相对运动伽利略变换

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一、运动相对性的描述
设有两个相互平动的参照系 S和S/。在S系中建立直角坐标 系o—xyz，在S/系中建立直角 xyz， xyz 坐标系o x 坐标系o—x/y/z/。 设质点P在空间运动。 t时刻： 设质点P在空间运动。 时刻： 点相对于S系的位矢为： P点相对于S系的位矢为： rPO相对于S/系的位矢为： PO ' r 相对于S 系的位矢为： 1)位矢的相对性 1)位矢的相对性 二者关系 rPO = rPO ' + rO 'O 2)位移的相对性 2)位移的相对性 t时刻：rPO = rPO ' + rO 'O t+Δt时刻： r ' = r ' + r ' 时刻： t+Δt时刻： PO 时刻 PO ' O 'O 两式相减， 两式相减，即得 r ' PO − rPO = r ' PO ' − rPO ' + r 'O 'O − rO 'O
v风地 = v风车 + v车地 v风地 = 2 ( m / s ) 从西南方向吹来
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例3、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速 一男孩乘坐一铁路平板车， 行驶，其加速度为a 当车速为v 行驶，其加速度为a，当车速为vO时，他沿车前进的斜 上方抛出一球，相对车抛出的球速为v 上方抛出一球，相对车抛出的球速为v’O,设抛球时对 车的加速度的影响可以忽略， 车的加速度的影响可以忽略，如果使他不必移动他在 车中的位置就能接住球， 车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的 夹角应为多大？ 夹角应为多大？ 1 ∆ x 1 = v 0 t + at 2 抛出后车的位移： 解：抛出后车的位移： 2 ' 球的位移： 球的位移：∆ x 2 = ( v 0 + v 0 sin θ ) t 小孩接住球的条件为： 小孩接住球的条件为：∆x1=∆x2;∆y=0
注意几点： 注意几点： 经典时空中长度的量度是绝对的。 ①.经典时空中长度的量度是绝对的。 经典时空中长度的量度是绝对的
u P
o' z'
x
x'
z
系中量度同一物体的长度是相同的。 如在 S 和 S’ 系中量度同一物体的长度是相同的。 经典时空中时间的量度是绝对的。 ②.经典时空中时间的量度是绝对的。 经典时空中时间的量度是绝对的 绝对同时性。 ③.绝对同时性。 绝对同时性 系同时发生的两个事件， 在 S 系同时发生的两个事件，在 S’ 系 中也是 同时发生的。 同时发生的。
∴ v 水地 = 5 i ( km / h )
v 船水 = 20 j ( km / h )
则 v 船地 = v 船水 + v 水地 = 5 i + 20 j ( km / h )
故船对地的速度大小是: 故船对地的速度大小是:
v 船地 =
5 2 + 20
2
= 20 . 6 ( km / h )
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其方向为北偏东θ 其方向为北偏东θ角
例1、河水自西向东流动，速度为10 km/h,一轮船在 河水自西向东流动，速度为10 km/h,一轮船在 水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30 水中航行，船相对于河水的航向为北偏西30o,航速 20km/h 此时风向为正西，风速为10km/h。 km/h。 10km/h 为20km/h。此时风向为正西，风速为10km/h。试求 在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（ 。（设烟离 在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的飘向。（设烟离 开烟囱后即获得与风相同的速度） 开烟囱后即获得与风相同的速度） 解：设水用S；风用F；船用C；岸用D 设水用S 风用F 船用C 岸用D 已知： sd = 10 正东， v fd = 10 正西 已知： 正东， v vfc vcd vfd vsd vcs
相对运动 伽利略变换
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引出：运动是绝对的， 引出：运动是绝对的，而描述运动具有相对性 人站在地球上，以地球为参照系人静 人站在地球上， 止不动。而以地球以外的物体为参照系， 止不动。而以地球以外的物体为参照系， 则是“坐地日行八万里” 则是“坐地日行八万里”了。 因此，位移、速度、加速度等都要加上‘相对’ 因此，位移、速度、加速度等都要加上‘相对’二 相对位移、 字--相对位移、相对速度、相对加速度。为明确表示一 相对位移 相对速度、相对加速度。 物体的速度是相对什么物体而言，通常用双脚标表示。 物体的速度是相对什么物体而言，通常用双脚标表示。
