C} 相对于坐标系 {B}，并且已 知坐标系{B} 相对于坐标系 {A}。
球坐标系 其它坐标系
柱坐标系
向量向相应轴的投影
注意：位置矢量必须附加信息，标明是在哪一个坐 标系被定义的
AP这个前置的上标A标明此位置矢量是在坐标系{A}
中定义的
2.姿态描述
❖ 对于一个刚体来说，我们发现不仅经常需要表示它 在空间中的位置，还经常需要描述空间中物体的姿 态。
❖ 为了描述刚体的姿态，我们将在刚体上固定一个坐 标系并且给出此坐标系相对于参考系的表达。
矢量 Zˆ B 在坐标系{A}三个主轴方向 的投影
我列们 组将 成这 一三 个个3×单3位的矢矩量阵按照XˆB,YˆB,ZˆB 的顺序排
这个称为旋 转矩阵
位置能用矢量来表示，姿态能用旋转矩阵来表示
怎样计算 rij ?
可用每个矢量在其参考坐标系中单位方向上投影 的分量来表示。
❖
于是，旋转矩阵
齐次变换 ABT
❖ 例2.2 图2-8表示了一个坐标系{B}，它绕坐标系{A} 的 Zˆ轴旋转了30度，沿 Xˆ A 平移10个单位，再沿 Yˆ A
平移5个单位。已知B P 3 .07 .00 .0 T ，求AP。
图2-8 经平移和旋转的 坐标系{B}
❖ 坐标系{B}的定义为：
已知： 按照{B}的定义和已知 条件进行变换：
❖ 世界坐标系：我们采用的一个体系，作为我们讨 论任何问题，特别是定义其它坐标系的一个参照 坐标系。
2.2描述：位置、姿态与坐标系
❖ 描述：描述可用来确定一个操作系统处理的 各种对象的特性。
❖ 这些对象包括零件、工具和操作臂本身。 ❖ 描述：位置、姿态与坐标系
1.位置描述
❖ 一旦建立了坐标系，我们就能用一个3×1位置矢量 对世界坐标系中的任何点进行定位。
❖ 以上表明旋转矩阵的逆矩阵等于它的转置矩 阵
3.坐标系的描述
❖ 完整描述图中的操作手位姿 所需的信息为位置和姿态 ❖ 我们定义这样一对包含位置 和姿态信息的坐标实体
旋转矩阵 原点位置矢 量
❖ 一个参考系可以用一个坐标系相对于另一坐 标系的关系来描述。
2.3 映射
❖ 什么是映射？ 描述一个量从一个坐标系到另一个坐标系的数学变 换。
已知坐标系{B}以某种 方式固定在物体上
❖ 因此点的位置可用矢量描述，物体的姿态可用固 定在物体上的坐标系来描述。
❖ 坐标系{B}主轴方向的三个单位矢量，把它们在坐 标系{A}中表达出来
坐标系{B}的单位矢量
写成在{A}中的表达
矢量 在坐标系{A}三个主轴方向 的投影
矢 的量投影Yˆ B 在坐标系{A}三个主轴方向
❖ (1)在坐标系{B}和坐标系{A}之间有一个矢量偏移
❖
(2)
{B}
相对于{A}有旋转，用
Biblioteka BaiduA B
R
描述
❖ 问题：给出 BP ，试着计算 AP
❖ 答案： ❖ （1）假设存在一个中间坐标系{C}和{A}的姿态相
同、原点和{B}的原点重合。 ❖ （2）考虑{C}和{A}之间的变换
❖ （3）以上的两步可以联合起来
B AT0B A0 RT 0 B ART1APBOR G ❖ 上式是求齐次逆变换的一般且非常有用的方法
❖ 例2.1 图中表示坐标系{B}相对于坐标系{A}绕 Zˆ轴 旋转30度。这里 Zˆ轴指向为由纸面向外。
{B}绕 Zˆ 轴旋转30度
❖ 在{{A}中写出{B}的单位矢量，并且将它们按列组成 旋转矩阵，得到:
已知： 求出 AP：
这里， AP 的作 用是将相对于坐 标系{A}描述的 BP 映射到 AP。
怎样求{A}相对于{B}的描述？ ❖ 一个可能的方法：直接对矩阵 ABT 求逆 ❖ 另一种方法：利用变换的性质求逆，即利用
矩阵ABT 的特殊结构
❖
步骤1)
由
A B
R计算出
B A
R
❖
步骤2)
由 APBORG计算出
P B AORG
❖ 上式的左边是坐标系{B}的原点在{B}中的描述，所 以左边=0
❖ 步骤3)综上，计算 BAT 的方法如下：
机器人学导论 第二章
第二章 空间描述和变换
❖ 本章内容
2.1 概述 2.2 描述：位置、姿态与坐标系 2.3 映射：从坐标系到坐标系的变换 2.4 总结 2.5变换算法
2.1 概述
❖ 机器人操作：通过某种机构使零件和工具在空间 中运动。
❖ 如何定义和运用表达操作臂位姿的数学量？我们 必须定义坐标系并并给出表达规则。
❖ 即，我们知道
❖ 答案： ❖ 步骤(1)将 CP 变换成 BP ： ❖ 步骤(2)将 BP变换成 AP ： ❖ 步骤(3)联立步骤(1)、(2)，消去中间项 BP ，得到
❖ 给定已知的{B} 和 {C}的描述： ❖ 可以得到从 {C}到{A}的齐次变换矩阵：
2.逆变换
❖ 已知坐标系{B}相对于坐标系{A }的描述，即已知
A B
R的各个分量可用一对单位矢量的
点积来表示：
两个单位矢量的 点积可得到二者 之间夹角的余弦， 因此各分量又被 称作方向余弦
❖ 那么坐标系{A}在坐标系{B}的表达又是什么样的？
进一步观察上页的式子，可以看出矩阵的行是单 位矢量{A}在{B}中的表达；即
因此，
B A
R
为坐标系{A}相对于{B}中的表达；即
❖ 1.平移映射
两个坐标系 具有相同的 姿态
❖ 2.关于旋转坐标系的映射
❖ 前面介绍了用连体坐标系主轴的三个单位矢量来描 述姿态的方法。
❖ 包含三个单位矢量的旋转矩阵被用来描述姿态。
❖ 我们已知矢量相对于某坐标系{B}的定义BP，怎样求 矢量相对另一个坐标系{A}的定义AP ？ 且这两个 坐标系原点重合。
注意:从映射的角 度看，原矢量P 在空间并没有改 变，我们只不过 求出了这个矢量 相对于另一个坐 标系的新的描述。
3.关于一般坐标系的映射
❖ 问题：我们已知矢量相对某坐标系{B}的描述，想 求出它相对于另一个坐标系{A}的描述。
❖ 一般的情形： ❖ （1）坐标系{B}和坐标系{A}不具有相同的姿态 ❖ （2）坐标系{B}和坐标系{A}原点不重合