应用力学的辛数学方法
理论力学与应用力学中的数学方法与技术探究
理论力学与应用力学中的数学方法与技术探究引言：理论力学和应用力学是物理学中重要的分支领域，它们研究物体的运动和受力情况。
在这两个领域中，数学方法和技术的运用起到了关键的作用。
本文将探究理论力学和应用力学中的数学方法和技术，以及它们在实际问题中的应用。
一、微积分在力学中的应用微积分是数学中的重要分支，它提供了描述变化和运动的工具。
在力学中，微积分被广泛应用于描述物体的位置、速度和加速度等动力学问题。
通过对运动的微小变化进行积分，我们可以得到物体的位置随时间的变化规律。
微积分还可以用来求解力学中的极限问题，例如求解物体在不同位置的速度和加速度。
二、线性代数在力学中的应用线性代数是数学中研究向量空间和线性变换的分支，它在力学中有着广泛的应用。
在力学中，我们经常需要处理大量的向量和矩阵运算，例如求解线性方程组、计算向量的内积和外积等。
线性代数的方法和技术可以帮助我们简化复杂的力学问题，提高计算的效率。
三、偏微分方程在力学中的应用偏微分方程是数学中研究多元函数的方程，它在力学中的应用非常广泛。
在理论力学中，我们经常需要求解偏微分方程来描述物体的运动和受力情况。
例如，波动方程可以用来描述弹性体的振动，热传导方程可以用来描述物体的温度分布。
偏微分方程的求解可以帮助我们深入理解物体的运动规律，为实际问题的解决提供重要的数学工具。
四、数值方法在力学中的应用数值方法是通过数学模型和计算机仿真来解决实际问题的一种方法。
在力学中，由于很多问题的解析解很难求得，数值方法成为了求解实际问题的重要手段。
例如，有限元方法可以用来求解复杂的结构力学问题，计算流体力学方法可以用来模拟流体的运动和受力情况。
数值方法的应用不仅可以提供精确的数值结果，还可以帮助我们揭示问题的本质和规律。
五、优化方法在力学中的应用优化方法是数学中研究如何寻找最优解的一种方法。
在力学中，我们经常需要寻找最优的设计和控制策略。
例如，在结构力学中，我们希望找到最优的结构形式来承受最大的载荷；在控制理论中，我们希望找到最优的控制策略来实现特定的目标。
在一般力学中应用的数学方法
在一般力学中应用的数学方法一、引言在物理学的研究中，力学是一个重要的分支领域。
力学主要研究物体的运动及其原因，而数学则是力学研究中不可或缺的工具。
本文将探讨在一般力学中应用的数学方法，以及它们对力学研究的贡献。
二、向量分析向量分析是力学中经常使用的一种数学方法。
向量作为表示力学量的工具，能够明确地描述物体的位移、速度和加速度等概念。
通过使用向量的线性组合、内积和外积等运算，可以更加准确地描述物体的运动和力的作用。
三、微积分微积分是另一种在力学中广泛应用的数学方法。
通过微分和积分的运算，可以分析物体的运动轨迹、速度和加速度的变化规律。
例如，通过对位移函数进行微分，可以得到速度函数，再对速度函数进行微分，即可得到加速度函数。
这种方法帮助力学研究者更好地理解物体的运动特性，并得出相应的结论。
四、微分方程在力学中，许多问题都可转化为微分方程的求解问题。
微分方程通过建立物理规律与数学关系，能够描述物体运动的变化情况。
在力学问题中，常常涉及到二阶和高阶微分方程，通过求解微分方程，可以得到物体的轨迹、速度和加速度的具体函数表达式。
五、线性代数线性代数是力学问题求解中不可或缺的数学方法之一。
在力学系统中，常常存在多个物体以及它们之间的相互作用。
线性代数通过矩阵和向量的表示，可以更清晰地描述和求解这些复杂的相互作用关系。
例如，对于多个物体组成的力学系统，可以通过解线性方程组得到系统中每个物体的位移或速度。
六、偏微分方程偏微分方程是力学中较为复杂的数学方法之一。
在涉及到场的力学问题中，常常需要使用偏微分方程建立物理规律与数学关系。
