正定矩阵化为标准型

⎛ b1 ⎜ ⎜ 证明：与 Λ 交换的矩阵 B' 只能是对角矩阵，记为 B' = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟。 % ⎟ bn ⎟ ⎠
⎛1 λ1 ⎜ ⎜1 λ 2 作范德蒙行列式: F = ⎜ ⎜# # ⎜1 λ n ⎝
n −1 ⎛ x1 ⎞ ⎛ b1 ⎞ " λ1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n −1 " λ2 ⎟ ⎜ x 2 ⎟ ⎜ b2 ⎟ ⎟ , 则 F⎜ # ⎟ = ⎜ # ⎟ 存 在 唯 一 解 % # ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ n −1 ⎜ x ⎟ ⎜b ⎟ " λn ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ ⎠
⎛ λ1 ⎜ ⎜ 大于零，故 C = Q⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ T 2 ⎟Q 是正定矩阵，且 A = C 。 ⎟ λn ⎟ ⎠
例 3 设 n 阶实对称矩阵 A 的每个特征值均大于 a, 证明 XTAX> aXTX. (X≠0)。 证 取正交矩阵 P，使 PTAP 为对角阵，即
⎛ λ1 ⎜ ⎜ -1 P AP= ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 其中 λi 是矩阵 A 的特征值。令
f (Λ ) = B' 。于是 f ( A) = B 。
⎛ x1 ⎞ ⎛ a1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ a2 ⎟ n −1 ⎜ # ⎟ = ⎜ # ⎟ 。作多项式 f ( x) = a1 + a 2 x + " + a n x ，就有 f (Λ ) = B' 。 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x ⎟ ⎜a ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ 第二步： （用相似变换对角化过渡到一般情况） 因为 A 的特征值互异，所以存在可逆阵 P ，使 ⎞ ⎛ λ1 ⎟ ⎜ λ2 ⎟ ⎜ -1 P AP= Λ = ⎜ ⎟， % ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ λ n ⎠ ⎝ 现 设 AB=BA ，令 B' =P-1BP ，则 B' Λ = Λ B' ， 因而 B' 是对角阵，故有
第二步： (用初等变换过渡到一般情况) 经初等变换将矩阵 Am×n 化为标准型， 即存在可逆矩阵 Pm , Qn ，使 ⎛ Er Pm AQn = ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ Er ⎞ 置 B = P −1 ⎜ ⎜ 0⎟ ⎟, C = (E r ⎝ ⎠ 例2 证 0 ⎞ ⎛ Er ⎞ ⎟ =⎜ ⎜ ⎟ ⎟( E r 0⎟ ⎠ ⎝ 0⎠ 0) ，
标准型方法
变换理论在代数中居于重要的地位。通过一定的变换，代数中的许多对象可 以化成标准型，并且这种变换保持一些重要的代数性质不变。例如： 1． 初等变换可将矩阵化为标准型，且保持矩阵的秩不变； 2． 相似可将方阵化为上三角阵，而有些方阵甚至可以化为对角形，且保 持矩阵的特征多项式不变； 3． 合同可将二次型化为标准型，且保持惯性指数不变； 4． 正交相似化二次型为标准型时，还保持了向量的长度不变。 标准型方法一般分两步：先对特殊的标准型证明命题成立，再利用适当的变 换过渡到一般情况。 例 1 （矩阵的满秩分解）任一矩阵可分解为列满秩阵与行满秩阵的乘积。 证 ⎛ Er 第一步：对矩阵 ⎜ ⎜ 0 ⎝ 0⎞ ⎛ Er ⎟ ⎜ 作满秩分解： ⎜ 0 0⎟ ⎠ ⎝ 0 ⎞ ⎛ Er ⎞ ⎟=⎜ ⎜ 0⎟ ⎟( E r 0⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 0) ；
(
)
再注意到 XTX= Y T(P T P)Y= Y T Y, 立刻得到 XTAX> aXTX。 例4 设 A 是特征值互异的方阵,证明： 与 A 交换的矩阵必然是 A 的多项式。
⎛ λ1 ⎜ ⎜ 第一步： 考虑对角元素互不相同的对角阵 Λ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ b2
证
λ2
⎞ ⎟ ⎟ 容易 ⎟。 % ⎟ λn ⎟ ⎠
λ2
⎞ ⎟ ⎟ ⎟， % ⎟ λn ⎟ ⎠
T
X = PY , Y = ( y1 , y 2 , " , y n ) ,
则
2 2 X T AX = X T (P T AP )X = λ1 y12 + λ2 y 2 ， + " + λn y n
因 λi > a ，故
2 2 X T AX > a λ1 y12 + λ 2 y 2 = aY T Y ， + " + λn y n
0)Q −1 ，则 A = BC 就是所需的分解。
设 A 为 n 阶正定矩阵，证明存在正定矩阵 C ，使 A = C 2 。
第一步：先将对角形的正定矩阵作分解： ⎞⎛ λ1 ⎛ λ1 ⎞ ⎛ λ1 ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ λ2 ⎟⎜ ⎜ λ2 ⎟ ⎜ =⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ % % ⎟⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎜ λn ⎠ λn ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎝ 第二步：(用正交相似对角化过渡到一般情况)
λ2
%
⎞ ⎟ ⎟ ⎟； ⎟ λn ⎟ ⎠
⎞ ⎟ ⎟ ⎟， % ⎟ λn ⎟ ⎠
⎛ λ1 ⎜ ⎜ −1 因 A 是实对称矩阵，故存在正交矩阵 Q ，使 Q AQ = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
λ2
其中 λ1 , λ 2 , " , λ n 为矩wk.baidu.com A 的特征值。由矩阵 A 的正定性知特征值 λ1 , λ 2 , ", λ n 均