v x = v x '+u
正 同理： 同理：
vx ' = vx − u
S系 v y = v y '
S' 系 v y ' = v y
v = v '+u
vz = vz '
vz ' = vz
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经典时空中速度满足速度叠加原理。 经典时空中速度满足速度叠加原理。
3)伽利略加速度变换 3)伽利略加速度变换 由速度变换公式对时间求导
S
y
o
S'
y'
u
o'
P
x x'
z
z'
速度和加速度为： 速度和加速度为： ( x, y, z, t ), a(x, v 系看来， 在S’系看来，该事件的时空坐标为： r ′ 系看来 该事件的时空坐标为： 速度和加速度为： 速度和加速度为：v′( x′, y′, z′, t′),
( x, y, z, t )
ax = ax ' S系 a y = a y ' az = az '
在两个惯性系中
S'系
ax ' = ax 不同惯性系下，描 不同惯性系下， a y ' = a y 写同一质点的加速 度相同。 az ' = az 度相同。
a′ = a
S F m a F =m a S′ F′ m′ a′ F′ = m′a′
v cd
v cs = 20 = v cs + v sd
北偏西30 北偏西30o
v cd = 10 3 km/h 方向正北
∵ v fd = v fc + v cd
∴ v fc = v fd − v cd
方向为南偏西30 ∴ v fc = v cs 方向为南偏西30o。
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∵ v fd = − v sd
例2.轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北，船速计 2.轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北， 轮船驾驶舱中的罗盘指示船头指向正北 指出船速为20km/h。若水流向正东、流速为5 km/h， 指出船速为20km/h。若水流向正东、流速为5 km/h， 20km/h 问船对地的速度是多少？ 问船对地的速度是多少？驾驶员需将船头指向何方才 能使船向正北航行？ 能使船向正北航行？ 解：以正东为x方向，正北为y 以正东为x方向，正北为y 方向建立坐标系
y, z, t)
a′(x' , y' , z' , t' ) 9
(x′, y′, z′, t′)
1)伽利略坐标变换 1)伽利略坐标变换 正变换
S
S'
逆变换
y
o
y'
x = x'+ut x' = x − ut y = y' y' = y S' 系 S系 z = z' z' = z t = t' t' = t
即经典时空中牛顿第二定律适用于任何惯性系。 即经典时空中牛顿第二定律适用于任何惯性系。 在惯性系中所有力学规律相同——牛顿的力学相对性 牛顿的力学相对性 在惯性系中所有力学规律相同 原理
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三、力学相对性原理
运动的描述是相对的。 运动的描述是相对的。对所有物理现象的观测和所 有物理规律的描述都是相对于某一参照系而言的。 有物理规律的描述都是相对于某一参照系而言的。 牛顿运动定律的表述形式适用于惯性系。 牛顿运动定律的表述形式适用于惯性系。在不同 的惯性系里牛顿运动定律的形式都有是一样的。 的惯性系里牛顿运动定律的形式都有是一样的。在任 何惯性系中观察同一力学现象都将按同样的形式发生 和演化。 和演化。 因此在研究力学现象时，所有惯性系都是等价的。 因此在研究力学现象时，所有惯性系都是等价的。 力学相对性原理：对于所有惯性系，力学现象都遵从 力学相对性原理：对于所有惯性系， 相同的规律，力学定律都各自有相同的形式。或者说， 相同的规律，力学定律都各自有相同的形式。或者说， 在研究力学现象时，一切惯性系都是等价的。 在研究力学现象时，一切惯性系都是等价的。 在任一惯性系中进行力学实验都将得到同样的结 我们不能借助于力学实验来发现系统的惯性运动。 果，我们不能借助于力学实验来发现系统的惯性运动。
1 2 ∆ y 2 = ( v cos θ ) t − gt 2
' 0
两式相比得： 两式相比得：
1 2 ∴ at = v0 ' (sin θ )t 2 a
g = tan θ
θ = tan
1 2 gt = v0 ' (cos θ )t 2 −1 a
g