例如，波动方程、热传导方程和亥姆霍兹方程等，通过对这些偏微分方程的求解，可以得到系统的稳定态、振动模式和传热特性等重要信息。
七、概率论与统计学概率论与统计学在力学中也有重要应用。
力学中的一些问题涉及到随机性和不确定性因素，例如粒子的运动受到气体分子的碰撞等。
概率论与统计学可以通过对实验数据的统计分析，帮助力学研究者更好地理解和解释这些随机现象，从而得出可靠的结论。
Hamilton力学的辛算法
1 x 3x2 x3 x4 2 28 84 1680
1 x 3x2 x3 x4 2 28 84 1680
精度
2阶
4阶
6阶
8阶
*： “(1,1) 逼近”g11 x ，就是Euler中点格式。
24
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可分线性Hamilton体系的交叉显式辛格式
H q,p 1 pTTp 1 qT Vq
a,a 0
然后就可以给出向量的长度、正交、单位向量等概念。 6 第6页/共44页
辛空间（Simplectic Space）
具有如下内积定义的线性空间W为“辛空间” 。 这种内积称为“辛内积”。
• 反对称性：a,b b,a • 双线性： a1 a2,b a1,b a2,b
a,b1 b2 a,b1 a,b2 • 非简并性：若向量a对于W中的任意向量b均
h 2
Vp m 1
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p
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数学方法在力学教学中的应用
数学方法在力学教学中的应用摘要：数学作为一门工具学科对于几乎所有的理工科都起着辅助、基础的作用，与物理联系最为紧密的学科就是数学。
就物理学科来说数学不能仅仅是一门工具学科，事实上数学的研究方法以及一些数学方法都是为了解决物理问题而产生的。
笔者具有多年的物理教学经验，深深体会到数学对于物理学习的重要作用，很多学生物理学习的困难是由于数学水平的制约，一些物理问题无法解决，往往是对于相关的数学知识不能很好掌握，或者不能灵活的运用。
关键词：数学方法；力学教学；应用1 导言作为一门基础的工具学科，数学在理工科的学习中起着基础与辅助的作用。
数学中的很多方法是解决物理问题的关键，在力学教学中充分利用数学方法，适当地将力学的问题转化成数学符号、语言及关系式，利用数学方法合理地进行推理、计算、分析，建立起数学方法与力学研究之间的关系，对于培养学生运用数学知识解决力学问题的能力有很大的帮助。
2 常用数学方法简介所谓数学方法，就是用数学语言来描述事物之间的关系、状态及过程，通过分析、演算、推导，得到问题解决的方法或判断。
数学方法一般具有高度的抽象与概括性，并且逻辑严密、结论确定，可操作性强，具有普遍性。
它可以为科学研究提供简洁精确的表达形式(如物理公式)，进行数量分析及计算(如实验数据的分析计算)，最主要的是它提供了一种逻辑推理的工具，是科学研究的理论支撑。
物理学常用的数学方法有分析法、综合法、归纳法、建模法、图像法、向量法、公式法等，在分析、推理、计算中有广泛的应用。
物理学中的板块模型、绳船模型、碰撞模型等就是建模法的具体应用，运用图像解决物理问题是图像法的具体应用，等等。
因此，熟练掌握数学方法，对物理学习、物理问题的解决、物理规律的推理归纳与得出等，有着重要的作用，是学好物理学知识的基础。
3 数学方法在力学教学中的应用物理学中的各种概念、规律、公理、定义等都是通过数学符号或表达式来表现的，物理问题的研究也大都采用数学方法来分析比较，并计算推导其中的规律，在研究物体运动规律的力学中，数学方法的应用尤其突出。
辛几何算法
辛几何算法辛几何算法，也称为TBB，由德国数学家巴贝奇（Johann Martin HeinrichTBB）在20世纪50年代发明，它是一种用于快速求解一维与多维最优化问题的数值算法。
