论文悖论

北方民族大学

学士学位论文

论文题目:数学悖论问题对数学发展的推动及影响

院(部)名称:数学与信息科学学院

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专业:数学与应用数学学号:

指导教师姓名:

论文提交时间: 4月20日

论文答辩时间:（不填）

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北方民族大学教务处制

数学悖论问题对数学发展的推动及影响

摘要：数学悖论是数学发展中危及整个理论体系的逻辑基础的根本矛盾。这种根本性矛盾能够暴露一定发展阶段上数学体系逻辑基础的局限性，促使人们克服这种局限性，从而促使数学的大发展。也为了能够很好的解决一些数学问题，使初学者产生一定的兴趣，给数学打下坚实的基础。主要通过对数学分析的发展与回顾，以及数学史上几次重大的数学危机的出现和解决来研究数学悖论对于数学史的推动及发展。

通过研究数学分析的起源、发展和广泛运用以及数学悖论的起源和发展来分析数学分析中遇到的主要数学悖论，如何解决数学分析中遇到的数学悖论。数学悖论在数学、哲学、逻辑学等学科中广泛运用，并且对数学史的发展有极大的推动作用。

关键字：数学悖论，数学分析。

mathematical paradoxto push and development of mathematics

Abstract

Mathematical paradox is a logical foundation of mathematics developing endanger the whole theoretical system of fundamental contradictions mathematical paradox is a logical foundation of mathematics developing endanger the whole theoretical system contradiction.This fundamental contradiction can show a certain stage of development the limitations of mathematical system based on logic.Encourage people to overcome this limitation, prompting mathematical development.In order to be able to very good solve some math problems, also help beginners have a certain interest, to lay a solid foundation for mathematics.Mainly through the development of mathematical analysis and review of several major mathematical crisis and the history of mathematics and solvemathematical paradox for the drive of the history of mathematics is to research and development.

Through the study of the origin, development and mathematical analysis is widely used and the analysis of the origin and development of mathematical paradox to mathematical analysis of main mathematical paradox, how to solve the mathematical analysis of mathematical paradox.Mathematical paradox in mathematics, philosophy, logic and other discipline is widely used, and has great role to the development of history of mathematics.

Key Words:mathematical paradox,mathematical analysis.

绪论

悖论在理科学，逻辑学，哲学中都有运用，在数学领域更是一次又一次的引起广泛关注，大批的数学家投身到数学悖论的研究中，检验并完善了某一理论体系，加固了理论的严谨性。

数学悖论，历史源远流长，它的起源可以一直追溯到古希腊和我国先秦时代。“悖论”一词源于希腊文，意为“无路可走”，转义是“四处碰壁，无法解决问题”。什么是悖论？笼统地说，是指这样的推理过程：它看上去是合理的，但结果却得出了矛盾。出现了三次这样的数学危机。

第一次数学危机和希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关，直接动摇了毕达哥拉斯学派的信仰，对于帕索斯提出的边长为1的正方形的对角线智能用新数表示的荒谬做法其他成员竟然毫无办法，这导致了著名的第一次数学危机。直到两百多年后的欧克多斯的出现，利用几何方法避免了无理数的出现。最后无理数被彻底证明，在数学中合法地位的确立，一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数，另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。第二次数学危机导源于微积分工具的使用。牛顿和莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上，对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的，这遭到贝克莱的强烈攻击，对于无穷小量是否为零这一问题在当时引起了一场混乱，这就是第二次数学危机。经过一个多世纪的漫漫征程，几代数学家，包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力，数量惊人前所未有的处女地被开垦出来，微积分理论获得了空前丰富。最终在柯西的努力下，连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。直到微积分的出现完美的解决了第二次数学危机。随着康托的集合论遭到罗素的质疑，第三次数学危机也诞生了，在策梅罗的公理化集合理论体系和ZF体系、NBG体系的出现，一步步的化解了第三次数学危机。悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展。