线性方程组的基本概念
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阵 B A,b 的秩.
证: 必要性 Ax b有解,则 b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1, A2 , , An等价于A1, A2 , , An ,b
所以二者秩相等,即rA rB
充分性. rA rB, 即rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b
又rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b rA1, A2, , An的极大线性无关组是rA1, A2, , An,b 的极大线性无关组. 故b是A1, A2 , , An的线性组合
证 : 设向量X是方程组AX b的任何一个解, 有AX b,两边左乘矩阵P,则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解. 反之,任取BX Pb的一个解,两边左乘P 1, 则有P1BX b,即AX b, 所以X是AX b的一个解 因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
x2
x3 x4 x5 x5 x6
0 60
x4பைடு நூலகம்
x6
50
x1 x3 60
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2 2 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三
种情况 :
(1) 两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解； (2) 平行，则该方程组无解 (3) 重合，则直线上任何一个点都是方程组的解
例: 3 3型齐次线性方程组的一般形式为：
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中x1, x2 , , xn为未知量,aij和bi为常数;称为m n型线性 方程组
如果b 0,则称方程组为齐次线性方程组 如果存在bi 0,则称方程组为 非齐次线性方程组
例: 2 2型线性方程组的一般形式为：
aa1211xx11
思考题:
1. m n型齐次线性方程组AX 0只有零解的 充要条件是( A ) ( A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C ) A的行向量线性无关 ( D) A的行向量线性相关
定 理 2 : n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩
(1) 若1,2 ,3不共面，则方程组只有零解X [0,0,0]T
(2) 若1,2,3共面但不共线，则垂直于i ,i 1,2,3的
向量X均是解，这些解彼此平行
(3) 若1
,
2
,
3共线，则以
为法向的平面是所有向量
i
都是解,即解向量组成一个平面
定 义 4 .1: 设有m n型线性方程组( I )和k n型 线性方程组(II ),如果( I )和( II )的解向量集合相等, 则称(I )和( II )为 等价的线性方程组
注: 定理表明对增广矩阵作行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [aij]mn 是线性方程组的系数矩阵,用Ai记A 的第i列,即 Ai [a1i ,a2i , ,ami]T , i 1,2, , n 则m n型线性方程组可表示为 x1 A1 x2 A2 xn An b 方程组有解等价于b是A的列向量的线性组合;
即Ax b有解
定 理 3 : n 元非齐次线性方程组 Amn X b 有唯
一解的充分必要条件是r[ A,b] rA n
证: 必要性．已知AX b有唯一解,则由定理2,
r[ Ab] rA 且有唯一解向量[ x1, x2 , , xn ]T ,使
b x1 A1 x2 A2 xn An.
二、线性方程组的矩阵表示
利用矩阵乘法, m n型线性方程组可表示为 Amn X n1 bm1 , 称Amn为线性方程组的系数矩阵;[ Ab]称为线性方程组的 增 广 矩 阵 ; 方程组的解是使矩阵等式成立的n维向量X
定 理 4. 1: 设矩阵A和B是行初等变换下等价的矩阵, 即存在可逆矩阵P,使PA B,则线性方程组AX b BX Pb是等价的线性方程组
解: 设笼中有x只鸡, y只兔子
则 x y 35 2x 4 y 94
解得 x 23
y
12
所以笼中有23只鸡,12只兔.
下面是一个城市某街区的交通流量图: 给出x2 , x3 , x4 , x5的最小流量.
解: 由各路口流入和流出量相等,可得
x1 x2 50
设rA n, 则向量组A1, A2, , An线性相关,存在
方程组的解就是列向量线性组合的组合系数.
思考: 如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B ， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定 理 1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 RA n.
证 x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
A1, A2 , , An线性相关 rA1, A2 , , An n 即rA n
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
问题的提出:
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》 中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问雏兔各几何？”
这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子 里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只 脚。求笼中各有几只鸡和兔？
a11x1 a12 x2 a13 x3 0 a21x1 a22 x2 a23 x3 0 a31x1 a32 x2 a33 x3 0
其中每一个方程都表示一个以向量i [ai1,ai2 ,ai3 ]T 为 法 向 量 ， 过 点[ 0,0 ,0 ]T 的 平 面 . 其解是一个与1, 2 ,3均正交的向量X .
