第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
初三数学《二次函数》知识点总结和经典习题(附答案)
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c=+上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a<-时，y 随x 的增大而减小； 当2bx a>-时，y 随x 的增大而增大； 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式（交点式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴．（同左异右 b 为0对称轴为y 轴） 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．. ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数247y x x =--的顶点坐标是( )A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3） 2. 把抛物线22y x =-向上平移1个单位，得到的抛物线是（ ）A. 22(1)y x =-+ B. 22(1)y x =-- C. 221y x =-+ D. 221y x =--3.函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )4.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )A.1个B.2个C. 3个D. 4个5.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（ ）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.36. 已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点(,)ac bc 在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 7.方程222x x x-=的正根的个数为（ ） A.0个 B.1个 C.2个. 3 个8.已知抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点C,且OC=2.则这条抛物线的解析式为A. 22y x x =-- B. 22y x x =-++C. 22y x x =--或22y x x =-++ D. 22y x x =---或22y x x =++二、填空题9．二次函数23y x bx =++的对称轴是2x =，则b =_______。
二次函数基础(含答案)
二次函数基础分类练习题二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定方法一、知识要点二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：（1）a由抛物线开口方向确定：开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．（2）b由对称轴和a的符号确定：由对称轴公式x=判断符号．（3）c由抛物线与y轴的交点确定：交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0．（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：2个交点，b2-4ac＞0；1个交点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号，当x=-1时，可确定a-b+c的符号．（6）由对称轴公式x=，可确定2a+b的符号．二、基础练习1、（2011•重庆）已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是（）A、a＞0B、b＜0C、c＜0D、a+b+c＞02、（2011•雅安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结果①b2＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，则正确的结论是（）A、①②③④B、②④⑤C、②③④D、①④⑤3、（2011•孝感）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴正半轴相交，其顶点坐标为（12，1），下列结论：①ac＜0；②a+b=0；③4ac-b2=4a；④a+b+c＜0．其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、44、（2011•山西）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的是（）A、ac＞0B、方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1，x2=3C、2a-b=0D、当x＞0时，y随x的增大而减小5、（2011•泸州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的图象如图所示，有下列结论：①abc＞0，②b2-4ac＜0，③a-b+c＞0，④4a-2b+c＜0，其中正确结论的个数是（）A、1B、2C、3D、46、（2011•兰州）如图所示的二次函数y=ax2+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：（1）b2-4ac＞0；（2）c＞1；（3）2a-b＜0；（4）a+b+c＜0．你认为其中错误的有（）A、2个B、3个C、4个D、1个7、（2011•昆明）抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A、b2-4ac＜0B、abc＜0C、-b2a＜-1D、a-b+c＜08、（2011•鸡西）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①b2-4ac＞0 ②a＞0 ③b＞0 ④c＞0 ⑤9a+3b+c＜0，则其中结论正确的个数是（）A、2个B、3个C、4个D、5个9、（2011•防城港）已知二次函数y=ax2的图象开口向上，则直线y=ax-1经过的象限是（）A、第一、二、三象限B、第二、三、四象限C、第一、二、四象限D、第一、三、四象限10、（2010•昭通）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＜0C、a＜0，b＞0，c＜0，b2-4ac＞0D、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＞011、（2010•梧州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）A、ac＜0B、a-b+c＞0C、b=-4aD、关于x的方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=512、（2010•文山州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a，b，c满足（）A、a＜0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞0B、a＜0，b＜0，c＜0，b2-4ac＞0C、a＜0，b＞0，c＞0，b2-4ac＜0D、a＞0，b＜0，c＞0，b2-4ac＞013、（2010•铁岭）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，有下列4个结论，其中正确的结论是（）A、abc＞0B、b＞a+cC、2a-b=0D、b2-4ac＜014、（2010•钦州）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a-b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于-1的实数根．其中错误的结论有（）A、②③B、②④C、①③D、①④15、（2010•黔南州）如图所示为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，在下列选项中错误的是（）A、ac＜0B、x＞1时，y随x的增大而增大C、a+b+c＞0D、方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=316、（2010•荆门）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）A、ab＜0B、ac＜0C、当x＜2时，函数值随x增大而增大；当x＞2时，函数值随x增大而减小D、二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标就是方程ax2+bx+c=0的根17、（2010•福州）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A、a＞0B、c＜0C、b2-4ac＜0D、a+b+c＞018、（2010•鄂州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论①a，b异号；②当x=1和x=3时，函数值相等；③4a+b=0；④当y=4时，x的取值只能为0，结论正确的个数有（）个．A、1B、2C、3D、419、（2010•百色）二次函数y=-x 2+bx+c 的图象如图所示，下列几个结论：①对称轴为x=2；②当y ≤0时，x ＜0或x ＞4；③函数解析式为y=-x （x-4）；④当x ≤0时，y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有（ ）A 、①②③④B 、①②③C 、①③④D 、①③二次函数解析式1、抛物线y=ax 2+bx+c 经过A(-1,0), B(3,0), C(0,1)三点，则a= , b= , c=2、把抛物线y=x 2+2x-3向左平移3个单位，然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 .1、 二次函数有最小值为1-，当0x =时，1y =，它的图象的对称轴为1x =，则函数的关系式为4、根据条件求二次函数的解析式（1）抛物线过（-1，-6）、（1，-2）和（2，3）三点（2）抛物线的顶点坐标为（-1，-1），且与y 轴交点的纵坐标为-3（3）抛物线过（－1，0），（3，0），（1，－5）三点；（4）抛物线在x 轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（3，－2）；5、已知二次函数的图象经过()1,1-、()2,1两点，且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=ax 2+bx+c 过点(0,-1)与点(3,2)，顶点在直线y=3x-3上，a<0,求此二次函数的解析式.7、已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0）、B （3，0）两点，且函数有最大值是2.（1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.8、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边，点B 在原点右边.(1)求这个二次函数的解析式；(2)一次函数y=kx+b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=10,求这个一次函数的解析式.练习九 二次函数与方程和不等式1、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点，则k 的取值范围是 .2、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_____象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为（ ）A 、0B 、1C 、2D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是（ ）A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<aD 、0,0<∆<a5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交，若有一个交点在x 轴上，则k 为（ ）A 、0B 、-1C 、2D 、41 6、若方程02=++c bx ax 的两个根是－3和1，那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线（ ）A 、x ＝－3B 、x ＝－2C 、x ＝－1D 、x ＝17、已知二次函数2y x px q =++的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为()1,0-，求,p q 的值8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明x 在什么范围时0322≤--x x .9、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时，该函数值大于0.10、二次函数c bx ax y ++=2的图象过A(-3,0),B(1,0),C(0,3),点D 在函数图象上，点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D ，求（1）一次函数和二次函数的解析式，（2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.11、已知抛物线22y x mx m =-+-.（1）求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点；（2）若m 是整数，抛物线22y x mx m =-+-与x 轴交于整数点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，设抛物线顶点为A ，抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B.。
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1、 下列函数：①
y = 3x2 ；②
y = x2 - x (1 + x) ；③
y = x2 (x2 + x)- 4；④
y=
1 x2
+
x
；⑤
y=
x (1-
x) ，其中是二次函数的是
，c =
，其中a =
，b =
3、当 m
时，函数y = (m - 2) x2 + 3x - 5（m 为常数）是关于 x 的二次函数
（或
2
），顶点坐标是
，当 x
时，y 随 x 的增大而增大，当 x
时，y 随 x 的增大而减小，当 x=
时，该函数有最
值是
；
2、对于函数 y 2x 2 下列说法：①当 x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大，y 的值也增大；
③y 随 x 的增大而减小；④图象关于 y 轴对称.其中正确的是
4、当m = _ _ _ _ 时，函数y = (m2 + )m xm2- 2m- 1 是关于 x 的二次函数
5、当 m = _ _ _ _ 时，函数 y = (m - 4) xm2- 5m+ 6 +3x 是关于 x 的二次函数
6、若点 A ( 2, m ) 在函数 y x 2 1 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.
1、抛物线 y 1 x 32 ，顶点坐标是
,当 x
2
最
值.
时,y 随 x 的增大而减小， 函数有
2、试写出抛物线 y 3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.
2
（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习(超全)
