第一节 任意角的概念与弧度制

(1)225°； (2)75°； (3) 4π ； (4)2.
3
1 5π 2 5π
4
12
(3)240°
4
360 π
【解析】 本题主要考查角度与弧度之间的转化关
系．还可以利用函数型计算器进行互化，互化时应注意
题目对精确度的要求．
(1)225°＝
225
π 180
rad＝ 5π
4
rad；
(2)75°＝
x
|
π 2
2kπ
x
π
2kπ, k
Z
x
|
π
2kπ
x
3π 2
2kπ,
k
Z
x
|
π 2
2kπ
x
2kπ,
k
Z
4．特殊角的集合
自然语言
终边落在x轴正半轴 上的角的集合
终边落在x轴上的角 的集合
终边落在y轴上的角 的集合
终边落在坐标轴上的 角的集合
终边落在直线y＝x上 的角的集合
知识梳理
符号表示 {x|x＝2kπ，k∈Z}
∵在－360°～0°范围内，∴令k＝－1，则α＝－ 60°，故选B.
典例解析
【举一反三1】 是( D )
所有与角 π 终边相同的角的集合
6
A.
x
|
x
π 6
kπ, k Z
C.
x
|
x
π 6
2kπ
B.
x |
x
π 6
k
360, k Z
D.
x
|
x
π 6
2kπ, k
Z
【提示】 A中的 π角应加上2kπ；B中出现了弧度
第七章 三角函数
第一节 任意角的概念与弧度制
知识梳理
1．任意角的概念 (1)角的概念 在平面内，具有__公__共__端__点___的两条射线组成的图形叫 做角．角还可以看作是平面内一条射线绕着它的_端__点__旋转 而成的图形．射线的端点叫做角的顶点，旋转开始位置的 射线叫做角的始边，旋转终止位置的射线叫做角的终边. (2)角的概念的推广 ①正角：一条射线绕着端点，按_逆__时__针___方向旋转形成 的角； ②负角：一条射线绕着端点，按_顺__时__针___方向旋转形成 的角； ③零角：一条射线绕着端点没有旋转时，也把它看成一 个角，叫做零角．
求该扇形的弧长及圆心角的弧度数．
3
10
3 cm 3
【解析】 本题主要考查扇形的弧长公式和面积公式．
设弧长为l，面积为S扇，圆心角的弧度数为α，
∵扇形的半径为10 cm，
又S扇＝
1 2
lr，∴l＝
2S扇 r
2 50 3
10
10 3
(cm)．
10
∴α＝ l 3 .
r 10 3
典例解析
【举一反三6】 (1)已知一个扇形的半径为3 cm，弧长 为4.5 cm，则扇形的圆心角等于____1_.5___rad，约等于 ___8_5_.9_9_°_度．(精确到0.01)
30°的终边相同，而－30°是第四象限角，(4)错误．故选A.
典例解析
【举一反三2】
已知角
31 7
π
，则角α为(
A
)
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【提示】 本题的考查重点为象限角的概念．
∵31 π 3 π 4π ，∴ 31 π 与 3 π 的终边相同，而 3 π 是
77
C．第三象限 D．第四象限 －a>0，∴点(a，－a)在第
二象限，故选B. 2．下列命题正确的是( D )
A．第一象限角都是锐角
B．小于90°的角是锐角
C．终边相同的角相等
D．钝角都是第二象限角
【提示】 A选项中，第一象限角不一定是锐角，但锐角一定
是第一象限角；B选项中，小于90°的角可以是负角，比如－
知识梳理
注：终边相同的角之间相差360°(2π)的___整__数___倍；终 边相同的角_不__一__定___相等，相等的角终边___一__定___相同．
4．特殊角的集合 自然语言
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
知识梳理
符号表示
x
|
2kπ
x
2kπ
π 2
,k
Z
典例解析
【例1】 在－360°～0°范围内，下列选项中与300° 终边相同的角是( B )
A．490° B．－60° C．－150° D．450°
【解析】 方法一：∵300°＝－60°＋360°， ∴300°与－60°终边相同，而－60°又在－360°～ 0°范围内，故选B.
方法二：设与300°终边相同的角为α＝300°＋ k·360°，k∈Z，
典例解析
(2)角α＝45°＋k·180°，k∈Z的终边落在( A ) A．第一或第三象限 B．第一或第二象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
【提示】 令k＝0时，α＝45°为第一象限角； 令k＝1时，α＝225°为第三象限角，故选A.
