同济大学测量学第五章 测量误差基本知识

n
观测值的改正值
若被观测对象的真值不知，则取平均数 l 为最优解x 为最优解x 定义改正值
vi = l − li = x − li
改正值的特性
[v] = ∑ vi = 0
5-4观测值的精度评定
标准差可按下式计算
σ =
2
∑v
i =1
n
2 i
n −1
中误差
m=
∑v
i =1
n
2 i
n −1
证明
∆ 1 = X − l1 ∆ 2 = X − l2 L ∆ n = X − ln
随机变量X服从参数 当X ~ N ( µ , σ )时 为µ , σ 2的正态分布
2
∫ f ( x) = 1 µ σ ∫µ σ f ( x) = P(µ − σ ≤ X ≤ µ + σ ) = 0.6826
−∞ + −
∞
∫µ ∫µ
µ + 2σ
− 2σ
f ( x) = P( µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ ) = 0.9545 f ( x) = P( µ − 3σ ≤ X ≤ µ + 3σ ) = 0.9973
m = ± Σ∆ n
2
Δ2 0 1 49 4 1 1 64 0 9 1 130
中误差
m
1
= ±
Σ∆ n
2
= ± 2 .7
2
= ± 3 .6
三、相对误差
某些观测值的误差与其本身 大小有关 用观测值的中误差与观测值之比 的形式描述观测的质量，称为相 对误差（全称“相对中误差” 对误差（全称“相对中误差”）
v v L v
1 1 1
= = =
x x x
− − −
l1 l1 l1
将上列左右两式方便相减，得
∆ 1 = v1 + ( X − x ) ∆ L ∆
n 2
= v2 + ( X − x ) = vn + ( X − x )
取和
[∆ ] = [v ] + n ( X − x ) = n ( X − x ) [∆ ] (X − x) = n [ ∆∆ ] [ vv ] [ ∆∆ ] = [ vv ] + n ( X − x ) = + ( X − x )2 n n [ ∆ ] 2 ∆2 + ∆22 + L + ∆2n 2 (X − x) = 2 = 1 n n2 2 ( ∆ 1 ∆ 2 + ∆ 1 ∆ 3 + L + ∆ n −1 ∆ n ) [ ∆∆ ] + = 2 n n2 [ ∆∆ ] [ vv ] = n n −1
算术平均数：
l
=
∑
n
i=1
li
满足最小二乘原则的最优解
n
= x
证明（ 是最或然值） 证明（x是最或然值）
将上列等式相加，并除以n,得到 将上列等式相加，并除以n,得到 [∆] = X − [l ] n n 更据偶然误差第（4）特性 [∆] = 0 [l ] lim n n→∞ ∴ =x
[l ] lim n = X n →∞
（二）处理原则
粗差——细心，多余观测 粗差 系统误差——找出规律，加以改 系统误差 正 偶然误差——多余观测，制定 偶然误差 限差
如何处理含有偶然误差的数据？ 如何处理含有偶然误差的数据？
例如： 对同一量观测了n 对同一量观测了n次
观测值为 l1,l2,l3,….ln
如何取值？
如何评价数据的精度？
例如： 对358个三角形在相同的 358个三角形在相同的 观测条件下观测了全部内 角，三角形内角和的误差
∆ i为 ∆i= αi +βi+ γi-180
γ
其结果如表5 ，图5 其结果如表5-1，图5-1, 分析三角形内角和的误 差∆I的规律。
α β
表2-1 误差区间 dΔ " 0~3 3~6 6~9 9~12 12~15 15~18 18~21 21~24 24以上 24以上 负误差 K K/n 45 0.126 40 0.112 33 0.092 23 0.064 17 0.047 13 0.036 6 0.017 4 0.011 0 0
µ + 3σ
−3σ
极限误差