二次函数各知识点、考点、典型例题及对应练习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现.考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，244ac b a-）.例 1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x=与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标.考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2ba的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小.例2 已知2y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（ ）A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限考点3.二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到.例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（ ） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习一 1.对于抛物线y=13-x 2+103x 163-，下列说法正确的是（ ） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3）图1C.开口向下，顶点坐标为（-5，3）D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（ ） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0）3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________.4.小明从图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主.考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1 如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关系式为 （不要求写出自变量x 的取值范围）．考点2.根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式1.若已知抛物线上三点的坐标，则可用一般式：y=ax 2+bx+c （a ≠0）；2.若已知抛物线的顶点坐标或最大（小）值及抛物线上另一个点的坐标，则可用顶点式：y=a （x-h ）2+k （a ≠0）；3.若已知抛物线与x 轴的两个交点坐标及另一个点，则可用交点式：y=a （x-x 1）（x-x 2）（a ≠0）. 例2 已知抛物线的图象以A （-1，4）为顶点，且过点B （2，-5），求该抛物线的表达式.例3 已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8）. （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.图2ABCD图1菜园墙专项练习二1.由于世界金融危机的不断蔓延，世界经济受到严重冲击.为了盘活资金，减少损失，某电器商场决定对某种电视机连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数表达式为（ ）A.y=2a （x-1） B.y=2a （1-x ） C.y=a （1-x 2） D.y=a （1-x ）22.如图2，在平而直角坐标系xOy 中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点，点A 在x 轴负半轴，点B 在x 轴正半轴，与y 轴交于点C ，且tan ∠ACO=12，CO=BO ，AB=3，则这条抛物线的函数解析式是 ．3.对称轴平行于y 轴的抛物线与y 轴交于点（0，-2），且x=1时，y=3；x=-1时y=1， 求此抛物线的关系式.4.推理运算：二次函数的图象经过点(03)A -，，(23)B -，，(10)C -，． （1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少．．平移 个单位，使得该图象的顶点在原点． 专题三：二次函数与一元二次方程的关系本专题主要涉及根据二次函数的图象求一元二次方程的近似根，由图象判断一元二次方程根的情况，由一元二次方程根的情况判断抛物线与x 轴的交点个数等，题型主要填空题、选择题和解答题.考点1.根据二次函数的自变量与函数值的对应值，确定方程根的范围一元二次方程ax 2+bx+c=0就是二次函数y=ax 2+bx+c 当函数y 的值为0时的情况.例1 根据下列表格中二次函数y=ax 2+bx+c 的自变量x 与函数值y 的对应值，判断方程ax 2+bx+c=0（a ≠0,a,b,c,为常数）的一个解x 的范围是（ ）Ａ．6 6.17x <<Ｂ．6.17 6.18x << Ｃ．6.18 6.19x<<Ｄ．6.19 6.20x <<考点2.根据二次函数的图象确定所对应的一元二次方程的根.二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴的交点有三种情况：有两个交点、一个交点、没有交点；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有交点时，交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值，即一元二次方程ax 2+bx+c=0的根.例2 已知二次函数y=-x 2+3x+m 的部分图象如图1所示，则关于x 的一元二次方程-x 2+3x+m=0的解为________.图2图1考点3.抛物线的交点个数与一元二次方程的根的情况当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有两个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个不相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴有一个交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0有两个相等的实数根；当二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴没有交点时，则一元二次方程ax 2+bx+c=0没有实数根.反之亦然.例3 在平面直角坐标系中，抛物线21y x =-与x 轴的交点的个数是（ ） A.3B.2C.1D.0专项练习三1.抛物线y=kx 2-7x-7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是________.2.已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图2所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．3.已知函数2y ax bx c =++的图象如图3所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++= 的根的情况是（ ）A.无实数根B.有两个相等实数根C.有两个异号实数根D.有两个同号不等实数根4. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图4所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2）写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围．（4）若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．专题四：利用二次函数解决实际问题本专题主要涉及从实际问题中建立二次函数模型，根据二次函数的最值解决实际问题，能根据图象学习建立二次函数模型解决实际问题.解决实际问题的基本思路：（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们之间的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展等.例某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施.调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？专题训练四1.小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S（单位：平方米）随矩形一边长x（单位：米）的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？2.某旅行社有客房120间，每间客房的日租金为50元，每天都客满.旅社装修后要提高租金，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加5元时，则客房每天出租数就会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？3.一座拱桥的轮廓是抛物线型（如图1所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图2所示），求抛物线的解析式；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．x图1。
第二章二次函数复习课课课练及答案(pdf版)
复㊀习㊀课㊀开心预习梳理,轻松搞定基础.二次函数二次函数所描述的关系实际问题情境二次函数的定义用多种方式进行表示二次函数的图象㊀㊀㊀㊀㊀㊀y＝a x２,y＝a x２＋c,y＝a(x－h)２y＝a(x－h)２＋k,y＝a x２＋b x＋c二次函数的对称轴和顶点坐标公式用二次函数解决实际问题在实际问题中列函数表达式,函数求值的应用最大利润问题最大面积问题一元二次方程与二次函数一元二次方程与二次函数的关系利用二次函数的图象求一元二次方程的近似值㊀重难疑点,一网打尽.１．二次函数y＝－３x２＋６x＋９的图象的开口方向㊀㊀㊀㊀,它与y轴的交点坐标是㊀㊀㊀㊀．２．已知抛物线y＝－２(x＋１)２－３,如果y随x的增大而减小,那么x的取值范围是㊀㊀㊀㊀．３．将抛物线y＝x２向左平移４个单位后,再向下平移２个单位,则此时抛物线的解析式是㊀㊀㊀㊀．４．一个函数有下列性质:①它的图象不经过第四象限;②图象经过点(１,２);③当x＞１时,函数值y随自变量x的增大而增大．满足上述三条性质的二次函数的解析式可以是㊀㊀㊀㊀．(只要求写出一个)５．二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象如图所示,则一次函数y＝b x＋a的图象不经过(㊀㊀)．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限(第５题)㊀㊀㊀㊀(第６题)６．二次函数y ＝－x ２＋b x ＋c 的图象如图所示,下列几个结论:①对称轴为x ＝２;②当y ɤ０时,x ＜０或x ＞４;③函数解析式为y ＝－x (x －４);④当x ɤ０时,y 随x 的增大而增大．其中正确的结论有(㊀㊀)．A．①②③④B ．①②③C ．①③④D．①③７．已知抛物线y ＝４x ２－１１x －３．求:(１)它的对称轴;(２)它与x 轴,y 轴的交点坐标．８．已知抛物线y ＝a x ２＋６x －８与直线y ＝－３x 相交于点A (１,m )．(１)求抛物线的解析式;(２)请问(１)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y ＝a x２的图象?(第９题)㊀源于教材,宽于教材,举一反三显身手.９．如图所示,抛物线y ＝x ２＋b x ＋c 与x 轴交于A ㊁B 两点,与y 轴交于点C ,øO B C ＝４５ʎ,则下列各式成立的是(㊀㊀)．A．b －c －１＝０B ．b ＋c －１＝０C ．b －c ＋１＝０D．b ＋c ＋１＝０１０．定义[a ,b ,c ]为函数y ＝a x ２＋b x ＋c 的特征数,下面给出特征数为[２m ,１－m ,－１－m ]的函数的一些结论:①当m ＝－３时,函数图象的顶点坐标是１３,８３æèçöø÷;②当m ＞０时,函数图象截x 轴所得的线段长度大于３２;③当m ＜０时,函数在x ＞１４时,y 随x 的增大而减小;④当m ʂ０时,函数图象经过同一个点．其中正确的结论有(㊀㊀)．A．①②③④B ．①②④C ．①③④D．②④１１．现有A㊁B两枚均匀的小立方体(立方体的每个面上分别标有数字１,２,３,４,５,６)．用小莉掷A立方体朝上的数字为x㊁小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P(x,y),则他们各掷一次小立方体所确定的点P落在抛物线y＝－x２＋４x上的概率为(㊀㊀)．A．１１８B．１１２C．１９D．１６１２．二次函数y＝a x２＋b x＋c的图象如图所示,则一次函数y＝b x－a c与反比例函数y＝a－b＋cx在同一坐标系内的图象大致为(㊀㊀)．㊀(第１２题)１３．已知二次函数y＝－x２＋４x．(１)用配方法把该函数化为y＝a(x－h)２＋k(其中a,h,k都是常数且aʂ０)的形式,并指出函数图象的对称轴和顶点坐标;(２)求函数图象与x轴的交点坐标．１４．我区某工艺厂为迎接建国６０周年,设计了一款成本为２０元/件的工艺品投放市场进行试销．经过调查,其中工艺品的销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示关系．(１)请根据图象直接写出当销售单价定为３０元和４０元时相应的日销售量; (２)①试求出y与x之间的函数关系式;②若物价部门规定,该工艺品销售单价最高不能超过４５元/件,那么销售单价定为多少时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大?最大利润是多少?(利润＝销售总价－成本总价)(第１４题)ʑ㊀把抛物线y ＝－x ２＋６x －８向左平移３个单位长度得到y ＝－x ２＋１的图象,再把y ＝－x ２＋１的图象向下平移１个单位长度得到y ＝－x ２的图象．９．D ㊀１０．B ㊀１１．B ㊀１２．B １３．(１)y ＝－x２＋４x ＝－(x ２－４x ＋４－４)＝－(x －２)２＋４,所以对称轴为x ＝２,顶点坐标为(２,４);(２)y ＝０,－x ２＋４x ＝０,即x (x －４)＝０,所以x １＝０,x ２＝４,所以图象与x 轴的交点坐标为(０,０)与(４,０)．１４．(１)５００㊀４００(２)①y ＝－１０x ＋８００②销售价定为４５元/件时,工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大,最大利润为８７５０元．复㊀习㊀课１．向下㊀(０,９)㊀２．x ＞－１３．y ＝(x ＋４)２－２(或y ＝x ２＋８x ＋１４)４．y ＝(x －１)２＋２(答案不唯一)５．D ㊀６．C ７．(１)x ＝１１８(２)与x 轴的交点坐标为(３,０)㊁－１４,０(),与y 轴的交点坐标为(０,－３)８．(１)ȵ㊀点A (１,m )在直线y ＝－３x 上,ʑ㊀m ＝－３ˑ１＝－３．把x ＝１,y ＝－３代入y ＝a x ２＋６x －８,得a ＋６－８＝－３．求得a ＝－１．则抛物线的解析式是y ＝－x ２＋６x －８．(２)ȵ㊀y ＝－x２＋６x －８＝－(x －３)２＋１．ʑ㊀顶点坐标为(３,１)．。
二次函数复习基础练习题(含答案)(可编辑修改word版)
练习四 函数 y ax h2 的图象与性质
1、抛物线 y 1 x 32 ，顶点坐标是
,当 x
2
时,y 随 x 的增大而减小， 函数有最 值
2、试写出抛物线 y 3x 2 经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标.
2
（1）右移 2 个单位；（2）左移 个单位；（3）先左移 1 个单位，再右移 4 个单位.
10、已知二次函数 y ax 2 c(a 0), 当 x=1 时，y= -1；当 x=2 时，y=2，求该函数解析式.
11、富根老伯想利用一边长为 a 米的旧墙及可以围成 24 米长的旧木料，建造猪舍三间，如图，它们的平面图是一 排大小相等的长方形. （1） 如果设猪舍的宽 AB 为 x 米，则猪舍的总面积 S（米 2）与 x 有怎样的函数关
b 4、抛物线 y x 2 bx c 与 x 轴的正半轴交于点 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且线段 AB 的
9
长为 1，△ABC 的面积为 1，则 b 的值为______.
5、已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如图所示，则 a___0，b___0，c___0， b2 4ac ____0；
x (1 + x) ；③ y =
x2 (x2 + x)-
4；④ y =
1 x2
+
x
；
⑤ y = x (1- x) ，其中是二次函数的是
，其中a =
，b =
，c =
3、当 m
时，函数y = (m - 2) x2 + 3x - 5（m 为常数）是关于 x 的二次函数
4、当m = _ _ _ _ 时，函数y = (m2 + )m xm2- 2m- 1 是关于 x 的二次函数
初中数学《二次函数》知识点归纳及相关练习题
九上数学二次函数知识点归纳及相关练习题(一)定义：一般地，如果y =ax 2+bx +c (a ,b ,c 是常数，a ≠0)，那么y 叫做x 的二次函数.【名师推荐你做】1.判断下列函数是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项：（1）d =12n 2-32n ；（2）2y x =-；（3）y =1-x 2．2.判断①y =5x -4，②t =23x 2-6x ，③y =2x 3-8x 2+3，④y =38x 2-1，⑤y =2312x x-+是否为二次函数，如果是，指出其二次项系数、一次项系数和常数项．3.已知2(1)31k ky k x x +=-++是关于x 的二次函数，求k 的值．【答案与解析】1.【解析】（1）d =12n 2-32n 是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为12、32-、0；（2）2y x =-是一次函数，不是二次函数；（3）y =1-x 2是二次函数，二次项系数、一次项系数和常数项分别为-1、0、1．2.【解析】①y =5x -4，③y =2x 3-8x 2+3，⑤y =2312x x-+不符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x ，④y =38x 2-1符合二次函数解析式，②t =23x 2-6x 的二次项系数、一次项系数和常数项分别为23、-6、0，④y =38x 2-1的二次项系数、一次项系数和常数项分别为38、0、-1.3.【答案】-2．【解析】∵函数2(1)31k ky k xx +=-++是关于x 的二次函数，∴2102k k k -≠⎧⎨+⎩=，解得k =-2．（二）二次函数y =ax 2的性质(1)抛物线y =ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴.(2)函数y =ax 2的图像与a 的符号关系.①当a >0时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当a <0时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.(3)顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为y =ax 2（a ≠0）.【名师推荐你做】1.观察函数y =3x 2与y =-3x 2的图像，回答：抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及函数的单调性．【解析】（1）抛物线y =3x 2的开口方向是向上，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴上方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐上升，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐下降；二次函数y =-3x 2的开口方向是向下，对称轴是y 轴，顶点坐标是（0，0），当x ≠0时，抛物线上的点都在x 轴下方；当x ＞0时，曲线自左向右逐渐下降，当x ＜0时，曲线自左向右逐渐上升．（三）二次函数c bx ax y ++=2、k ax y +=2、()2h x a y -=、()kh x a y +-=2A.二次函数c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于(包括重合)y 轴的抛物线.B.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中a b ac k abh 4422-=-=，.C.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①y =ax 2；②y =ax 2+k ；③y =a (x -h )2；④y =a (x -h )2+k ；⑤y =ax 2+bx +c .【名师推荐你做】1.将抛物线y =-2x 2向右平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是（）A.y =-2(x -3)2-5B.y =-2(x +3)2-5C.y =-2(x +3)2+5D.y =-2(x-3)2+5【答案与解析】1.【答案】D【解析】由“左加右减”的原则将函数y =-2x 2的图象向右平移3个单位，所得二次函数的解析式为：y =-2(x -3)2；由“上加下减”的原则将函数y =-2(x-3)2的图象向上平移5个单位，所得二次函数的解析式为：D.y =-2(x -3)2+5．所以选D.（四）抛物线A.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.(1)a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 越大，抛物线的开口越小；a 越小，抛物线的开口越大。
