误差分析课件线性回归及应用
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施肥量x
产量y
15 20 25 30 35 40 45 50
3ห้องสมุดไป่ตู้0
345
365
405
445
450
455
465
例1-1：
• 为获得施肥量与产量之间的输入输出关 系，将测的那些实验数据点标在坐标纸上， 445 如下图示
405 365 345 330
20 25 30 35 40 45 50
称为散点图。从散点图上可看出产量y与施肥量 x之间基本呈直线关系。
N
2
b、b0 • 5.计算
h b xy 0 . 100077 ; b y b x 0 . 00017 0 h xx
1.1一元线性回归
• 一、一元线性回归方程的求法 • 一元线性回归是处理随机变量 和变 量 之间线性相关关系的一种方法。
一元线性回归的数学模型为
y x 0
（1-1）
式中，0 , ——待定常数和系数； ——测量的随机误差。
一元线性回归方程的求法（Ⅰ）
•
y1 0 x1 1 y 2 0 x2 2 y N 0 xN N , , , 设测量误差 1 2 N服从同一正态分布
N N N
2
（1-12）
（1-13）
一元线性回归方程的求法（Ⅳ）
• 至此，可确定一元线性回归方程 ˆ b bx y
0
回归直线方程的点斜式 ˆ y y b x x
它表明回归直线通过点 x, y ，只须在数 ˆ0， 据域任取一点 x 0 代入回归方程，得到一点 x0, y 则可由这两点绘出回归直线。
x , x , , x x 1 2 N 当 的值为
时，相应有
0 N , ，且相互独立，则用最小二乘法估计参
数0 , ，设估计量分别为 b 0 , b ，那么可得一元 线性回归方程 ˆ b y bx （1-2） 0 式中，b 0 , b 为常数和回归系数。
一元线性回归方程的求法（Ⅱ）
• 由以上两式，经推导整理可得 y
N i
b 0
i 1
b
yy xy y x x x
i 1 N i i 2 i
N
N
b y bx
N i 1 N i
N
x x x
i 1 i 1 i
i 1
i
i
x x
i 1 i
N
2
h xy h xx
N N 1 h x x y y x y x y 式中， （ 1-11 ） xy i i ii i i N i 1 i 1 i 1 i 1 N N
2 2 1 h x x x x xx i i i N i 1 i 1 i 1 2 N N N 2 2 1 h y y y y yy i i i N i 1 i 1 i 1
i 1
1 2 h x x 42 d1 1 h yy 2 h y y 0 . 4206483 d2 1 h xy h 4 . 203240 d 1 d 2 x y
1 y i 42 . 06483 N i 1 N N 1 x i y i x i y i 42 . 03240 N i 1 i 1 y i 2
线性回归分析
• 线性回归分析及应用
线性回归分析
• 两个变量之间的关系：
• 1.函数关系－－－确定的关系 • 2.相关关系－－－非确定的关 系 • （1）一个可控制，另一个不可控制
• （2)两个变量都不可控制（随机）
线性回归分析
• 3.回归分析
• 回归分析就是通过对一定数量的观测数 据进行统计处理，以找出变量间相互依赖 的统计规律。 • 例1-1：
例1-2（Ⅰ）：
• 例1-2： • 假如某大量程式位移传感器的实测数据如 xi yi 下表所示，求输出电压 与位移 之间的关 系。
位移
x/mm
输出电 压
0
0
1
2
3
4
5
6
7
y/V
0.0 0.1 0.4 0.6 0.7 0.29 0.50 998 998 000 003 003 994 025 9 3 8 6 9
例1-2（Ⅰ）：
解：具体步骤如下 1.变量之间大体呈线性关系，设它们满足一元 线性回归方程 令
ˆ b y bx 0
x x （即 0 , d 1 ） ; y 10 y （即 0 , d 10 ） i i c 1 1 i i c 2 2 2 2 x 、 y 、 x 、 y x y 2.分别计算 i i i i 、 i i的值，填入表1-1中。
表
（1-3）
Q 值的大小反映全部观测值与回归直线的偏 离程度，应使 Q 最小。根据最小二乘原理，有
N Q 0 2yi b0 bx i b0 i1 N Q xi 0 2yi b0 bx i b i1
（1-4）
（1-5）
一元线性回归方程的求法（Ⅲ）
3.对个列数据分别求和，列入表1-1的最后一行。 4.计算 hxx, hyy, hxy
1 2 h x x 42 x x i i N i 1 1 i
N N 2
例1-2（Ⅱ）：
h y y h x y h xx
N
i 1 N
•
示
记 它表示某一点 xi , yi 与回归直线的偏离程度。
2 ˆ Q v y y y b bx i i i i 0 i i 1 i 1 i 1 N N 2 N 2
