角的概念的推广PPT教学课件

C l2 此时 α＝R＝C－C2＝2.
2
C2 ∴当 α＝2 弧度时，扇形面积有最大值16.
【方法点评】 合理选择变量，把扇形面积表示出 来，体现了函数的思想，针对不同的函数类型，采用不 同的方法求最值，这是解决问题的关键．
3．一个扇形的周长等于它所在圆的周长，那么这个 扇形的圆心角是多少？如果其半径等于 那么它的面积 等于多少？
【自主探究】 ∵角α的终边在直线3x＋4y＝0上， ∴在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)， 则x＝4t，y＝－3t，
r＝ x2＋y2＝ (4t)2＋(－3t)2＝5|t|，
当 t>0 时，r＝5t，
y －3t 3
x 4t 4
sin α＝r＝ 5t ＝－5，cos α＝r＝5t＝5，
α 150°＋n·360°< 3 <180°＋n·360° 当 k＝3n＋2(n∈Z)时， 270°＋n·360°<α3 <300°＋n·360°.
α ∴ 3 是第一或第二或第四象限角．
扇形的弧长、面积公式的应用 已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R. (1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积． (2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时， 该扇形有最大面积？ 【思路点拨】 (1)利用弧长、面积公式求解；(2)把扇形 面积用α表示出来，或用弧长表示出来，然后求函数的最值． 【自主探究】 (1)设弧长为l，弓形面积为S弓，
【解析】 设β＝2 010°＋k·360°(k∈Z)， 则当k＝－6时，β＝2 010°－2 160°＝－150°， 当k＝－5时，β＝2 010°－1 800°＝210°， ∴与2 010°终边相同的最小正角为210°，最大负角 为－150°. 【答案】 210° －150°
5．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终
α 当 k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°< 2 <270°＋n·360°， ∴α2 是第一或第三象限角．
(3)∵30°＋k·120°<α3 <60°＋k·120°(k∈Z)， 当 k＝3n(n∈Z)时， 30°＋n·360°<α3 <60°＋n·360° 当 k＝3n＋1(n∈Z)时，
第一节 角的概念的推广、弧度制及任 意角的三角函数
1.了解任意角的概念.
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互 考 化. 纲 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的 点 定义. 击 4.理解同角三角函数的基本关系式：
sin2 x＋cos2 x＝1，＝tan x.
1.三角函数定义的理解和运用，如已知角α的
【思路点拨】 (1)由点P所在的象限，知道sinθ·cosθ， 2cosθ的符号，从而可求sinθ与cosθ的符号．
(2)由θ是第二象限角，可求cosθ，sin2θ的范围，进而把 cos θ，sin 2θ看作一个用弧度制的形式表示的角，并判断其所 在的象限，从而sin(cosθ)，cos(sin2θ)的符号可定．
边在第________象限．
【解析】 由已知得tan α<0，cos α<0，则α是第二
象限角．
【答案】 二
三角函数的定义
已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α， tan α的值．
【思路点拨】 本题求α的三角函数值．依据三角函数的定 义，可在角α的终边上任取一点P(4t，－3t)(t≠0)，求出r， 由定义得出结论．
值为( )
A．0
B.34
5
C．1
D.4
【解析】
2sin α－cos sin α＋2cos
αα＝2ttaannαα＋－21＝34，
故选 B.
【答案】 B
3．(2009 年全国Ⅰ高考)sin 585°的值为( )
A．－
2 2
B.
2 2
C．－
3 2
D.
3 2
【解析】 sin 585°＝sin(585°－360°)
【解析】 (1)设扇形的半径为r，圆心角为α，则 2r＋rα＝2πr，即2＋α＝2π， ∴α＝2π－2.
(2)若 r＝ 2， 则扇形面积为 S＝12r2α＝12×2×(2π－2)＝2π－2.
1．(2009年辽宁高考)已知tanθ＝2，则sin2θ＋sinθcosθ－
2cos2θ＝( )
4
5
A．－3
三角函数 线
有向线段MP为正弦 线
有向线段OM为余弦 线
有向线段AT为正切 线
4.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1 .
(2)商数关系：scions α α＝tan α.
