第四讲 曲线运动及万有引力定律(下)

例5 : (1)在地球表面上物体的 重力是否就是万有引力？ (2)在地球表面重力加速度都相 等吗？为什么？ 解答:(1)地球在不断地自转，地面上一切物体随地球都在 作圆周运动，这些圆周平面垂直于地轴而和纬线相合。作匀 速圆周运动的物体需要向心力，这个向心力是由地球对物体 的引力来维持。因此地球上物体的重力应该等于它受到的地 球引力和它随同地球自转所需向心力的矢量差。 从上面分析可知，物体的重力是由地球对物体的引力 而产生的。除两极（两极处无向心力）外，物体重力都不等 于万有引力。 应该指出，重力和万有引力的差值是不大的。以需要 向心力最大的赤道为例，向心力仅是万有引力的0.34%，重力 是万有引力的99.66%，相差是很小的。
]
答案 A
2．加速度不变的运动 A．一定是直线运动 B．可能是直线也可能是曲线运动 C．可能是匀速圆周运动 D．若初速度为零，一定是直线运动 答案 BD
3.
答案 A
4．如图所示，足够长的水 平直轨道MN上左端有一点C，过 MN的竖直平面上有两点A、B，A 点在C点的正上方，B点与A点在 一条水平线上，不计轨道和空气 阻力，下面的判断正确的是 [ ] A．在A、C两点以相同的速度同时水平向右抛出两小球，两球 一定会相遇 B．在A、C两点以相同的速度同时水平向右抛出两小球，两球 不一定相遇 C．在A点水平向右抛出一小球，同时在B点静止释放一小球， 两球一定会相遇 D．在A、C两点以相同速度同时水平向右抛出两小球，并同时 在B点由静止释放一小球，三小球有可能在水平轨道上相遇 答案:ACD
11.
12
13.从地面以初速度v1竖直上抛一物体的同时，从其正上方 高H(m)处以初速度v2(v2<v1)平抛另一物体，求二物间的最短 距离．
14．两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径 为R，a卫星离地面高度为R，b卫星离地面高度为3R，如图所 示．则： (1)a、b两卫星周期之比为多大？ (2)若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少 经过多少个周期两卫星相距最远？
3.船过河
4.平抛
5．雨伞伞面的半径为r，离地面高为h，雨伞柄以角速度ω旋转，使 雨滴自边缘甩出落于地面成一大圆圈，求此圆圈的半径．
6．如图所示，在光滑的水平面上钉两个钉子A和B，相距20cm，一 根1米长的细绳，一端系一质量为0.4kg小球，另一端固定在钉子 A上．开始时小球与钉子A、B在一直线上，然后使小球以2m/s的 速率开始在水平面内作匀速圆周运动，若绳子能承受的最大张力 是4N，那么从开始到绳断所经历的时间是多少？
解答： 地球对月球的万有引力
F引 G m月 m地 R
2
（1）
月球绕地球作匀速圆周运动需要的向心力是
F向 G m月 v 2 R m 月 (2 π nR) 2 R （2 ）
由（1）、（2）式得
G m月m 地 R
2

m月 (2 nR ) 2 π R
2
。
8 3
1 4×3.14 ×(3.84×10 ) ×( )2 4 2R 2n 2 π 2.3×10 8 kg m地 G 6.67×10 11 6.33×10 24 kg。
5.传动
答案:ABC
6．火车铁轨转弯处外轨略高于内轨的原因是 [ ] A.为了使火车转弯时外轨对轮缘的压力提供圆周 运动的向心力 B.为了使火车转弯时的向心力由重力和铁轨对车 的弹力的合力提供 C.以防列车倾倒造成翻车事故 D.为了减小火车轮缘与外轨的压力 答案:BCD
7. 如图所示，质量为m的小球固定在长为
①
故M1ω2r1=M2ω2(L-r1)
M2L M1L 得 r1 ，r2 M1 M 2 M1 M 2 M2L M1L 转动中心O距M 1 为 ，距M 2 为 。 M1 M 2 M1 M 2 （2）将r1值代入式①
M1M 2 M 2L 2 G M 1ω 2 L M1 M 2
