第二章 晶体中的衍射part1

C
O
B A
a2
a1
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a1 a 2 0 K h CA ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) h h 2 1 a2 a3 K h CB ( h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 ) 0 h h 2 3 所以 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与晶面族(h1h2h3)正交。
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扩展知识：
b. 振幅和位相不同：波合成用 波向量作图法很方便。 c. 波及其合成复数方法： 解析运算更简单。 在复平面上画出波向量， 波振幅－－向量长度A； 波位相－－向量与实轴夹角φ。 于是，波向量解析表达式可用 复三角函数式表示：
波的向量合成方法
A cos Ai sin
复数平面内的向量合成
最大光子能量： h max eV
C Ch 12000 o A max eV V (伏特）
min
发展历史
• 1895年德国物理学家伦琴发现X射线
Roentgen(伦琴)
• 1912年德国物理学家劳厄通过实验证实它是一 种波长很短的电磁波，波长范围在0.01~100Å • 1912年，英国物理学家布拉格父子（W. H. Bragg 和W. L. Bragg）将X射线用于晶体分析，并推导出 了著名的布拉格公式。
X射线与物质的相互作用
相干的 散射X射线 非相干的 反冲电子 光电子 荧光X射线 康普顿效应
电子
俄歇电子-俄歇效应 光电效应
透射X射线衰减后的强度
入射X射线强度为I0
热能
X射线与物质的相互作用
相干散射：只引起X射线方向的改变，不引起能量变化的散射， 是X射线衍射的物理基础。 康普顿散射：既引起X射线光子方向改变，也引起其能量的改 变的散射，此过程同时产生反冲电子（光电子），在衍射花 样中带来背景。 光电效应和荧光辐射：受激原子产生二次辐射（二次标识X射 线）和光电子（光电效应），入射线的能量因此被转化从而

A B C A C B A B C




a a a a a a a a a a a a
3 1 1 2
A B C A C B A B C




3
1
2
1
3
1
1
2
Ω a1
Ω*
倒格子点阵
一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因
此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应： 晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为 [L] ；倒 易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。
如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点
阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒易点阵也 是晶体结构周期性的数学抽象，只是在不同空间 (波矢空间 )来反映,其所以要变换到波矢空间是由 于研究周期性结构中波动过程的需要。
Ae
i 2
Ae i Ae i A2
A(cos i sin ) A(cos i sin ) A2 (cos 2 sin 2 ) A2
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• 晶体中原子的周期排列，使得各原子的散 射波有固定的位相差，散射波之间将产生 相干迭加—晶体衍射。（劳厄方程、布拉 格反射） • 晶体中衍射波的强度与晶体中原子的种类 及相对位置分布有关。（原子散射因子、 结构因子） • 由衍射光产生的方向及强度的分布，可推 知晶体结构的信息—晶体结构分析。
向是该晶面的法线方向，它的大小则为该晶面族面间距倒数的 2倍。
2、倒格与正格的关系
1） a i b j 2π ij 2π
(i j )
2π a 2 a 3 a 1 b1 a 1 Ω

0
i j

2π
2π a 3 a 1 a1 b2 a1 Ω
列阵即为倒格。
倒格基矢的方向和长度如何呢？
2π a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω b1


2π d1
b3
a3
b2 a1 b1
a2
b1 2 π
a2 a3 Ω
b2
2π d2
2π b3 d3
一个倒格基矢是和正格原胞中一组晶面相对应的，它的方
与原子位置有关！
扩展知识：
波的合成原理 a. 两个衍射波场强 E 随时间t 变化情况： 波长相同 位相和振幅不同， 可用正弦周期函数方程式 表示：
E1 A1 sin(2t 1) E 2 A2 sin(2t 2)
位相和振幅不同的正弦波的合成
可见：合成波：也是正弦波，但振幅和位相发生变化。
h1 l2 h2 l3 h3 ) 2π( l1
2π
3 ） Ω*
2π
3
Ω* b1 b 2 b 3
3

Ω
(其中和*分别为正、倒格原胞体积)


2π a 2 a 3 a 3 a1 a1 a 2 Ω
由于入射电子受到电子和原子核的共同散射，散射很大，透射力 很弱，主要用于观察薄膜和表面。
3、中子衍射
因为 所以
mn ≈ 2000 me
n
h 2mn eV
<< λ
e
中子没有电荷，但有磁矩，主要与原子核发生弹性碰撞，核越轻，散射越强。 此外，中子还会受到磁性原子的磁矩（来自于电子自旋）的散射。(适合探测轻的 原子，如氢、碳在晶体中的位置)
设ABC为晶面族(h1h2h3)中离原点最近的晶面，
a1 a2 a3 ABC在基矢 a1 , a 2 , a 3 上的 截距分别为 h , h , h 。 1 2 3
由图可知：
a1 a3 CA OA OC h1 h3 a2 a3 CB OB OC h2 h3
a3
Kh
2.1.2 衍射波的波幅与强度
假设入射波为平面波，波矢为k
一维情况下，波矢的大小是角波数，波矢的方向是平面波行进 的方向。
在与A、B原子作用后，散射波的相位差（光程差）
2
2

( AC BD)