yi ˆi y vi 某一观测值 与回归值 之差用 ˆ 1 , 2 , ,N i v y y y b bx i i i i 0 i
产量y
15 20 25 30 35 40 45 50
3ห้องสมุดไป่ตู้0
345
365
405
445
450
455
465
例1-1：
• 为获得施肥量与产量之间的输入输出关 系，将测的那些实验数据点标在坐标纸上， 445 如下图示
405 365 345 330
20 25 30 35 40 45 50
称为散点图。从散点图上可看出产量y与施肥量 x之间基本呈直线关系。
N
2
b、b0 • 5.计算
h b xy 0 . 100077 ; b y b x 0 . 00017 0 h xx
1.1一元线性回归
• 一、一元线性回归方程的求法 • 一元线性回归是处理随机变量 和变 量 之间线性相关关系的一种方法。
一元线性回归的数学模型为
y x 0
（1-1）
式中，0 , ——待定常数和系数； ——测量的随机误差。
一元线性回归方程的求法（Ⅰ）
•
y1 0 x1 1 y 2 0 x2 2 y N 0 xN N , , , 设测量误差 1 2 N服从同一正态分布
N N N
2
（1-12）
（1-13）
一元线性回归方程的求法（Ⅳ）
• 至此，可确定一元线性回归方程 ˆ b bx y
0
回归直线方程的点斜式 ˆ y y b x x
它表明回归直线通过点 x, y ，只须在数 ˆ0， 据域任取一点 x 0 代入回归方程，得到一点 x0, y 则可由这两点绘出回归直线。
x , x , , x x 1 2 N 当 的值为
时，相应有
0 N , ，且相互独立，则用最小二乘法估计参
数0 , ，设估计量分别为 b 0 , b ，那么可得一元 线性回归方程 ˆ b y bx （1-2） 0 式中，b 0 , b 为常数和回归系数。
一元线性回归方程的求法（Ⅱ）
• 由以上两式，经推导整理可得 y
N i
b 0
i 1
b
yy xy y x x x
i 1 N i i 2 i
N
N
b y bx
N i 1 N i
N
x x x
i 1 i 1 i
i 1
i
i
x x
i 1 i
N
2
h xy h xx
N N 1 h x x y y x y x y 式中， （ 1-11 ） xy i i ii i i N i 1 i 1 i 1 i 1 N N
2 2 1 h x x x x xx i i i N i 1 i 1 i 1 2 N N N 2 2 1 h y y y y yy i i i N i 1 i 1 i 1
i 1
1 2 h x x 42 d1 1 h yy 2 h y y 0 . 4206483 d2 1 h xy h 4 . 203240 d 1 d 2 x y
1 y i 42 . 06483 N i 1 N N 1 x i y i x i y i 42 . 03240 N i 1 i 1 y i 2
线性回归分析
• 线性回归分析及应用
线性回归分析
• 两个变量之间的关系：
• 1.函数关系－－－确定的关系 • 2.相关关系－－－非确定的关 系 • （1）一个可控制，另一个不可控制
• （2)两个变量都不可控制（随机）
线性回归分析
• 3.回归分析
• 回归分析就是通过对一定数量的观测数 据进行统计处理，以找出变量间相互依赖 的统计规律。 • 例1-1：
例1-2（Ⅰ）：
• 例1-2： • 假如某大量程式位移传感器的实测数据如 xi yi 下表所示，求输出电压 与位移 之间的关 系。
位移
x/mm
输出电 压
0
0
1
2
3
4
5
6
7
y/V
0.0 0.1 0.4 0.6 0.7 0.29 0.50 998 998 000 003 003 994 025 9 3 8 6 9
例1-2（Ⅰ）：
解：具体步骤如下 1.变量之间大体呈线性关系，设它们满足一元 线性回归方程 令
ˆ b y bx 0
x x （即 0 , d 1 ） ; y 10 y （即 0 , d 10 ） i i c 1 1 i i c 2 2 2 2 x 、 y 、 x 、 y x y 2.分别计算 i i i i 、 i i的值，填入表1-1中。
表
（1-3）
Q 值的大小反映全部观测值与回归直线的偏 离程度，应使 Q 最小。根据最小二乘原理，有
N Q 0 2yi b0 bx i b0 i1 N Q xi 0 2yi b0 bx i b i1
（1-4）
（1-5）
一元线性回归方程的求法（Ⅲ）
3.对个列数据分别求和，列入表1-1的最后一行。 4.计算 hxx, hyy, hxy
1 2 h x x 42 x x i i N i 1 1 i
N N 2
例1-2（Ⅱ）：
h y y h x y h xx
N
i 1 N
•
示
记 它表示某一点 xi , yi 与回归直线的偏离程度。
2 ˆ Q v y y y b bx i i i i 0 i i 1 i 1 i 1 N N 2 N 2
yi ˆi y vi 某一观测值 与回归值 之差用 ˆ 1 , 2 , ,N i v y y y b bx i i i i 0 i