理论力学-8-质点动力学

y
dy
eA
t
sin ktdt
0
mk 0
得运动方程
x v0t,
y
eA mk 2
cos
kt
1
消去t, 得轨迹方程
y
eA mk 2
cos
k v0
x
1
这是第二类基本问题。
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题3
单摆由一无重量细
长杆和固结在细长杆一
端的重球组成。杆长为
l，球质量为m。
m
试求：
1. 单摆的运动微分方程；
已知：质点M（质量m）， 作用其上的力有F1，F2，…, Fn。 根据牛顿第二定律，在不同 坐标系中，质点在惯性系中 的运动微分方程有以下几种 形式：
矢量形式
mr Fi
i
8.1 质点运动微分方程
直角坐标形式
mx Fix
i
my Fiy
i
mz Fiz
i
8.1 质点运动微分方程
自然坐标形式
动力学的基本问题：
第一类基本问题：已知运动求力。 如：万有引力定律的发现。
在求解过程中需对运动方程求导即可。
“我（牛顿）之所以看得远，是因为我站在巨人的肩膀之上。” 牛顿在总结前人的研究成果，包括： 1）哥白尼（1473－1543） 日心说
2）第谷·布拉赫（1546－1601）积累的天文观察资料 3）开普勒（1571－1630）行星三定律
刚体：质点系的一种特殊情形，其中任意两个质点间的距 离保持不变，也称不变的质点系。
第三篇 动力学
第8章 质点动力学
第三篇 动力学
质点动力学(dynamics of a particle)：研究作用 在质点上的力和质点运动之间的关系。本章主要介
绍质点在惯性系下的运动微分方程。
第8章 质点动力学
8.1 质点运动微分方程 8.2 质点动力学的两类基本问题 8.3 结论与讨论
s l , s l,s l
ms mg sin
s 2 m
l
FN
mg
cos
g sin 0
l
FN
mgcos
v2 m
l
8.2 质点动力学的两类基本问题
解：1. 单摆的运动微分方程：
g sin 0
l
FN
mgcos
m v2 l
第一式描述了系统的运动，即单摆运动微分方程； 第二式给出了杆对球约束力的表达式。
总结出万有引力定律，写出了《自然哲学之数学原理》一书 (1687年)，对动力学作了系统的描述，提出了牛顿三定律，它
是整个古典力学的基础。
8.2 质点动力学的两类基本问题
第二类基本问题：已知力求运动。 如：跳楼时救援气垫的摆放位置。
所谓已知力是指：力F 可以表示成F F (v, r, t) 的已知函数 在求解过程中需解微分方程，即求积分的过程 。
求：小球的速度v与 绳的张力F。
8.2 质点动力学的两类基本问题
解：对象：小球；受力：小球的受重力及绳子的拉力如图所
示；运动：圆周运动；方程：采用自然法求解，其运动微分
方程为
v2
m
l sin
n
Fin
i 1
F sin
n
mab Fib = F cos - mg 0
i 1
解得
F mg 1.96N
当t 0和 时
，连杆AB所受的力。
2
8.2 质点动力学的两类基本问题
解：对象：滑块 受力：如右图 运动：平移
x
l
1
2
4
r
cos
t
4
cos
2
t
方程：滑块运动微分方程为： max F cos
其中 ax
当
得
x r2 cos
F0时m,ra2x1r
t
2
1
cos 2 t
, 且
0,
8.2 质点动力学的两类基本问题
8.2 质点动力学的两类基本问题
分析小球的运动
（1）微幅摆动
g sin 0
l sin
初始条件： 0 0,
0
u l
g 0
l
n
g l
n2 0
确定积分常数 A u , 0 l
运动特点：等时性
微分方程的通解 Asin(t ) （周期与初始条件无关）
8.2 质点动力学的两类基本问题
作用下得到的加速度称为重力加速度，用 g 表示。由第二
定律有
P mg 或 m P
g
g 9.780491 0.0052884sin2 0.0000059sin2 2
为纬度
国际计量标准g＝9.80665 m/s2，一般取g＝9.8 m/s2
在国际单位制(SI)中，长度、时间、质量为基本量，它们 的单位以米(m)、秒(s)和千克(kg)为基本单位。其它量均为 导出量，它们的单位则是导出单位。
知常数A,k，忽略质点的重
力，试求质点的运动轨迹。
8.2 质点动力学的两类基本问题
