静电场中的导体

-
+ + + +
b
要计算静电平衡时的电场分布， 首先要知道其电荷分布.
a
U ab = ∫ E ⋅ dl = 0
a b
二.静电平衡时导体上的电荷分布 1.导体内无净电荷（ρ = 0 ），电荷只分布于导体表面. 1）实心导体（只有外表面） 高斯面 S（宏观小，微观大）
2）空腔导体（有内、外表面），腔内无电荷 同上，导体内 ρ = 0
R3
E
R2
R1
1 2 3 4
•H
q1 - q1
B
r
+ 无极 - 分子
H•
H
•
A
U
e
+
pi = 0
c •
•H
无极分子 电介质
o
R1
R2 R3
r
物质结构 中存在着 正负电荷
由：
UA = q' 4πε 0 R1 + − q' q' − q + =0 4πε 0 R2 4πε 0 R3
×
qB外 = 0
B
A
q′
R3
R2
q′ − q
q' =
R 1 − q′
R1 R2 q <q R2 R3 − R1 R3 + R1 R2
B
A
q′
即
A 所带部分电荷入地.
[例三] 内半径为 R 的导体球壳原来不带电，在腔 内离球心距离为 d ( d < R )处，固定一电量 + q的 点电荷，用导线将球壳接地后再撤去地线，求球心 处电势. 解： 〈1〉画出未接地前的电荷分布图.
σ σ
等大同号， 等大异号.
q B内 = − q ; q B外 = q
R1 − q
B
A q
3
R3
R2
R1
−q
+q
Br A q
P
( −q ) q + + UB = UP = 4πε 0 r 4πε 0 r 4πε 0 R3 q = q 4πε 0 R3
〈3〉然后将 A 接地， , B 电荷分布及B 电势如何变化？ A A 球电荷入地，B 球壳 − q 分布于表面，对吗？
q1 + q 2 4πε 0 R3
A
B
o
R1
R2 R3
r
2 3 4
U1 = U 2 = U 3 = U4 =
1
q1 + q2 4πε 0 r4
5
E−r
, U −r
q2 + q1
R2 R1
1 2 3 4
曲线
<3>若将外球壳接地，情况如何？
qA = q1 qB内 = −q1 qB外 = 0
R3
R3 R2
b
σ1 = σ4 =
Qa + Qb 2S Q − Qb σ 2 = −σ 3 = a 2S
a
σ1
σ2
σ3
σ4
+
〈1〉外球壳的电荷分布及电势 〈2〉将 B 接地再重新绝缘，结果如何？
S
Q
⋅
a
⋅ Q
b
A 〈3〉然后将 A 接地， ,
如何变化？ 解：( 1 )
B 电荷分布及 B 电势
R3
R2
q
即：相背面 相对面
§9.6 静电场中的导体
要求： 电场与金属导体相互作用机理 及相互影响后电场的计算.
在外场 E 0 中： 1. 无规运动；2. 宏观定向运动
E0
一 . 金属导体与电场的相互作用
特征：体内存在大量的自由电子
无外场时自由电子无规运动：
“电子气”
' 导体内电荷重新分布，出现附加电场 E
－“静电感应” －直至静电平衡 （暂态过程）
+q
-
腔内壁非均匀分布的负电荷 对外效应等效于： 在与 + q 同位置处置 − q .
