弹塑性力学_应变2(oct19)

（3.13）
5
结论：小应变张量 εij 的三个对角分量等于 轴向三个线元的工程正应变，以拉伸为正, 缩短为负。
（4）工程剪应变 - 在小变形情况下，线元的转动
（a）
- 任意线元变形后的方向余弦
（3.15）
代入
6
在小变形情况下，线元的转动
（3.24 3 24）
结论：上述公式可由位移梯度分量 ∂ui/∂aj 和 线元正应变εv ，计算任意方向线元变形后的余 弦。
结论：可根据九个应变分量求出任意方向的 正应变和剪应变。小应变张量完全表征了一点 的应变状态。
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（2）应变张量是二阶对称张量 - 特征方程 每点的应变状态 每点的应力状态 主应变和主应变方向 应变张量 应力张量
主应变和主应变方向 应变张量在每点至少存在三个相互正交的方 向，沿这三个方向的微分线段在物体发生形 状变化后，只是各自地改变了长度，而其相 互之间的夹角始终保持为直角。 这样的方向既为主应变方向， 沿主应变方向的正应变分量即为主应变。
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- 应变张量在每点至少存在三个相互正交 的主方向
并且：εI ≥ εII ≥ εIII
分别称为第一、第二和第三应变不变量
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应变主坐标系 - 若以物体内任一点三个互相垂直的主应变 作为直角坐标系的三个坐标轴 这样的坐标 作为直角坐标系的三个坐标轴，这样的坐标 系称为应变主坐标系。 - 在应变主坐标系中 设主坐标的基矢量为： e1, e2, e3 -- 相应的主应变为：ε1, ε2, ε3 -- 则应变张量为：ε = ε1e1e1+ε2e2e2 +ε3e3e3
由此，可得矢量 M’A’,M’B’,M’C’的 表达式为：
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变形后的体积是:
24
（4）最大剪应变 最大剪应变发生在主平面内，其值为最大与最 小主应变之差。 如果： 则：
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（5）应变张量可分解为球形张量和偏斜张量
（6）应变张量的其它特性和图形表示 等倾线元正应变（又称八面体正应变）等于 平均正应变
C点:u(x、y、z+dz) v(x、y、z+dz) w(x、y、z+dz) 将它们按多元函数 泰勒级数展开， 并略去二阶以上的无穷小量，可得A,B,C点的位 移矢量分别为：
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于是变形后,M点的新位置 M’的坐标为： (x+u,y+v,z+w) 而A,B,C点的相应新位置 A’,B’,C’的坐标为：
x 1 ij yx 2 1 zx 2 1 1 xy xz 2 2 11 12 13 1 y yz 21 22 23 2 1 31 32 33 zy z 2
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表示线元dx 以角速度 以角速度ω 旋转时，其 末端 Q相对 于始端 P的 位移
u(ห้องสมุดไป่ตู้)
是线元 随P点 的刚体 平移
du是Q 点相对 于P点 的位移 增量.
37
其中: u(X) 是线元随P点的刚 体平移du是Q点相对于P点的位 移增量.
(3.39)
(3.40)
刚体平移
变形
刚体转动
38