新人教版九年级上册数学：《二次函数》基础练习含答案(5套)
时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．若y ＝mx 2＋nx －p (其中m ，n ，p 是常数)为二次函数，则( ) A ．m ，n ，p 均不为0 B ．m ≠0，且n ≠0 C ．m ≠0 D ．m ≠0，或p ≠02．当ab >0时，y ＝ax 2与y ＝ax ＋b 的图象大致是( )二、填空题(每小题4分，共8分)3．若y ＝x m －1＋2x 是二次函数，则m ＝________. 4．二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图J22-1-1，则k 的取值范围为________．图J22-1-1三、解答题(共11分) 5．在如图J22-1-2所示网格内建立恰当直角坐标系后，画出函数y ＝2x 2和y ＝－12x 2的图象，并根据图象回答下列问题(设小方格的边长为1)：图J22-1-2(1)说出这两个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标；(2)抛物线y ＝2x 2，当x ______时，抛物线上的点都在x 轴的上方，它的顶点是图象的最______点；(3)函数y ＝－12x 2，对于一切x 的值，总有函数y ______0；当x ______时，y 有最______值是______．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下列抛物线的顶点坐标为(0,1)的是( ) A ．y ＝x 2＋1 B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝(x ＋1)2 D ．y ＝(x －1)22．二次函数y ＝－x 2＋2x 的图象可能是( )二、填空题(每小题4分，共8分)3．抛物线y ＝x 2＋14的开口向________，对称轴是________．4．将二次函数y ＝2x 2＋6x ＋3化为y ＝a (x －h )2＋k 的形式是________． 三、解答题(共11分)5．已知二次函数y ＝－12x 2＋x ＋4.(1)确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； (2)当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？当x 取何值时，y 随x 的增大而减小？时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．已知二次函数的图象过(1,0)，(2,0)和(0,2)三点，则该函数的解析式是( ) A ．y ＝2x 2＋x ＋2 B ．y ＝x 2＋3x ＋2 C ．y ＝x 2－2x ＋3 D ．y ＝x 2－3x ＋22．若二次函数的图象的顶点坐标为(2，－1)，且抛物线过(0,3)，则二次函数的解析式是( )A ．y ＝－(x －2)2－1B ．y ＝－12(x －2)2－1C ．y ＝(x －2)2－1D ．y ＝12(x －2)2－1二、填空题(每小题4分，共8分) 3．如图J22-1-3，函数y ＝－(x －h )2＋k 的图象，则其解析式为____________．图J22-1-34．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14的顶点的横坐标是2，则m 的值是________．三、解答题(共11分)5．已知当x ＝1时，二次函数有最大值5，且图象过点(0，－3)，求此函数关系式．时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．下表是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的自变量x 的值与函数y 的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解的范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6.20y ＝ax 2＋bx ＋c－0.03－0.010.020.04A.6<x <6.17 B ．6.17<x <6.18C ．6.18<x <6.19D ．6.19<x <6.202．二次函数y ＝2x 2＋3x －9的图象与x 轴交点的横坐标是( ) A.32和3 B.32和－3 C ．－32和2 D ．－32和－2二、填空题(每小题4分，共8分)3．已知抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的交点为(m,0)，则代数式m 2－m ＋2 011的值为__________．4．如图J22-2-1是抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，则由图象可知，不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是________．图J22-2-1三、解答题(共11分) 5．如图J22-2-2，直线y ＝x ＋m 和抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 都经过点A (1,0)，B (3,2)． (1)求m 的值和抛物线的关系式；(2)求不等式x 2＋bx ＋c >x ＋m 的解集(直接写出答案)．图J22-2-2时间：10分钟 满分：25分一、选择题(每小题3分，共6分)1．在半径为4 cm 的圆中，挖去一个半径为x cm 的圆，剩下一个圆环的面积为y cm 2，则y 与x 的函数关系为( )A ．y ＝πx 2－4B ．y ＝π(2－x )2C ．y ＝－(x 2＋4)D ．y ＝－πx 2＋16π2．已知某种礼炮的升空高度h (m)与飞行时间t (s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1.若此礼炮在升空到最高处时引爆，则引爆需要的时间为( )A ．3 sB ．4 sC ．5 sD ．6 s 二、填空题(每小题4分，共8分) 3．出售某种手工艺品，若每个获利x 元，一天可售出(8－x )个，则当x ＝________元，一天出售该种手工艺品的总利润y 最大．4．如图J22-3-1，某省大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距地面4 m 的高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6 m ，则校门的高度为(精确到0.1 m ，水泥建筑物厚度忽略不计)________．图J22-3-1三、解答题(共11分)5．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一个点)的路线是抛物线y ＝－35x 2＋3x ＋1的一部分，如图J22-3-2.(1)求演员弹跳离地面的最大高度；(2)已知人梯高BC ＝3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点A 的水平距离是4米，问这次表演是否成功？说明理由．图J22-3-2基础知识反馈卡·22.1.11．C 2.D 3.3 4.k >－1 5．解：图略．(1)函数y ＝2x 2的图象开口向上，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．函数y ＝－12x 2的图象开口向下，对称轴为y 轴，顶点坐标为(0,0)．(2)≠0 低(3)≤ ＝0 大 0 基础知识反馈卡·22.1.2 1．A 2.B3．上 y 轴 4.y ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋322－32 5．解：(1)将二次函数y ＝－12x 2＋x ＋4配方，得y ＝－12(x －1)2＋92.所以抛物线的开口向下，顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，92，对称轴为x ＝1. (2)当x >1时，y 随x 的增大而减小；当x <1时，y 随x 的增大而增大．基础知识反馈卡·*22.1.31.D2.C3.y ＝－(x ＋1)2＋54.－35．解：由题意可设函数关系式为y ＝a (x －1)2＋5，∵图象过点(0，－3)，∴a (0－1)2＋5＝－3，解得a ＝－8.∴y ＝－8(x －1)2＋5，即y ＝－8x 2＋16x －3.基础知识反馈卡·22.21．C 2.B 3.2 012 4.－2<x <35．解：(1)∵直线y ＝x ＋m 经过点A (1,0)，∴0＝1＋m .∴m ＝－1. 即m 的值为－1.∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A (1,0)，B (3,2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝1＋b ＋c ，2＝9＋3b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－3，c ＝2. ∴二次函数的关系式为y ＝x 2－3x ＋2. (2){x |x <1或x >3}． 基础知识反馈卡·22.3 1．D 2.B 3.4 4.9.1 m5．解：(1)y ＝－35x 2＋3x ＋1＝－35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋194.故函数的最大值是194，∴演员弹跳离地面的最大高度是194米．(2)当x ＝4时，y ＝－35×42＋3×4＋1＝3.4＝BC .∴这次表演成功．基础知识反馈卡·23.1 1．D 2.A3．∠D∠E DE DC 4．C顺时针90 5．解：(1)旋转中心是点B.(2)旋转了90度．(3)AC与EF垂直且相等．。
二次函数基础题(含答案)
姓名____＿_ 日期_____＿ 指导教师____＿__练习一 二次函数1、t(秒）的数据如下表：时间t （秒） １ 2 3 4 … 距离s （米）2８1832…写出用t 表示s 的函数关系式. 2、 下列函数：① 23y x ;② 21yx x x ;③ 224y x x x ;④ 21yx x ;⑤ 1y x x ,其中是二次函数的是 ，其中a,b ，c３、当m 时，函数2235y m x x （m 为常数）是关于x 的二次函数4、当____m 时，函数2221m m y mm x是关于x 的二次函数5、当____m时,函数2564mm ymx +3x 是关于x 的二次函数6、若点 A ( 2, m ） 在函数 12-=x y 的图像上，则 A 点的坐标是＿＿＿＿.7、在圆的面积公式 S=πｒ2 中,s 与 ｒ 的关系是（ )A 、一次函数关系B 、正比例函数关系C 、反比例函数关系 Ｄ、二次函数关系８、正方形铁片边长为15ｃm,在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子. (1)求盒子的表面积Ｓ(ｃｍ2）与小正方形边长x （c ｍ）之间的函数关系式; （２)当小正方形边长为3cm 时,求盒子的表面积．9、如图，矩形的长是 ４c ｍ,宽是 3cm,如果将长和宽都增加 x c ｍ，那么面积增加 y ｃｍ２， ① 求 ｙ 与 x 之间的函数关系式． ② 求当边长增加多少时,面积增加 ８cm 2．1０、已知二次函数),0(2≠+=a c ax y 当x ＝１时，y ＝ -1;当x=2时,y=2，求该函数解析式．11、富根老伯想利用一边长为a 米的旧墙及可以围成24米长的旧木料，建造猪舍三间,如图,它们的平面图是一排大小相等的长方形．（1） 如果设猪舍的宽AB 为ｘ米,则猪舍的总面积Ｓ（米2）与ｘ有怎样的函数关系?（2） 请你帮富根老伯计算一下，如果猪舍的总面积为3２米2，应该如何安排猪舍的长B Ｃ和宽A Ｂ的长度？旧墙的长度是否会对猪舍的长度有影响？怎样影响？练习二 函数2ax y =的图象与性质１、填空:(１）抛物线221x y =的对称轴是 (或 ),顶点坐标是 ,当x 时，y 随x 的增大而增大，当x 时,ｙ随x 的增大而减小,当x ＝ 时，该函数有最 值是 ； （2）抛物线221x y -=的对称轴是 （或 ），顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大，当x 时，y 随x 的增大而减小,当x ＝ 时，该函数有最 值是 ；2、对于函数22x y =下列说法：①当x 取任何实数时，y 的值总是正的；②x 的值增大,y 的值也增大；③y 随ｘ的增大而减小；④图象关于y 轴对称.其中正确的是 . 3、抛物线 y ＝-ｘ2 不具有的性质是（ ）A 、开口向下ﻩB 、对称轴是 y 轴C 、与 y 轴不相交 Ｄ、最高点是原点4、苹果熟了,从树上落下所经过的路程 s 与下落时间 t 满足 Ｓ＝12ｇt 2(ｇ=9.８),则 ｓ 与 t 的函数图像大致是( )A B C D５、函数2ax y =与b ax y +-=的图象可能是（ ）A.B. C. D.6、已知函数24mm y mx 的图象是开口向下的抛物线,求m 的值.7、二次函数12-=m mx y 在其图象对称轴的左侧,y 随x 的增大而增大，求ｍ的值.８、二次函数223x y -=，当x 1>x ２>0时，求ｙ１与y 2的大小关系.9、已知函数()422-++=m mx m y 是关于x 的二次函数,求:（1） 满足条件的ｍ的值;（2） m 为何值时,抛物线有最低点？求出这个最低点,这时x 为何值时，y 随x 的增大而增大； （3） m 为何值时,抛物线有最大值？最大值是多少？当ｘ为何值时，y 随x 的增大而减小?1０、如果抛物线2y ax 与直线1y x 交于点,2b ，求这条抛物线所对应的二次函数的关系式．s t O st O stOs t O练习三 函数c ax y +=2的图象与性质1、抛物线322--=x y 的开口 ,对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时， y 随x 的增大而增大, 当x 时， y 随ｘ的增大而减小． 2、将抛物线231x y =向下平移2个单位得到的抛物线的解析式为 ,再向上平移3个单位得到的抛物线的解析式为 ,并分别写出这两个函数的顶点坐标 、 ．3、任给一些不同的实数k ，得到不同的抛物线k x y +=2,当ｋ取0,1±时，关于这些抛物线有以下判断:①开口方向都相同；②对称轴都相同;③形状相同；④都有最底点.其中判断正确的是 .４、将抛物线122-=x y 向上平移４个单位后，所得的抛物线是 ，当x= 时，该抛物线有最（填大或小)值,是 ．５、已知函数2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m=＿＿＿___＿_；６、二次函数c ax y +=2()0≠a 中,若当ｘ取x １、x 2(x 1≠ｘ2）时，函数值相等,则当x 取x １＋ｘ2时,函数值等于 .练习四 函数()2h x a y -=的图象与性质1、抛物线()2321--=x y ,顶点坐标是 ,当x 时,ｙ随ｘ的增大而减小, 函数有 最 值 .2、试写出抛物线23x y =经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标. (1)右移2个单位;(2）左移32个单位;（3)先左移1个单位,再右移4个单位.３、请你写出函数()21+=x y 和12+=x y 具有的共同性质（至少2个).4、二次函数()2h x a y -=的图象如图:已知21=a ，OA=O Ｃ，试求该抛物线的解析式.5、抛物线2)3(3-=x y 与x 轴交点为Ａ，与y 轴交点为B,求A 、B 两点坐标及⊿ＡＯＢ的面积.6、二次函数2)4(-=x a y ，当自变量x 由0增加到2时,函数值增加6.(1)求出此函数关系式.(2）说明函数值y 随x 值的变化情况.７、已知抛物线9)2(2++-=x k x y 的顶点在坐标轴上,求k 的值.练习五 ()k h x a y +-=2的图象与性质１、请写出一个二次函数以(2, 3）为顶点，且开口向上.__＿＿_＿＿＿＿__＿. 2、二次函数 y=(x －１)２+２,当 x ＝__＿＿时,y 有最小值.3、函数 y ＝12(x-1)2+3，当 x ＿＿_＿时，函数值 y 随 x 的增大而增大.４、函数y=21(x+3)2-2的图象可由函数y=21x 2的图象向 平移3个单位，再向 平移2个单位得到．5、 已知抛物线的顶点坐标为2,1，且抛物线过点3,0,则抛物线的关系式是6、 如图所示，抛物线顶点坐标是P （１，3）,则函数ｙ随自变量x 的增大而减小的ｘ的取值范围是( )A 、ｘ＞3 Ｂ、ｘ＜3 C 、x>１ D 、x<１ 7、已知函数()9232+--=x y .（1） 确定下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 当x= 时，抛物线有最 值，是 .