【思路点拨】 本题考查象限角的定义．令 k取两个连续的整数，代表偶数和奇数．一般取 k＝0，k＝1即可．
为第三、四象限角或终边在y轴负半轴上，故选D.
【思路点拨】 该题与例3反其道而行之．方法一：根据象限 角的定义，写出第二象限角的集合，然后再展开讨论；方法二： 可用特殊值法．特别是题目选项中有明显提示，一定要注意角的 终边落在坐标轴上的情形．此题若改为填空题，难度将会增加．
典例解析
【例5】 将下列各角度化为弧度或把弧度化为角度．
77
7
第一象限角，故选A.
典例解析
【例3】 若角α为第二象限角，则α－π是( D )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【解析】 ∵角α为第二象限角，∴ π ＋2kπ<α<π
2
＋2kπ，k∈Z，∴－ π ＋2kπ<α－π<2kπ，k∈Z，则α－
2
π是第四象限角．
典例解析
【举一反三3】 (1)若角α为第四象限角，则π－α
【提示】
α＝
l r
4.5 3
＝1.5；1.5×
180 π
＝85.99°.
【思路点拨】 根据圆心角的弧度制计算公式 l
r
计算圆心角的弧度数，再根据弧度与度的转化关系，
借助计算器完成解答．
典例解析
(2)已知扇形AOB的周长是6 cm，该扇形的中心角是1弧 度，求该扇形的面积．
2r 1
解：设扇形半径为r，弧长为l，则有 l
24
2
典例解析
【举一反三4】 若角α为第二象限角，则2α是( D ) A．第三象限角 B．第二、三象限角或终边在x轴负半轴上 C．第四象限角 D．第三、四象限角或终边在y轴负半轴上
【提示】 ∵角α是第二象限角，∴ π ＋2kπ<α<π
2
＋2kπ(k∈Z)，从而π＋4kπ<2α<2π＋4kπ(k∈Z)，∴2α
120°就不是锐角；C选项中，终边相同的角不一定相等，但相等
的角终边一定相同；D选项中，钝角的取值范围为(90°，180°)，
均为第二象限角，故选D.需要注意象限角与锐角、钝角的区别．
同步精练
3．若把 23π 化成α＋2kπ(k∈Z，0≤α<2π)的形式，则正
确的是(
6
B)
A． 23π 7 π 5π
π
(3)弧度与角度的换算关系：1°＝___1_8_0___rad≈0.01745
180
rad；1 rad＝____π____°≈57.3°.
知识梳理
(4)弧度制建立的意义 ①正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的 弧度数为零； ②角的集合与实数集之间建立了一一对应关系． (5)在弧度制中，长为l的弧所对圆心角公式：______rl __；
6
限角．其中正确的有( A )
A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
【解析】 ∵－ 3 5 －2π，∴－ 3 与 5 的终边相同，
而
5
44
44
是第三象限角，(1)错误；∵780°＝60°＋720°，
4
∴780°与60°的终边相同，而60°是第一象限角，(2)错误；
(3)正确；∵－1110°＝－30°－3×360°，∴－1110°与－
知识梳理
注：引入正角、负角的概念后，角的减法运算可以转化 为角的加法运算，即α－β＝α＋(－β)．
2．象限角 在平面直角坐标系内讨论角时，角的顶点与坐标原点重 合，角的始边与_x_轴__的__正__半__轴___重合，这时，角的终边落在 第几象限，就说这个角是第几象限角． 注：如果角的终边落在坐标轴上，则说这个角不属于任 何象限． 3. 终边相同的角 所有与角α终边相同的角构成的集合为 __{_x_|x_＝__α_＋__k_·__3_6_0_°__，__k_∈__Z__}或__{_x_|_x_＝__α_＋__2_k_π_，__k∈__Z__}___．
66
B． 23π 1 π 4π
66
C． 23π 5 π 3π
66
D． 23π 11 π 2π
66
【提示】 排除法．从把 23 π化成α＋2kπ的形式
6
中可以看出，α一定是加上偶数个π，A、C 选项即
可排除．再注意到0≤α<2π，又可排除掉D，故选B.