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二、伽利略变换
设有两个参照系S系和S 系 设有两个参照系S系和S’系，各 坐标轴相互平行。 系相对S 坐标轴相互平行。 S’ 系相对S系沿 ox 轴以 u 运动。 运动。 坐标轴原点O 坐标轴原点O与O’点重合时作为公共计 点重合时作为公共计 t 时起点。 时起点。 = 0时两坐标重合 x = x ' = 0 时刻，物体在P 看成一事件） t时刻，物体在P点(看成一事件） 在S系看来，该事件的时空坐标为： r 系看来，该事件的时空坐标为：
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从数学上看，力学相对性原理要求： 从数学上看，力学相对性原理要求：牛顿运动定 律以及力学的其它基本定律从一个惯性系换算到另一 个惯性系时，数学形式应保持不变。 个惯性系时，数学形式应保持不变。 与经典力学相对应的变换就是伽利略变换。 与经典力学相对应的变换就是伽利略变换。
四、经典的时空观
时间是绝对的，空间是绝对的，时间和空间是彼此 时间是绝对的，空间是绝对的， 独立，没有任何联系。从而同时也是绝对的。 独立，没有任何联系。从而同时也是绝对的。 绝对空间是指长度的量度与参照系无关， 绝对空间是指长度的量度与参照系无关，绝对时 是指长度的量度与参照系无关 是指时间的量度与参照系无关。 间是指时间的量度与参照系无关。 同样两点的距离或同样的前后两个事件之间的 时间间隔无论在哪个惯性系中测量都是一样的， 时间间隔无论在哪个惯性系中测量都是一样的，而 且时间和空间是彼此独立、没有任何联系的。 且时间和空间是彼此独立、没有任何联系的。
a 加速度： 加速度： PO
= a PO ' + aO 'O
rPO = rPO ' + rO 'O
∆rPO = ∆rPO ' + ∆rO 'O
可统一表示为： 可统一表示为：MAB
= MAC + MCB 可代表： M 可代表：位矢 r 、位移 ∆r 、速度 v 、加速度 a等。
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强调： 强调：相对运动公式的获得必须满足长度的测量和 时间的测量与坐标系无关这两个条件。 时间的测量与坐标系无关这两个条件。
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r 'PO −rPO = r ' PO ' −rPO ' + r 'O 'O −rO 'O
∆rPO = ∆rPO ' + ∆rO 'O
S系：∆rPO = r 'PO −rPO
S’系： ∆rPO' 系
= r 'PO' −rPO'
3)速度及加速度的相对性 速度及加速度的相对性 对时间求导， 将 rPO = rPO ' + rO 'O 对时间求导， 速度： v PO = v PO ' + vO 'O 速度： 将速度公式再对时间求导， 将速度公式再对时间求导，
5 θ = arctg ( ) = 14 ° 2 ' 20
若要船对地的速度指向正北
v ' 船地 =
2 2 v 船水 − v 水地
=
20
2
−5
2
= 19 . 4 ( km / h )
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其方向为北偏西θ'角 θ ' = arcsin( 其方向为北偏西θ'角 θ' ) = 14 ° 29 ' 20 某人骑自行车以速度1m/s向北行驶， 1m/s向北行驶 例3、某人骑自行车以速度1m/s向北行驶，感觉风从 正西吹来，将速率增加到2.73m/s 2.73m/s时 正西吹来，将速率增加到2.73m/s时，则感觉风从北 偏西方向30℃吹来。求实际的风速以及风向。 30℃吹来 偏西方向30℃吹来。求实际的风速以及风向。
v甲乙 …..甲对乙的速度 甲是运动物体 乙是参照系 甲对乙的速度,甲是运动物体 乙是参照系. 甲对乙的速度 甲是运动物体,乙是参照系
aAB …..A相对 的加速度 为运动物体 是参照系 相对B的加速度 为运动物体,B是参照系 相对 的加速度,A为运动物体 是参照系.
研究的问题: 在两个有相互平动的参照系中考察同 研究的问题: 一物理事件。 一物理事件。 两个不同参照系对同一事件的描述存在怎样的关系？ 两个不同参照系对同一事件的描述存在怎样的关系？
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2)伽利略速度变换 2)伽利略速度变换 由坐标变换公式对时间求导
S系
dx dx' vx = = + u = v x '+u dt dt dz dz' dy dy' = vz ' = v y ' vz = = vy = = dt dt dt dt
逆
x = x '+ ut y = y' z = z' t = t'