（3） 当x 时,ｙ随x 的增大而增大;当x 时，y 随x 的增大而减小． （4） 求出该抛物线与ｘ轴的交点坐标及两交点间距离; （5） 求出该抛物线与y 轴的交点坐标;（6） 该函数图象可由23x y -=的图象经过怎样的平移得到的?8、已知函数()412-+=x y .（1） 指出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2） 若图象与x 轴的交点为Ａ、B 和与y 轴的交点C ，求△ＡBC 的面积; （3） 指出该函数的最值和增减性;（4） 若将该抛物线先向右平移２个单位，在向上平移4个单位，求得到的抛物线的解析式; （5） 该抛物线经过怎样的平移能经过原点.（6） 画出该函数图象，并根据图象回答:当x 取何值时,函数值大于0；当ｘ取何值时,函数值小于０.练习六 c bx ax y ++=2的图象和性质1、抛物线942++=x x y的对称轴是 .２、抛物线251222+-=x x y 的开口方向是 ，顶点坐标是 .3、试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=－2，且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式 . ４、将 ｙ＝x 2-2x+3 化成 y=a (x －ｈ）2+k 的形式,则 y ＝_＿__． ５、把二次函数215322yx x的图象向上平移3个单位,再向右平移4个单位,则两次平移后的函数图象的关系式是6、抛物线1662--=x x y 与x 轴交点的坐标为__＿_＿____; 7、函数x x y +-=22有最____值,最值为_＿_____；8、二次函数c bx x y ++=2的图象沿x 轴向左平移2个单位,再沿y 轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为122+-=x x y ，则ｂ与c 分别等于（ )Ａ、6,4 B 、－8，１４ C 、-６,6 D 、－８,-1４ 9、二次函数122--=x x y 的图象在x 轴上截得的线段长为( ） A 、22 Ｂ、23 C 、32 D 、3310、通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1)12212+-=x x y ; (2）2832-+-=x x y ; （３）4412-+-=x x y 1１、把抛物线1422++-=x x y 沿坐标轴先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，问所得的抛物线有没有最大值,若有，求出该最大值；若没有，说明理由.12、求二次函数62+--=x x y 的图象与x 轴和ｙ轴的交点坐标13、已知一次函数的图象过抛物线223y x x 的顶点和坐标原点1） 求一次函数的关系式; 2） 判断点2,5是否在这个一次函数的图象上14、某商场以每台2５00元进口一批彩电．如每台售价定为２７００元,可卖出400台，以每10０元为一个价格单位，若将每台提高一个单位价格，则会少卖出5０台,那么每台定价为多少元即可获得最大利润?最大利润是多少元？练习七 c bx ax y ++=2的性质 1、函数2yx px q 的图象是以3,2为顶点的一条抛物线,这个二次函数的表达式为 ２、二次函数2224y mx x mm 的图象经过原点，则此抛物线的顶点坐标是３、如果抛物线2yax bxc 与y 轴交于点A (0,2),它的对称轴是1x ,那么ac b4、抛物线c bx x y ++=2与x 轴的正半轴交于点A 、B 两点,与y 轴交于点Ｃ,且线段AB 的长为1，△ABC 的面积为1,则b 的值为＿_____.５、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示， 则a ＿__0,ｂ__＿0，c___0,ac b 42-＿__＿0；6、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图,则直线bc ax y += 的图象不经过第 象限.7、已知二次函数2yax bx c （0≠a ）的图象如图所示,则下列结论:１）,a b 同号;2）当1x和3x 时,函数值相同;3）40a b ；4)当2y 时,x 的值只能为0；其中正确的是８、已知二次函数2224m mx x y +--=与反比例函数xm y 42+=的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是－2,则ｍ＝ ９、二次函数2yx ax b 中，若0a b ,则它的图象必经过点( )A 1,1B 1,1C 1,1 D1,110、函数b ax y +=与c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列选项中正确的是（ )A 、0,0>>c abB 、0,0><c ab Ｃ、0,0<>c ab Ｄ、0,0<<c ab1１、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则函数b ax y +=的图象是（ ）１２、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图，那么ａbc 、2a+b 、a ＋b ＋ｃ、a-b+c 这四个代数式中,值为正数的有( ） A.4个 Ｂ.3个 C.２个 D ．1个13、抛物线的图角如图，则下列结论: ①＞0；②；③＞;④＜1.其中正确的结论是（ ）.(A ）①② (B)②③ （C)②④ (D ）③④１4、二次函数2y ax bx c 的最大值是3a ，且它的图象经过1,2,1,6两点,求a 、b 、c15、试求抛物线2y ax bx c 与x 轴两个交点间的距离（240b ac )练习八 二次函数解析式1、抛物线y=ａx ２+bx+ｃ经过A(-1,0）, B(３,0), Ｃ(0，１）三点，则a ＝ , b= , c=2、把抛物线y ＝x ２+2x-３向左平移3个单位,然后向下平移2个单位，则所得的抛物线的解析式为 . 3、 二次函数有最小值为1,当0x时，1y ，它的图象的对称轴为1x ，则函数的关系式为 4、根据条件求二次函数的解析式 (1）抛物线过(-１,-6）、（1,-２)和（2,3）三点（2)抛物线的顶点坐标为(-1，-1)，且与y 轴交点的纵坐标为-3 (3）抛物线过（-1,0）,(3,0）,（１，-5）三点;（4）抛物线在ｘ轴上截得的线段长为4，且顶点坐标是（３，－2)；5、已知二次函数的图象经过1,1、2,1两点,且与x 轴仅有一个交点，求二次函数的解析式6、抛物线y=a ｘ2＋bx ＋c 过点(０，-1)与点（3,2）,顶点在直线y ＝3x-３上,a<0,求此二次函数的解析式.7、已知二次函数的图象与x 轴交于A(-2，0）、B(３,0)两点，且函数有最大值是２. （1） 求二次函数的图象的解析式；（2） 设次二次函数的顶点为P ，求△ABP 的面积.８、以x 为自变量的函数)34()12(22-+-++-=m m x m x y 中，m 为不小于零的整数，它的图象与x 轴交于点A 和B ，点A 在原点左边,点B 在原点右边．（１)求这个二次函数的解析式;(2）一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过点A ，与这个二次函数的图象交于点C ，且ABC S ∆=１0,求这个一次函数的解析式.姓名＿_____ 日期_____＿＿ 指导教师__＿＿＿_＿练习九 二次函数与方程和不等式１、已知二次函数772--=x kx y 与x 轴有交点,则k 的取值范围是 .２、关于x 的一元二次方程02=--n x x 没有实数根，则抛物线n x x y --=2的顶点在第_＿__＿象限；3、抛物线222++-=kx x y 与x 轴交点的个数为( ) A 、０ B 、1 C 、２ D 、以上都不对4、二次函数c bx ax y ++=2对于x 的任何值都恒为负值的条件是( )A 、0,0>∆>aB 、0,0<∆>aC 、0,0>∆<a Ｄ、0,0<∆<a 5、12++=kx x y 与k x x y --=2的图象相交,若有一个交点在x 轴上,则k 为( ) A 、0 B 、-１ C 、２ D 、416、若方程02=++c bx ax 的两个根是－３和1,那么二次函数c bx ax y ++=2的图象的对称轴是直线( )Ａ、x ＝－3 B 、x ＝-2 C 、x ＝-１ D 、x ＝1 7、已知二次函数2y x px q 的图象与x 轴只有一个公共点，坐标为1,0，求,p q 的值8、画出二次函数322--=x x y 的图象，并利用图象求方程0322=--x x 的解，说明ｘ在什么范围时0322≤--x x .9、如图：（1） 求该抛物线的解析式；（2） 根据图象回答：当x 为何范围时,该函数值大于0.1０、二次函数c bx ax y ++=2的图象过Ａ(－3,０),Ｂ(１，0）,Ｃ(0,3),点D 在函数图象上,点C 、D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B 、D,求（１)一次函数和二次函数的解析式,(2）写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围.1１、已知抛物线22yx mx m ．（1)求证此抛物线与x 轴有两个不同的交点； （2)若m 是整数,抛物线22yx mx m 与x 轴交于整数点,求m 的值;（3)在(２）的条件下，设抛物线顶点为A,抛物线与x 轴的两个交点中右侧交点为B ． 若M 为坐标轴上一点，且MA=MB ，求点Ｍ的坐标．练习十 二次函数解决实际问题 1、某农场种植一种蔬菜,销售员张平根据往年的销售情况，对今年种蔬菜的销售价格进行了预测，预测情况如图,图中的抛物线表示这种蔬菜销售价与月份之间的关系.观察图像,你能得到关于这种蔬菜销售情况的哪些信息?（至少写出四条)2、某企业投资１00万元引进一条农产品生产线，预计投产后每年可创收3３万元,设生产线投产后，从第一年到第 ｘ 年维修、保养费累计．．为 y （万元),且 y=ax ２＋bx ，若第一年的维修、保养费为 ２ 万元，第二年的为 4 万元.求：y 的解析式.3、校运会上,小明参加铅球比赛,若某次试掷,铅球飞行的高度 y (m) 与水平距离 x (m) 之间的函数关系式为 ｙ＝-112x 2+23ｘ＋53,求小明这次试掷的成绩及铅球的出手时的高度．4、用 6m 长的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，应做成长、宽各为多少时，才能使做成的窗框的透光面积最大?最大透光面积是多少？3.5 0.5 0 2 7 月份 千克销售价(元)5、商场销售一批衬衫，每天可售出2０件,每件盈利４0元,为了扩大销售,减少库存，决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果一件衬衫每降价 1 元，每天可多售出2 件.①设每件降价x 元,每天盈利ｙ元,列出ｙ与x 之间的函数关系式；②若商场每天要盈利1200 元,每件应降价多少元？③每件降价多少元时,商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？6、有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为１0ｍ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中.①求这条抛物线所对应的函数关系式.②如图,在对称轴右边1m 处，桥洞离水面的高是多少?7、有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为2０m,拱顶距离水面4ｍ.（１)在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式.(2）在正常水位的基础上,当水位上升h（ｍ)时,桥下水面的宽度为d（m),试求出用d表示h的函数关系式;(3）设正常水位时桥下的水深为２m,为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于１8m,求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行？8、某一隧道内设双行线公路,其截面由一长方形和一抛物线构成,如图所示，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.５ｍ,若行车道总宽度AB为6m,请计算车辆经过隧道时的限制高度是多少米？(精确到0.1ｍ)．ﻬ参考答案1:1、22ts=;2、⑤,-1,1,0;3、≠２，3，1;6、(2,3）;7、D；8、),2150(2254S2<<+-=xx1８9;9、xxy72+=,1;１０、22-=xy；1１、,244S2xx+-=当a<８时，无解,168<≤a时，AB＝４,ＢＣ=8，当16≥a时,AB=4,BC=8或ＡB＝2，BC=1６.参考答案２:1、（１）x=0,y轴,(0,0），>0，，＜0,０，小，0; （2)ｘ=０,ｙ轴，（０，０),<，>, 0,大,0;2、④;3、C;4、Ａ；5、Ｂ；6、-2；７、3-;８、021<<yy;9、（1）２或-3,(2）m＝2、y=0、x>0,(３）m=-３，y＝０,x＞0；10、292xy=参考答案3:1、下,x=0,(0，-3)，<0,>0；2、2312-=xy,1312+=xy，（0,-2），（０，１);3、①②③;4、322+=xy，0，小，3;5、1;6、c．参考答案4：1、(3,０),>3,大,y＝０;2、2)2(3-=xy,2)32(3-=xy,2)3(3-=xy;3、略；4、2)2(21-=xy;5、（3,0），（0,2７)，40．5；6、2)4(21--=xy，当x<4时,y随x的增大而增大，当ｘ>4时，y随x的增大而减小;7、-8，-2,4. 参考答案５:1、略；2、1；3、>1；4、左、下；5、342-+-=xxy；6、C；7、(１）下，x=2,（2,9),（２）2、大、9,（３)<2、>2,(4)( 32-,0)、( 32+,0）、32,（５)（０，-3）；（6）向右平移2个单位,再向上平移9个单位；8、(1)上、x=-1、(－1，－4)；(2）（－3，0）、(1，０)、(０,－3）、6,(3)-４,当x>-1 时,y随ｘ的增大而增大;当x<-１时，ｙ随x的增大而减小，（４)2)1(-=xy；（5)向右平移1个单位，再向上平移4个单位或向上平移3个单位或向左平移1个单位;（６）ｘ>1或x<-３、-3<x<1参考答案６:1、x=－2;2、上、（３,7）；3、略；4、2)1(2+-x ；５、5)1(212+--=x y ;6、(－2，0）（8,0);７、大、81;8、C ；9、Ａ；10、(1)1)2(212--=x y 、上、x=２、(2，－1),（2)310)34(32+--=x y、下、34=x 、(310,34）,(３）3)2(412---=x y 、下、x ＝2、（2,－3）；11、有、ｙ=6;1２、(2，0）（-3，0）（0,６);13、y=-2ｘ、否;１4、定价为3000元时，可获最大利润125００0元参考答案7：１、1162+-=x x y ；2、（-4,-4）;3、1;4、-3；5、>、＜、＞、＞;6、二；7、②③;8、-7；9、C;１0、D;11、Ｂ；12、C ；１3、B;1４、4422++-=x x y ；15、aac b 42-参考答案8：1、31-、32、1;２、1082++=x x y ；3、1422+-=x x y ；４、（1)522-+=x x y 、(2）3422---=x x y 、（3）41525452--=x x y 、（4)253212+-=x x y ;5、9194942+-=x x y ；6、142-+-=x x y ;7、（1)25482582582++-=x x y 、5;8、322++-=x x y 、y=－x-1或ｙ＝5ｘ＋５参考答案９：1、47-≥k 且0≠k ；2、一；3、C ；4、Ｄ;5、C;6、C;7、2,1;8、31,3,121≤≤-=-=x x x ；9、(1)x x y 22-=、x<0或x>２;１0、ｙ＝-x+1,322+--=x x y ，x ＜-2或ｘ>1;11、(1）略,(2）ｍ=2,(3)（１,0）或（0,１)参考答案10：１、①2月份每千克3.５元 ②7月份每千克0．5克 ③7月份的售价最低 ④2～7月份售价下跌;2、y ＝x ２＋x ；３、成绩1０米，出手高度35米;4、23)1(232+--=x S ,当x ＝１时，透光面积最大为23m 2；５、（1)y ＝（40－x) (２0＋２ｘ)=－2x 2＋60ｘ+800,(2）1200＝－2ｘ２+60x+８0０,x １＝20，x 2＝10 ∵要扩大销售 ∴x 取２0元,（3）ｙ＝-２ （x 2－３0x)＋80０＝－2 (x-15)2＋12５0 ∴当每件降价1５元时，盈利最大为1250元；6、（１）设y ＝a (x-5)2+4，0=a (-5）2＋4,ａ=-254，∴y=－254 （x-5）2+４,（２)当x=6时,y ＝－254+4=3.4（m ）；７、（1)2251x y -=,（2）h d -=410，（３）当水深超过 2.７６ｍ时；8、)64(6412≤≤-+-=x x y ,x =3,m y 75.3496=-=,m 2.325.35.075.3≈=-,货车限高为3.2m.。
《二次函数》基础训练(含答案)(最新整理)
3=16+4b+c
b= 4
∴ 0=9+3b+c ，解得 c=3 。
（2）∵该二次函数为 y=x2 4x+3= x 22 1。
∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，－1），对称轴为 x=1。
18、（1）根据题意，y=（60-50+x）(200-10x), 整理得，y=10x2+100x+2000(0<x≤12)； (2)由(1)得 y=-10x2+100x+2000 =－10（x-5）2＋2250， 当 x=5 时，最大月利润 y 为 2250 元。
y1，y2，y3 的大小关系是（
）
A.y1＜y2＜y3
B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2
D.y1＜y3
6.由二次函数 y 2(x ) 2 1 ，可知（ ）
A．其图象的开口向下
B．其图象的对称轴为直线 x 3
C．其最小值为 1
D．当 x 3 时，y 随 x 的增大而增大
7.二次函数 y x2 2x 3 的图象如图所示．当 y＜0 时，自变量 x 的取值范围是（ ）．
所以，点 P 的坐标为（-2+2 2 ，-4）或（-2-2 2 ，-4），
综上所述，点 P 的坐标是：（-2，4）、（-2+2 2 ，-4）、（-2-2 2 ，-4）
y x=2
22.
解：（1）根据题意，得
0
5
a
a
(1)2 4 (1) 02 4 0 c.
c,
解得
a 1, c 5.
