2012年高考真题汇编-理科数学(解析版)10：圆锥曲线

2012 高考真题分类汇编：圆锥曲线
一、选择题
2
x 1.【2012 高考真题浙江理 8】如图，F1,F2 分别是双曲线 C： a2
y2 b2
1（a,b＞0）的左、
Fra Baidu bibliotek
右焦点，B 是虚轴的端点，直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点，线段 PQ 的垂直平
分线与 x 轴交与点 M，若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是
30
的等腰三角形，则
E
的离心率为（
）
( A) 1 2
(B) 2 3
(C)
(D)
【答案】C
【 解 析 】 因 为 F2 PF1 是 底 角 为 30 的 等 腰 三 角 形 ， 则 有 F2 F1 F2 P ,
，因为 PF1F2 300 ，所以 PF2 D 600 , DPF2 300 ，所以
【答案】 3
【 解 析 】 由 y 2 4x 可 求 得 焦 点 坐 标 F(1,0)， 因 为 倾 斜 角 为 60 ， 所 以 直 线 的 斜 率 为
k tan 60 3 ， 利 用 点 斜 式 ， 直 线 方 程 为 y 3x 3 ， 将 直 线 和 曲 线 联 立
y 3x y2 4x
b
22
2, c 2 ，因为|PF1|=|2PF2|，所以点 P
在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a= 2 2 ,所以解得|PF2|= 2 2 ，|PF1|= 4 2 ，所以根据
余弦定理得 cos F1PF2 (2
2)2 (4 2)2 14 3 ,选 C.
22 24 2
4
11.【2012 高考真题北京理 12】在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 =4x 的焦点 F.且与该 撇物线相交于 A、B 两点.其中点 A 在 x 轴上方。若直线 l 的倾斜角为 60º.则△OAF 的面积为
的焦点重合，
则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
A. 5 B. 4 2 C.3 D.5
【答案】Ａ．
【解析】由抛物线方程 y2 12x 易知其焦点坐标为 (3,0) ，又根据双曲线的几何性质可知
4 b2 32 ，所以 b 5 ，从而可得渐进线方程为 y 5 x ，即 5x 2 y 0 ，所以 2
d | 5 3 2 0 | 5 ，故选Ａ． 54
8.【2012 高考真题安徽理 9】过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A, B 两点，点 O 是原点，若 AF 3 ，则 AOB 的面积为（ ）
2 ( A)
2
(B) 2
32 (C)
2
(D) 2 2
【答案】C 【命题立意】本题考查等直线与抛物线相交问题的运算。
4b 2 b 2 4b 2
5
5
5
5
的 交 点 坐 标 为 ( 2 b, 2 b) ， 所 以 四 边 形 的 面 积 为 4 2 b 2 b 16 b2 16 ， 所 以
55
5 55
b2 5 ，所以椭圆方程为 x 2 y 2 1 ，选 D. 20 5
x2 y2
6.【2012 高考真题湖南理 5】已知双曲线 C ： - =1 的焦距为 10 ，点 P （2,1）在 C 的
程为 x 2 y 2 4 ，即 x 2 y 2 1 ，所以 a 2 4, a 2 ，所以实轴长 2a 4 ，选 C. 44
3.【2012 高考真题新课标理 4】设 F1F2 是椭圆 E :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左、右焦点， P 为
直线
x
3a 2
上一点，
F2
PF1 是底角为
A、 2 2
B、 2 3
C、 4
D、 2 5
【答案】B
【解析】设抛物线方程为 y 2 px2 ，则点 M (2, 2
p)
Q 焦点
p 2
,
0
，点
M
到该抛物线焦
点的距离为 3 ，
2
p 2
2
4P
9
，
解得 p 2 ，所以 OM
442 2 3 .
