解斜三角形

第 7 课时 课题：解斜三角形

【教学目标】

（1）掌握正余弦定理的应用；

（2）掌握解三角形的题型。

【教学重难点】理解并熟练掌握正余弦定理、应用题型

【知识点归纳】

一、正弦定理

1、三角形面积公式：

S=21ab sinC=21bc sinA=2

1ac sinB 2、正弦定理

A a sin =

B b sin =C

c sin =2R （R 为△ABC 的外接圆的直径） 3、 正弦定理的几种常见变形应用

（1）a sinB=b sinA ，b sinC=c sinB ，a sinC=c sinA ；

（2）a=2RsinA ，b=2RsinB ，c=2RsinC ；

（3）sinA=R a 2，sinB=R b 2，sinC=R

c 2； （4）a ：b ：c=sinA ：sinB ：sinC

【例题精讲】

【例1】已知ABC ∆中，24,34,600===b a A ，求c C B ,,.

【练习】已知在ABC ∆中，,5,8,300===a c A 求b 、、B C （结果保留两位小数）.

【例2】已知ABC ∆中，4

1=S ,外接圆半径1=R ,求.abc 【练习】已知ABC ∆中，C B A 222sin 3sin 3sin 2+=,1)cos(3cos 32cos =-++C B A A ,

求.::c b a

【基础练习】

1．在△ABC 中，已知a=8，B=60°，C=75°，则b= 。

2．已知在△ABC 中，c=10，A=45°，C=30°，求a 、b 和B 。

3．在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=45°，求A ，C 和c 的长。

二、余弦定理

1、a 2=b 2+c 2﹣2bc cosA ， b 2=c 2+a 2﹣2ac cosB ， c 2=a 2+b 2

﹣2ab cosC

2、 余弦定理的变形公式

cosA=bc a c b 2222-+，cosB=ca b a c 2222-+，cosC=ab

c b a 22

22-+ 【例题精讲】

【例3】已知在ABC ∆中，26,45,320+===c B a ，求.C A b 、、

【练习】已知ABC ∆中，060=A ,且最大边长和最小边长恰好是方程01172=+-x x 的两

根，求第三边.

【例4】在ABC ∆中，090>B ，三条边长1,1,52=+=-=c x b x a ，求实数x 的取值范围？

【练习】钝角三角形的三边分别是21++a a a 、、，且最大内角不超过0120，求实数a 的取值范围？

【例5】已知ABC ∆中，7,4==b c ，边BC 上的中线2

7=AD ，求边长.a 【练习】（1）设P 是正方形ABCD 内一点，点P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是,317、、

求正方形的面积？

（2）设P 是正方形ABCD 内一点，,3:2:1::=PC PB PA 求APB ∠的大小？

【基础练习】

1、在△ABC 中，a 2=b 2+c 2

+bc ，则A= 。

2、在△ABC 中，已知：a=2，b=22，C=15°，求角B 和边c 。

3、已知△ABC 中，a ：b ：c=2：6：（3+1），求△ABC 各角的弧度数。 三、解三角形在实际问题中的应用

1、利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

2、利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：

3、三角形的面积公式总结：

4、三角形内切圆的半径：

5、三角形中的射影定理：

6、两内角与其正弦值:

7、三内角与三角函数值得关系：

【例题精讲】

【例6】已知Q MON ,600=∠是MON ∠内的一点，它到两边的距离分别是2和11，求OQ 的长？

【练习】（1）在ABC ∆中，已知c b a ,,分别是内角A ，B,C 所对的三边； 求证：)(2

12cos 2cos 22c b a A b B a ++=+. （2）在ABC ∆中，已知B A 2=和b a ,，求c （用b a ,表示）.

【例7】在三角形ABC 中，若B b a c A a c b 22222222sin )(sin )(-+=-+,试判断三角形的

形状，并说明理由？

【练习】判断下列三角形的形状：

（1）;tan tan 22B

A b a = （2）C

B A a

C b 222sin sin sin ,cos 2+==；

（3）1tan tan <⋅B A ；

（4)0)2cos (cos 22=++A A bc a .

【例8】已知在ABC ∆中，090=C ，0

30=A ，BC=1，试证明：过边BC 上的任意一点D ，可以作出以D 为顶点的内接正三角形（三顶点分别在三边上的正三角形），并求内接正三角形的周长的最小值？

【练习】（1）已知ABC ∆中，8,)(22=+--=c b c b a S ，求S 的最大值?

(2)已知ABC ∆中，060,4==+C b a ，求ABC ∆的周长的最小值及面积的最大值？

【课后练习1】

1、隔河看两地A 与B 但不能到达，在岸边选取相距3千米C 、D 两点，测得∠ACB=75°， ∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求两目标A 、B 之间的距离。

2、在山脚测得山顶仰角∠CAB=45°，沿坡度为30°的斜坡走1 000m 至D 点，又测得山顶 仰角∠BDE=75°，求山高BC 。

3、在海岸处，发现北偏东45°方向，距离（3﹣1）海里的B 处有一艘走私船，在A 处 北偏西75°方向，距离A 2海里的C 处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船。 此时，走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方 向能最快追上走私船？

【课后练习2】

1．在△ABC 中，3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1，求C 。

2．已知，在△ABC 中，满足acosA=bcosB ，试判定△ABC 的形状。

3．要使a ，a+1，a+2为钝角三角形的三边，求a 的取值范围。

【拓展讲解】

注意：

正弦定理可以解决的两类问题：

1．已知两角和任一边，求其他的角和边

2．已知两边和其中一边的对角，求另一边和另一边的对角

余弦定理可以解决的两类问题

1．已知三边，求三个角