它是由简单而又高效的方式，将复杂的最优化问题简化为几何问题，以解决非常复杂的最优化问题，并使最优化效率大大提高。
辛几何算法更多地应用于工程和科学领域，包括电子和计算机技术、金融、系统动力学、运输、社会网络分析等。
这是一种优化算法，用来解决有约束的优化问题，称为最优化问题。
它的特点是可以有效地求解复杂的最优化问题，在科学和工程领域有广泛的应用。
辛几何算法的基本原理是通过迭代的方式，将最优化问题转换为一维或多维几何函数的最优化问题。
算法将搜索空间分割成多个子空间，并以此形成一个网格。
算法根据节点位置上的信息更新梯度，并使用梯度下降法来最小化或最大化函数值。
在每次迭代中，算法确定一个最佳的向量，以搜索最大或最小的值，从而达到最佳值。
辛几何算法的优点在于它简单、高效、耗时短，可以有效求解复杂的最优化问题，并可以并行执行，比其他算法更有效率。
此外，算法还可以自定义搜索空间，可以在有限的搜索空间中快速找到最优解，同时可以设置一些约束条件来达到更好的搜索效果。
辛几何法有一些不同的变种，如坐标轴算法、拉格朗日梯度计算方法、差分进化法以及多重搜索算法。
它们的不同之处在于它们具有不同的优化策略，可以选择不同的搜索策略来求解最优化问题。
辛几何算法的主要缺点是有些情况下可能会产生“假收敛”，也就是在给定的搜索空间中，算法无法找到全局最优解，而是被限制在局部最优解上。
此外，算法也存在软性约束不能很好地解决的问题，如等式约束。
辛几何算法是一种非常强大的优化算法，可以广泛用于各种复杂的最优化问题，如求解工程、科学和金融等领域的最优化问题。
它的准确性和效率被用来解决复杂的优化问题，并已经应用于很多领域。
有限元与辛算法（14）
有限元与⾟算法（14）有限元与⾟算法在数学上存在对偶空间，在物理上也存在对偶的物理量，⽐如在傅⽴叶变换的意义下，信号的时间与频率构成对偶物理量。
对偶物理量的构造⽐较困难，⼀般⽤拉格朗⽇⽅法或者勒让德⽅法，两个对偶的物理量形成⼀个新的空间称为⾟空间，⾟空间的演化是保积的，⼀般线性空间的演化可以理解为是保长度的，对于数值计算，即便是却对收敛的格式，计算的步长对计算结果影响很⼤，因为存在输⼊误差的问题，保长度的算法与保积算法区别在于，保积算法可以取较⼤的步长仍达到⾼精度，⽽保长度算法则需要很⼩的步长才能达到⾼精度。
对于时关系统ｔ，最为简单的⾟向量构造为⼀个物理量ｘ与其导数ｐ，当然也可以是⾮时关系统，但对偶物理量必须符合拉格朗⽇原理或者勒让德原理。
⼀个数理⽅程，如果按照对偶量构造原则写成⾟形式，可以称为“⾟化”。
在本质上，⽆论是⾟格式⽅程还是⼀般⽅程，都是某种能量最⼩原理的不同表现形式，物理本质是相同的，只是数学形式不同或者物理空间不同。
在有限元中，⾟算法最为成熟的应⽤是线弹动⼒学问题，即线弹结构的响应计算。
也有⼈将其推⼴到粘弹性的计算，还有很多。
钟院⼠创造的计算⽅法现在已经很成熟，他的书上也写的很清楚。
⽬前的难点是将很多各种各样的数理⽅程⾟化，但不是所有的⽅程都能⾟化，能量耗散系统的⽅程就不能应⽤。
在此，我有个猜想，有保长的算法，有保⾯积的算法，那么存在保体积的算法吗？这不是两维在三维上的简单推⼴，⽽是这个“体积”能在更⾼维上描述能量的守恒法则。
⾟是数学的，是精确的，我听过⼀个计算数学教授说，⾟法现在还很不成熟，这我不好说，但是我觉得很多⼈不了解⾟法的精髓，这可能与要具备较深的物理、⼒学等背景知识有关。
既然⾟法是普适的，是否可以考虑在数理⽅程或者积分变换或者理论⼒学或者控制论等的教材中加⼊内容，加强基础训练。
辛数学及其工程应用
辛数学及其工程应用
辛数学是一门研究辛结构与辛几何的数学学科，主要研究辛结构及其变换、黎
曼几何、调和分析等。
辛结构具有较好的保持性质，在物理学、工程学等领域具有广泛的应用。