( s s0 ).Rl (k k 0 ) R l
散射波振幅应为A、B两原子散射波振幅的相干 迭加，k方向的散射波幅度：


0
2） R l K h 2π
(为整数)
其中 R l 和K h 分别为正格点位矢和倒格点位矢。
a1 l2 a 2 l3 a3 R l l1
b1 h2 b 2 h3 b3 K h h1
b1 h2 b 2 h3 b3 ) a1 l2 a 2 l3 a 3 ) (h1 R l K h ( l1
热能：入射光子的能量被吸收，却没有激发出光电子，能量
转变为物质中分子的热振动能，以热的形式成为物质的内能。
2、电子衍射
按量子力学，运动电子具有物质波性质。电子的德布罗意波长 h p
p2 因为自由电子动能（非相对论）= = eV 2m h 150 所以 Ao V (伏特) 2meV
晶体结构=点阵+基元
一个晶体结构有两个格子，一个是正格，另一个为倒格。
正格 正格基矢 倒格
a1 , a 2 , a 3
倒格基矢
b1 , b2 , b3
正格（点位）矢：
倒格（点位）矢：
Rn n1 a1 n2 a 2 n3 a 3
b2 h3 b3 K n h1b1 h2
1、倒格定义
倒格基矢定义为：
2π b1 a2 a3 Ω 2π b2 a 3 a1 Ω 2π b3 a1 a 2 Ω


其中 a 1 , a 2 , a 3是正格基矢，
Ω a1 a 2 a 3
是固体物理学原胞体积


b1 h2 b2 h3 b3 (h1, h2 与 K n h1 , h3 为整数) 所联系的各点的
A(k ) A B ei (k-k0 )Rl
A原子散射波振幅
在与所有原子作用后，k方向散射波的幅度为
A(k ) j e
j 1 N i ( k-k 0 )R j
于是强度为
I (k ) A(k ) j j 'e
2 j, j '
i ( k -k 0 )( R j -R 'j )
第二章 晶体中的衍射
---晶体衍射的一般介绍 ---衍射波的波幅与强度 ---晶体的倒格子 ---布里渊区 ---晶体的衍射条件 劳厄方程 布拉格反射 ---原子散射因子 ---几何结构因子
2.1 概述
X射线与电子、中子为人类 认识晶体的结构提供了有力 的手段。 晶体中原子间距的数量级 为Ao=10-10m，如果某一种波动， 其波长λ＜Ao，则由于原子在 晶格中的周期性排列 ，晶格 可以被看作该波的 光栅，该 波动在晶格形成的光栅上会 形成衍射。
2π a 2 a 3 Ω a1 Ω
2π
3


3 2 π
Ω
4）倒格矢 K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 与正格中晶面族(h1h2h3)
正交，且其长度为 d hhh
(1)证明
。
与晶面族(h1h2h3)正交。
1 2 3
K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3
导致衰减。二次辐射又称为荧光X射线，是受激原子的特征射
线，与入射线波长无关。荧光辐射是X射线光谱分析的依据， 同时在衍射花样中带来背景。
X射线与物质的相互作用
俄歇效应：二次光电子，该电子的能量仅依赖于物质原子的 能级结构。每种元素都有一定的特征俄歇电子能谱。利用俄 歇电子可分析物质表面两三个原子层的元素成分分析。
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扩展知识：
根据幂级数的展开式，可有如下关系:
ei cos i sin
（欧拉公式）
d. 波也可用复指数形式表示，比较上两式，有
Ae i A cos Ai sin
波向量合成:
i Ae ( A cos iA sin )
e. 波强度正比于振幅平方：用复数形式表示时，波强度值为 复数乘以共轭复数， ； Ae i的共轭复数为 Ae i
• 证明过程： • BCC点阵为：
a a (i j k ) 2 a b (i j k ) 2 a c (i j k ) 2
• 其倒易点阵为
a2 2 2b c 4 (i j k ) (i j k ) 2 ( j k ) a* V a a3 2 a2 2 2c a 2 4 b* (i j k ) (i j k ) (i k ) 3 V a a 2 a2 2 2a b 2 4 c* (i j k ) (i j k ) (i j ) 3 V a a 2
衍射光栅：具有周期性空间结构 或光学结构的衍射屏.
Lattice Constants 衍射
X-ray、 电子束、中子 束
2.1.1 波长与晶格常数相当的粒子束
1、X射线衍射
被高电压V加速的电子，打在“靶极”物质上，会使物质原 子的内层电子从低能级跳到空的高能级，当这些原子跃迁回低 能级时，就发射出一种电磁波——X射线。
2.2 晶体的倒格子与布里渊区
2.2.1倒格子
晶格的周期性描写方式:
※ 坐标空间（ r
正格子 空间）的布拉伐格子表示 ※ 波矢空间（ k 空间）的倒格子表示
Reason?
∵晶体中原子和电子的运动状态，以及各种微观粒子 的相互作用 → 都是在波矢空间进行描写的 晶格振动形成的格波，X 射线衍射均用波矢来表征 ∴需要学习倒格子和布里渊区！
(2)证明K h h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 的长度等于
2π d h1h2 h3
。
X 由平面方程：
n d 得：
dh h h
1 2
3
a1 K h a 1 h1 b1 h2 b 2 h3 b 3 2 π h1 K h h1 Kh Kh
证明FCC和ＢＣＣ互为倒易点阵