1．已知角 α 的终边经过点( 3，－1)，则角 α 的最小正
值是( )
A.23π
B.116π
C.56π
C2
1
C2
＝2·
4 ≤16.
4＋α＋α
∴当且仅当 α＝α4 ，即 α＝2(α＝－2 舍去)时，扇形面积
C2 有最大值16.
方法二：由已知 2R＋l＝C， C－l
∴R＝ 2 (l<C)， ∴S＝12Rl＝12·C－2 l·l＝14(Cl－l2) ＝－14(l－2C)2＋1C62 ，
C
C2
∴当 l＝2时，Smax＝16，
的集合？终边在坐标轴上的角的集合？
提示：终边在x轴上的角的集合为{α|α=kπ,k∈Z};
终边在y轴上的角的集合为{
};终边在坐
标轴上的角的集合为{
}
2．弧度制 (1)1弧度的角 长度等于半径长 的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号 rad表示．
(2)角α的弧度数
如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角
(3)象限角及其集合表示
象限角 第一象限 角的集合 第二象限 角的集合 第三象限 角的集合 第四象限 角的集合
象限角的集合表示
{α|2kπ<α<2kπ＋，k∈Z}
{α|2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z} {α|2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z} {α|2kπ＋<α<2kπ＋2π，k∈Z}
如何表示终边在x轴上的角的集合？终边在y轴上的角
3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆
心角所对的弧长为( )
A．2
B．sin 2
2 C.sin l
D．2sin l
1 【解析】 由题意圆的半径 r＝sin l，则 2 rad 的圆心
角所对的弧长为 l＝si2n 1.
【答案】 C
4．与2 010°终边相同的最小正角为________，最大 负角为________．
【方法点评】 1.已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出
点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．
2．已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点
的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关
问题，若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的值．
【特别提醒】 若角α的终边落在某条直线上，一般要分类讨
＝sin 225°＝sin(180°＋45°)
2 ＝－sin 45°＝－ 2 .故选 A.
【答案】 A
12 4．(2009 年全国Ⅱ高考)已知 ΔABC 中，cot A＝－ 5 ，
则 cos A＝( )
∵α＝60°＝π3 ，R＝10，
∴l＝130π(cm)，
S 弓＝S 扇－SΔ＝12×130π×10－12×102×sin
π 3，
＝50π3 － 23(cm2)．
(2)方法一：∵扇形周长 C＝2R＋l＝2R＋αR，
C ∴R＝2＋α，
∴S 扇＝12α·R2＝21α2＋Cα2
C2
1
＝ 2 α·4＋4α＋α2
【自主探究】 (1)因为点 P(sin θ·cos θ，2cos θ) 位 于 第 三 象 限 ， 所 以 sin θ·cos θ<0,2cos θ<0 ， 即 sin θ>0 cos θ<0 ，所以 θ 为第二象限角．
(2)∵2kπ＋π2 <θ<2kπ＋π(k∈Z)， ∴－1<cos θ<0， 4kπ＋π<2θ<4kπ＋2π，－1≤sin 2θ<0. ∴sin(cos θ)<0，cos(sin 2θ)>0，∴csoisn((scions 2θθ))<0. ∴csoisn((scions 2θθ))的符号是负号．
定义
y叫做α的正弦，记 x叫做α的余弦，记 叫做α的正切，记
作sin α
作cos α
作tan α
各Ⅰ
象Ⅱ
限
Ⅲ Ⅳ
符
号 口诀
终边相同
角的三角
函数值
(k∈Z)(
公式一)
＋

＋
＋
＝
＝
＋＝
＝
一全正，二正弦，三正弦，四余弦
sinα
cos_α
sin(α＋k·2π)＝ cos(α＋k·2π)＝
＋ ＝ ＋
＝
ttaannα(α＋k·2π) ＝
终边上一点求相关问题或三角函数值的符号的
热 选取等.
点 提
2.同角三角函数间的关系，可单独考查，也可 能与其他知识结合起来考查.
1．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为 正角 、 负角 、零角 ②按终边位置不同分为象限角 和 轴线角 (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
α的弧度数的绝对值是|α|＝
l r
.
(3)角度与弧度的换算 ①1°＝1π80rad；②1 rad＝1π80°.
(4)弧长、扇形面积的公式