∴ UB ↓
+ + - −q + -
〈2〉外壳接地后电荷分布如何变化？
+ +
R o d - + −q +q
+ +
+q -
U壳 = U地 = U+ q + U内壁 + U外壁 = 0 q外壁 = 0
内壁电荷分布不变
[例四] 实验表明，在靠近地面处有相当强的电场，电 场强度 E 垂直于地面向下，大小约为 100 N / C ； 在离地面 1 . 5 km 高的地方，E 也是垂直于地面向下 的，大小约为 2 5 N/C . 〈1〉试计算从地面到此高度大气中电荷的平均体密度. 〈2〉假设地球表面处的电场强度完全是由均匀分布在 地表面的电荷产生，求地面上的电荷面密度 . E1 解：地球——球对称， 离地面不远处 ( h<<R )—— 面对称 可以用高斯定理求解 如何选择高斯面？
S
ΔS'
q
−q
++ + +
-
−q - +
+
- +
P
ΔS
E
E =0
腔内电荷 q 的位置移动对 对
分布有影响； σ 内，E内，
σ 外，E外 分布无影响。
∫ E ⋅ dS = ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS + ∫ E ⋅ dS = EΔS = ε
s ΔS ΔS' S侧
1
0
⋅ σΔS
E内 = 0
cosθ = 0
− 10
× 100 )
(C ⋅m
ρ =
8 . 85 × 10 h 1 . 5 × 10 3 − 13 = 4 . 43 × 10 ( C ⋅ m − 3 ) =
ε 0 ( E 2 − E1 )
× ( 100 − 25 )
计算
E , U 分布
（ 方法同前 ）
练习： 若 A带电
q 1 , B带电
q 2 ，求：
2
S
ΔS'
P
ΔS
E
∴
E = 0
σ ε0 σ E = n ε0
E =
〈2〉无限大带电平面： E = σ 2ε 0 带电导体表面附近： E = σ ε 0
σ2 σ1
E E
是否矛盾？
∫ E ⋅ dS = 2 EΔ S =
s
σΔS ε0
思考 〈1〉设带电导体表面某点电荷密度为 σ ，外侧 附近场强 E = σ ε 0 ，现将另一带电体移近， 该点场强是否变化？公式 E = σ ε 0 是否仍成 立？ 导体表面 σ 变化，外侧附近场强 E 变化， 而 E = σ ε 0 仍然成立。
〈2〉若将球与球壳用导线连接，情况如何？ 〈3〉若将外球壳接地，情况如何？
R3
E
3
= 0
E
4
=
R2 R1
U1 =
B
q2 q1 1 A
2 3 4
q q q +q 1 1 q1 + q2 ( 1 − 1 + 1 2 ) ; U3 = R3 4πε 0 R1 R2 4πε 0 R3 1 q1 q1 q1 + q2 ( − + ) ; R3 4πε 0 r2 R2 U4 = 1 q1 + q2 4πε 0 r4
q
−q
腔接地：内外电场互不影响.
4）腔内电荷 q 的位置移动对 σ 内，σ 外，E内，E 外 分布有无影响？
q + ++ + + q - + +
+
当静电平衡时，导体 ρ = 0 ，净电荷只能分布于表面.
σ表 = ?
2. 静电平衡时导体表面电荷面密度与表面紧邻处场强 成正比. 过表面紧邻处 P 作平行于表面 的面元 ΔS ,以 ΔS 为底，过 P 法向为轴，作如图高斯面 S 。
S
ΔS
导体内
− 12 −2
∫ E ⋅ dS
s
= E 2Δ S − E 1Δ S
∫ E ⋅ dS = −E2ΔS =
s
1
ε0
σ ⋅ ΔS
σ
地面
ΔS E = 0
=
1
ε0
∑
− 12
q内 =
1
ε0
ρ hΔS
σ = − ε 0 E 2 = − 8 . 85 × 10
= − 8 . 85 × 10
小结： 静电平衡条件 电荷守恒定律 导体上的 电荷分布
s
S'
紧贴内表面作高斯面 S
∫E
s
内
⋅ dS =
1
ε0
∑q
内
=
∫ σ dS = 0 ε 0 内表面 内
1
⋅ s
若
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫E
s
内
⋅ dS =
1
ε0
∑q
内
=
1
∑q
内
= 0, σ内 ≠ 0.
ε0
ρ dV = 0
则必然有 σ > 0 ,σ < 0 处，
静电平衡条件
E内 = 0
s
∴ρ = 0
电场线由 + σ → −σ . ，沿电场线方向电 势降低，导体内表面有电势差，与静电 平衡条件：导体表面为等势面矛盾. 所以 σ 内= 0 净电荷只能分布于外表面.
E
U
r
E1 = 0 E2 =
4πε0r22
q1
R1
q1 - q1
B
E3 = E4 = 0
1 2 3 4
A