辛数学在工程学中的应用主要包括以下几个方面：
1. 力学系统的模型构建：辛数学提供了优良的模型构建工具，特别是针对力学
系统，可以比较方便地将其建模成为辛结构。
2. 计算流体力学：辛数学在计算流体力学中具有很高的应用价值，能有效地处
理非线性流体方程的数值解问题。
3. 消声器设计：辛数学的结构保持性质可以用于优化消声器设计，提升消声器
的性能。
4. 机器人学：辛数学在机器人学的姿态控制、轨迹规划等方面应用广泛，可以
提高机器人的运动性能和精度。
5. 量子力学：辛数学也在量子力学中有应用，可以用于量子系统的模拟和求解。
总之，辛数学作为一门重要的数学学科，在工程学中具有广泛的应用和推广前景。
力学的应用解决各类力学问题的方法与策略
力学的应用解决各类力学问题的方法与策略力学是物理学的一个重要分支，研究物体的运动和受力情况。
在日常生活中，我们可以应用力学的知识来解决各类力学问题，比如物体受力平衡、自由落体运动、力的分解等等。
本文将介绍一些解决力学问题的方法和策略。
一、物体受力平衡的解决方法当一个物体处于受力平衡的状态时，所有作用在它上面的力的合力为零。
解决物体受力平衡问题的方法有两种：图解法和代数法。
图解法是通过绘制力的示意图来直观地分析物体的受力情况。
首先，我们需要根据问题中给出的信息确定力的大小和方向，并把它们标在示意图上。
然后，利用平行四边形法则或三角形法则来求解力的合力和合力的方向。
最后，判断物体是否处于受力平衡状态。
代数法是通过运用力的平衡条件来解决物体受力平衡问题。
首先，我们需要根据问题中给出的信息列出力的方程式。
然后，利用力的平衡条件（合力为零）来解方程组，求解未知数的值。
最后，判断物体是否处于受力平衡状态。
二、自由落体运动的解决策略自由落体是指在只受重力作用下的物体运动。
解决自由落体运动问题的策略有两种：分析法和公式法。
分析法是通过分析物体在不同时间点上的位置和速度变化，来确定它的运动状态。
首先，我们需要根据问题中给出的信息列出物体的运动表达式。
然后，分别计算物体在不同时间点上的位置和速度，并观察它们之间的关系。
最后，根据分析结果判断物体的运动规律。
公式法是通过应用自由落体运动的公式来解决问题。
首先，我们需要根据问题中给出的信息选择合适的公式，并代入已知数值计算未知数的值。
然后，根据计算结果来判断物体的运动状态。
最后，检查计算过程中是否满足物体自由落体运动的条件。
三、力的分解的解决方法力的分解是将一个力分解为两个互相垂直的分力，方便进行分析和计算。
解决力的分解问题的方法有两种：几何法和代数法。
几何法是通过几何图形的分析来进行力的分解。
首先，我们需要根据问题中给出的信息绘制力的示意图，并确定力的大小和方向。
然后，根据力的几何关系和三角函数的性质来求解力的分力。
力学中的新型数值方法研究
力学中的新型数值方法研究力学是基础学科之一，其研究范围涵盖了物体受力的规律、运动的轨迹、变形的行为等。
针对力学中的问题，数值方法是一种非常有效的求解手段，它可以通过数值计算来近似解决实际问题。
本文将对力学中的新型数值方法进行研究。
一、有限元方法有限元方法是目前求解力学问题的主要数值方法之一，它主要利用数学模型、计算机程序和数值分析的思想来研究物体的力学行为。
有限元方法分为连续模型和离散模型两种，其中离散模型的研究更为深入。
在有限元方法中，首先要建立一个离散化的模型，将物体划分为若干个小单元，并把这些小单元连接成一个整体，形成一个三维的结构。
然后，通过计算机程序来解决这个系统的方程组，得到物体的应力分布、变形及其他相关的物理量。
最终，通过对计算结果进行评估，确定该系统的性能，以确定物体的设计是否符合要求。
二、Meshless方法Meshless方法是一种新型数值方法，目前在力学领域中的应用越来越广泛。