5.【2012
高考真题山东理
10】已知椭圆 C
x2 y2
x2 y2
x2 y2
x2 y2
A + =1 B + =1C + =1 D
+ =1
16 12
12 8
84
12 4
【答案】C
【解析】椭圆的焦距为 4，所以 2c 4, c 2 因为准线为 x 4 ，所以椭圆的焦点在 x 轴上，
且 a 2 4 ， 所 以 a 2 4c 8 ， b2 a 2 c 2 8 4 4 ， 所 以 椭 圆 的 方 程 为 c
a ，又由于虚轴两端点为 B1 ， B2 ，因此 OB2 的长为 b ，那么在 F2OB2 中，由三角形的面积
公式知，
1 2
bc
1 2
a
|
B2 F2
|
1 2
a
(b c)2 ，又由双曲线中存在关系 c 2 a 2 b2 联立可得
出 (e2 1)2 e2 ，根据 e (1,) 解出 e 5 1; 2
y 2 16x 的准线交于 A, B 两点， AB 4 3 ；则 C 的实轴长为（
）
( A) 2
(B) 2 2
(C)
(D)
【答案】C
【解析】设等轴双曲线方程为 x 2 y 2 m(m 0) ，抛物线的准线为 x 4 ，由 AB 4 3 ,
则 y A 2 3 ,把坐标 (4,2 3) 代入双曲线方程得 m x 2 y 2 16 12 4 ，所以双曲线方
推理论证能力、基本运算能力，以及数形结合思想，难度适中.
【解析】当直线 x m 过右焦点时 FAB 的周长最大，m 1 ；
将
x
1 带入解得
y
3 2
；所以
SFAB
1 2
2
3 2
3.
14.【2012 高考真题陕西理 13】右图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面
宽 4 米，水位下降 1 米后，水面宽 米
.
【答案】 2 6 .
【解析】设水面与桥的一个交点为 A，如图
建立直角坐标系则，A 的
坐标为（2，-2）.设抛物线方程为 x2 2 py ，带入点 A 得 p 1，设水位下降 1 米后水面与
桥的交点坐标为 (x0 ,3) ，则 x02 2 3, x0 6 ，所以水面宽度为 2 6 .
15.【2012 高考真题重庆理 14】过抛物线 y2 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点，若
c2 b
)
，
所
以
PQ 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 ：
y c2 b
c b
(x
a2c b2
)
，
令
y 0， 得
x
c(1
a2 b2
)
，所以 c(1
a2 b2
)
3c
，所以 a2
2b2
2c2
2a2 ，即 3a2
2c2
，所以 e
6
。
2
故选 B
2.【2012 高考真题新课标理 8】等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 x 轴上， C 与抛物线
a
a
又 c2 a2 b2 ， a 2 5,b 5 ，C 的方程为 x2 - y2 =1. 20 5
【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想 和基本运算能力，是近年来常考题型.
7.【2012
高考真题福建理
8】已知双曲线
x2 4
y2 b2
1的右焦点与抛物线 y2=12x
【答案】D
【解析】因为椭圆的离心率为 3 ，所以 e c 3 ， c 2 3 a 2 ， c 2 3 a 2 a 2 b2 ，
2
a2
4
4
所以 b2
1 a2 ，即 a2 4
4b2 ，双曲线的渐近线为
y
x ，代入椭圆得
x2 a2
x2 b2
1，即
x 2 x 2 5x 2 1 ，所以 x 2 4 b2 , x 2 b ， y 2 4 b2 ， y 2 b ，则第一象限
（Ⅱ）设 F2OB2 ,很显然知道 F2 A2O AOB2 , 因此 S2 2a 2 sin(2 ) .在
F2OB2 中求得 sin
b , cos b2 c2
c b2 c2
, 故 S2
4a 2
sin
cos
4a 2bc b2 c2
；
菱形
F1B1F2 B2 的面积
S1
2bc
，再根据第一问中求得的 e
1 2
)
1 4 ，解得 m
5或n 6
5
，所以
4
AF
5
.
