《分类讨论思想在中学数学中的应用》论文

安阳师范学院本科学生毕业论文分类讨论思想在中学数学中的应用

作者 ***

院 (系) 数学与统计学院

专业数学与应用数学

年级 ****级

学号

指导老师***

论文成绩

日期 ****年**月**日

学生诚信承诺书

本人郑重承诺:所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果．尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得安阳师范学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料．与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意．签名: 日期:

论文使用授权说明

本人完全了解安阳师范学院有关保留、使用学位论文的规定，即:学校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文．

签名: 导师签名: 日期:

分类讨论思想在中学数学中的应用

牛红姣

（安阳师范学院 数学与统计学院， 河南 安阳 455002）

摘 要：在解数学问题时，应用分类讨论思想，通过正确分类，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．分类讨论的思想在解决某些数学问题时，其解决过程包括多种情形，需要根据所研究的对象存在的差别，按一定标准把原问题分为几个不同的种类，并对每一类逐一地加以分析和讨论，再把每一类结果和结论进行汇总，最终使得整个问题在总体上得到解决．

关键词：正确分类；应用；分类讨论思想；标准

1 简述分类讨论思想

由于在研究问题过程中出现了不同情况，从而对不同情况进行分类研究的思想，我们称之为分类讨论思想，其实质是一种逻辑划分的思想，是一种“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略．

分类讨论思想，是一种重要的数学思想，也是一种逻辑方法，同时又是一种重要的解题策略．分类讨论思想具有较高的逻辑性及很强的综合性，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性，缜密性，科学性，所以在数学解题中占有重要的位置． 2 分类讨论的要求、原则及其意义

分类讨论的要求：正确应用分类讨论思想，是完整解题的基础．应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学，统一，不重复，不遗漏，在此基础上减少分类，简化分类讨论过程．

为了分类的正确性，分类讨论必需遵循一定的原则进行，在中学阶段，我们经常用到的有以下四大原则:

⑴ 同一性原则

分类应按照同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据．可以通过集合的思想来解释，如果把研究对象看作全集I ，i A 是I 的子集并以此分类，且I A A A n =⋃⋃ 21，则称这种分类()An A A ,,２１符合同一性原则．

⑵ 互斥性原则

分类后的每个子项应当互不相容，即做到各个子项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个子项，又属于另一个子项．即对于研究对象I ，()n i A i 1=是I 的子集，且作为分类的标准，若()j i n j i A A j i ≠=Φ=⋂,1, ，则称这种分类符合互斥性原则．

⑶ 相称性原则

分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等． ⑷ 层次性原则

分类有一次分类和多次分类之分，一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后的所有的子项作为母项，再次进行分类，直到满足需要为止．

分类讨论的意义：在解决数学问题时，对于因为存在一些不确定因素无法解答或者结论不能给予统一表述的数学问题，我们往往将问题按某个标准划分为若干类或若干个局部问题来解决，通过正确的分类，能够克服思维的片面性，可以使复杂的问题得到清晰，完整，严密的解答．

3 分类讨论思想在中学数学中的应用 3.1 分类讨论思想在集合中的应用

在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些

含参数的集合问题，常需要进行分类讨论求解．

例1 设2{|2},{|23,},{|,},A x x a B y y x x A C z z x x A =-≤≤==+∈==∈ 且B C ⊆，求实数a 的取值范围．

分析 当a x ≤≤-2时2z x =的范围与实数a 取值的正负号，a 与2的大小均有关系，因此必须对a 分情况讨论，从而得到集合C ，再根据B C ⊆，求出a 的取值范围．

解 {}a x x A ≤≤-=2 ，

}{A x x y y B ∈+==∴,32 {}321+≤≤-=a y y ．

⑴ 当20a -≤≤时，2{|4}C z a z =≤≤，因为C B ⊆，所以423a ≤+， 解得

12

a ≥，

与20a -≤≤矛盾．

⑵ 当02a <≤时，2{|4}C z a z =≤≤，因为C B ⊆，所以423a ≤+， 解得

12

a ≥，

故

1

22

a ≤≤． ⑶ 当2a >时，2{|0}C z z a =≤≤，因为C B ⊆，所以223a a ≤+， 解得

13a -≤≤，

故

23a <≤．

综上可得

132a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭

． 3.2 分类讨论思想在函数中的应用 3.2.1 分段函数中的分类讨论

例2 已知函数()31f x x x =-++，作函数()f x 的图像．

分析 ()f x 是分段函数，没有统一的表达式，所以按其零点分区间讨论． 解 ⑴ 当1x ≤-时，

()3122f x x x x =---=-+；

⑵ 当13x -<≤时，

()314f x x x =-++=；

⑶ 当3x >时，

()3122f x x x x =-++=-； 即