当然也可采取直求法，但过程稍有繁琐．
典例解析
【例4】
若角α为第一象限角，则
2
是(
B)
A．第一或第二象限角 B．第一或第三象限角
C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角
【解析】 根据象限角的范围，应用不等式性质推理得
出所求角的范围．
∵角α是第一象限角，∴2kπ<α< π＋2kπ，k∈Z， 从而
kπ<
π
＋kπ，k∈Z，∴
2
是第一或第三象限角，故选B.
r
1,
6
解得
l r
2 2,
∴扇形的面积S＝ 1 lr＝2(cm2)．
2
【思路点拨】 熟记1弧度 角的定义和扇形的面积公式．
同步精练
一、单项选择题
1．若角α的顶点在原点，始边与x轴正半轴重合，且终
边过点(a，－a)(a<0)，则角α所在的象限是( B ) A．第一象限 B．第二象限 【提示】 ∵a<0，则
3
4
6
度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
弧度 π
7π 5π
6
4
4π 3π 5π 7π 11π 2π
3
2
3
4
6
知识梳理
(7)函数型计算器在换算中的使用 ①度数化为弧度数：如63°，按键顺序为 63 2ndF EXP ÷ 180 = ；
②弧度数化为度数：如3.5，按键顺序为 3.5 × 180 ÷ 2ndF EXP = .
同步精练
4．角α与角－α的终边关于( B )
A．原点对称
B．x轴Hale Waihona Puke Baidu称
C．y轴对称
D．直线y＝x对称
【提示】 方法一：直求法．直接根据正、负角的定义(逆 时针、顺时针旋转)，结合作图可得正确答案．方法二：特殊 值法．比如可令α＝30°，则－α＝－30°，可见关于x轴对 称．方法三：坐标法．设角α的终边上一点的坐标为(m，n)， 则－α的终边上对应点的坐标为(－m，n)，可见两坐标关于x 轴对称，即两角关于x轴对称，故选B.
rad=
3π 4
rad.
(2)
210=
210
π 180
rad=
7π 6
rad.
(3)
5π= 6
5π 6
180 π
=150.
(4)3=
3
180 π
=
540 π
.
【思路点拨】 按照例4 的方法逐一转化即可，注意 角度的正负情形．
典例解析
【例6】 已知一扇形的半径为10 cm，面积为 50 cm2，
弧长公式：__l＝__|_α_|r__；扇形面积公式：__S___12_lr___12___r_2 _.
知识梳理
(6)特殊角的角度与弧度的互化对应表
度 0° 15° 30° 45° 60° 75° 90° 120° 135° 150°
弧度 0
π
π
12 6
π π 5π π 2π 3π 5π
4 3 12 2
6
制与角度制的混用；C中没有注明k∈Z，故选D.
【思路点拨】 本题的考查重点为终边相同的角的 集合．应注意：(1)度量制不可混用；(2)角度制中为α ＋k·360°，弧度制中为α＋2kπ；(3)一定要指出k∈Z.
典例解析
【例2】 给出命题：(1)－3 是第一象限角；(2)780°
4
是第三象限角；(3) 5 是第二象限角；(4)－1110°是第三象
{x|x＝kπ，k∈Z}
x
|
x
kπ
π 2
,k
Z
x
|
x
kπ 2
,k
Z
x
|
x
kπ
π 4
,k
Z
知识梳理
5.弧度制 (1)1弧度的角：把等于_半__径__长___的圆弧所对的圆心角叫1 弧度的角． (2)弧度制：以“弧度”为单位来度量角的制度叫做弧度 制．弧度记作___r_a_d___．(通常略去不写)
是( C )
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【提示】 ∵角α为第四象限角，即 π＋
2kπ<α<2kπ(k∈Z)，则2kπ<－α<2kπ＋π
2
(k∈Z)，
从而π＋2kπ<π－α<2kπ＋ 3π(k∈Z)，∴2 π－α为第
2
三象限角，故选C.
【思路点拨】 在应用象限角的定义过程中， 要注意与终边相同的角的定义相结合，同时注意运 用动态旋转寻找角的终边位置．
75
π 180
rad＝ 5π
12
rad；
(3)
4π 3
4π 3
180 π
＝240°；(4)2＝
2 180 π
360 π
.
典例解析
【举一反三5】 将下列各角度化为弧度或把弧度化为
角度．
(1)－135°； (2)－210°； (3) 5π ； (4)3.
6
解：(1)
135=
135
π 180