曲边梯形的面积 课件

y
y=x2
O
i 1 n
i n
1
x
案例探究
2、近似代替
(以直代曲）
f( i 1 i 1 2 )( ) n n
方案3
y f ( x) x2
方案3
y
i i 2 f( )( ) n n
第i个 小曲边 梯形
y y=x2
i-1 i n n
x O
i 1 n
i n
1
x
△Si
1 i 1 i 1 i 1 2 i 2 1 S 'i [ f ( ) f ( )]x [( ) ( ) ] , i 1, 2, 2 n n 2 n n n
2 2


y y=x2
O
i 1 n
i n
1
x
案例探究
y
i i 2 f( )( ) n n
方案2
y y=x2
2、近似代替(以直代曲）
y f ( x)
第i个 小曲边 梯形 O 0
i-1 n
2
i n
2
i 1 n
i n
1
x
Baidu Nhomakorabea
x
, n
△Si
i i i 1 S 'i f x x , i 1, 2, n n n n
, n
案例探究 3、求和
n等分时
Sn S '1 S '2 S 'i S 'n
1 1 1 n 1 1 0 n n n n n 1 2 3 12 2 2 n 1 n
, n
案例探究 3、求和 S ' 1 [( i 1)
i
2
2
n
i 2 1 ( ) ] , i 1, 2, n n
, n
Sn S '1 S '2 S 'i S 'n
1 1 1 2 2 3 1 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 2 n n n n n n
-----割圆术 思维导航 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法 对你有什么启示?
思维导航
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…” 为什么要逐次加倍 正多边形的边数？
案例探究 3、求和
Sn S '1 S '2 S 'i S 'n
1 1 2 1 n 1 n n n n n n 1 3 12 2 2 n 2 n
2 2 2
二（13）
情境创设
这些图形的面积 该怎样计算？
概念形成
曲边梯形的定义：由直线 x a, x b(a b), y 0 和曲线 y f ( x) 所围成的图形称为曲边梯形。
zxxk
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线 2 y x 所围成的平面图形的面积 S？
2
n 1 2 n 2 ( ) ( ) n n
1 2 2 n2 2 3 1 2 n 1 n 2 1 n 1 n 2n 1 n2 3[ ] n 6 2
1 1 1 1 1 1 1 2 6 n n 2n 3 6n2
y
yx
2
o
1
x
思维导航
看看怎样求出下列图形的面积?从中你有何启示？
y A
从中你有何启 示？
o
B
x

“分割”得到熟悉 的图形
∟
-----割圆术 思维导航 魏晋时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…” ——刘徽
刘徽的这种研究方法
对你有什么启示?
zxxk
i 1 i 记第i个区间为 , i 1,2,, n n n i i 1 1 长度 : x n n n 对应的小曲边梯形面积为△Si
Sn S1 S2 Si Sn
O
y y=x2
1 2 n n
案例探究
y
方案1
y y=x2
2、近似代替(以直代曲）
i-1 f( ) n
y f ( x)
第i个 小曲边 梯形 O
0
i-1 n
i n
2
i 1 n
i n
1
x
x
2
△Si
i 1 i 1 i 1 1 S 'i f x x , i 1, 2, n n n n
以“直”代“曲” 无限逼近
-----割圆术
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
刘徽的这种研究方法对你有什么启示?
“以直代曲,
无限逼近 ”的数学思想
P
P
放大
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线，也就是说：在点P附近，曲 线可以看作直线（即在很小范围“内以直代曲” ）．
案例探究
如何求由直线 x 0, x 1, y 0 与抛物线 2 y x 所围成的平面图形的面积 S？
思考1：怎样“以直代曲”？ 能整体以“直”代“曲吗？ 思考2：怎样分割最简单？ 思考3：对每个小曲边梯形 如何“以直代曲”？
y
yx
2
o
1
x
思考2：怎样分割最简单？
（1）竖向分割
（2）横向分割 （3）随意分割
案例探究
1、分割
把底边[0,1]分成n等份, 在每个分点作底边 的垂线, 这样[0,1]区间 1 1 2 n 1 0, , , , ,1 分成n个小区间： n n n n
i 1 i n n
n 1 n
1
x
案例探究
2、近似代替(以直代曲） 思考3：对每个小曲边梯形
y y=x2
i i f ( ) ( )2 n n
i 1 i 1 2 f( )( ) n n
i i f ( ) ( )2 n n
如何“以直代曲”？
O
i 1 i n n
1
x
方案.
方案.. 方案… 方案….