若µ = 0 1 则f ( x) = ⋅e σ 2π +σ ∫ f (x) = P(−σ ≤ X ≤ σ ) = 0.6826
−σ
x2 − 2 2σ
∫ σ f (x) = 0.9545
−2
+2σ +3σ
∫ σ f (x) = 0.9973
−3
三、容许误差
∆ 允 = 2m
或： ∆ 允 = 3 m
5-3观测值的算术平均 值及改正值
但大多数被观测对象的真值不知， 任何评定观测值的精度，即： ∆=？ m=？ m=？ 寻找最接近真值的值x 寻找最接近真值的值x
集中趋势的测度（最优值） 集中趋势的测度（最优值）
中位数：设把n 个观测值按大小排列， 中位数：设把 n 个观测值按大小排列 ， 这时位 于最中间的数就是“中位数” 于最中间的数就是“中位数”。 众数：在n 个数中， 众数：在 n 个数中 ， 重复出现次数最多的数就 是“众数”。 众数” 切尾平均数：去掉 lmax, lmin以后的平均数。 以后的平均数。 调和平均数： 1 平均数的倒数 li
Σ
181 0.505
177 0.495
358 1.000
k/来自百度文库∆
-24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18+21+24 X=∆
偶然误差的特性 偶然误差的特性
有限性：在有限次观测中，偶然误差应 有限性：在有限次观测中，偶然误差应 小于限值。 渐降性：误差小的出现的概率大 渐降性：误差小的出现的概率大 对称性：绝对值相等的正负误差概率相 对称性：绝对值相等的正负误差概率相 等 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然 抵偿性：当观测次数无限增大时，偶然 误差的平均数趋近于零。
5-2评定精度的标准
方差和标准差（中误差） 方差和标准差（中误差）
方差： σ
2
n 式中： ∆ i 是观测值 l i的偶然误差
=
∑∆
i =1
n
2 i
, σ 叫标准差
∆ i = X − li
σ =
2
∑∆
i =1
n
2 i
n
标准差σ常用m表示，在 测绘界称为中误差。
次序
第一组观测 观测值 l Δ 1 1 8 0 ° 0 0 ˊ 0 3 " -3 2 1 8 0 ° 0 0 ˊ 0 2 " -2 3 179° 59ˊ 58" +2 4 179° 59ˊ 56" +4 5 1 8 0 ° 0 0 ˊ 0 1 " -1 6 0 180° 00ˊ 00" 7 1 8 0 ° 0 0 ˊ 0 4 " -4 8 179° 59ˊ 57" +3 9 +2 179° 59ˊ 58" 10 -3 180° 00ˊ 03" 24 Σ ||
2 2 2
′
2
′
2
′
2
2
小结 第一步：写出函数式 第二步：写出全微分式 第三步：写出中误差关系式
注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进 注意：只有自变量微分之间相互独立才可以进 一步写出中误差关系式。
§5-6 误差传播定律
应用举例
观测值：斜距S和竖直角v 观测值：斜距S和竖直角v 待定值：高差h 待定值：高差h
按观测值的真误差计算中误差
Δ2 9 4 4 16 1 0 16 9 4 9 72
第二组观测 观测值 l Δ 0 180° 00ˊ 00" +1 159° 59ˊ 59" -7 180° 00ˊ 07" -2 180° 00ˊ 02" -1 180° 00ˊ 01" +1 179° 59ˊ 59" +8 179° 59ˊ 52" 0 180° 00ˊ 00" +3 179° 59ˊ 57" -1 180° 00ˊ 01" 24
+ 2 f1 f 2
∑ (dx dx ) ′
2 my
m1
′
2
2
n
2 m2
∑ dy
i =1
n
2 i
n .. ′2 + fn
n
= f1
∑ ( dx )
i =1
n
2
1 i
n
+ f2
′
2
∑ ( dx
i =1
2 i
)
2
n
+ ...