它采用了无网格的计算方式，可分为粒子方法和边界元方法两类。
在粒子方法中，物体被视为由大量的小粒子组成，并通过对这些小粒子的运动轨迹进行计算来分析物体的行为，从而实现数值模拟。
边界元方法主要基于格林公式，在已知物体表面的情况下，通过对边界进行分割，将计算区域分割成一系列的控制节点。
然后，根据边界条件，可以计算出这些控制节点上的物理量，从而得到解。
Meshless方法优点在于不需要建立复杂的网格结构，可以使用更加灵活的控制节点来处理物体的行为。
此外，计算过程中不需要连续的网格单元来处理大变形和处于破裂状态的情况，可以适应更加复杂的问题。
三、高阶数值方法在传统的数值方法中，通常采用牛顿-拉弗森法等方法求解非线性问题。
但是，在复杂的问题中，这些方法往往收敛速度慢，需要大量的计算资源。
高阶数值方法是一种新型数值方法，它的特点是可以更快速、更准确地求解非线性问题。
高阶数值方法主要有基于小波分析的算法、基于李群理论的算法等。
数学分析在力学问题求解中的关键应用
数学分析在力学问题求解中的关键应用引言：力学作为物理学的一个重要分支，研究物体的运动和力的作用。
力学问题的求解往往需要运用数学分析的方法，通过建立数学模型和方程组，来描述物体的运动规律和力的作用方式。
本文将重点探讨数学分析在力学问题求解中的关键应用。
一、微分方程在力学问题中的应用微分方程是描述物体运动的重要数学工具。
在力学问题中，常常需要建立物体的运动方程，从而求解物体的运动轨迹和速度、加速度等相关参数。
微分方程可以描述物体受到的力和物体运动的关系，通过求解微分方程，可以得到物体的运动规律。
以简谐振动为例，假设一个弹簧振子的运动方程为：m*x''(t) + k*x(t) = 0其中，m为弹簧振子的质量，k为弹簧的劲度系数，x(t)为弹簧振子的位移函数。
通过求解这个微分方程，可以得到弹簧振子的运动规律。
二、积分在力学问题中的应用积分是数学分析中的重要工具，也在力学问题的求解中起到关键作用。
在力学问题中，常常需要计算物体所受的力对其所做的功，以及物体所受的力矩对其所做的转动功。
这些功的计算往往需要进行积分运算。
以计算重力对物体所做的功为例，假设物体的质量为m，高度变化为h，重力加速度为g。
则重力对物体所做的功可以表示为：W = ∫m*g*dh通过对上式进行积分运算，可以得到重力对物体所做的功。
三、极限在力学问题中的应用极限是数学分析中的基本概念，也在力学问题的求解中起到关键作用。
在力学问题中，常常需要计算物体在某一点的速度、加速度等相关参数。
这些参数的计算往往需要使用极限的概念。
以计算物体在某一点的速度为例，假设物体的位移函数为x(t)，则物体在某一点的速度可以表示为：v = lim(t→0) (x(t + Δt) - x(t))/Δt通过求解上式的极限，可以得到物体在某一点的速度。
结论：数学分析在力学问题求解中具有重要的应用价值，通过建立数学模型和方程组，运用微分方程、积分和极限等数学方法，可以描述物体的运动规律、计算力对物体所做的功以及求解物体的速度、加速度等相关参数。
应用力学的辛数学方法
采用半逆法的原因在于方程组的复杂性。传统偏微分方程组求解总是用各种方法对未知函数予 以消元，得到一个高阶偏微分方程再对一个未知函数来求解，形成了其方法论。然而由于方程太复 杂，偏微分方程的有效解法，即分离变量法及本征函数展开等却往往无法实施。
结构力学与控制理论的模拟理论表明，它们的数学基础是相同的。这说明力学中多门学科相互 间是密切关联的。它们应有一个公共的理论体系，学懂了一门课，以此类推，就容易学懂另一门课。 只要换成对偶变量体系，就可建立起这个公共理论体系的道。故本书的宗旨是：为了方便应用力学 的教学和科研。改革，就不要一味地随；而要走自己的路。