总结：

基本假设： ：
连续性假设：将可变形固体看作密实无间隙的物体。因而一些 物理量可以表示成坐标的连续函数。 均匀性假设：假定物体是用同一类型的均匀材料组成，而且在 物体内各点、各方向具有相同的物理性质。 小变形假设：在外界因素作用下产生物体内各点的位移远小于 物体原尺寸，可忽略变形引起的几何变化。
变形的描述（小应变） 小变形假设说明应变( 包括线应变与角应变 ) 均远远小于1。根据这一假定： （1）在弹塑性体产生变形后建立平衡方程时， 可以不考虑因变形而引起的力作用线方向的 改变； （2）在研究问题的过程中可以略去相关的二次 及二次以上的高阶微量；
（3）体积应变
第一应变不变量表示每单位体积变形后的体 第 应变 变 表示每单位体积变形后 体 积变化，又称体积应变
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如图所示微六面体的体积变化。微六面体的 边长分别是dx 、 dy 、dz.。变形前的体积 是Vo =dxdydz。
设M点的坐标为（x 、y 、z）。则A,B,C点 的坐标分别为： A点:(x +dx、y 、z) B点 ( B点:(x、y+dy +d 、z) ) C点:(x、y、z+dz)
从而使得平衡条件与几何变形条件线性化。
2
4. 应变位移公式（几何方程）
小变形情况下，对坐标 ai, xi下可以不加区别。
（1） 小应变张量：
（3.20）
3
实体表现形式：
（2）应变位移公式（几何方程） 实体表现形式：
这是一组线性微分方程，称为应变位移公式或 几何方程
4
（3）工程正应变 回顾：长度比公式
弹塑性力学
教师: 王晓红 办公室：工北 - 316 电话：82903261 电子邮件：wangxh@stu.edu.cn
弹塑性力学
应变理论
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回顾：基本假设和基本规律
实际问题由多方面因素构成，分析极为复杂。应按照物体 的性质，以及求解范围，忽略一些暂时可不考虑的因素， 使我们研究的问题限定在一个方便可行的范围内。
在物体变形后MA,MB,MC 分 变为 分别变为：M’A’,M’B’,M’C’
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在物体变形后,MA,MB,MC 分别变为： M’A’,M’B’,M’C’ 设 点的位移矢量为（ 、 设M点的位移矢量为（u 、v 、 、w）,则根据连续 ）,则根据连续 性假设，A,B,C点的位移矢量分别为： A点:u(x +dx、y 、z) v(x +dx、y 、z) w(x +dx、y 、z) B点:u(x、y+dy 、z) v(x、y+dy 、z) w(x、y+dy 、z)
求 出
代入
30
得：
31
6.刚体转动 （1）刚体平移、变形和 刚体转动

一点领域内的位移场
物体中的位移场 u 是由 变形和刚体运动（平移和 转动）共同引起的。如图 所示线元 PQ
变形前： P点的位置：P(X) Q点的位置：Q(X+dX) P点的位移（P→P’ ）： u(X) Q点的位移（Q→Q’ ）： u(X+dX)= u(X)+du
P点处微单元的应变张量和转动张量求得。
43
转动矢量的公式：
44
7
- 结论：
8
- 两线元间的夹角变化
代入公式（3.20）
（3.20）
9
（3.25）
10
11

总结：
12
- 变形的描述（几何方程）
工程正应变 13
例2：物体内部一点的应变张量为
工程剪应变
试求：
14
解：
解：
15
解：
16
5. 小应变张量的性质 （1）应变张量是二阶对称张量 - 坐标转换公式
(3.39)
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例4： 已知：物体内部的位移场由坐标的函数给出， 为：
试 试求：P（1，0， 2)点处微单元的应变张量、 微 转动张量和转动矢量。
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解： （1）应变张量的公式：

转动张量
41
得
求导代入
将P点坐标 代入
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P（1，0， 2)
代入 得
思路：
分解成对称张 分解成对称张量和反对称张量 反对称张
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八面体剪应变是等倾面法线与等倾面上任意 线元间之剪应变的最大值
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例3： 已知：设物体中位移分量为：
试 试求：P（1，1， 1)点处的最大正应变和最 最 最 大剪应变. 解：由几何方程求出任意点处的应变张量
解： (1)由几何方程得
代入
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求解出应变张量
(2)求解相应点处的主正应：
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u(X)是
线元随 P点的 刚体平 移
du是Q 点相对 于P点 的位移 增量.

回顾
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（2）转动张量与转动矢量

转动张量
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反对称张量只有三个独立分量，记为：
独立分量数（3）和一个矢量相同，以此三 个独立分量作为分量，可以构造一个矢量。
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转动矢量
转动张量的对（反）偶矢量
（3.38a)