解：对象：点电荷；受力：如图所示；运动：平面曲线；
方程：电荷的质点运动微分方程为
d2x m dt 2
m dvx dt
0,
d2y m dt 2
m dvy dt
eAcos kt
由 t 0时 vx v0, vy 0,
8.2 质点动力学的两类基本问题 两类问题综合
已知部分力和部分运动，求另一部分的力和运动
已知：发动机的输出扭矩、车的重力、车沿直线行驶。 待求：地面约束力，车身的运动（前行速度，上下振动）。
8.2 质点动力学的两类基本问题
求解质点动力学问题的过程与步骤如下
1.对象：确定研究对象，选择适当的坐标系； 2.受力：进行受力分析，画出相应的受力图； 3.运动：进行运动分析，计算出求解问题所需的运动量； 4.方程：列出质点动力学的运动微分方程，分清是第一类 问题还是第二类问题，分别用微分或积分法求解。
第8章 质点动力学
8.1 质点运动微分方程
8.1 质点运动微分方程
理论基础：牛顿定律与微积分
第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
质点保持其原有运动状态不变的属性称为惯性。
第二定律(力与加速度关系定律)
质点的质量与加速度的乘积，等于作用质点的力的大
小，加速度的方向与力的方向相同。
甲板时的速度。
若已知初速度、一定的时间间隔后飞离甲板时 的速度，则需要弹射器施加多大推力，或者确定需 要多长的跑道。
第三篇 动力学
爆破时烟囱怎样倒塌
第三篇 动力学
v1
F v2
棒球在被球棒击打后，其速度的大小 和方向发生了变化。如果已知这种变化
即可确定球与棒的相互作用力。
第三篇 动力学
v2 v1
FN
mgcos
m
l 2
l
2
8.2 质点动力学的两类基本问题
x
解：4. 讨论 ：
本例如果采用直角坐标形式
建立运动微分方程，建立如图 所示的直角坐标系
y
mx Fix
i
my Fiy
i
mz Fiz
mx FNsin
my
mg
FN
cos
i
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题4
一圆锥摆,如图所示。 质量m=0.1kg的小球系于 长l=0.3m 的绳上,绳的另一 端系在固定点O,并与铅直 线成θ＝60°角。如小球在 水平面内作匀速圆周运动，
vm
t
d v dt
v0 F (v)
0
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题1
曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度 转动，OA=r，
AB=l，当 r / l 比较小时,以O 为坐标原点,滑块B 的运动方程
x
l
1
2
4
可近r 似co写s为t
4
cos
2
t
如滑块的质量为m， 忽略摩擦及连杆AB的质量，试求
ax x r 2 cos t cos 2 t
max F cos
当 时,
2
ax r 2
且 cos
l2 r2 l
有 mr 2 F l 2 r 2 l
得 F mr2 2 l 2 r 2 这属于动力学第一类问题。
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题2
，。 、
质量为m的质点带有电 荷e,以速度v0进入强度按 E=Acoskt变化的均匀电场 中,初速度方向与电场强度 垂直,如图所示。质点在电 场中受力F＝－eE作用。已
mr 0mg
cos
F
(1)
mg 由（2）式解得：
FN
mr2
m s2 mr2 mg sin
r
mg sin
F f FN
FN
(2)
代入（1）式得： mr mg cos f (mr2 mg sin )
同理，当： 0 mr mg cos f (mr2 mg sin )
8.2 质点动力学的两类基本问题
8.1 质点运动微分方程
第三定律（作用与反作用定律） 两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是大小
相等、方向相反，沿着同一作用线同时分别作用在这两 个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为古典力学。
适用条件？
