2020-2021中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案
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（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点 G, H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点 G 的横坐标为 m，点 H 的纵坐标为 n，且使得以 A,G, H , P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条 件的 m, n 的值.
【答案】（Ⅰ） A( 2, 0), B(2 2, 0) ；（Ⅱ） S 2 (t 2)2 4 2(0 t 2 2) , 2
S△ PAB=S△ PAN+S△ PBN= 1 PN•AG+ 1 PN•BM= 1 PN•OB 列出关于 t 的函数表达式，利用二次函数
2
2
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的性质求解可得；
（3）由 PH⊥OB 知 DH∥ AO，据此由 OA=OB=6 得∠ BDH=∠ BAO=45°，结合∠ DPE=90°知若
△ PDE 为等腰直角三角形，则∠ EDP=45°，从而得出点 E 与点 A 重合，求出 y=6 时 x 的值即
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2
2
1 2
t
2
2 2
t
2
t
2
2 t
2
2 4 2(0 t 2 2) ，
2
∴ 当 t 2 时， S最大 4 2 ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， t 2 ，
∴ P 2, 2 ，
∵ 抛物线 y 1 x2 2 x 2 的对称轴为 x 2 ，
则当 y=6 时，﹣ 1 x2+2x+6=6， 2
解得：x=0（舍）或 x=4， 即点 P（4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直 角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性 质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
22 如图 1，点 P 作 PQ x 轴于 Q，
∵ P 的横坐标为 t，∴ 设 Pt, p ，
∴ p 1 t2 2 t 2, PQ p，BQ 2 2 t,OQ t 22
∴
S
S
AOC
S梯形OCPQ S
PQB
1 2
22 1 2 pt 1 2
2
2
2t p
2 t 1 pt 2 p 1 pt 2 p t 2
2．如图，抛物线 y 1 x2 2 x 2 与 x 轴相交于 A，B 两点，（点 A 在 B 点左侧）与 22
y 轴交于点 C.
（Ⅰ）求 A，B 两点坐标. （Ⅱ）连结 AC ，若点 P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为 t，四边形 ABPC 的面积
为 S.试用含 t 的式子表示 S，并求 t 为何值时，S 最大.
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣ 1 x2+2x+6；（2）当 t=3 时，△ PAB 的面积有最大值； 2
（3）点 P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作 PM⊥OB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AG⊥PM，先求出直线 AB 解析式为 y=﹣x+6，
设 P（t，﹣ 1 t2+2t+6），则 N（t，﹣t+6），由 2
当t
2 时， S最大 4
2 ；（Ⅲ）满足条件的点 m、n的值为： m
2 , n 3 ，或 24
m 5 2 , n 15 ，或 m 3 2 , n 1
2
4
2
4
【解析】
【分析】
（Ⅰ）令 y=0，建立方程求解即可得出结论；
（Ⅱ）设出点 P 的坐标，利用 S=S△ AOC+S 梯形 OCPQ+S△ PQB，即可得出结论； （Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即
设直线 AB 解析式为 y=kx+b， 将点 A（0，6）、B（6，0）代入，得：
b 6 6k b
0
，
k 1 解得： b 6 ，
则直线 AB 解析式为 y=﹣x+6，
设 P（t，﹣ 1 t2+2t+6）其中 0＜t＜6， 2
则 N（t，﹣t+6），
∴ PN=PM﹣MN=﹣ 1 t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣ 1 t2+2t+6+t﹣6=﹣ 1 t2+3t，
可得出结论．
【详解】
解：（Ⅰ）抛物线 y 1 x2 2 x 2 ， 22
令 y 0，则 1 x2 2 x 2 0 ， 22
解得： x 2 或 x 2 2 ，
∴ A 2,0 , B 2 2,0
（Ⅱ）由抛物线 y 1 x2 2 x 2 ，令 x 0 ，∴ y 2 ，∴ C 0, 2 ，
可得出答案．
【详解】（1）∵ 抛物线过点 B（6，0）、C（﹣2，0），
∴ 设抛物线解析式为 y=a（x﹣6）（x+2），
将点 A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣ 1 ， 2
所以抛物线解析式为 y=﹣ 1 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 x2+2x+6；
2
2
（2）如图 1，过点 P 作 PM⊥OB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AG⊥PM 于点 G，
∵ PH⊥OB 于 H， ∴ ∠ DHB=∠ AOB=90°， ∴ DH∥ AO， ∵ OA=OB=6， ∴ ∠ BDH=∠ BAO=45°， ∵ PE∥ x 轴、PD⊥x 轴， ∴ ∠ DPE=90°， 若△ PDE 为等腰直角三角形， 则∠ EDP=45°， ∴ ∠ EDP 与∠ BDH 互为对顶角，即点 E 与点 A 重合，
2
2
2
∴ S△ PAB=S△ PAN+S△ PBN
1
1
= PN•AG+ PN•BM
2
2
= 1 PN•（AG+BM） 2
1
= PN•OB
2
= 1 ×（﹣ 1 t2+3t）×6
2Leabharlann Baidu
2
=﹣ 3 t2+9t 2
=﹣ 3 （t﹣3）2+ 27 ，
2
2
∴ 当 t=3 时，△ PAB 的面积有最大值；
（3）如图 2，
2020-2021 中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案
一、二次函数
1．已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，6），B（6，0），C（﹣ 2，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 运动到什么位置时，△ PAB 的面积有最大值？ （3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PE∥ x 轴交抛物线于点 E，连 结 DE，请问是否存在点 P 使△ PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，说明理由．
【答案】（Ⅰ） A( 2, 0), B(2 2, 0) ；（Ⅱ） S 2 (t 2)2 4 2(0 t 2 2) , 2
S△ PAB=S△ PAN+S△ PBN= 1 PN•AG+ 1 PN•BM= 1 PN•OB 列出关于 t 的函数表达式，利用二次函数
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的性质求解可得；
（3）由 PH⊥OB 知 DH∥ AO，据此由 OA=OB=6 得∠ BDH=∠ BAO=45°，结合∠ DPE=90°知若
△ PDE 为等腰直角三角形，则∠ EDP=45°，从而得出点 E 与点 A 重合，求出 y=6 时 x 的值即
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1 2
t
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t
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2 t
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2 4 2(0 t 2 2) ，
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∴ 当 t 2 时， S最大 4 2 ；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知， t 2 ，
∴ P 2, 2 ，
∵ 抛物线 y 1 x2 2 x 2 的对称轴为 x 2 ，
则当 y=6 时，﹣ 1 x2+2x+6=6， 2
解得：x=0（舍）或 x=4， 即点 P（4，6）． 【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直 角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性 质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
22 如图 1，点 P 作 PQ x 轴于 Q，
∵ P 的横坐标为 t，∴ 设 Pt, p ，
∴ p 1 t2 2 t 2, PQ p，BQ 2 2 t,OQ t 22
∴
S
S
AOC
S梯形OCPQ S
PQB
1 2
22 1 2 pt 1 2
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2t p
2 t 1 pt 2 p 1 pt 2 p t 2
2．如图，抛物线 y 1 x2 2 x 2 与 x 轴相交于 A，B 两点，（点 A 在 B 点左侧）与 22
y 轴交于点 C.