)
A.先向左平移 2 个单位,再向上平移 3 个单位
B.先向左平移 2 个单位,再向下平移 3 个单位
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2(附答案详解)
初中数学二次函数的图象与性质基础练习题2（附答案详解） 1．二次函数y=(x-2)2+1的对称轴表达式是 A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x=-12．设A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(0，y 3)是抛物线y ＝(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( ) A ．y 1＞y 2＞y 3 B ．y 1＞y 3＞y 2 C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 23．已知二次函数y=ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，给出以下结论：①abc＜0；②2a +b=0；③当x=﹣1或x=3时，函数y 的值都等于0；④4a +2b +c ＞0，其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．将抛物线y=﹣（x+1）2+3向右平移2个单位后得到的新抛物线的表达式为（ ） A ．y=﹣（x+1）2+1B ．y=﹣（x ﹣1）2+3C ．y=﹣（x+1）2+5D ．y=﹣（x+3）2+35．已知点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭在函数23612y x x =++的图象上，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．213y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>6．如图，在平面直角坐标系中，A （1，2），B （1，﹣1），C （2，2），抛物线y=ax 2（a≠0）经过△ABC 区域（包括边界），则a 的取值范围是（ ）A ．a≤﹣1或a≥2B ．12≤a≤2 C ．﹣1≤a ＜0或1＜a≤2D ．﹣1≤a ＜0或0＜a≤27．如图，抛物线的顶点坐标为P (2，5)，则函数y 随x 的增大而减小时x 的取值范围为( )A ．x ＞2B ．x ＜2C ．x ＞6D ．x ＜68．函数2122y x x =-++有最值为（ ） A ．最大值32B ．最小值32C ．最大值12-D ．最小值12-9．在同一直角坐标系中，函数y=2x +3与y=mx(0)m ≠的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ．10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象所示，对称轴为x ＝1，给出下列结论：①abc ＞0；②当x ＞2时，y ＞0；③3a ＋c ＞0；④3a+b＞0．其中正确的结论有（ ）A ．①②B ．①④C ．①③④D ．②③④11．将二次函数y ＝x 2的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的新图象的函数表达式是____．12．将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m 的值是_____． 13．二次函数2y 2x 4x 1=--的图象是由2y 2x bx c =++的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b =________，c =________． 14．抛物线2(1)y x =-的顶点坐标是__________．15．一条抛物线的顶点是A （2，1），且经过点B （1，0），则该抛物线的函数表达式是_____．16．二次函数222y x x -=-，当x ________时，y 有________值，这个值为________；当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小． 17．已知函数y=﹣2x 2+x ﹣4，当x________时，y 随x 增大而减少．18．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．19．如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()1,2-且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中121x -<<-，201x <<，下列结论：①0b <；②0a b c ++<；③420a b c -+<；④20a b -<，其中正确的有________．（填代号）20．将抛物线y ＝﹣5x 2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：_____21．观察表格：根据表格解答下列问题：(l) a ＝______，b ＝_____，c ＝_____；(2) 在下图的直角坐标系中画出函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，并根据图象，直接写出当x 取什么实数时，不等式ax 2＋bx ＋c > －3成立；（3）该图象与x 轴两交点从左到右依次分别为A 、B ，与y 轴交点为C ，求过这三个点的外接圆的半径．22．如图，顶点为C 的抛物线y=ax 2+bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，连接OC 、OA 、AB ，已知OA=OB=2，∠AOB=120°． （1）求这条抛物线的表达式；（2）过点C作CE⊥OB，垂足为E，点P为y轴上的动点，若以O、C、P为顶点的三角形与△AOE相似，求点P的坐标；（3）若将（2）的线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜120°），连接E′A、E′B，求E′A+12E′B的最小值．23．当行驶中的汽车撞到物体时，汽车的损坏程度通常用“撞击影响”来衡量．汽车的撞击影响I可以用汽车行驶速度v(km/min)来表示，下表是某种型号汽车的行驶速度与撞击影响的试验数据：v(km/min) 0 1 2 3 4I 0 2 8 18 32(1)请根据上表中的数据，在直角坐标系中描出坐标(v，I)所对应的点，并用光滑曲线将各点连接起来；(2)填写下表，并根据表中数据的呈现规律，猜想用v表示I的二次函数表达式；v(km/min) 1 2 3 42 v I 12121212(3)当汽车的速度分别是1.5 km/min，2.5 km/min，4.5 km/min时，利用你得到的撞击影响公式，计算撞击影响分别是多少？24．二次函数2y ax bx c =++的图象过()3,0A -，()1,0B ，()0,3C ，点D 在函数图象上，点C ，D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数图象过点B ，D ，求：()1一次函数和二次函数的解析式；() 2写出使一次函数值大于二次函数值的x 的取值范围．25．已知抛物线2y ax bx c =++与y 轴交于点()0,3a ，对称轴为1x =．()1试用含a 的代数式表示b 、c ．()2当抛物线与直线1y x =-交于点()2,1时，求此抛物线的解析式． ()3求当()6b c +取得最大值时的抛物线的顶点坐标．26．如图，已知抛物线y=ax 2+32x+4的对称轴是直线x=3，且与轴相交于A 、B 两点（B 点在A 点的右侧），与轴交于C 点．（1）A 点的坐标是 ；B 点坐标是 ； （2）直线BC 的解析式是： ；（3）点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合），是否存在点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积，若不存在，试说明理由； （4）若点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，以A 、C 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点M 点坐标．27．如图，抛物线y=ax 2+c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上，其中A （﹣2，0），B （﹣1，﹣3）． （1）求抛物线的解析式；（2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标．28．己知二次函数221y x x =--.(1)写出其顶点坐标为 ，对称轴为 ; (2)在右边平面直角坐标系内画出该函数图像; (3)根据图像写出满足2y >的x 的取值范围 .参考答案1．A 【解析】 【分析】根据二次函数2()y a x b c =-+的对称轴是直线x=b,顶点坐标分别为 (b, c) 判断即可. 【详解】解：二次函数y=(x-2)2+1的对称轴为直线x=2, 故选:A. 【点睛】本题主要考查二次函数的性质. 2．A 【解析】 【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A 的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y 值的大小． 【详解】∵函数的解析式是y=-（x+1）2+a ， ∴对称轴是x=-1，∴点A 关于对称轴的点A′是（-2，y 1），那么点A′、B 、C 都在对称轴的左边，而对称轴左边y 随x 的增大而减小， 于是y 1＞y 2＞y 3． 故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，解题的关键是能画出二次函数的大致图象，据图判断． 3．D 【解析】根据函数图象，我们可以得到以下信息：a ＜0，c ＞0，对称轴x=1，b ＞0，与x 轴交于（﹣1，0）（3，0）两点．①abc ＜0，正确； ②∵对称轴x=﹣2ba=1时， ∴2a+b=0，正确；③当x=﹣1或x=3时，函数y 的值都等于0，正确； ④当x=2时，y=4a+2b+c ＞0，正确； 故选D ． 4．B 【解析】解：∵将抛物线y =﹣（x +1）2+3向右平移2个单位，∴新抛物线的表达式为y =﹣（x +1﹣2）2+3=﹣（x ﹣1）2+3．故选B ． 5．C 【解析】 【分析】)把点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭代入2361y x x =++,求出1y ，2y ，3y 的值,比较即可得到大小关系. 【详解】把点()11,y -、213,2y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、31,2y ⎛⎫⎪⎝⎭代入23612y x x =++得， y 1=9，y 2=3274，y 3=3154, ∴1y ，2y ，3y 的大小关系为23y y >>1y . 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上的点的坐标满足二次函数解析式. 6．D 【解析】 【分析】分a<0和a>0两种情况，确定开口最小经过的点，代入解析式求出a 的取值范围即可. 【详解】解：若a<0，则抛物线开口向下，开口最小过点B（1，-1）∴-1=a×12∴a=-1∴-1≤a<0若a>0，则抛物线开口向上，开口最小过点A（1，2）∴2=a×12∴a=2∴0<a≤2∴a的取值范围是-1≤a<0或0<a≤2故选D【点睛】本题考查了二次函数的图象，有一定难度，进行分类讨论是解题的关键．7．A【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标是P（2，5），可得抛物线的对称轴为x=2；依据图象分析对称轴的左，右两侧是上升还是下降，即可确定x的取值范围. 【详解】∵抛物线的顶点坐标是P（2，5），∴对称轴为x=2.∵图象在对称轴x=2的右侧，是下降的，即函数y随自变量x的增大而减小，∴x的取值范围是x＞2.【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质. 8．A【解析】【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的最值问题解答．【详解】∵y=-x 2+2x+12=-（x-1）2+32， ∴二次函数有最大值32．故选A ． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式整理成顶点式形式是解题的关键． 9．A 【解析】试题解析：因为23y x =+的图象经过第一、二、三象限， 故选A ． 10．C 【解析】 【分析】由二次函数图象开口方向、对称轴的位置、图象与y 轴交点的位置得到a 、b 、c 的符号，即可判①；由图象可知，当x=0时，y ＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y ＜0，观察图象即可判定②；由图象可知，x=-1时，y ＞0，即可得a-b+c=0，根据对称轴-2ba=1，可得b=-2a ，代入即可判定③；由-2ba=1可得2a+b=0，所以3a+b=2a+b+a=a ＞0，即可判定④． 【详解】由二次函数图象开口向上，得到a>0；与y 轴交于负半轴，得到c<0，对称轴在y 轴右侧，a 、b 异号，则b<0，所以abc>0，①正确；②由图象可知，当x=0时，y ＜0，根据对称轴为x=1可得当x=2时，y ＜0，当x ＞2时，y 值得符号不确定，∴②不正确；③∵当x=-1时，y ＞0， ∴a-b+c=0，∵-2b a=1， ∴b=-2a ，∴a+2a+c ＞0，∴3a+c ＞0，∴③正确；④∵-2b a=1， ∴2a+b=0，∴3a+b=2a+b+a=a ＞0，∴④正确．综上，正确的结论为①③④.故选C ．【点睛】本题考查了抛物线图象与系数的关系，熟练运用抛物线的图象与系数的关系是解决问题的关键．11．y ＝(x －1) 2＋3．【解析】根据二次函数图象平移规律,左加右减,上加下减的平移规律,所以将二次函数y ＝x 2的图像向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到的新图像的函数表达式是y ＝(x －1) 2＋3,故答案为: y ＝(x －1) 2＋3.12．2【解析】【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”填空.【详解】解：将抛物线y=（x+m ）2向右平移2个单位后，得到抛物线解析式为y=（x+m-2）2．其对称轴为：x=2-m=0，解得m=2．故答案是：2.【点睛】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式.13．-8, 7【解析】【分析】把y=2x 2-4x-1化为顶点坐标式，按照“左加右减，上加下减”的规律，右平移1个单位，再向上平移2个单位得抛物线跟y=2x 2+bx+c 的系数对比则可．【详解】把y=2x 2-4x-1=2（x-1）2-3，向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得y=2（x-2）2-1=2x 2-8x+7，所以b=-8，c=7．故答案为-8；7.【点睛】此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．14．（1，0）【解析】试题解析：抛物线2(1)y x =-的顶点坐标是()1,0. 故答案为: ()1,0.点睛：根据抛物线()2y a x h k =-+的顶点坐标是(),h k 直接写出即可． 15．2(2)1y x =--+（或243y x x =-+-）【解析】设抛物线解析式为y=a （x-2）2+1，把B （1，0）代入得a+1=0，解得a=-1，所以抛物线解析式为y=-（x-2）2+1，即y=-x 2+4x-3故答案为：()221y x =--+（或y=-x 2+4x-3）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，关键是在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．16．1= 最小 3- 1> 1<【解析】【分析】先把解析式配成顶点式得到y=（x-1）2-3，根据二次函数的性质得到当x=1时，y 有最小值，最小值为-3；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．【详解】解：y=x 2-2x-2=（x-1）2-3，∵a=1＞0，∴当x=1时，y 有最小值，最小值为-3；当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；当x ＜1时，y 随x 的增大而减小．故答案为=1，最小，-3，＞1，＜1．【点评】本题考查了二次函数的最值：二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0），当a ＞0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为图象有最低点，所以函数有最小值，当x=−2b a时，y=244ac b a -；当a ＜0时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值，当x=−2b a时，y=244ac b a -． 17．＞ 14【解析】【分析】把抛物线解析式化为顶点式，可求得其对称轴，再利用二次函数的增减性可求得答案．【详解】∵y=-2x 2+x-4=-2（x-14）2-318， ∴抛物线开口向下，对称轴为x=14，∴当x＞14时，y随x的增大而减小，故答案是：＞14．【点睛】考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，其顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．18．－3＜x＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1．故答案为﹣3＜x＜1．考点：二次函数的图象．19．①②③④【解析】【分析】观察图象，通过抛物线的开口方向，对称轴x＝−b2a＞−1，以及与x轴交于两点这些条件，即可解答出该题．【详解】①∵抛物线的开口方向向下，∴a＜0，由图象可看出抛物线的对称轴x＝b2a＜0，∴b＜0，故①正确．②由图象看出当x＝1时，y＝a＋b＋c＜0，故②正确．③由图象看出当x＝−2时，y＝4a−2b＋c＜0，故③正确．④∵抛物线的对称轴大于−1，即x＝b2a＞−1，得出2a−b＜0，故④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题综合考查了抛物线的性质，体现了数形结合的思想，同学们要熟练掌握．20．25(5)3y x =-+-【解析】【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【详解】∵抛物线y=-5x 2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（-5，-3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y=-5（x+5）2-3，故答案为y=-5（x+5）2-3．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．21．（1）1，-2，-3；（2）图象见解析，0x <或2x >；（3【解析】【分析】（1）直接将()11，代入求出a 即可，进而将2x =代入求出y ，再分别将()()03,23--，，代入求出b c ，的值；（2）再利用函数解析式进而得出函数图象，进而得出不等式的解集．（3）根据题意求得外接圆的圆心的坐标为()1,1-，进而求得圆的半径.【详解】(1)2y ax =过(1,1)，∴1=a ，∴当x =2时,224y ==， 2y ax bx c =++过(0,−3),(2,−3)，a =1，23,3223c b ∴=--=+-，解得：b =−2，223y x x ∴=--，当x =1时，y =−4， 故答案为1，−2，−3；(2)如图所示：当0x <或2x >时,不等式2 3.ax bx c ++>-(3)由(2)可知A (−1,0),B (3,0),C (0,−3)， 则作BC 、AB 的垂直平分线的交点Q (1,−1)，∴外接圆的半径()()223101 5.QB =-++= 22．(1)3223x ；（2）点P 坐标为（03043）；（321. 【解析】 【分析】（1）根据AO=OB=2，∠AOB=120°，求出A 点坐标，以及B 点坐标，进而利用待定系数法求二次函数解析式；（2）∠EOC=30°，由OA=2OE ，23，推出当OP=12OC 或OP′=2OC 时，△POC 与△AOE 相似； （3）如图，取Q （12，0）．连接AQ ，QE ′．由△OE′Q ∽△OBE ′，推出12E Q OE BE OB ''=='，推出E′Q=12BE ′，推出AE′+12BE′=AE′+QE ′，由AE′+E′Q≥AQ ，推出E′A+12E′B 的最小值就是线段AQ 的长.【详解】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，∵AO=OB=2，∠AOB=120°，∴∠AOH=60°，∴OH=1，AH=3，∴A点坐标为：（-1，3），B点坐标为：（2，0），将两点代入y=ax2+bx得：3420a ba b⎧-⎪⎨+⎪⎩＝＝，解得：3323ab⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩＝＝，∴抛物线的表达式为：y=33x2-23x；（2）如图，∵C（1，-33），∴tan∠EOC=33ECOE=，∴∠EOC=30°，∴∠POC=90°+30°=120°，∵∠AOE=120°，∴∠AOE=∠POC=120°，∵OA=2OE，OC=233，∴当OP=12OC或OP′=2OC时，△POC与△AOE相似，∴OP=3，OP′=433，∴点P坐标为（0，3）或（0，43）．（3）如图，取Q（12，0）．连接AQ，QE′．∵12 OE OQ OB OE'=='，∠QOE′=∠BOE′，∴△OE′Q∽△OBE′，∴12E Q OEBE OB''=='，∴E′Q=12 BE′，∴AE′+12BE′=AE′+QE′，∵AE′+E′Q≥AQ，∴E′A+12E′B的最小值就是线段AQ22321()(3)22+=．【点睛】本题考查二次函数综合题、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会由分类讨论的思想思考问题，学会构造相似三角形解决最短问题，属于中考压轴题．23．解：(1)如图所示；(2)2v2；(3)4.5，12.5，40.5.【解析】试题分析：将表（1）里各个数据在直角坐标系里描出，连接各点，形成的光滑曲线就是速度与撞击影响之间的函数图象.从表格里可看出速度与撞击影响的函数表达式为I=2v2;当V=1.5,2.5,4.5时，代入函数表达式中可求得撞击影响.解：(1)如图所示．(2)由表格得I＝2v2.(3)当V=1.5,2.5,4.5时，I=4.5，12.5，40.5.所以撞击影响分别是4.5，12.5，40.5.24．()12123y x x=--+，21y x=-+；()22x<-或1x>【解析】【分析】（1）将A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得二次函数的解析式，进而可根据抛物线的对称轴求出D点的坐标，再用待定系数法求出一次函数解析式；（2）根据（1）画出函数图象，即可写出一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．