第一、二定律惯：性参考系 第 三 定律任：意参考系
8.1 质点运动微分方程
质点运动微分方程
（2）大幅摆动
n2 sin 0
大
幅
摆
动
不
/ rad
具
有
等
时
性
t/s
8.2 质点动力学的两类基本问题
解：3. 在运动已知的情形下求 杆对球的约束力 ：
g sin 0
l
FN
mgcos
m v2 l
现在是已知运动，要求力，属 于第一类动力学问题。
根据已经得到的单摆运动微分方 程
v2 s2 l 2 l2 2
数值方法给出质点位置、 速度和切向加速度随时间
的变化规律
o
r
mg (t)
(t ) (t )
f 0.1
t(s)
0 0rad,0 0rad/s,
8.2 质点动力学的两类基本问题
思考题1：给出垂直上抛物体上升时的运动微分方程。
（设空气阻力的大小与速度的平方成正比）
Baidu Nhomakorabeayv
A : my mg cy 2
cos
v
Fl sin 2
m
2.1m s
这是混合问题。
8.2 质点动力学的两类基本问题
例题5
质点与圆柱面间的动滑动摩擦因数为 f，圆柱半径为 r 为
1m。（1）建立质点的运动微分方程；（2）分析其运动。
Fo
FN n r
解：对象：质点；受力：如图；
运动：圆周运动；方程：质点运
动微分方程为
当：
ms
ms Fit
i
m s2
i
Fin
0 Fib i
s at
s2
v2
an
8.1 质点运动微分方程
1、矢量形式适用于理论分析； 2、直角坐标形式适于计算；
3、合理选择坐标系，如柱坐标、球坐标，会使 计算简便。
第8章 质点动力学
8.2 质点动力学的两类基本问题
8.2 质点动力学的两类基本问题
mg
B : my mg cy 2
o
x
o
x
v
y
mg
C : my mg cy 2 D : my mg cy 2
E: 未给出正确答案
8.2 质点动力学的两类基本问题
A
F n
M a mg
B
思考题2：质点M用两根等长 的绳索吊起，绳索与铅垂线的
8.2 质点动力学的两类基本问题
常见问题的数学处理方法
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
B A
载人飞船的交会与对接
第三篇 动力学
高速列车的振动问题
第三篇 动力学
航空航天器 的姿态控制
第三篇 动力学
动力学研究物体的机械运动与作用力之间的关系。 动力学中所研究的研究对象是质点和质点系(包括刚体)。 质点：具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计
的物体。 质点系：由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。
Nanjing University of Technology
理论力学课堂教学软件（8）
理论力学 第三篇 动力学
第三篇 动力学
动力学
质点动力学 动量定理及其应用
动量矩定理及其应用 动能定理及其应用
达朗贝尔原理
第三篇 动力学
H 舰载飞机在发动机和弹射器推力作用下从甲板上起飞
第三篇 动力学
已知推力和跑道可能 长度，则需要多大的 初速度和一定的时间 间隔后才能达到飞离
积分
dv vx
v0
x
0
得
vy 0
dvy
dx
vx dt
eA m
v0
t
0 cos
vy
ktdt
dy dt
eA mk
sin
kt
8.2 质点动力学的两类基本问题
得
dx vx dt v0
dy eA
vy
dt
sin mk
kt
由 t 0时 x y 0,积分
x
t
dx
0
0 v0dt ,
2. 初始时小球的速度为u ， = 0，分析摆的
运动； 3 在运动已知的情形下求杆对球的约束力。
8.2 质点动力学的两类基本问题
n
ms Fi
i
m s2
n i
Fin
n
o Fib
i
解：1. 单摆的运动微分方程 对象：小球 受力：如图
运动：圆周运动 方程：采用自然坐标形式的 运动微分方程比较合适。
d(mv)
dt
n i 1
Fi
在经典力学中质点的质量是守恒的
ma
n
Fi
i 1
质点的质量越大，其运动状态越不容易改变，也就是质点
的惯性越大。因此，质量是质点惯性的度量。上式是推导
其它动力学方程的出发点，称为动力学基本方程。
8.1 质点运动微分方程
在地球表面，任何物体都受到重力 P 的作用。在重力