6
16.【2012 高考真题辽宁理 15】已知 P，Q 为抛物线 x2 2 y 上两点，点 P，Q 的横坐标分别为 4，
2，过 P、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于 A，则点 A 的纵坐标为__________。
【答案】 4
【解析】因为点 P，Q 的横坐标分别为 4， 2，代人抛物线方程得 P，Q 的纵坐标分别为 8,2.
a2 b2
渐近线上，则 C 的方程为
x2 y2
x2 y2
x2 y2
A． - =1 B. - =1 C. - =1
20 5
5 20
80 20
x2 y2
D. - =1
20 80
【答案】A
【解析】设双曲线 C ： x2 - y2 =1 的半焦距为 c ，则 2c 10, c 5 . a2 b2
又C 的渐近线为 y b x ，点 P （2,1）在 C 的渐近线上，1 b A2 ，即 a 2b .
AB
25 ,
AF
BF
,则
AF
=
.
12
5
【答案】
6
【解析】抛物线
y2
2x
1 的焦点坐标为 (
,0) ，准线方程为
x
1
，设
A,B
的坐标分别为的
2
2
(x1, y1 ), (x2 , y2 ) ，则 x1x2
p2 4
1
，设
4
AF
m, BF
n ，则 x1
m
1 2
,
x2
n1， 2
所以有
(mmn12)(12n25
F2 D
1 2
PF2
1 2
F1 F2
，即 3a c 1 2c c ，所以 3a
2
2
2
2c ，即 c a
3
，所以椭圆的
4
离心率为 e 3 ，选 C. 4
4.【2012 高考真题四川理 8】已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标原点 O ，并且经过点
M (2, y0 ) 。若点 M 到该抛物线焦点的距离为 3 ，则| OM | （ ）
A(3,2 3)
3
B(1
,
2
3 ，因此 SOAF )
1 OF 2
yA
1 2
1 2
3
3 3
3．
二、填空题
12.【2012 高考真题湖北理 14】如图，双曲线
x2 a2
y2 b2
1 (a,b
0) 的两顶点为
A1 ，
A2 ，虚轴两
端点为 B1 ， B2 ，两焦点为 F1 ， F2 . 若以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2 B2 ，切点分别为
23
A.
3
6
B。
2
C. 2
D. 3
【答案】B
【解析】由题意知直线
F1B
的方程为：
y
b c
x
b，联立方程组
y
x
a
b x b,
c
得点
y 0
b
Q
( ac ca
,
bc ca
)
，联立方程组
y
x
a
b c y b
x b, 0
得点
P
(
ac ca
,
bc ca
)
，所以
PQ
的中点坐标为
(
a2c b2
,
【解析】设 AFx (0 ) 及 BF m ；则点 A 到准线 l : x 1的距离为 3 ，
得： 3 2 3cos cos 1 3
又m
2 m cos(
)
m
1
2 cos
3 2
，
AOB
的面积为 S
1
OF
AB
sin
1
1 (3
3 )
2
2 3
2
。
2
2
23 2
9.【2012 高考真题全国卷理 3】 椭圆的中心在原点，焦距为 4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆 的方程为
A, B, C, D . 则
（Ⅰ）双曲线的离心率 e
；
（Ⅱ）菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值
S1 S2
.
【答案】 e 5 1; S1 2 5
2 S2
2
【解析】（Ⅰ）由于以 A1 A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2 ，因此点 O 到直线 F2 B2 的距离为
:
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心学率为
3
.双曲线
2
x2 y2 1的渐近线与椭圆 C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为 16，则椭
圆 C 的方程为
（A） x2 y2 1 82
（B） x2 y2 1 12 6
（C） x2 y2 1 16 4
（D） x2 y2 1 20 5
值可以解出
S1 S2
2 2
5
.
13.【2012 高考真题四川理 15】椭圆 x2 y2 1的左焦点为 F ，直线 x m 与椭圆相交于点 A 43
、 B ，当 FAB 的周长最大时， FAB 的面积是____________。
【答案】3
【命题立意】本题主要考查椭圆的定义和简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、，考查
x2 y2 1 ，选 C. 84
10.【2012 高考真题全国卷理 8】已知 F1、F2 为双曲线 C：x²-y²=2 的左、右焦点，点 P 在 C 上，
|PF1|=|2PF2|，则 cos∠F1PF2=
1
3
3
4
(A)
（B）
(C)
(D)
4
5
4
5
【答案】C
x2
【解析】双曲线的方程为
y2
1 ，所以 a