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程的体系。线性规划、二次规划以及非线性规划的基本方法也奠基于对偶变量基础上。基于以上观 察，应用力学也应自觉地、系统地运用对偶变量体系于其多个学科分支。
根据结构力学与控制理论的模拟关系，将对偶变量理论体系引入到弹性力学，就改变了以往弹 性力学求解中大量运用半逆凑合法的传统，而导向了理性的求解方法。这样就可以求得许多以往半 逆凑合法无法导出的结果。对于波的传播、振动理论，引入对偶变量系统，也使问题的求解范围得 以扩大，表述更加清楚。现代控制论本来就是奠基于对偶变量体系上的，而将应用力学的方法引入 到控制理论，可以使一些基本问题的求解得到重要推进。因此对应用力学的一些学科分支引入对偶 变量体系，有利于向不同学科领域渗透，也利于教改。
“师者，所以传道、授业、解惑也”。教改就应寻求不同以往而更有效的道。至此就有疑问， 非要采用这种传统的消元过程不可吗？事实上，这种传统方法论不是唯一的，对偶理论、状态空间 就是其回答。
数学分析在力学问题求解中的关键方法
数学分析在力学问题求解中的关键方法引言力学是研究物体运动和力的学科，它是自然科学中的基础学科之一。
在力学问题的求解中，数学分析起着至关重要的作用。
本文将探讨数学分析在力学问题求解中的关键方法。
一、微积分的应用微积分是数学分析的重要分支，它在力学问题的求解中具有重要的应用价值。
首先，微积分可以用来描述物体的运动。
通过对物体的位置、速度和加速度等参数进行微积分分析，可以得出物体的运动规律。
其次，微积分还可以用来求解力学问题中的极值。
在求解最速降线、最短时间问题等时，通过对函数进行微积分运算，可以得到使函数取得极值的条件，并进一步求解问题。
二、微分方程的建立与求解微分方程是描述物理现象和力学问题的重要工具。
在力学问题求解中，通过建立微分方程可以将问题转化为数学模型，进而求解。
例如，在弹簧振子的求解中，可以建立弹簧的运动方程，通过求解微分方程得到振子的运动规律。
此外，微分方程还可以用来描述物体的受力情况。
通过建立物体的受力方程，可以求解物体所受的力和加速度之间的关系，从而解决力学问题。
三、级数的应用级数是数学分析中的重要概念，它在力学问题的求解中也具有广泛的应用。
首先，级数可以用来求解力学问题中的累加和。
例如，在物体受到连续作用力的情况下，可以通过级数求解物体所受力的总和。
其次，级数还可以用来近似求解力学问题。
在一些复杂的力学问题中，通过将问题转化为级数形式，可以利用级数的性质进行近似计算，得到问题的近似解。
四、变分法的运用变分法是一种数学分析方法，它在力学问题求解中有着重要的应用。
变分法通过引入变分量，将力学问题转化为极值问题，从而求解问题。
例如，在弹性力学中，可以通过变分法求解弹性体的平衡状态。
通过对弹性体的能量泛函进行变分，可以得到弹性体的平衡方程，并求解问题。
变分法在力学问题的求解中具有较高的灵活性和广泛的适用性。
结论数学分析在力学问题求解中发挥着重要的作用。
微积分的应用可以描述物体的运动规律和求解极值问题；微分方程的建立与求解可以将力学问题转化为数学模型，并解决物体的受力情况；级数的应用可以求解力学问题中的累加和和进行近似计算；变分法的运用可以将力学问题转化为极值问题，并求解问题。
工程数学方法在力学分析中的运用
工程数学方法在力学分析中的运用引言：力学是研究物体运动和力的作用规律的学科，它在工程领域中起着至关重要的作用。
而在力学分析中，工程数学方法的运用则可以帮助工程师更好地理解和解决力学问题。
本文将探讨工程数学方法在力学分析中的应用，包括微积分、线性代数和概率论等方面。
微积分在力学分析中的应用：微积分是研究函数变化率和积分的数学工具，它在力学分析中有着广泛的应用。
例如，在力学中，速度和加速度是物体运动的重要参数。
通过微积分的方法，可以求解物体的速度和加速度函数，从而更好地理解物体的运动规律。
