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复数的三角形式及乘除运算

一、主要内容: 复数的三角形式，模与辐角的概念及几何意义，用三角形式进行复数乘除运算及几何意义.

二、学习要求:

1．熟练进行复数的代数形式与三角形式的互化，会求复数的模、辐角及辐角主值.

2．深刻理解复数三角形式的结构特征，熟练运用有关三角公式化复数为三角形式.

3．能够利用复数模及辐角主值的几何意义求它们的范围(最值) .

4．利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算，并能根据乘除运算的几何意义解决相关问题.

5．注意多种解题方法的灵活运用，体会数形结合、分类讨论等数学思想方法.

三、重点:

复数的代数形式向三角形式的转换，复数模及复数乘除运算几何意义的综合运用.

四、学习建议: 1．复数的三角形式是彻底解决复数乘、除、乘方和开方问题的桥梁，相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心，因此，做好代数形式向三角形式的转化是非常有必要的.

前面已经学习过了复数的另两种表示•一是代数表示，即Z=a+bi(a,b ∈R).二是几何表示，复数Z既可以用复

平面上的点Z(a,b)表示，也可以用复平面上的向量来表示.现在

需要学习复数的三角表示•既用复数Z的模和辐角来表示，设其模为r ,辐角为θ贝U Z=r(cos θ +isin θ )(r ≥0).

既然这三种方式都可以表示同一个复数，它们之间一定有内在的联系并能够进行互化.

代数形式r= 三角形式

2

Z=a+bi(a,b ∈ R)

Z=r(cos θ +isin θ )(r ≥ 0) 复数三角形式的结构特征是：模非负，角相同，余弦前，加号连 •否则不是三角形式•三角形式中

Z 的一个辐角，不一定是辐角主值 .

五、基础知识 1) 复数的三角形式

+ i Sin θ)

其中I Z r θ为复数Z 的辐角。 ②非零复数Z 辐角θ的多值性。

以OX 轴正半轴为 因此复数Z 的辐 ③辐角主值 表示法；用arg 定义：适合［0，

始边，向量OZ 所在的射线为终边的角 角是 θ +2k

（ k ∈

Z ）

Z 表示复数Z 的辐角主值。 2

)的角θ叫辐角主值 0 arg z

θ应是复数

①定义：复数 z=a+bi

(a,b ∈ R )表示成r ( cos θ + i sin θ)的形式叫复数 Z 的三角形式。即 z=r （cos θ

θ叫复数z=a+bi 的辐角

唯一性：复数Z的辐角主值是确定的，唯一的。

④不等于零的复数的模Z r是唯一的。

⑤Z=O时，其辐角是任意的。

⑥复数三角形式中辐角、辐角主值的确定。（求法）

这是复数计算中必定要解决的问题，物别是复数三角形式的乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其是逮

美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式是复数运算中极为重要的内容（也是解题术）复数在化三角式的过程中其模的求法是比较容易的。辐角的求法，辐角主值的确定是难点，也是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值的求法。

2）复数的向量表示在复平面内与复数Z1、Z2对应的点分别为Z1、Z2 （如图）

何量OZ1对应于Z1

何量OZ2对应于Z2

何量Z1Z2对应于Z2 Z i Z

与复数Z2-Z i对应的向量为OZ 显然OZ 〃Z1Z2贝V argZ i= ∠ XoZ i= θ i

argZ2= ∠ XOZ2=θ 2

argZ (Z2- Z i) =arg Z= ∠ XOZ=θ

3) 复数运算的几何意义

主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化

女口zι=r i (cos θ i+isinθ i) z2=r2 (cos θ 2+isin θ 2)

①乘法：Z=Z i ∙ z2=r i ∙ r2 [cos( θ i+ θ 2)+isin( θ i+ θ 2)]

如图：其对应的向量分别为OZ i oZ2 oz

显然积对应的辐角是θi+θ 2

< i >若θ 2 > 0则由OZ l逆时针旋转θ 2角模变为oz i的匕

Q

倍所得向量便是积Z i ∙ Z2=Z的向量OZ。

V 2 >若θ 2< 0 则由向量OZ i顺时针旋转2角模变为r i T2

所得向量便是积Z i ∙ Z2=Z的向量OZ。

为此，若已知复数Z i的辐角为α, Z2的辐角为β求α + β时便可求出Z i ∙Z2=Z a Z对应的辐角就是α + β 这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。

②除法Z Z i Z2 -Z L'[cos（i 2） isin（i 2）] （其中Z≠0）

Z2 D

除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：

V 1 > 2O时OZ I顺时针旋转2角。

< 2 >2O时OZ I逆时针旋转2角。

例1.下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：

⑴ Zι=-2(cos θ +isin θ)2) Z2=c0s-isin θ (3) Z3=-sin θ +icos θ

⑷ Z4=-sin θcos θ(5) Z5=c0s6O +isin30 °

分析:由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向•变形时，可按照如下步骤进行：首先确定复数Z对应点所在象限(此处可假定θ为锐角)，其次判断是否要变换三角函数名称，最后确定辐角•此步骤可简称为定点→定名→定角”这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率

解：(1)由模非负"知，不是三角形式，需做变换:Zι=Z(-cos θisin θ )

复平面上Zι(-2cos θ2sin在第三象限(假定θ为锐角)，余弦-cos θ已在前，不需再变换三角函数名称，

因此可用诱导公式"∏+将"θ变换到第三象限.∙∙. Zι=Z(-cos θisin θ )=2[cos( ∏+ θ )+isin( ∏+ θ )]

(2)由加号连”知，不是三角形式

复平面上点Z2(cos θsjn在第四象限(假定θ为锐角)，不需改变三角函数名称，可用诱导公式

“ 2-∏或-θ将θ变换到第四象限.

∙ Z2=c0s θisin θ =COS()+isin( θ 或Z2=cos θsin θ =cos(2θ ∏+isin(2- θ ∏

考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一

(3)由余弦前”知，不是三角形式

复平面上点Z3(-sin θ ,cos在第二象限(假定θ为锐角)，需改变三角函数名称，可用诱导公式

+ θ 将θ变换到第二象限