浅谈矩阵的LU分解和QR分解及其应用

浅谈矩阵的LU 分解和QR 分解及其应用

基于理论研究和计算的需要，往往有必要把矩阵分解为具有某种特性的矩阵之积，这就是我们所说的矩阵分解.

本文将介绍两种常用的矩阵分解方法，以及其在解线性方程组及求矩阵特征值中的应用.

1.矩阵的LU 分解及其在解线性方程组中的应用 1.1 高斯消元法

通过学习，我们了解到利用Gauss 消去法及其一些变形是解决低阶稠密矩阵方程组的有效方法.并且近些年来利用此类方法求具有较大型稀疏矩阵也取得了较大进展.下面我们就通过介绍Gauss 消去法，从而引出矩阵的LU 分解及讨论其对解线性方程组的优越性. 首先通过一个例子引入：

例1,解方程组

(1.1)

(1. 2)(1.3)

解. 1Step (1.1)(2)(1.3)⨯-+ 消去(1.3)中未知数,得到

23411x x --=- (1.4)

2Shep . (1.2)(1.4)+ 消去(1.4)中的未知数2

x

有12323364526x x x x x x ++=-=-=-⎧⎪⎨⎪⎩ 显然方程组的解为*

x =123⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

上述过程相当于 111604152211⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭~111604150411⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪---⎝⎭~111604150026⎛⎫

⎪

- ⎪ ⎪

--⎝⎭

2-（）

+ ()i i r 表示矩阵的行

由此看出，消去法的基本思想是：用逐次消去未知数的方法把原方程化为与其等价的三角方程组.

下面介绍解一般n 阶线性方程组的Gauss 消去法.

设11

1n n1nn a a a a A ⎛⎫ ⎪=

⎪ ⎪⎝⎭ 1n x X x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 1n b b b ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

则n 阶线性方程组

AX b = (1.5)

并且A 为非奇异矩阵.

通过归纳法可以将AX b =化为与其等价的三角形方程，事实上： 及方程(1.5)为()()1

1

A X b =,其中

()1

A A = ()1

b b =

(1) 设(1)110a

≠，首先对行计算乘数()()

11

i11

11i a m m =

.用1i m -乘(1.5)的第一个方程加到第

()2,3,,i i n =⋯个方程上.消去方程(1.5)的第2个方程直到第n 个方程的未知数1x .

得到与(1.5)等价的方程组()()()11n 12n 111nn 0a a x x a ⎛⎫⋯⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋯⎝⎭⎝⎭=()()112n b b ⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪⎝⎭

简记作

()

()22A

b = (1.6)

其中()()()

()()()2

1

1

2

1

111

1 ij

ij i ij i i i a m b b m a a b =-=- (2) 一般第()11k k n ≤≤-次消去，设第1k -步计算完成.即等价于

()

()k k A

X b = (1.7)

且消去未知数121,,,k x x x -⋯.其中(

)

()()

()()()()()()()11

1

11

12

12222

2k k k k kk kn

k nk

nna n n a a a a a A a a a a ⎛⎫

⎪ ⎪

⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

设()

0k kk a ≠计算()

() (i=/1,,)k k ik ik

kk

a

a k m n =+⋯,用()()

(1,,)a n ik

ik k kk

i k n a m =

=+⋯消去第

1k +个方程直到第n 个方程的未知数k x .得到与(1.7)等价的方程组()()1k 1k A X b ++= 故由数学归纳法知，最后可以把原方程化成一个与原方程等价的

三角方程组.但是以上分析明显存在一个问题，即使A 非奇异也无法保证()

0i ii a ≠,

需要把非奇异的条件加强.

引理1 约化主元素()

01,,)i ii a k ≠=⋯（i 的充要条件是矩阵A 的顺序主子式

0i D ≠.即

11

11110,0ik

k kk

k a a D a a D a =≠=

≠⋯

证明 利用数学归纳法证明引理的充分性.显然，当1k = 时引理的充分性是成立的，现在假设引理对1k -是成立的，求证引理对k 亦成立.有归纳法，设

()()01,21i

ii i a k ≠=⋯-于是可用Gauss 消去法将中，即

()()

()()()()()()()()()11

111

12

1n

2222

2n 1k k k k k kk kn

nk

nn a a a a a A a a a a A ⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪ ⎪→= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

即

()

()()()()()()()111

2

1

2

3

1112211223112233222

a a D a D a a a a a =

==

()

()()()()()()()()

111111222

12222

k 11122k k k kk

k kk

a a a a a a D a a a =

=⋯ (1.8) 由设0(1,,)i i D k ≠=⋯及式(1.8)有()

0k kk a ≠