∑ dx
i =1
n
mn
n 2
中误差关系式： 中误差关系式：
m y = f1 m1 + f 2 m2 + ... + f n mn
计算标准差例子
次序 观测值 l 改正数 v -5 +2 -1 +3 +1 0 vv 25 4 1 9 1 40
1 123.457 2 123.450 3 123.453 4 123.449 5 123.451 S 123.452 l = 123 .452
m=
40 6 .32 = = ± 3 .16 毫米 5 −1 2
二、测量误差的分类与对策
（一）分类 粗差——特别大的误差（错误） 粗差 系统误差——在相同的观测条件下，误差 系统误差 出现在符号和数值相同，或按一定的规律 变化。 偶然误差——在相同的观测条件下，误 偶然误差 差出现的符号和数值大小都不相同，从 表面看没有任何规律性，但大量的误差 有“统计规律”
偶然误差的统计 正误差 K K/n 46 0.128 41 0.115 33 0.092 21 0.059 16 0.045 13 0.036 5 0.014 2 0.006 0 0 误差绝对值 K K/n 91 0.254 81 0.226 66 0.184 44 0.123 33 0.092 26 0.073 11 0.031 6 0.017 0 0
my = ± [∆y∆y ] n
误差传播定律
设有函数式： f (x1, x2...) y=
全微分： 全微分： dy = f1′dx + f2′dx2 +.... 1
式中f’有正有负
f ′ dx 2 + f ′ dx 2 + ..... + f ′ dx 2 (dy) = 1 1 2 2 nx nx f ′ f ′ dx dx + ...... + 1 2 1 2 设每个自变量都观测了 多次，i = 1,2,3....n
小结
一、已知真值X 一、已知真值X，则 真误差 一、真值不知，则
∆i = X−li
二、中误差
[l ] x= n vi = x − li
二、中误差
[∆∆] m=± n
[vv] m=± n −1
5-5误差传播定律
设有函数式： f (x1, x2...) y=
已知：m 已知：mx1,mx2,---mxn ---m 求：m 求：my=?
m 1 T = = l l m
例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 例，用钢卷尺丈量200m和40m两段距 离，量距的中误差都是±2cm，但不 离，量距的中误差都是±2cm，但不 能认为两者的精度是相同的 前者的相对中误差为0 02／ 前者的相对中误差为0．02／200 ＝1 ／10000 而后者则为0 02／40＝ 而后者则为0．02／40＝l／2000 前者的量距精度高于后者。
正态分布
1 f ( x) = ⋅e σ 2π −∞ < x < ∞
( x−µ )2 − 2σ 2
σ >0 若µ = 0, σ = 1
1 则f ( x) = ⋅e 2π
( x )2 − 2
正态分布的特征
正态分布密度以 x = µ 为对称轴,并在 x = µ 处 为对称轴, 达到最大。 达到最大。 当 x → ±∞ 时，f(x)→ 0，所以f(x)以x轴为渐近 所以f(x)以 线。 用求导方法可知， 用求导方法可知，在 x = µ ± σ 处f(x)有两个拐 f(x)有两个拐 点。 对分布密度在某个区间内的积分就等于随机 变量在这个区间内取值的概率
《测量学》学习辅导 测量学》
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同济大学 测量与国土信息工程系
第五章 测 量误差基本 知识
第五章 测量误差基本知识
学习要点
◆建立测量误差的基本概念 ◆观测值的中误差 ◆观测值函数的中误差
——误差传播定律 ◆加权平均值及其中误差
§5-1 测量误差的概念
一、测量误差的来源 1、仪器精度的局限性 2、观测者感官的局限性 3、外界环境的影响
2 2 2 2
∑ dy
i =1
n
2 i
n ′
= f1
n i =1
′
2
∑ (dx )
i =1
n
2
1 i
n
1 2 i
+ f2 + ...
′
2
∑ (dx )
i =1
n
2
2 i
n
+ ...
n n ′ ′ ∑ (dx1dx2 ) i i =1 当n → ∞， 2 f1 f 2 lim + ... ⇒ 0 n
一，h = S sin v 二，dh = sin v ⋅ ds + S cos v ⋅ dv 三，mh = sin v ⋅ mS + S cos v ⋅ mv
2 2 2 2 2 2
或，mh = sin v ⋅ mS + D ⋅ mv
2 2 2 2
2
误差传播定律