证: 必要性 Ax b有解,则 b是A的列向量的线性组合
A的列向量组A1, A2 , , An等价于A1, A2 , , An ,b
所以二者秩相等,即rA rB
充分性. rA rB, 即rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b
又rA1, A2 , , An rA1, A2 , , An ,b rA1, A2, , An的极大线性无关组是rA1, A2, , An,b 的极大线性无关组. 故b是A1, A2 , , An的线性组合
证 : 设向量X是方程组AX b的任何一个解, 有AX b,两边左乘矩阵P,则有 BX Pb, 即X也是BX Pb的一个解. 反之,任取BX Pb的一个解,两边左乘P 1, 则有P1BX b,即AX b, 所以X是AX b的一个解 因此, AX b和BX Pb同解, 故为等价的线性方程组
x2
x3 x4 x5 x5 x6
0 60
x4பைடு நூலகம்
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x1 x3 60
一、线性方程组的一般形式
含m个方程，n个未知量的线性方程组的一般形式为：
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
a 21 x1
a22 x2
a12 x2 a22 x2
b1 b2
其中每一个方程都表示平面上一条直线,一个2 2 型线性方程组中两直线在平面上的位置有下列三
种情况 :
(1) 两直线相交于一点，则交点就是方程组的唯一解； (2) 平行，则该方程组无解 (3) 重合，则直线上任何一个点都是方程组的解
例: 3 3型齐次线性方程组的一般形式为：
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
其中x1, x2 , , xn为未知量,aij和bi为常数;称为m n型线性 方程组
如果b 0,则称方程组为齐次线性方程组 如果存在bi 0,则称方程组为 非齐次线性方程组
例: 2 2型线性方程组的一般形式为：
aa1211xx11
思考题:
1. m n型齐次线性方程组AX 0只有零解的 充要条件是( A ) ( A) A的列向量线性无关 (B) A的列向量线性相关 (C ) A的行向量线性无关 ( D) A的行向量线性相关
定 理 2 : n 元非齐次线性方程组 Amn x b 有解 的充分必要条件是系数矩阵 A 的秩等于增广矩
(1) 若1,2 ,3不共面，则方程组只有零解X [0,0,0]T
(2) 若1,2,3共面但不共线，则垂直于i ,i 1,2,3的
向量X均是解，这些解彼此平行
(3) 若1
,
2
,
3共线，则以
为法向的平面是所有向量
i
都是解,即解向量组成一个平面
定 义 4 .1: 设有m n型线性方程组( I )和k n型 线性方程组(II ),如果( I )和( II )的解向量集合相等, 则称(I )和( II )为 等价的线性方程组
注: 定理表明对增广矩阵作行初等变换不改变方 程组的解
三、线性方程组的向量形式
设矩阵A [aij]mn 是线性方程组的系数矩阵,用Ai记A 的第i列,即 Ai [a1i ,a2i , ,ami]T , i 1,2, , n 则m n型线性方程组可表示为 x1 A1 x2 A2 xn An b 方程组有解等价于b是A的列向量的线性组合;
即Ax b有解
定 理 3 : n 元非齐次线性方程组 Amn X b 有唯
一解的充分必要条件是r[ A,b] rA n
证: 必要性．已知AX b有唯一解,则由定理2,
r[ Ab] rA 且有唯一解向量[ x1, x2 , , xn ]T ,使
b x1 A1 x2 A2 xn An.
二、线性方程组的矩阵表示
利用矩阵乘法, m n型线性方程组可表示为 Amn X n1 bm1 , 称Amn为线性方程组的系数矩阵;[ Ab]称为线性方程组的 增 广 矩 阵 ; 方程组的解是使矩阵等式成立的n维向量X
定 理 4. 1: 设矩阵A和B是行初等变换下等价的矩阵, 即存在可逆矩阵P,使PA B,则线性方程组AX b BX Pb是等价的线性方程组
解: 设笼中有x只鸡, y只兔子
则 x y 35 2x 4 y 94
解得 x 23
y
12
所以笼中有23只鸡,12只兔.
下面是一个城市某街区的交通流量图: 给出x2 , x3 , x4 , x5的最小流量.
解: 由各路口流入和流出量相等,可得
x1 x2 50
设rA n, 则向量组A1, A2, , An线性相关,存在
方程组的解就是列向量线性组合的组合系数.
思考: 如何利用系数矩阵 A 和增广矩阵 B ， 讨论线性方程组 Ax b 的解．
定 理 1： n 元齐次线性方程组 Amn x 0 有非零解
的充分必要条件是系数矩阵的秩 RA n.
证 x1 A1 x2 A2 xn An 0有非零解
A1, A2 , , An线性相关 rA1, A2 , , An n 即rA n
主要内容 一、 线性方程组的一般形式 二、线性方程组的矩阵形式 三、线性方程组的向量形式
问题的提出:
大约在一千五百年前，大数学家孙子在《孙子算经》 中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五 头，下有九十四足，问雏兔各几何？”
这四句的意思就是：有若干只鸡和兔在同一个笼子 里，从上面数，有三十五个头；从下面数，有九十四只 脚。求笼中各有几只鸡和兔？
a11x1 a12 x2 a13 x3 0 a21x1 a22 x2 a23 x3 0 a31x1 a32 x2 a33 x3 0
其中每一个方程都表示一个以向量i [ai1,ai2 ,ai3 ]T 为 法 向 量 ， 过 点[ 0,0 ,0 ]T 的 平 面 . 其解是一个与1, 2 ,3均正交的向量X .