函数极限连续

1

=1

第一章 函数极限连续

1, 函数的奇偶性 奇×奇为偶函数 奇×偶为奇函数

偶×偶为偶函数

奇函数与奇函数复合为奇函数 偶函数与偶函数复合为偶函数

偶函数与奇函数复合为偶函数

f (x )=12[f (x )-f (-x )]+12[f (x )+f (-x )]

2，有界函数之和，之积均为有界函数 3，等价无穷小

1

lim(1+ x )x = e

x →0

当x →0时1-cos x ~ 1x 2 e x -1~ x

ln(1+ x ) ~ x (1+ x )a -1~ ax

a x -1~ x ln a

4 lim u (x ) =0并设为 a 的去心邻域内k (x )有界 lim k (x )u (x ) =0 x → a

x → a

例 sin 1 有界 x

先将积分限的式子代入被积函数，再对积分限上的式子求导 6，存在性问题

设lim u (x )与lim v (x )之一存在，另一不存在，则lim(u (x )v (x ))均不存在 x → x 0

x → x 0 x → x 0

设lim u (x )与lim v (x )都不存在，则lim (u (x ) + v (x ))与lim (u (x ) - v (x ))都不存在，或其 x → x 0

x → x 0

x →x 0

x →x 0

一存在，但不可能都存在 1

7e x

的特殊性

1

1+ e x

lim 1+e 要分 x →0+

和 x →0-

x →0 1 1-e x

1+e x lim x →0+

1 1-e x

1+e x lim x →0-

1

1-e x

= -1 5 积分求导

2 x

(n -)f ()-kf ()=0

g (x )=(n -x )k f (x )

第二章一元函数微分学

1, f (x )在x = x 0处可导

f (x )在x = x 0处左右导数存在

f -(x 0)= f +(x 0)

2,极限存在 lim f ( x )= lim f ( x )=A x → x 0+ x → x 0-

连续1)极限存在，2) f (x 0)= A 2)lim

f (x +x )- f (x )存在

x →0

x

3lim f (x )的“0 型”不仅要与存在，还得在x = x 0去心领域内 f (x )g (x )存在才能用洛 x →x 0

g ( x ) 0 0

必达定则

4,左右侧领域导数反号是极值的充分条件而不是必要条件

6 如果 f (x )至多有 k 个零点，则 f(x)至多有 k+1 个零点

7设f(x)在x = x 0的某邻域可导，且 f

(x 0)= A 则 lim f (x )存在且等于A x →x 0

f (x 0)= A 则 lim f (x )- f (x 0) = f (x 0)

x →

x

0 x - x

那么应用洛必达法则 lim f (x )= f (x 0)= A x →x 0

8

f () + f ()=0

g (x )=xf (x ) f ()+nf ()=0 g (x )= x n f (x )

可导 1)连续

(n -

) f () - f ()=0

g (x ) =(n -x )f (x )

反例： f

(0)不存在

5 驻点，极值点只求 x 拐点( x,y)

f () + f ()=0

g (x )=e x

f (x )

f ()+nf ()=0

g (x )=e nx f (x )

f () - f ()=0

g (x )=e -

x f (x )

f () + ln af () = 0

g (x )=a x f (x )

第三章一元函数积分学

b b

f (x )dx 存在但原函数不一定存在。

a

2

tan xdx =-ln/cos x /+c

cot xdx =ln/sin x /+c

sec xdx =ln/sec x +tan x /+c csc xdx = ln / csc x - cot x /+c

3 含 a 2 - x 2 命 x = a sin t 含 x 2 + a 2 命 x = a tan t

含 x

2

-a 2 命x =a sec t

n -1 n - 3 1

n n - 2 2 2

n - 1 n - 3 2 n -1 n -3

21当n 为大于1的正奇数 n n - 2 3

cos t -sin t

dt = ln/ sin t +cos t /+c sin t +cos t

+ 2 +

2

7 e

-

x

dx = 2 e -

x dx =

- 0

8极坐标曲线r =r ()

的弧长s =

r 2(

)+r

2

()d

a +w

9 对任意正常数 a 及常数w >0 f (x )dx 与 a 无关 f(x)有周期

w

sec 2 xdx = tan x + c

csc 2 xdx = -cot x /+ c

1 2

2 a 2 + x 2 dx = 1x arctan + c

aa

1

dx = 1 ln/ - x 2 2a

a +x /+c

a -x

x 2 a 2

/+ c

2

sin n xdx = 2 cos n xdx

当 n 为正偶数

-

(1+x 2)2dx = 1

1+x 2 +c x arcsin

+ c a

dx = ln/ x +