第四章 4.3.1 对数的概念

§4.3 对 数 4．3.1 对数的概念

学习目标 1.了解对数、常用对数、自然对数的概念.2.会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值．

知识点一 对数的概念 1．对数的定义：

一般地，如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

思考 在对数的定义中为什么不能取a ≤0及a ＝1呢？

答案 (1)a <0，N 取某些值时，log a N 不存在，如根据指数的运算性质可知，不存在实数x 使

⎝⎛⎭

⎫－12x ＝2成立，所以a 不能小于0.

(2)a ＝0，N ≠0时，不存在实数x 使a x ＝N ，无法定义log a N ；N ＝0时，任意非零实数x ，有a x ＝N 成立，log a N 不确定．

(3)a ＝1，N ≠1时，log a N 不存在；N ＝1，log a 1有无数个值，不能确定． 2．常用对数与自然对数

知识点二 对数与指数的关系 一般地，有对数与指数的关系： (1)若a >0，且a ≠1，则a x ＝N ⇒log a N ＝x . (2)对数恒等式：log a N

a

＝N ；log a a x ＝x (a >0，且a ≠1，N >0)．

思考 任何一个指数式都可以化为对数式吗？ 答案 不是，只有底数大于零且不等于1时才可互化． 知识点三 对数的性质 1．log a 1＝0(a >0，且a ≠1)． 2．log a a ＝1(a >0，且a ≠1)． 3．零和负数没有对数．

1．log a N 是log a 与N 的乘积．( × ) 2．若3x ＝2，则x ＝log 32.( √ )

3．因为a 1＝a (a >0且a ≠1)，所以log a a ＝1.( √ ) 4．若ln N ＝1

2

，则N ＝⎝⎛⎭⎫12e .( × ) 5．在b ＝log 3(m －1)中，实数m 的取值范围是(1，＋∞)．( √ )

一、指数式与对数式的互化

例1 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式： (1)33＝27；(2)12

log 8＝－3；

(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3. 解 (1)∵33＝27，∴log 327＝3. (2)∵12

log 8＝－3，∴⎝⎛⎭⎫12－3＝8.

(3)∵⎝⎛⎭⎫14－2＝16，∴14

log 16＝－2.

(4)∵lg 1 000＝3，∴103＝1 000. 反思感悟 指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式． 跟踪训练1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1)3－

2＝19；(2)⎝⎛⎭⎫15－3＝125； (3)13

log 27＝－3；(4)log

64x

＝－6(x >0，且x ≠1)．

解 (1)log 31

9＝－2.

(2)15

log 125 ＝－3.

(3)⎝⎛⎭⎫13－3＝27. (4)(x )－6＝64.

二、对数的计算

例2 (1)求下列各式的值． ①log 981＝________. ②log 0.41＝________. ③ln e 2＝________. 答案 ①2 ②0 ③2

解析 ①设log 981＝x ，所以9x ＝81＝92， 故x ＝2，即log 981＝2.

②设log 0.41＝x ，所以0.4x ＝1＝0.40， 故x ＝0，即log 0.41＝0. ③设ln e 2＝x ，所以e x ＝e 2， 故x ＝2，即ln e 2＝2. (2)求下列各式中x 的值． ①log 27x ＝－2

3

；②log x 16＝－4.

解 ①由log 27x ＝－23

得，x ＝2

3

27-＝2333⎛⎫

⨯- ⎪⎝⎭

＝3－2＝1

9

.

②由log x 16＝－4，得x －4＝16，即x 4＝116＝⎝⎛⎭⎫±124，又x >0，且x ≠1，∴x ＝12. 反思感悟 对数式中求值的基本思想和方法 (1)基本思想

在一定条件下求对数的值，或求对数式中参数字母的值，要注意利用方程思想求解． (2)基本方法

①将对数式化为指数式，构建方程转化为指数问题． ②利用幂的运算性质和指数的性质计算．

跟踪训练2 求下列各式的值： (1)log 28；(2)log 91

9；

(3)ln e ；(4)lg 1.

解 (1)设log 28＝x ，则2x ＝8＝23. ∴x ＝3.∴log 28＝3.

(2)设log 919＝x ，则9x ＝1

9＝9－1，

∴x ＝－1.∴log 91

9＝－1.

(3)ln e ＝1. (4)lg 1＝0.

三、利用对数的性质求值 例3 求下列各式中x 的值：

(1)log 2(log 5x )＝0；(2)log 3(lg x )＝1；(3)x ＝71log 5

7-.

解 (1)∵log 2(log 5x )＝0，∴log 5x ＝20＝1， ∴x ＝51＝5.

(2)∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3， ∴x ＝103＝1 000. (3)x ＝71log 5

7-＝7÷7log 5

7

＝7÷5＝7

5

.

(教师) 延伸探究

把本例(1)中的“log 2(log 5x )＝0”改为“log 2(log 5x )＝1”，求x 的值． 解 因为log 2(log 5x )＝1， 所以log 5x ＝2，则x ＝52＝25.

反思感悟 利用对数的性质求值的方法

(1)求解此类问题时，应根据对数的两个结论log a 1＝0和log a a ＝1(a >0且a ≠1)，进行变形求解，若已知对数值求真数，则可将其化为指数式运算．

(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log ”后再求解．