（Ⅰ）求 A，B 两点坐标. （Ⅱ）连结 AC ，若点 P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为 t，四边形 ABPC 的面积
为 S.试用含 t 的式子表示 S，并求 t 为何值时，S 最大.
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣ 1 x2+2x+6；（2）当 t=3 时，△ PAB 的面积有最大值； 2
（3）点 P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作 PM⊥OB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AG⊥PM，先求出直线 AB 解析式为 y=﹣x+6，
设 P（t，﹣ 1 t2+2t+6），则 N（t，﹣t+6），由 2
当t
2 时， S最大 4
2 ；（Ⅲ）满足条件的点 m、n的值为： m
2 , n 3 ，或 24
m 5 2 , n 15 ，或 m 3 2 , n 1
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【解析】
【分析】
（Ⅰ）令 y=0，建立方程求解即可得出结论；
（Ⅱ）设出点 P 的坐标，利用 S=S△ AOC+S 梯形 OCPQ+S△ PQB，即可得出结论； （Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即
设直线 AB 解析式为 y=kx+b， 将点 A（0，6）、B（6，0）代入，得：
b 6 6k b
0
，
k 1 解得： b 6 ，
则直线 AB 解析式为 y=﹣x+6，
设 P（t，﹣ 1 t2+2t+6）其中 0＜t＜6， 2
则 N（t，﹣t+6），
∴ PN=PM﹣MN=﹣ 1 t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣ 1 t2+2t+6+t﹣6=﹣ 1 t2+3t，
可得出结论．
【详解】
解：（Ⅰ）抛物线 y 1 x2 2 x 2 ， 22
令 y 0，则 1 x2 2 x 2 0 ， 22
解得： x 2 或 x 2 2 ，
∴ A 2,0 , B 2 2,0
（Ⅱ）由抛物线 y 1 x2 2 x 2 ，令 x 0 ，∴ y 2 ，∴ C 0, 2 ，
可得出答案．
【详解】（1）∵ 抛物线过点 B（6，0）、C（﹣2，0），
∴ 设抛物线解析式为 y=a（x﹣6）（x+2），
将点 A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣ 1 ， 2
所以抛物线解析式为 y=﹣ 1 （x﹣6）（x+2）=﹣ 1 x2+2x+6；
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（2）如图 1，过点 P 作 PM⊥OB 与点 M，交 AB 于点 N，作 AG⊥PM 于点 G，
∵ PH⊥OB 于 H， ∴ ∠ DHB=∠ AOB=90°， ∴ DH∥ AO， ∵ OA=OB=6， ∴ ∠ BDH=∠ BAO=45°， ∵ PE∥ x 轴、PD⊥x 轴， ∴ ∠ DPE=90°， 若△ PDE 为等腰直角三角形， 则∠ EDP=45°， ∴ ∠ EDP 与∠ BDH 互为对顶角，即点 E 与点 A 重合，
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∴ S△ PAB=S△ PAN+S△ PBN
1
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= PN•AG+ PN•BM
2
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= 1 PN•（AG+BM） 2
1
= PN•OB
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= 1 ×（﹣ 1 t2+3t）×6
2Leabharlann Baidu
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=﹣ 3 t2+9t 2
=﹣ 3 （t﹣3）2+ 27 ，
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∴ 当 t=3 时，△ PAB 的面积有最大值；
（3）如图 2，
2020-2021 中考数学压轴题专题二次函数的经典综合题附答案
一、二次函数
1．已知：如图，抛物线 y=ax2+bx+c 与坐标轴分别交于点 A（0，6），B（6，0），C（﹣ 2，0），点 P 是线段 AB 上方抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 P 运动到什么位置时，△ PAB 的面积有最大值？ （3）过点 P 作 x 轴的垂线，交线段 AB 于点 D，再过点 P 做 PE∥ x 轴交抛物线于点 E，连 结 DE，请问是否存在点 P 使△ PDE 为等腰直角三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存 在，说明理由．