创新型四边形探究题

创新型四边形探究题
例1、〖旋转变换型〗如图①所示，已知两个全等正方形ABCD 与A 1B 1C 1D 1，正方形ABCD 的点C 与正方形A 1B 1C 1D 1的中心重合，且绕点C 旋转．
⑴当正方形ABCD 由图①旋转至图②时，两个阴影部分的面积是否相等？说明理由； ⑵当正方形ABCD 旋转至任意位置时，如图③，重叠部分的面积会怎样变化？说明你的结论．
解析：图形的等面积变换 例2、〖归纳猜想型〗将一张正方形纸片剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一片又按同样的方法剪成四小片，再将其中的一小片正方形纸片剪成四片，如此循环进行下去，将结果填在下表中，并解答所提出的问题：
所剪次数 1 2 3 4 5 … 正方形个数
4
7
10
13
16
…
⑴如果能剪100次，共有多少个正方形？据上表分析，你能发现什么规律？ ⑵如果剪n 次共有A n 个正方形，试用含n 、A n 的等式表示这个规律； ⑶利用上面得到的规律，要剪得22个正方形，共需剪几次？ ⑷能否将正方形剪成2004个小正方形？为什么？
⑸如果原正方形的边长为1，设a n 表示第n 次所剪的正方形的边长，试用含n 的式子表示a n ；
⑹试猜想a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 与原正方形边长的关系，并画图示意这种关系． 分析：数形结合，图表提供信息，综合各种信息，合理变换。

例3、〖拼图多解型〗如图，边长为2cm 的正方形剪成四个全等的直角三角形，请将四个直角三角形拼成符合下列要求的图形（全部用上，互不重叠，且不留空隙）．
⑴不是正方形的菱形； ⑵不是正方形的矩形；
⑶不是矩形和菱形的平行四边形； ⑷等腰梯形；
⑸不是梯形和平行四边形的凸四边形．
解析：想象能力很重要，动手操作能力更加重要。

图①
A
B
D
C
A 1
B 1
C 1
D 1
图②
A 1
B 1
D 1
C 1 A
B
C
D 图③ A
B D
C A 1
B 1
C 1
D 1
E F
图（1）
图（2）
例4、〖几何作图型〗如图，两种规格的钢板原料，图（1）的规格为1m ×5m ，图（2）是由5个1m ×1m 的小正方形组成。

电焊工王师傅准备用其中的一种钢板原料裁剪后焊接成一个无重叠无缝隙的正方形形状的工件（不计加工中的损耗）。

（山东日照04）
（1）焊接后的正方形工件的边长是 ；
（2）分别在图（1）和图（2）中标出裁剪线，并画出所要求的正方形形状的工件示意
图（保留要焊接的痕迹）；
（3）从节约焊接材料的角度，试比较选用哪种原料较好？为什么？
解析：本题主要考查下料方案的设计能力和焊接正方形工件的组合能力及计算能力。

解决本题需根据焊接前面积是5m 2和焊接前后面积不变，即可求出正方形边长，再根据边长可画出焊接图形。

例5、〖运动定值型〗如图，E 是边长为1的正方形ABCD 的对角线BD 上一点，且BE ＝BC ，P 为CE 上任意一点，PQ ⊥BC ，垂足为点Q ，PR ⊥BE ，垂足为点R ，求PQ ＋PR 的值．
解析：本题属于动态问题，可采用“动中求静”的方法，即将P 置于某一特殊位置，如P 与E 重合．本题的一般证法，可以把等腰△BCE 分离出来，从而将问题转化成证明“等腰△BCE 底边上任意一点P 到两腰距离等于一腰BC 上的高EQ ”． 例6、〖方案设计型〗李大爷有一个边长为a 的正方形鱼塘（如图1），鱼塘四个角的顶点A 、B 、C 、D 上各有一棵大树．现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘（原鱼塘周围的面积足够大），又不想把树挖掉（四棵大树要在新建鱼塘的边沿上）．（陕西2011）
（1）若按圆形设计，利用图1画出你所设计的圆形鱼塘示意图，并求出圆形鱼塘的面
积；
（2）若按正方形设计，利用图2画出你所设计的正方形鱼塘示意图； （3）你在（2）所设计的正方形鱼塘中，有无最大面积？为什么？ （4）李大爷想使新建鱼塘面积最大，你认为新建鱼塘的最大面积是多少？
A
D
E R
P
Q C B A
D
B
C
图1 A
D
B
C
图2
O
H
E
F
G
分析：定量计算与分类讨论相结合，比较之中寻找极值。

例7、在数学活动中，小明为了求
2
3
4
1111122
2
2
2
n
++
+
+⋅⋅⋅+
的值（结果用n 表示），设计
如图1所示的几何图形。

（大连课改2011）
⑴请你利用这个几何图形，求2
3
4
1111122
2
2
2
n
+
+
+
+⋅⋅⋅+
的值为 ；
⑵请你利用图
2，再设计一个能求
2
3
4
1111122
2
2
2
n
++
+
+⋅⋅⋅+的值的几何图形。

分析：把加法转化成减法，降低了难度，是个好办法。

例8、小明家用瓷砖装修卫生间，还有一块墙角面未完工（如图甲所示），他想在现有的六块瓷砖余料中（如图乙所示）挑选2块或3块余料进行铺设，请你帮小明设计两种不同的铺设方案（在下面图丙、图丁中画出铺设示意图，并标出所选用每块余料的编号）．（温州05）
分析：转化成图形分割问题，对应寻找全等图形。

图
1 图2
12
2
1
2
3
12
4
12
拓展练习题：
1、如图，某村有一口四边形的池塘，在它的四个角A 、B 、C 、D 各栽有一棵大核桃树，村里准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又想保持核桃树不动，并要求扩建后的池塘成平行四边形的形状，请问该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请说明理由。

2、如图所示，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，且AD ＝BC ＝4，若将此三角形沿AD 剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有的不同形状的四边形吗？画出所拼四边形的示意图（标出图中的直角），并分别写出所拼四边形的对角线的长（不要求写计算过程，只须写出结果）．
3、如图，正方形表示一张纸片，根据要求需多次分割，把它分割成若干个直角三角形．操作过程如下：第一次分割，将正方形纸片分成4个全等的直角三角形，第二次分割将上次得到的直角三角形中一个再分成4个全等的直角三角形；以后按第二次分割的作法进行下去．
⑴请你设计出两种符合题意的分割方案图；
⑵设正方形的边长为a ，请你就其中一种方案通过操作和观察将第二、第三次分割后所得的最小的直角三角形的面积S 填入下表：
分割次数n
1 2 3 …
最小直角三角形的面积S
4
1
a 2
…
⑶在条件⑵下，请你猜想：分割所得的最小直角三角形面积S 与分割次数n 有什么关系？用数学表达式表示出来．
A B
C D O G H E
F
剪开。