第二章 二次函数知识整理及基础训练(含答案)
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第二章 二次函数知识整理及基础训练
【知识整理】
1. 定义：形如：
c bx ax y ++=2（其中a,b,c 是常数，且a ≠0）的函数是二次函数。
2. 本质：二次函数是用自变量的二次式表示的函数。
3. 图象：二次函数的图象是抛物线，抛物线是轴对称图形，对称轴和抛物线的交点叫做抛
物线的顶点。
4. 二次项的系数a 对抛物线的影响：
当 a>0时,抛物线的开口向上, 当 a<0时,抛物线的开口向下；
a 越大开口越小, a 越小开口越大.
综上所述：a 决定抛物线的开口大小和方向，即a 决定抛物线的形状。 5. 一次项的系数b 对抛物线的影响： 当b=0时,抛物线的对称轴是y 轴； 当a,b 同号时,对称轴在y 轴的左边；
当a,b 异号时,对称轴在y 轴的右边。即“左同右异” 综上所述：a,b 决定抛物线的左右位置。 6. 常数项c 对抛物线的影响：
当c>0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴； 当c<0时,抛物线与y 轴的交点在y 轴的负半轴； 当c=0时,抛物线经过原点.
综上所述：c 决定抛物线的上下位置。 7. 判别式⊿对抛物线的影响：
当⊿>0时,抛物线与x 轴有两个交点；
当⊿=0时,抛物线与x 轴有一个交点,即顶点在x 轴上； 当⊿<0时,抛物线与x 轴没有交点。
综上所述：⊿决定抛物线与x 轴交点的个数。 8. 当 a>0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为正；
当 a<0且⊿<0时, 二次函数c bx ax y ++=2的值恒为负。
9. 当x=0, 二次函数
c bx ax y ++=2的值为c, 当x=1, 二次函数c bx ax y ++=2的
值为c b a ++, 当x=-1, 二次函数c bx ax y ++=2
的值为c b a +-,……
10. 二次函数c bx ax y ++=2
的对称轴为直线a
b
x 2-
=，顶点坐标为⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--a b ac a b 44,22
11. 二次函数的解析式有如下三种形式：
12. 当 a>0时，若a b
x 2-
<，y 随着x 的增大而减小，若a b x 2->，y 随着x 的增大而增大，当 a<0时，若a b
x 2-<，y 随着x 的增大而增大，若a
b x 2->，y 随着x 的增大
而减小。
13. 当 a>0时，二次函数c bx ax y ++=2
有最小值，最小值为
a
b a
c 442
-
当 a<0时，二次函数c bx ax y ++=2
有最大值，最大值为
a
b a
c 442
-
也可以把a
b x 2-
=代入c bx ax y ++=2
中求最大值和最小值。 1４.抛物线
c bx ax y ++=2在x 轴上截得的线段的长度就是方程02=++c bx ax 的两
个解差的绝对值
a
∆。 【典型例题】
【例1】二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图1，则点M （b ，
c
a
）在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【例2】直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2
－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（ ）
A.(0，0)
B.(1，－2)
C.(0，－1)
D.(－2，1)
【例3】已知抛物线y=1
2
x2+x-
5
2
．
（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴．
（2）若该抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【例5】把二次函数y=2x2－4x＋5化成y=a（x－h）2＋k的形式是，其图象开口方向，顶点坐标是，当x＝时，函数y有最值，
y随x的增大而减小。
5
3
2
1
2-
+
-
=x
x
y的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是
（）
A．
2
5
2
3
4
1
2-
+
-
=x
x
y B．8
7
2
1
2+
-
-
=x
x
y
C．10
6
2
1
2+
+
=x
x
y D．5
3
2-
+
-
=x
x
y
【例7】二次函数c
bx
x
y+
+
=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）
A．x＝4 B. x＝3 C. x＝－5 D. x＝－1。
【例8】抛物线1
2
2+
-
-
=m
mx
x
y的图象过原点，则m为（）
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【例9】已知反比例函数
x
k
y=的图象如右图所示，则二次函数
2
2
2k
x
kx
y+
-
=的图象大致为（）
A B C D
【例10】如果一条抛物线经过平移之后能够和抛物线
2
3
1
2+
-
=x
y
重合，且顶点坐标为（4，2），
则它的解析式为