此外，微积分还可以用于求解力学中的最值问题，比如最大应力和最小位移等。
通过对力学问题建立适当的数学模型，运用微积分的方法可以得到更准确的结果，提高工程设计的可靠性。
线性代数在力学分析中的应用：线性代数是研究向量空间和线性变换的数学分支，它在力学分析中也有着重要的应用。
在力学中，往往需要处理大量的向量和矩阵，用于描述物体的受力和变形情况。
通过线性代数的方法，可以对这些向量和矩阵进行运算和求解。
例如，在结构力学中，通过建立刚度矩阵和位移向量的关系，可以求解结构物的变形情况。
此外，线性代数还可以用于求解力学中的特征值和特征向量问题，从而得到物体的固有振动频率和模态形态等信息。
概率论在力学分析中的应用：概率论是研究随机事件和概率的数学分支，它在力学分析中也有着一定的应用。
在实际工程中，往往存在着各种不确定性因素，比如材料的强度、外界载荷的大小等。
通过概率论的方法，可以对这些不确定因素进行量化和分析，从而评估工程设计的可靠性。
例如，在结构力学中，可以通过概率论的方法计算结构物的破坏概率，以确定结构物的安全性。
此外，概率论还可以用于分析力学中的随机振动问题，比如地震荷载对结构物的影响等。
结论：工程数学方法在力学分析中的应用具有重要的意义。
微积分可以帮助工程师更好地理解和解决力学问题，线性代数可以用于描述和求解力学中的向量和矩阵问题，概率论可以评估工程设计的可靠性和分析力学中的随机性问题。
数学分析方法在力学问题求解中的应用研究
数学分析方法在力学问题求解中的应用研究数学分析方法是一种重要的工具，被广泛应用于各个领域，包括力学。
力学是研究物体运动和相互作用的学科，通过数学分析方法可以对力学问题进行求解和分析，从而深入理解物体的运动规律和力的作用方式。
一、微积分在力学问题中的应用微积分是数学分析方法的一种重要工具，可以用来描述和分析物体的变化过程。
在力学问题中，微积分可以用来描述物体的运动和力的作用方式。
例如，当我们研究一个物体的运动时，可以通过微积分来求解物体的速度和加速度。
根据牛顿第二定律，物体的加速度与作用在物体上的力成正比，可以用微积分的方法求解出物体的加速度，并进一步求解出物体的速度。
此外，微积分还可以用来描述物体的变化率。
例如，当我们研究一个物体的质量变化率时，可以通过微积分的方法求解出物体的质量变化率。
二、偏微分方程在力学问题中的应用偏微分方程是数学分析方法的另一种重要工具，可以用来描述和分析物体的变化过程。
在力学问题中，偏微分方程可以用来描述物体的运动和力的作用方式。
例如，当我们研究一个物体的弯曲变形时，可以通过偏微分方程来描述物体的变形过程。
根据弯曲变形的力学原理，可以建立偏微分方程，并通过求解偏微分方程来求解物体的变形情况。
此外，偏微分方程还可以用来描述物体的传热过程。
例如，当我们研究一个物体的温度分布时，可以通过偏微分方程来描述物体的温度变化过程，并通过求解偏微分方程来求解物体的温度分布。
三、矩阵分析在力学问题中的应用矩阵分析是数学分析方法的另一种重要工具，可以用来描述和分析力学问题中的线性关系。
在力学问题中，矩阵分析可以用来描述物体的受力和力的作用方式。
例如，当我们研究一个物体的受力情况时，可以通过矩阵分析来描述物体受力的线性关系。
根据牛顿第三定律，物体受力与作用在物体上的力成反比，可以用矩阵分析的方法求解出物体的受力情况。
此外，矩阵分析还可以用来描述物体的刚度和弹性。
例如，当我们研究一个物体的刚度和弹性时，可以通过矩阵分析来描述物体的变形和应力分布，并通过求解矩阵方程来求解物体的刚度和弹性。
应用力学辛数学方法的 教材与课程建设 大工 钟万勰 辛体系 20FDC950-C62B-11DE-8950-F982CB7D2ADC
( λ − λ ) x Ix
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i