【详解】()1二次函数21y ax bx c=++的图象经过点()A3,0-，()B1,0，()C0,3，则9303a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得123abc=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．故二次函数图象的解析式为21y x 2x 3=--+，∵对称轴x 1=-，∴点D 的坐标为()2,3-，设2y kx b =+，∵2y kx b =+过B 、D 两点，∴023k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得11k b =-⎧⎨=⎩． ∴2y x 1=-+；()2函数的图象如图所示，∴当21y y >时，x 的取值范围是x 2<-或x 1>．【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数解析式的确定以及根据函数图象比较函数值大小，画出函数图象熟练运用数形结合是解决第2问的关键．25．（1）2b a =-；（2）抛物线为212133y x x =-+；（3）抛物线的顶点坐标为()1,2-． 【解析】【分析】（1）根据抛物线与y 轴的交点可以得到c 与a 的关系，根据对称轴可以得到b 与a 的关系； （2）间已知点的坐标代入函数关系式并结合上题求得的系数的关系得到a 、b 、c 的值即可求得其解析式；（3）b （c+6）=-2a （3a+6）=-6a 2-12a=-6（a+1）2+6，从而确定a 的值，确定二次函数的解析式后即可确定其顶点坐标．【详解】解：()1∵抛物线与y 轴交于点()0,3a∴3c a =∵对称轴为1=， ∴12b x a=-= ∴2b a =-；()2∵抛物线与直线1y x =-交于点()2,1，∴()2,1在抛物线上，∴()212223a a a =⨯+-+ ∴13a = ∴223b a =-=-31c a == ∴抛物线为212133y x x =-+；()3∵()()2262366126(1)6b c a a a a a +=-+=--=-++ 当1a =-时，()6b c +的最大值为6；∴抛物线2223(1)2y x x x =-+-=---故抛物线的顶点坐标为()1,2-．【点睛】考查了二次函数的性质，二次函数最值以及待定系数法求二次函数解析式，正确的利用三个系数之间的关系是解题的关键.26．（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ； （3）存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16 ；（4）（8-，0），（4，0），（5+0），（50）.【解析】【分析】可得a 的值，求出解析式.由解析式可得出C 和B 的坐标，从而得出直线的解析式.运用假设法，连接辅助线可以设出P,D 的坐标，表达出相应△PBC 的面积解析式，分析可得出结果.由平行四边形的定义可求出答案.【详解】（1）A （2-，0） B （8，0）；（2）142y x =-+ ； （3）假设存在点P ，连结PB 、PC ，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ，设点P （m ，213442m m -++） 则点D （m ，142m -+） 所以PD =213442m m -++- 142m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ =2124m m -+ ∴211128224PBC S PD OB m m ⎛⎫=⨯⨯=⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()228416m m m =-+=--+∵点P 是直线BC 上方的抛物线上的一动点（不与B 、C 重合）∴08m <<∴当4m =时，△PBC 的面积最大，最大面积是16∴存在点P ，使△PBC 的面积最大，最大面积是16（4）（8-，0），（4， 0），（541+0），（541，0） .【点睛】本题考查了一元二次方程的解析式的结构，和直线解析式的求解，以及品行四边形的定义，熟练掌握这些是解决本题的关键.27．（1）y=x 2﹣4；（2）M （0，﹣2）【解析】（1）将A 、B 点的坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值；（2）由于A 、D 关于抛物线对称轴即y 轴对称，那么连接BD ，BD 与y 轴的交点即为所求的M 点，可先求出直线BD 的解析式，即可得到M 点的坐标；解：（1）由题意可得：403a c a c +=⎧⎨+=-⎩，解得14a c =⎧⎨=-⎩； ∴抛物线的解析式为：y =x 2﹣4；（2）由于A 、D 关于抛物线的对称轴（即y 轴）对称，连接BD ．则BD 与y 轴的交点即为M 点；设直线BD 的解析式为：y =kx +b （k ≠0），则有：320k b k b -+=-⎧⎨+=⎩， 解得12k b =⎧⎨=-⎩； ∴直线BD 的解析式为y =x ﹣2，∴点M （0，﹣2）．点睛：本题主要考查待定系数法及二次函数的性质.利用二次函数的对称性是解题的关键. 28．（1，-2），直线x=1, x ＜-1或x ＞3．【解析】试题分析：（1）利用配方法将二次函数的解析式由一般式该写为顶点式，由此即可得出该函数的顶点坐标以及对称轴；（2）利用五点法画出函数图象即可；（3）观察函数图象，根据二次函数图象与2y =的上下位置关系即可得出不等式的解集．试题解析：()22121(1)2y x x x =--=--，∴该二次函数的顶点坐标为(1,−2)，对称轴为x =1.故答案为(1,−2)；x =1.(2)找出函数图象上部分点的坐标，如图所示：x… −1 0 1 2 3 … y… 2 −1 −2 −1 2 …描点、连线,画出函数图象如图所示.(3)观察函数图象可知：当x <−1或x >3时，函数图象在y =2的上方， ∴满足y >2的x 的取值范围为x <−1或x >3.故答案为x <−1或x >3.。
二次函数知识点及例题详解最终
二次函数知识点及例题详解最终文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]二次函数知识点总结及经典习题一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y ax bx c （a，b，c是常数，a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而b ，c 可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y ax bx c 的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是 2．⑵a ，b ，c 是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax的性质：2.y ax c 的性质：上加下减。
3.y a x h的性质：左加右减。
4.y a x h k的性质：三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式y a x h k，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线y ax的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．四、二次函数y a x h k与y ax bx c的比较从解析式上看，y a x h k与y ax bx c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即y a(x+b2a )24ac− b24a，其中h= -b2a，k4ac− b24a五、二次函数y ax bx c 的性质当a 0 时，抛物线开口向上，对称轴为x2a ,顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x-b2a时，y随x的增大而减小；当x b2a时，y随x的增大而增大；当x= b2a 时，y有最小值4ac− b24a.当时，抛物线开口向下，对称轴为x-b2a , 顶点坐标为(−b2a,4ac− b24a).当x- b 2a时， y 随 x 的大而增大y;当随 x b 2a时,y 随 x 的增大而减小;当x = b2a时 , y 有最大值4ac − b 24a.六、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax bx c（a，b，c为常数，a0）；2.顶点式：y a(x h)k（a，h，k为常数，a0）；3.两根式（交点式）：y a(x x)(x x)（a0，x，x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即b 4ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1.二次项系数a⑴当a 0 时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵当a 0 时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．2.一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．（同左异右b为0对称轴为y轴）3.常数项c⑴当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵当c 0 时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ；⑶当c 0 时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．八、二次函数与一元二次方程：1.二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程ax bx c 0 是二次函数y ax bx c 当函数值y 0 时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：①当b 4ac 0 时，图象与x 轴交于两点Ax1，0，B x2，0(x1x2) ，其中的x1，x 2是一元二次方程ax bx c 0a 0的两根．②当 0 时，图象与x 轴只有一个交点；③当 0 时，图象与x 轴没有交点.1' 当a 0 时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有y 0 ；2 ' 当a 0 时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有y 0 ．2.抛物线y ax bx c 的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0 ，c) ；中考题型例析1. 二次函数解析式的确定例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6); (2)图象经过 A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8; (3)图象顶点坐标是(-1,9),与 x 轴两交点间的距离是 6.分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.(1)解:设解析式为 y=ax 2+bx+c,把 A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得{3=a −b +c3=a +b +c 6=4a +2b +c 解得 {a =1b =0c =2∴解析式为 y=x 2+2.(2)解法1:由 A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为 x=1,所以顶点为(1,-8). 设解析式为 y=a(x-h)2+k,即 y=a(x-1)2-8.把 x=-1,y=0 代入上式得 0=a(-2)2-8, ∴a=2. 即解析式为 y=2(x-1)2-8,即 y=2x 2-4x-6.解法2:设解析式为 y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把 x=1,y=-8 代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得 a=2, ∴解析式为 y=2x 2-4x-6. 解法 3:∵图象过 A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2-2ax-3a. ∵函数有最小值-8.∴4a (−3a )−(2a)24a=-8.又∵a≠0,∴a=2.∴解析式为 y=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6.(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是 x=-1, 又∵图象与 x 轴两交点的距离为 6,即 AB=6.由抛物线的对称性可得 A 、B 两点坐标分别为 A(-4,0),B(2,0), 设出两根式 y=a(x-x 1)·(x -x 2),将 A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为 y=-x 2-2x+8.点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意 3 对 x,y 的值)可设表达式为y=ax 2+bx+c,组成三元一次方程组来求解; 如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可选用 y=a(x-h)2+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与 x 轴两交点坐标,则一般设解析式为 y=a(x-x 1)(x-x 2). 2. 二次函数的图象例 2 y=ax 2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则点 M(a,bc)在( ).A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限分析:由图可知: 抛物线开口向上 a>0.抛物线与y 轴负半轴相交 c 0b bc>0. 对称轴x2a在y 轴右侧 b 0∴点 M(a,bc)在第一象限. 答案:A.点评:本题主要考查由抛物线图象会确定 a 、b 、c 的符号.例 3 已知一次函数 y=ax+c 二次函数 y=ax 2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图象是(). 分析:一次函数 y=ax+c,当 a>0 时,图象过一、三象限;当 a<0 时,图象过二、 四象限;c>0 时, 直线交 y 轴于正半轴; 当 c<0 时, 直线交 y 轴于负半轴; 对于二次函数y= ax 2+bx+c(a≠0)来讲:开口上下决定a 的正负左同右异(即对称轴在y 轴左侧,b 的符号与a 的符号相同;)来判别b 的符号抛物线与y 轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负解:可用排除法,设当 a>0 时,二次函数 y=ax 2+bx+c 的开口向上,而一次函数 y= ax+c 应过一、三象限,故排除 C;当 a<0 时,用同样方法可排除 A;c 决定2 直线与 y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B.答案:D. 3. 二次函数的性质例 4 对于反比例函数 y=- 2x与二次函数 y=-x 2+3, 请说出他们的两个相同点:①, ②; 再说出它们的两个不同点:① ,②.分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③ 最值④自变量取值范围⑤交点等.解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1); 不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值. 点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命 题的热点.4. 二次函数的应用例 5 已知抛物线 y=x 2+(2k+1)x-k 2+k,(1)求证:此抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2)设 x 1、x 2 是此抛物线与 x 轴两个交点的横坐标,且满足x 12+x 2=-2k 2+2k+1. ①求抛物线的解析式.②设点 P (m 1,n 1)、Q(m 2,n 2)是抛物线上两个不同的点, 且关于此抛物线的对称轴对称. 求 m+m 的值.分析:(1)欲证抛物线与 x 轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令 y=0,证△>0 即可.(2)①根据二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出 k 的值,可确定抛物线解析式;②由 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称得 n 1=n 2, 由 n 1=m 12+m 1,n 2=m 22+m 2得 m 12+m 1=m 22+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0 可求得 m 1+m 2= - 1.解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k 2+k)=4k 2+4k+1+4k 2-4k=8k 2+1.2 2 ∵8k 2+1>0,即△>0,∴抛物线与 x 轴总有两个不同的交点.(2) ①由题意得 x 1+x 2=-(2k+1), x 1· x 2=-k 2+k. ∵x 1 2+x 2 2=-2k 2+2k+1,∴(x 1+x 2)2-2x 1x 2=- 2k 2+2k+1, 即(2k+1)2-2(-k 2+k)=-2k 2+k+1, 4k 2+4k+1+2k 2-2k= - 2k 2+2k+1. ∴8k 2=0, ∴k=0,∴抛物线的解析式是 y=x 2+x.②∵点 P 、Q 关于此抛物线的对称轴对称, ∴n 1=n 2.又 n 1=m 12+m 1,n2=m 2+m 2. ∴m 12+m 1=m 2+m 2,即(m 1-m 2)(m 1+m 2+1)=0. ∵P 、Q 是抛物上不同的点, ∴m 1≠m 2,即 m 1-m 2≠0. ∴m 1+m 2+1=0 即 m 1+m 2=-1.点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与 x 轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.二次函数对应练习试题一、选择题1. 二次函数 y x 24x 7 的顶点坐标是()A.(2,－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）2. 把抛物线 y 2x 2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是（）A. y 2(x 1)2B. y 2(x 1)2C. y 2x2 1D. y 2x2 13.函数y kx2 k 和y k(k 0) 在同一直角坐标系中图象可能是图中的( ) x4.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当x1和x 3时,函数值相等;③4a b 0 ④当y 2时, x 的值只能取 0.其中正确的个数是( )个个 C. 3 个个5.已知二次函数y ax2 bx c(a 0) 的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程ax2 bx c 0 的两个根分别是x1和x2（）Ａ．已知二次函数y ax2 bx c 的图象如图所示，则点(ac, bc) 在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2x x2=2x的正根的个数为（）个个个. 3 个8.已知抛物线过点 A(2,0),B(-1,0),与y 轴交于点 C,且 OC=2.则这条抛物线的解析式为A. y x2 x 2B. y x2 x 2C. y x2 x 2 或y x2 x 2D. y x2 x 2 或y x2 x 2二、填空题9．二次函数y x2 bx 3 的对称轴是x 2 ，则b 。
初三数学二次函数知识点总结及经典习题含答案
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念:一般地，形如2y ax bx c =++(a b c ，，是常数，0a ≠）的函数,叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2。
二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式:2y ax =的性质: a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.2。
2y ax c =+的性质： 上加下减.3。
()2y a x h =-的性质:左加右减。
4。
()2y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a>-时,y 随x 的增大而增大; 当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a -．2。
九年级数学 第二章 二次函数（一）
