第三章均匀各向同性大地的正常电磁场及视电阻率公式

Er = Ex cos j + E y sin j Ej = E y cos j - E x sin j 变换为 ü cos j [ 1 + ( 1 + kr ) e - kr ] ï ï 2 pr ý P r - kr ï E E = sin j [ 2 ( 1 + kr ) e ] j ï 2 pr 3 þ E r =
pr 3
（4.3.8）
上式第四式与平面电磁波情况相同（见 4.2.37）式。这是偶极场的远区具有不均匀平面波性 质的较好证明。 实际使用的交流电阻率公式仍然是
DU w I
rw = K
（4.3.9）
当在远区用 M、N 电极测量 Ex 时（AB—MN 装置） ，考虑到 D U w = E , P w MN E = I × AB ，代 入（4.3.8）第一式得
E x rw =
pr 3
AB × MN
DU w I
（4.3.10）
可见，装置系数为
AB × MN 再考虑用接收线圈（或回线）测量垂直磁场（即 AB—S 装置）的情况。因为磁场产生 K Ex =
pr 3
的感应电动势为
e w = iwm nsH w
式中 s 为接收线圈面积，n 为匝数。利用上式由（4.3.8）第三式得
图 4.3.2 均匀大地表面 上的偶极子
极场源的组合。 1．电磁场表达式 设地表沿 X 方向有长度为 l 的电偶极子 AB，其中电流为 I = I 0 e -i wt ，坐标原点位于偶 极子中心，z 轴垂直向下（图 4.3.2） ，上半空间（空气）波数 k0=0，下半空间波数为 k，电 阻率为r，并设上、下半空间磁导率皆为m，这时电偶极子场的分布相对于铅垂面是对称的， 即 A y = 0 ， 但分界面的影响使 Ax 改变， 也破坏了场在 z 方向的对称性， 故出现 Az 分量。 （4.2.17） 式中的亥姆霍兹方程可用柱坐标表示为 ¶ 2 A 1 ¶A 1 ¶ 2 A ¶ 2 A + + 2 + 2 - k 2 A = 0 2 2 r ¶r r ¶j ¶r ¶z 式中 A 为矢量位 A 的 x 或 z 分量， k = - i wm / r 。 用分离变量法解上式，并利用（4.2.17）的另二个式子，可求得均匀大地表面任一点 P ( x , y ) 即 M、N 电极中点或接收线圈 S 所在点的电磁场表达式：
ü ï 4 pr k ï 2 ï P k ï * H r = M ( I 1 K ý 1 - I 2 K 2 ) 4 pr ï 2 P ï * 2 2 3 3 - kr M H z = [( 9 + 9 kr + 4 k r + k r ) e - 9 ] ï 5 2 4 pr k ï þ
（4.3.1）
式中发—收矩 r = x 2 + y 2 ，电偶极距 PE = I l ，I0、K0、I1、K1 为零阶和一阶的第一类和第 二类虚宗量贝塞尔函数，其宗量为 kr / 2 , j 为 r 与 x 轴正向的夹角。 2．电磁场的空间频率特性 将（4.3.1）式前两式利用坐标变换公式
H z r w =
2 pr 4 e w 3 ABns I
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Hz
（4.3.11）
可见，装置系数为
2 pr 4 3 ABns （4.3.10）和（4.3.11）两式是目前应用较广泛的频率测深视电阻率公式。 K H Z =
二、
均匀大地表面上垂直磁偶极子场源的电磁场及视电阻率公式
对于垂直磁偶极子（水平线圈）发射源（S—MN 装置或 S—s 装置） ，也可作完全类似 的讨论。解（4.2.19）式得
2p r 3 对轴向装置（j=0°） ，得到 P r E x = E 3 pr E x = P E r k 2 r 2 －……，代入（4.3.1）中第一式，对赤道装置 2
而对于磁场垂直分量，将上述 e -kr 的级数展 开式代入（4.3.1）中第六式，有 P H z = E 2 sin j 4 pr
e z æ 1 9 ö ü -L÷ ï ç 1 + + 2 2 p z è 8 z 128 z ø ï z e æ 3 15 ö ï I1 ( z ) = - L÷ ï ç 1 - 2 2 p z è 8 z 128 z ø ï ý p - z æ 1 9 öï K 0 ( z ) = e ç 1 - + + L ÷ï 2 z è 8 z 128 z 2 ø ï p - z æ 3 15 öï K1 ( z ) = e ç 1 + + L÷ ï 2 z è 8 z 128 z 2 øþ I 0 ( z ) =
一、
均匀大地表面上水平电偶极子场源的电磁场及视电阻率公式
研究均匀大地表面上交变电偶极子场源的正常电磁场是一个 重要的理论问题。当接地电极 A、B 间长度小于 AB 中心到观测点 距离的 3~5 倍时，观测点处的场就可以看作是位于大地—空气分 界面之上的电偶极子场。长导线场源的电磁场求解问题，实质上 是偶极场源电磁场的积分问题，因为长导线场源可视为无数个偶
* Ej = 4 2
i wm 2 P M 1
E x =
3
, H y =
外，磁场水平分量与 r 成比例，所以它对电阻率的分辨能力较差。 对于赤道装置， 理论上可采用下述五种方法来确定均匀大地的电阻率或非均匀大地的视 电阻率。由（4.3.6）式有
ü ï E x ï rw = | E x | P ï E ï 2 6 p wm r H 2 ï r w y = | H | y 2 ï P E ï ï 2 pwm r 4 H z rw = | H z | ý 3 P E ï 2 ï 1 E x E x / H y ï rw = ï wm H y ï 2 ï 2 4 wm r H z ï E / H r w z y = 9 H y ï þ