10．发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然 后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫 星送入同步圆轨道3．轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切 于P点(如图)则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时， 以下说法正确的是 [ ] A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率 B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度 C．卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过 Q点时的加速度 D．卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过 P点的加速度
L的细轻杆的一端，绕细杆的另一端O在竖直 平面上做圆周运动。球转到最高点A时，线速
gL 的大小为 ，此时 2
mg A．杆受到 的拉力 2 mg B．杆受到 的压力 2 3 C．杆受到 mg的拉力 2 3 D．杆受到 mg的压力 2
答案:B
8．可绕固定的竖直轴O转动的水平转
台上，有一质量为m的物块A，它与转台表 面之间的动摩擦因数为μ，物块A通过一根 线拴在轴O上，开始时，将线拉直，物体A 处在图位置，令平台的转动角速度ω由零 起逐渐增大，在连线断裂以前 [ ] A．连线对物块A的拉力有可能等于零 B．平台作用于物块A的摩擦力不可能 等于零 C．平台作用于物块A的摩擦力有可能 沿半径指向外侧
GMm v2 mg = 2 m r r
式中，r=R0+h，g/是高空h处的重力加速度。
例7: 在天体运动中，把两颗相距很近的恒星称为双星， 这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于 由于万有引力而吸在一起。已知两恒星的质量分别为M1和 M2两恒星距离为L。求：(1)两恒星转动中心的位置；(2) 转动的角速度。
答案:ABD
9．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨 道 [ ] A．与地球表面上某一纬度线(非赤道)是共面同心 圆 B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同 心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星 相对地球表面是静止的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，但卫星 相对地球表面是运动的 答案:CD
可得
GM R02 g 0 (R 0 + h) 3 2 2 ω0 ω0
④
4 0
由③、④两式可得
F = m R g0ω
3 2 0
答：本题正确选项为B、C。
说明：1．万有引力定 律所导出的公式虽然繁多， 但它们都有一个共同的特 点：各个力学参量都与卫 星运转半径有关，即它们 都是半径的函数。因此， 不论已知什么或求什么， 都把它化成半径r的函数， 再通过半径r找联系。 2．凡是人造卫星的问题都可从下列关系去列运动方 程，即:重力=万有引力=向心力
答案:BD
【课后练习】 1．一人骑自行车向东行，当车速为4m/s时，感到风从正南方吹来； 当车速为6m/s时，感到风从东南方吹来，求风速．
2．如图所示，湖中有一小船，岸上人用绳子跨过一高处的滑轮拉船 靠岸，当绳子以速度v通过滑轮时，问：(1)船运动的速度比v大还 是小？(2)保持绳子速度v不变，船是否作匀速运动？
得 G( M 1 M 2 ) ω L3
例8：地球 和月球中心的就、距离是3.84×108m， 月球绕地球一周所用的时间是2.3×108s 。求：地球的 质量。 分析 月球绕地球的运动可以近似地当作匀速圆周运 动。设月球的质量为m 月 ，它作圆周运动所需要的向心 力就是地球对月球的万有引力．
课后练习答案：
分析 人造卫星所受地球的万有引力即为卫星的重 力，也就是，卫星绕地运转(视为匀速率圆周运动)所需 要的向心力
GMm GMm 解：F 2 mg 2 r ( R0 h)
当人造卫星未发射前，在地面上时
①