第2章二次函数第1课时二次函数（1）【知识要点】1．形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫二次函数．2．在函数y=ax 2+bx+c 中，a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数及常数项． 课内同步精练●A 组 基础练习1．某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y （万元），与平均年增长率x 之间的函数关系式是 .2．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”).(l ）y=-2x 2 ( )(2）y=x-x 2 ( )(3）y=2(x-1)2+3 ( )(4）y=-3x 2-3 ( )(5) s=a(8-a) ( )3．说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ．(1)y=x 2中a= ,b= ,c= ;(2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ;(3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;4．已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= .●B 组 提高训练5.已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 .6.在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 .课外拓展练习●A 组 基础练习1.当m 是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式．(1)y =234m m mx -+,m = ,y = ;(2) y =2(1)m m m x ++,m = ,y = ;(3) y =232(4)mm m x -+-,m = ,y = . 2.函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数)问当a,b,c 满足什么条件时：(l ）它是二次函数 ；(2）它是一次函数 ；(3）它是正比例函数 ；●B 组 提高训练3．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若x=0时y=1；x=1时y=1；x=2时y=-1.求这个二次函数关系式.4．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若x=1时y=3；x=-1时y=4；x=-2时y=3.求这个二次函数关系式.第2课时二次函数的图象（1）【知识要点】1.函数y=ax 2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，图像的顶点是(0,0)2.函数y=ax 2,当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.3.函数y=ax 2,当a>0时，对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当x=0时函数y 有最小值0.课内同步精练●A 组 基础练习1．函数y=ax 2(a ≠0)的图象叫做 ，它关于 轴对称，它的顶点是 .2．当a>0时，y=ax 2在x 轴上的 (其中顶点在 轴上),它的开口 并且向上无限 .3.函数212y x =-的对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴的右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 .4.函数y=3x 2与函数y=-3x 2的图象的形状 ，但 不同.●B 组 提高训练5.一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （-2,8).(l ）求这个函数的解析式；(2）画出函数图象；(3）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算△OAB 的面积．课外拓展练习●A 组 基础练习1.抛物线y=ax 2与y=2x 2形状相同，则a= .2.已知函数y=ax 2当x=1时y=3，则a= , 对称轴是 ，顶点是 . 抛物线的开口 ，在对称轴的左侧，y 随x 增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 .3.若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，-2 )，则它也经过 （ ）A. P 1(-1，-2 )B. P 2(-l, 2 )C.P 3( l, 2)D.P 4(2, 1) ●B 组 提高训练4.有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线214y x =- (1)作出这条抛物线；(2)利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽；(3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？第3课时二次函数的图像（2）【知识要点】函数y=a(x+m)2+k(a,m,k 是常数，a ≠0).①当a>0时，图像开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，y 有最 值，是 .②当a<0时，图像开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，y 有最 值，是 .课内同步精练●A 组 基础练习1.函数y=2(x+1)2是由y=2x 2向 平移 单位得到的.2.函数y=-3(x-1)2+1是由y —3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位得到的.3.函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .4.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y 随x 的增大而减小，当 时，函数y 有最 值，是 .●B 组 提高训练6.在同一坐标系内，画出函数y=2x 2和y=2(x-1)2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．课外拓展练习●A 组 基础练习1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（ ）A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)2. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）A.y= - (x-2 )2 -2B.y= - (x-2 )2 +6C. y = - (x+2 )2 -2D. y= - (x+2 )2 +6●B 组 提高训练3. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -2 4. 经过配方，画出函数y=-3x 2+6x-4的图象，并说出它的对称轴及顶点坐标，当x 时， y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .第4课时二次函数的图像（3）【知识要点】函数y=ax 2+bx+c (a ，b ，c 是常数a ≠0).①当a>0时，函数y 有最小值，是 . ② 当a< 0时，函数y 有最大值，是 .课内同步精练●A 组 基础练习1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 .2. 函数213523y x x =---，当x= 时，函数有最 值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 .●B 组 提高训练4. 把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 .5. 如图，用长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？课外拓展练习●A 组 基础练习1. 把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是 （ ）A .21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D. 21722y x x =+- 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=124. 二次函数y=-2x 2+4x-9的最大值是A.7B.-7C.9D.-9●B 组 提高训练5. 己知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的长．第5课时二次函数的性质【知识要点】1．若已知抛物线的顶点为（0, 0)，则二次函数的关系式可设为y=ax 2(a ≠0 ).2．若已知抛物线的顶点在y 轴上，则二次函数的关系式可设为y=ax 2+k(a ≠0 ).3．若已知抛物线的顶点在x 轴上，则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)2 (a ≠0 ).4．若已知抛物线的顶．汽为（ m , k ）则二次函数的关系式可设为y = a ( x-m ）2+k （a ≠0 ) .课内同步精练●A组基础练习1. 已知函数y=(m-1)x2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点．2. 函数y=2x2的图象向平移5个单位，得到y=2（x+5）2的图象，再向平移个单位．得到y=2x2+20x+56的图象．3. 二次函数y=2x2-4x-3，当x= 时，有最大值，是 .4. 已知抛物线y=x2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 .5. 用配方法把二次函数y=-2x2+8x-5化成y=a(x+m)2+n的形式，即y= ,它的对称轴是，顶点坐标是 .6. 一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（）A.y=2x2-x-5B.y=2x2+x+5C. y=2x2-x+5D. y=2x2+x-57. 已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的顶点坐标为M (2，-4 )，且其图象经过点A (0, 0 )，则a, b , c的值是（）A .a=l, b=4, c=0 B.a=1,b=-4,c=0 C.a=-1,b=-1,c=0 D.a=1,b=-4,c=8●B组提高训练8. 己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为（-1，- 3 )，求b，c的值．9. 已知二次函数y =ax2 +bx-1的图象经过点 (2，-1)，且这个函数有最小值-3 ，求这个函数的关系式．课外拓展练习●A组基础练习1. 已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a= .2. 已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3, l；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 .3. 抛物线y=-x2+4x-1的顶点坐标是，在对称轴x=2的侧y随x的增大而减小．4. 二次函数y =ax2+bx+c的图象的形状 ( )A．只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D．与 a , b，c都有关5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置 ( )A．只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D．与 a , b，c都有关●B 组 提高训练6. 已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为（一 l , 2 ) ，且图象过点（ l ，一 3 ) .(1)求这个二次函数的关系式；(2)写出它的开口方向、对称轴；第6课时 二次函数的应用（1） 【知识要点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练●A 组 基础练习1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ，与x 轴的交点是 ，当x= 时，y 有最 ，是 .2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号是 ，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0,当x 时，y < 0 .3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或24. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x=≠>的图象是（ ）●B 组 提高训练5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x +43（0≤x ≤30）.y 值越大，表示接受能力越强．(l) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？(3)学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？课外拓展练习●A 组 基础练习1. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第 象限.2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).3. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94，则m= ． 4. 正方形边长为 2 ，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与二的函数关系式 .5. 二次函数y=4x 2-x+1的图象与x 轴的交点个数是（ ）A. l 个B.2个C. l 个D.无法确定6. 已知二次函数y=x 2-4x-5，若y>0,则（ ）A . x>5 B.-l ＜x ＜5 C. x>5或x ＜-1 D. x>1或2x<-5●B 组 提高训练7. 学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领，还要掌握为使车子停止前进而刹车后汽车继续滑行的距离．资料显示，当路况良好、路面于燥时，刹车后汽车滑行的距离与车速之间的对应关系如表所示：车速（km/h ） 4864 80 96 112 滑行距离(m)22.5 36 52.5 72 94.5 (1)绘制汽车滑行的距离(2)证明汽车滑行的距离s （单位：m ）及车速v （单位： km / h ）之间有如下的关系：23316512s v v =+ (3)利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离．(4)在路况不良时，表中的滑行距离须分别修正为 45, 72, 105, 144及189m ，在这种情况下， (2)中的函数关系应如何调整？第7课时二次函数的应用（2）【知识要点】利用二次函数来解实际问题，体会实际问题转化为数学模型的过程，课内同步精练●A组基础练习1. 有一座抛物线型拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m.(l)在如图所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m．求水面在正常水位基础上涨多少m时，就会影响过往船只？2. 小明在网上交了一个新朋友，新朋友告诉他：“我在公元x2年时是x岁．”小明今年14岁，小明对这位新朋友该“称兄”还是“道弟”?●B组提高训练3. 一高尔夫球的飞行路线为如图抛物线．(l)请用解析法表示球飞行过程中y关于x的函数关系式；(2)高尔夫球飞行的最大距离为多少m？最大高度为多少m?(3)当高尔夫球的高度到达5m 时，它飞行的水平距离为多少m ?课外拓展练习●A组基础练习1. 如图，一根粗细均匀的杠杆AB，支点在杠杆的一端A，力点在杠杆的另一端B，在距支点A0.lm处C挂着49kg重物，而杠杆本身每米重5kg，求杠杆使用起来最省力的AB长．2. 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD/部分为一段抛物线，顶点G的高度为8m , AD和A 'D/是两根高为5.5m 的支柱．OA和OA/为两个方向的汽车通行区，宽都为15m，线段CD和C'D/为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.（1）求桥拱DGD/所在抛物线的解析式及线段CC/的长；(2)BE和B/E/为支撑斜坡的立柱，其高都为4m，相应的AB和A/B/为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB和 A/B/的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4m，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m ，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7m．它能否从OA（或O/A/）区域安全通过？请说明理由．●B组提高训练3.小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成300, 450, 600方向推了三次，铅球推出后沿抛物线运动．如图所示，小明推铅球时的出手点距地面2m . 以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得出有关数据如下表：推针专球的方向与水平线的夹角300 450 600铅球运行所得到的抛物线解析式y=-0.06(x-3)2+2.5 y= (x-4)2+3.6 y=-0.22(x-3)2+4 估测铅球在最高点的坐标P1(3,2.5) P2(4, 3.6) P3(3, 4) 铅球落点到小明站立处的水平距9.5m m 7.3m离(1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填人表格中的横线上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议．第8课时二次函数的应用（3）【知识要点】二次函数是刻划现实生活中某些情境的数学模型.课内同步精练●A 组 基础练习1. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产的情况进行调查的基础上．对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，得到了以下图象：请你根据图象提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（收益=售价-成本）(2)哪个月出售这种蔬菜，每克的收益最大？请说明理由．●B 组 提高训练2. 如图，今有网球从斜坡OA 的点O 处抛出．网球的抛物路线的函数关系是2142y x x =-，斜坡的函数关系是12y x =，其中，y 是垂直高度（m ），x 是与点O 的水平距离（m ）. (l)网球落在斜坡的点A ，写出点A 的垂直高度，以及点A 与点O 的水平距离；(2)在图象中，标出网球所能达到的最高点B,并求OB 与水平线Ox 之间夹角的正切值．课外拓展练习●A组基础练习1. 金苹果商场的某种商品价格下降x成（1成=110），则销售量增px成（p为大于l的常数）.(1)当x在什么范围内取值时，售出的总金额有所增加？(2)当x为何值时，才能使出售出的总金额达到最大值？●B组提高训练2. 某高科技发展公司500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500 万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销瞥单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本一）为z（万元）(l)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;(2)试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;(3)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？第2章单元过关测试一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有 ( )① a + b + c>0 ② a - b + c＜0 ③ abc < 0 ④ b =2a ⑤ b >0A. 5个B. 4个 C .3个 D. 2个2.抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有（）A.3个B.2个C.1个D.0个3.下列过原点的抛物线是 ( )A.y=2x2-1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2x2+x4.已知抛物线过A(-1, 0）和B (3, 0）两点，与y轴交于点C，且BC=32，则这条抛物线的解析式为（）A.y=-x2+2x+3B. y=x2-2x-3C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-35.二次函数y= a (x+m)2-m (a≠0)无论m为什么实数，图象的顶点必在 ( )A.直线y=-x上B. 直线y=x上C.y轴上D.x轴上6.如图，在直角三角形AOB中，ABOB，且OB=AB=3，设直线:l x t ，截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 ( )7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是244ac ba;④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题的个数有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 ( )二、填空题9.抛物线y=-2(x+1)2+1的顶点坐标是 .10.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为 .11.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .12.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是13.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 .14.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数），当x取值x1,x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 .三、解答题15.根据下列不同条件，求二次函数的解析式：(l）二次函数的图象经过A (1, l)，B（l, 7), C(2,4）三点；(2）已知当x=2时，y有最小值3,且经过点(l,5 );(3）图象经过（-3,0),(l,0), (-l，4)三点．16.画出函数y=x2-2x-3象，利用图象回答下列问题：(l)x取何值时，y随x的增大而减小？(2)当x取何值时， y=0， y>O, y<0?(3)若x1＞x2＞x3＞1 时，比较y l, y2, y3的大小17.已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0,0）和（1，6 ）两点？18.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形－边长为x（m) ，面积为S(m2）.(l）求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；(2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．19.某跳水运动员进行IO m跳台跳水的训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为己知条件）．在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103m，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(l)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．。
二次函数知识点及重点题练习答案解析
答案
基础训练
1
3
1.函数 y= 的大致图象是( B ).