第三章 均匀各向同性大地的正常电磁场及视电阻率公式
4.3..1 均匀大地表面上谐变偶极子场源的电磁场及视电阻率公式
为了以下讨论方便， 我们介绍几种电磁测深的测量装置。 如图 4.3.1 所示， a 图中采用 A、
图 4.3.1 人工源电磁测深中常用的装置类型
T—发射机，R—接收机
B 电极（电偶极子场源）向地下供入谐变或阶跃电流进行激发，用 M、N 电极测量一次交变 电磁场作用下地下导电体因感应产生的涡流引起的异常电场分量。这种工作装置称为 AB— MN 装置。图中 AB 中点和 MN 中点连线（即发—收距）r 与 AB 的夹角为 j ， j =90°称为赤 道装置，j =0°称为轴向装置。b 图与 a 图的差别仅在于用多匝线圈（或回线）R 测量异常磁 场的分量，称为 AB—S 装置。采用不同 的野外工作方法，可以测量总场，也可以只测量二次场。c 图中发射源 T 为通有谐变或阶跃 电流的多匝回线，属磁偶极子场源，用 M、N 测量异常电场分量，称为 S—MN 装置；d 图 只是接收部分改为多匝线圈 R，测量异常磁场分量，称为 S—s 装置。当 T 和 R 同线，且发 射和接收都是同一种磁场分量时，称为共面装置、e 图和 f 图发射线圈 T 和接收线圈 R 共面 且共中心，称为共圈装置。
的前二项，代入（4.3.1）式，对赤道装置，得到 Pr P 3 P E r Ex = - E 3 , H y = - E , H z = 3 4 pr pr k 2p r iwm 对于轴向装置，有
P E r P E
（4.3.6）
（4.3.7） 2pr 2 pr 3 k 由以上式子看出，所有远区场的水平分量均与 r3 成反比，而垂直分量与 r4 成反比。另
3
P E r
（4.3.2）
利用直流电场表达式
E r 0 = P E r
pr
3
cos j, E j0 = E r
P E r 2 pr 3
sin j
分别对（4.3.2）式进行归一化，得
1 ü [1 + ( 1 + kr ) e -kr ] ï 2 ï （4.3.3） ý E j - kr ï e = 2 - ( 1 + kr ) e j = ï E j 0 þ 这便是均匀半空间水平电偶极子电场的空间频率特性函数，它只与无量纲参数 kr 有关，描 e r = E r 0 =
述了均匀介质中谐变电场的频率特性（见图 4.3.3） 。
由图可见，当无量纲参数（或称综合参数）p 很小时（ p < 0. 5 ) ， e r 和 e j 均接近于 1，
E ( w ) 计算的交流电阻率与直流电阻率相同，此 I 式中 K 为直流电法中的装置系数。 我们已经知道， p =| kr | 很小的范围为近区。 相反， 当 p > 10
图 4.3.3 电偶极子正常电场空间 频率特性曲线
由此可见，电偶极子产生的近区电场 与直流电场相同，即与频率无关。而其磁 场分量与介质电阻率无关，不能反映地电 断面特性。
图 4.3.4 电偶极子垂直磁场 正常场空间频率特性曲线
（2）远区情况 | kr | ® ¥ 时， e - kr ® 0 ，并取 | z |> 7 的渐近展开式
则交流电场逼近于直流电场。故按 r (w ) = K
（远区）时， e j ® 2 ，而 e r ® 1 / 2 。这表明赤道装置的交流电阻率为介质真电阻率的 2 倍， 而轴向装置的交流电阻率为介质真电阻率的 1/2。 下面讨论磁场垂直分量的空间频率特性函数的变化规律，为此，利用毕­沙定律确定的 直流偶极磁场的表达式 P H z 0 = E 2 sin j （4.3.4） 4 pr 对（4.3.1）第六式归一化，得 H z - 2 h = 2 2 [( 3 + 3 kr + k 2 r 2 ) e - kr - 3 ] （4.3.5） z = H z 0 k r 按上式计算的曲线绘于图 4.3.4 上。由图可见，当 p << 1时 | h z | 值逼近于 1，即交变磁场与直 流磁场无区别。而随着频率或参数 p 的增大， | h 1 时，令 e - kr ® 0 ，由 z | 急剧减小。当 p >> （4.3.5）式可导出 hz 的右支曲线表达式 6 r | h = z | 2 pm r 2 f 表明此时 | h z | 与频率成反比。 3．视电阻率公式 （4.3.1）式中电阻率以隐函数形式存在，从中提出电阻率r是不太可能的。下面以近区 和远区两种特殊情况，推导视电阻率表达式。 （1）近区情况 | kr | ® 0 时，考虑到 e -kr » 1 - kr + （j=90°） ，得到
P - kr E r é3 cos2 j - 2 + (1 + kr ) ù e û 2 p r 3 ë 3 P r E y = E 3 sin j cos j 2 p r E = 0 z E x = ü ï ï ï ï ï ï ï P ý E H x = sin j cos j [8 I K kr ( I K I K )] 1 1 0 1 1 0 ï 4 p r 2 ï P é kr ùï H y = E 2 ê (1 - 4 sin 2 j) I1 K1 + sin 2 j( I 0 K1 - I1 K ) 0 ú ï 2p r ë 2 û ï P 1 2 2 - kr ï E ù H z = sin j 2 é (3 + 3kr + k r )e - 3 û ï 2p r4 k ë þ