GMm F mg0 ② 2 R0 mR02 g 0 由①、②两式可得 F mg ③ 2 ( R0 h) GMm mω 2 ( R 0 h) 因为F引=F心,所以 0 ( R 0 h) 2
例4．飞机在竖直平面内作圆周运动，圆周的半径是 180m，飞行员的质量是70kg。求：（1）飞行员在到达 圆周的最高点不致脱离座位的最小速度是多大？（2）以 同样的速度通过圆弧的最低点，飞行员对座位的压力又 是多大？

分析：当飞机达到圆弧的最高 点时，如果飞行员所受的重力全 部供给飞行员作圆周运动的向心 力，飞行员就正好不脱离座位。 在过圆弧的最低点时，飞行员受 到两个力的作用：重力mg和竖直 向上的座位对它的弹力N，它们的 合力就是供给飞行员作圆周运动 的向心力。而飞行员对座位的压 力N/与N的数值相等。

7.行星的平均密度是ρ，靠近行星的表面的卫星运转周期是T，试 证明:ρT2是一个常量，即对任何行星都相同。
8．质量为m=2kg的滑块，由水平光滑轨道滑向竖直平面内的半圆形 光滑轨道，到达最高点C后水平飞出，落到轨道上B点处，如图所 示．已知AB=AC=1m，求 (1) 木块在C点时对轨道的压力多大？ (2) 木块在点时的速度多大? (g=10m/s2)
说明：根据地球卫星绕地球运行的参数（如周ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、 轨道半径），能推算出地球的质量，但不能推算卫星的 质量；根据行星绕太阳运行的参数，能推算太阳的质量 ，但不能推算行星的质量。
【反馈练习】
1．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是
[
A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向不同 C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向相同
解答:(2)在地球表面，赤道处的重力加速度最小。重 力加速度随着纬度的增加而增加，到两极处的重力加速 度为最大。 地球表面上的物体随地球自转作圆周运动所需要的 向心力等于mω2Rcosφ，其中Rcos φ，是物体在某纬度 处作圆周运动的半径。向心力由万有引力提供，因此物 体的重力等于万有引力和向心力两者的矢量差。即 mg=F- FΦ （F为万有引力， FΦ 为某纬度处的向心力）， 如图所示。因为Fφ=mω2Rcosφ，可知在φ=0时， FΦ 最大。 在φ=90°时，FΦ最小。
分析：如图所示，两颗恒星分别 以转动中心O作匀速圆周运动， 角速度ω相同，设M1 的转动半径 为r1 ，M2 的转动半径为r2=L-r1 ； 它们之间的万有引力是各自的向 心力。
M 1M 2 F向 G M 1 2 r1 ω 解答：（1）对M1，有 2 L M1M 2 对M2，有 F向 = G M 2 ω 2 r2 L2
解答： （1）设飞行员到达圆周的最高点时的最小速度为v，则
v2 mg m ， R v Rg 180×9.8m / s 42m / s。
（2）飞行员到达最低点时 v2 N mg m ， R v2 N m( g ) R 42 2 70(9.8 )N 180 1372 N 答：飞行员对座位的压力N/ 是弹力N的反作用力，所 以N/=1372牛。
例6 :用m表示地球通讯卫星（同步卫星）的质量，h 表示它离开地面的高度，R0表示地球的半径，g0表示地面 处的重力加速度，ω0表示地球自转的角速度，则通讯卫星 所受的地球对它的万有引力的大小为 [ ]
A．零
2 4 C．m3 R 0 g 0ω 0
mR02 g 0 B． ( R0 h ) 2 D．mg 0
9．如图所示，小球从倾角为37°的斜面底端的正上方以15m/s的速 度水平抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上，求： (1)小球在空中飞行时间； (2)抛出点距斜面底端的高度．
10．如图所示，质量为m的木块，用光滑细绳拴着，置于很大的水 平转盘上，细绳穿过转盘中央的细管，与质量也为m的小球相连， 木块的最大静摩擦力为其所受重力的μ倍(μ=0.2)，当转盘以角速 度ω=4rad/s匀速转动时，要保持木块与转盘相对静止，木块转动 的轨道半径的范围是多少？