反比例函数题型解题技巧

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反比例函数题型解题技巧

反比例函数这一章是八年级数学的一个重点,也是初中数学的一个核心知识点。由反比例函数的图像和性质衍生出了好多数学问题,这对“数形结合”思想还有点欠缺的中学生来说无疑是一个难点,面对这样的问题,本人经过一些题目的观察和总结,对以下的几类目有

自己的见解,若有不当之处还请各位高人批评指教。

关键词:反比例函数、函数图象、函数性质

一、给出自变量x 的取值范围,让我们判断函数值y 的范围;

如果每位学生都能把函数的图像正确的画出来,我们解决这种问题就相对比较直观,也比较简单,但是对于中学生来说好多学生不能对函数的图像有一个很好的掌握,因此这种题目很容易出错。也是学生最容易失分的地方,下面我就对这类问题分以下几种情况来逐一介绍:

1、反比例函数y= x

k ( k >0),当x >a 或x <b (a 、b 是非零常数)时,求y 的取值范围。这种问题只需要把这里的a 或b 代入函数的解

析式中,得到y 的值a k 或b k ,对应的y 的取值范围就是y <a k 或y >b k

由于反比例函数y= x

k

当k >0时,y 随x 的增大而减小。例如:函数

y=x

2

,当x >-1时,y 的取值范围就是y <-2;当x <2时y 的取值范围就是y >1。

2、反比例函数y= x

k ( k <0),当x >a 或x <b (a 、b 是非零常数)时,求y 的取值范围。我们同样把这里的a 或b 代入函数的解析式中,得到y 的值a

k

或b

k ,对应的y 的取值范围就是y >a

k 或y <b

k ,由于反

比例函数y= x k 当k <0时,y 随x 的减小而增大。例如:函数y=

x

2

-,当x >-1时,y 的取值范围就是y >2;当x <2时y 的取值范围就是y <-1。

3、反比例函数y= x

k (k ≠0),当a <x <b ,a 、b 同号时,求y 的取值范围。我们还是把这里的a 、b 代入函数的解析式中,得到y 的值a

k 、b

k ,然后对a

k 、b k 按小到大排序,排好序后他们之间用“<y <”连接即可。若a

k >b

k ,则y 的取值范围就是b

k <y <a

k 。例如:函数y=x

2,当-3<x <-1时求y 的取值范围,把-3和-2代入解析式得到的y 的值为

32-和-2,则y 的取值范围就是-2<y <3

2

-。 4、反比例函数y= x k

(k ≠0),当a <x <b ,a*b <0时,求y 的

取值范围。同样先是把这里的a 、b 代入函数的解析式中,得到y 的

值a k 、b

k ,然后对这里的a k 、b k 进行大小比较,y 的取值范围是“大

于大的,小于小的”。若a k <b k 则y 的取值范围就是y <a k ,y >b

k

例如:函数y=x

2

,当-2<x <2时求y 的取值范围,把-2和2代入解

析式得到的y 的值为-1和1,则y 的取值范围就是y <-1,y >1。 二、已知反比例函数图像上的若干个点,知道横坐标的大小关系,让我们来判断纵坐标的大小关系;

对于这种问题,如果能正确的画出反比例函数的图像,并会熟练的分析反比例函数的图像,那么这类问题也很容易解决,但面对一些实际情况,我们只能寻找一些学生更容易例接受的方式,下面我就对这些问题稍作分析:

1、反比例函数y= x

k

( k >0),点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )

都在反比例函数的图像上,已知X 1<X 2<X 3……<X n (X 1、X 2、X 3……X n 同号),求Y 1,Y 2,Y 3……Y n 的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当k >0时,y 随着x 的增大而减小),很容易得到Y 1>Y 2>Y 3>……>Y n 。例如:已知函数y=x

2,点A(1,Y 1),B(2

1,Y 2),C(2, Y 3)在函数的图像上,求Y 1,Y 2,Y 3的大小关系。由于2

1<1<2,按照上面方法很容易得到Y 2>Y 1>Y 3。

2、反比例函数y= x

k ( k <0),点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上,已知X 1<X 2<X 3……<X n (X 1、X 2、X 3……X n 同号),求Y 1,Y 2,Y 3……Y n 的大小关系。这个问题我们直接利用反比例函数的性质(当k <0时,y 随着x 的增大而增大),很容易得到

Y 1<Y 2<Y 3<……<Y n 。例如:已知函数y=

x

2 ,点A(1,Y 1),B(21

,Y 2),C(2,

Y 3)在函数的图像上,求Y 1,Y 2,Y 3的大小关系。由于2

1

<1<2,按照

上面方法很容易得到Y 2<Y 1<Y 3。

3、反比例函数y= x

k ( k >0),点A 1(X 1,Y 1),A 2(X 2,Y 2)……A n (X n ,Y n )都在反比例函数的图像上,已知X 1<X 2<…<X k <0<X k+1<…<X n ,求Y 1,Y 2,Y 3……Y n 的大小关系。这个问题就不能像上面一样直接比较,A 1、A 2……A n 这些点的横坐标中间被“0”隔开,做这类问题要分两块来进行解决。我们首先要分清楚每个点所在的函数图像在哪个象限,在每个象限内我们还是按照1和2的比较方式进行就可以了。反比例函数y= x

k

,当k >0时,它的图像在一、三象限,并且在函数图象的每一支上,y 随着x 的增大而减小。但不论怎样,第一象限内图像的每一个点对应的y 值都比第三象限内图像的每一点对应的y 值要大。

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