【解析】取值验证可知,函数
1
y= 3 的大致图象是选项
B 中的图象.
答案
解析
2
2.若二次函数 y=-2x -4x+t 的图象的顶点在 x 轴上,则 t 的值是( C ).
A.-4
B.4
C.-2
D.2
【解析】∵二次函数的图象的顶点在 x 轴上,∴Δ=16+8t=0,可
2.五种常见幂函数的图象
答案
3.幂函数的性质
(1)当 α>0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (0,0) 和 (1,1) ,在(0,+∞)上
是 增函数 .在第一象限内,当 α>1 时,图象下凹,当 0<α<1 时,图象上凸.
(2)当 α<0 时,幂函数 y=xα 的图象过点 (1,1) ,在(0,+∞)上是 减函数 .
4
2
∴h(m)=
-2m +
2
17 3
4
, < m ≤ 1,
4
3
-3 + 4m + 2,0 < m ≤ .
4
点拨：解决二次函数最值问题的关键是抓住“三点一轴”,其中“三点”
是指区间的两个端点和抛物线的顶点,“一轴”指的是对称轴,结合配方法,
根据函数的单调性及分类讨论思想即可解题.
点拨
【追踪训练 2】已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在[0,1]上的最大值为 2,求
当 a≠0 时,f(x)图象的对称轴为直线
3-
x= ,
(word版)人教版初三数学二次函数知识点总结与经典习题含答案,文档
-二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如yax2bxc〔a，b，c是常数，a0〕的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数yax2bxc的结构特征：等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的根本形式二次函数根本形式：yax2的性质：的绝对值越大，抛物线的开口越小。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00，0x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值0．a00，0x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值0．yax2c的性质：上加下减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a00，c x0时，y随x的增大而增大；x0时，y随向上y轴x的增大而减小；x0时，y有最小值c．a00，c x0时，y随x的增大而减小；x0时，y随向下y轴x的增大而增大；x0时，y有最大值c．3.y ax h 2的性质：左加右减。
a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上h，0X=h xh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减xh时，y有最小值0．小；a0向下h，0X=h xh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．24. y ax h k的性质：---a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质ah ，kx h 时，y 随x 的增大而增大；xh 时，y 随向上X=hx 的增大而减小；xh 时，y 有最小值k ．a 0h ，kx h 时，y 随x 的增大而减小；xh 时，y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时，y 有最大值k ．三、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式 2h ，k ；yaxhk ，确定其顶点坐标 ⑵保持抛物线yax 2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax 2+k向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0)【或左(h<0)】 向右(h>0) 【或左(h<0) 】 平移|k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)22向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)+k平移规律在原有函数的根底上 “h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移 〞．概括成八个字“左加右减，上加下减〞 ．四、二次函数yax 2k 与y ax 2 bx c 的比拟hy ax2k 与y ax2bx c 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得从解析式上看， hb24ac b 2b，k4acb2到前者，即yax，其中h．2a4a2a4a六、二次函数yax 2 bx c 的性质b，顶点坐标为b ，4acb 21.当a0时，抛物线开口向上，对称轴为x．2a2a 4a当xb 时，y 随x 的增大而减小；2a当xb 时，y 随x 的增大而增大；2a当xb 时，y 有最小值4acb 2 ．2a4a---2.当a0时，抛物线开口向下，对称轴为x b，顶点坐标为b，4acb2．当xb时，2a2a4a2ay随x的增大而增大；当x b时，y随x的增大而减小；当xb时，y有最大值4acb2．2a2a4a七、二次函数解析式的表示方法1.一般式：y ax2bx c〔a，b，c为常数，a0〕；2.顶点式：y a(x h)2k〔a，h，k为常数，a0〕；3.两根式〔交点式〕：y a(xx1)(x x2)〔a0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标〕.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数只有抛物线与x轴有交点，即b解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系二次项系数a⑴当a 0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a 0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．〔同左异右b为0对称轴为y轴〕常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．十、二次函数与一元二次方程：二次函数与一元二次方程的关系〔二次函数与x轴交点情况〕：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bx c当函数值y0时的特殊情况.图象与x轴的交点个数：①当24ac0时，图象与x轴交于两点A x1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二b次方程ax2bx c0a0的两根．.②当0时，图象与x轴只有一个交点；③当0时，图象与x轴没有交点.1'当a0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y0；2'当a0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y0．2.抛物线y ax2bx c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；---二次函数对应练习试题一、选择题二次函数yx24x7的顶点坐标是()A.(2,－11)B.〔－2，7〕C.〔2，11〕D.〔2，－3〕2.把抛物线y2x2向上平移1个单位，得到的抛物线是〔〕A.y2(x1)2B.y2(x1)2C.y2x21D.y2x213.函数y kx2k和yk(k0)在同一直角坐标系中图象可能是图中的()x4.二次函数y ax2bx c(a0)的图象如下图,那么以下结论:①a,b同号;②当x1和x3时,函数值相等;③4a b0④当y2时,x的值只能取0.其中正确的个数是()个个 C.3个 D.4个5.二次函数y ax2bx c(a0)的顶点坐标〔-1，〕及局部图象(如图),由图象可知关于x的一元二次方程ax2bx c0的两个根分别是x1和x2〔〕Ａ．－１.３6.二次函数y ax2bx c的图象如下图，那么点(ac,bc)在〔〕A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限7.方程2xx22的正根的个数为〔〕x个个个.3个8.抛物线过点A(2,0),B(-1,0),与y轴交于点C,且OC=2.那么这条抛物线的解析式为A.yx2x2B.y x2x2C.yx2x2或y x2x2D.y x2x2或yx2x2 ---二、填空题9．二次函数y x2bx3的对称轴是x2，那么b_______。
北师大版八年级数学上册 第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大、综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点、综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a+-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
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第二章 二次函数知识整理及基础训练【知识整理】1. 定义：形如：c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；a 越大开口越小, a 越小开口越大.综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。
5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。
即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。
6. 常数项c 对抛物线的影响：当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点.综上所述：c 决定抛物线的上下位置。
7. 判别式⊿对抛物线的影响：当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。
8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2的值为c b a +-,……10. 二次函数c bx ax y ++=2的对称轴为直线abx 2-=，顶点坐标为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,2211. 二次函数的解析式有如下三种形式：12. 当 a>0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a bx 2-<，y 随着x 的增大而增大，若ab x 2->，y 随着x 的增大而减小。
13. 当 a>0时，二次函数c bx ax y ++=2有最小值，最小值为ab ac 442-当 a<0时，二次函数c bx ax y ++=2有最大值，最大值为ab ac 442-也可以把ab x 2-=代入c bx ax y ++=2中求最大值和最小值。
1４.抛物线c bx ax y ++=2在x 轴上截得的线段的长度就是方程02=++c bx ax 的两个解差的绝对值a∆。
【典型例题】【例1】二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，ca）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【例2】直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)【例3】已知抛物线y=12x2+x-52．（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．【例5】把二次函数y=2x2－4x＋5化成y=a（x－h）2＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝时，函数y有最值，y随x的增大而减小。
53212-+-=xxy的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A．2523412-+-=xxy B．87212+--=xxyC．106212++=xxy D．532-+-=xxy【例7】二次函数cbxxy++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A．x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。
【例8】抛物线122+--=mmxxy的图象过原点，则m为（）A．0 B．1 C．－1 D．±1【例9】已知反比例函数xky=的图象如右图所示，则二次函数222kxkxy+-=的图象大致为（）A B C D【例10】如果一条抛物线经过平移之后能够和抛物线2312+-=xy重合，且顶点坐标为（4，2），则它的解析式为【基础训练】一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分） 1、下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量） （ ）A 、218y x =B 、y =、21y x= D 、22y a x = 2、当m 不为何值时，函数2(2)45y m x x =-+-（m 是常数）是二次函数（ ） A 、-2 B 、2 C 、3 D 、-3 3、抛物线y=x 2-1的顶点坐标是( )．A 、(0，1)B 、(0，一1)C 、(1，0)D 、(一1，0) 4、22y x =+的对称轴是直线（ ）A 、x=2B 、x=0C 、y=0D 、y=2 5、二次函数247y x x =-+的最小值为（ ）A 、2B 、-2C 、3D 、-3 6、经过原点的抛物线是（ ）A 、y=2x 2+xB 、221)y x =+（C 、y=2x 2-1D 、y=2x 2+1 7、已知二次函数232)1y x =-+（，当x=３时,y 的值为（ ） Ａ、４ Ｂ、－４ Ｃ、３ Ｄ、－３8、已知一个矩形的面积为24cm 2,其长为ycm,宽为xcm ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致为（ ）9、设抛物线y=x 2+8x-k 的顶点在x 轴上，则k 的值为（ ） A 、-16 B 、16 C 、-8 D 、8 10、下列函数中，当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数是（ ）A 、y=-3xB 、y=4xC 、2y x=-D 、y=-x 2 二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里。
每小题3分，共24分）。
x11、二次函数y =－122x 2+3的开口方向是_________. 12、抛物线y =x 2+8x －4与直线x ＝4的交点坐标是__________. 13、若二次函数y =ax 2的图象经过点（－1，2），则二次函数y =ax 2的解析式是＿＿＿. 14、函数)1(432-=x y 的自变量x 的取值范围是 ； 15、已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于A (1，0)，B (3，0)两点，与y 轴交于点C (0，3)，则二次函数的解析式是 ． 16、若函数y =3x 2与直线y =kx +3的交点为（2，b ），则k ＝＿＿，b ＝＿＿. 17、函数y =9－4x 2，当x =_________时有最大值________. 18、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示， 则a 0,b 0,c 0。
（填“<” 或“>”）三、细心做一做：（本大题共5小题，每小题6分，共30分。
）19、求函数.y =4x 2+24x +35的图像的对称轴、顶点坐标及与x 轴的交点坐标.；20、试写出一个开口方向向上，对称轴为直线2x =，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的表达式；21、已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、N （2，0），且经过点（1，2），求这个函数的表达式；22、已知抛物线的顶点为（1，-1），且过点（2，1），求这个函数的表达式；D CB F E A 23、已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式；四、勇敢闯一闯：（本大题共 2小题，每小题 8分，共16分。
）24、某工厂现有80台机器，每台机器平均每天生产384件产品，现准备增加一批同类机器以提高生产总量，在试生产中发现，由于其他生产条件没变，因此每增加一台机器，每台机器平均每天将少生产4件产品．（1）如果增加x 台机器，每天的生产总量为y 件，请你写出y 与x 之间的关系式； （2）增加多少台机器，可以使每天的生产总量最大？最大生产总量是多少？25、已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =4，AC =8，点D 在斜边AB 上， 分别作DE ⊥AC ，DF ⊥BC ，垂足分别为E 、F ，得四边形DECF ，设DE =x ，DF =y . (1)用含y 的代数式表示AE . (2)求y 与x 之间的函数关系式，并求出x 的取值范围.(3)设四边形DECF 的面积为S ，求出S 的最大值.。