=0
( λ − λ ) x Jx
i j T j
i
=0
x T Ix i = 0 j
15:44
x T Jxi = 0 j
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统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
单变量：对称矩阵
对称矩阵：A T = IAI 本征向量的正交关系：xT Ixi = 0 j 正交矩阵：Q T IQ = I
T
y2 ⎞ ⎟ y2 ⎠
15:44
长度、夹角 正交
面积、体积 功的互等
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统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
进一步推广至陀螺系统
My + Gy + Ky = f ( t ) M = M T , G = −G T , K = K T
基于单变量描述，常用的振型叠加方法不适用 体现辛对偶体系的优势 从更一般的系统更深入的讨论物理、代数、几何 三个方面
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
不同理论的对比 物理背景、代数、几何并重 体现辛对偶体系的优越性
15:44 14
统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
弹簧-质量系统的振动
物理方面：动能，势能，机械能守恒
Lagrange函数=动能减势能 Hamilton函数=动能加势能
⎧q ⎫ ⎡ 0 m −1 ⎤ ⎧q ⎫ ⎨ ⎬=⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎩ p ⎭ ⎣ −k 0 ⎦ ⎩ p ⎭ 对偶变量
对偶变量：Hamilton矩阵
哈密顿矩阵：H T = JHJ 本征向量的辛正交关系：xT Jxi = 0 j 辛矩阵：S T JS = J
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统一的辛对偶体系—物理、代数、几何
几何方面
力学中的数学方法经典讲义
力学中的数学方法经典讲义力学是物理学中的一个重要分支，研究物体运动、力的作用以及力的效果等。
数学方法在力学中起着至关重要的作用，能够帮助我们更准确地描述和解释物体的运动规律。
下面是力学中的一些经典数学方法的讲义。
一、向量与矢量运算力学中常涉及到矢量和向量的运算，矢量是具有方向和大小的量，而向量是用坐标表示的几何实体。
向量和矢量运算的基础包括向量的加法、减法、数量乘法，以及向量的点乘和叉乘等。
这些运算能够帮助我们更好地描述物体的位移、速度和加速度等。
二、一维运动的数学描述一维运动是指物体在一条直线上的运动。
对于一维运动，我们可以利用基本的数学方法来描述物体的位移、速度和加速度等。
其中，位移是指物体从一个位置到另一个位置的移动距离，速度是指物体在单位时间内移动的距离，加速度是指物体在单位时间内速度的变化率。
通过数学方法，我们可以计算出物体的位移、速度和加速度之间的关系，从而更好地理解物体的运动规律。
三、二维和三维运动的数学描述除了一维运动以外，力学中还涉及到二维和三维运动。
对于二维和三维运动，我们需要借助坐标系来描述物体的运动状态。
其中，二维运动通常使用平面直角坐标系，而三维运动通常使用空间直角坐标系。
在坐标系中，我们可以通过位置矢量来描述物体在不同时刻的位置，进而计算出物体的速度和加速度等。
四、牛顿运动定律和运动方程牛顿运动定律是力学中的基本定律，它描述了物体在受力作用下的运动规律。
牛顿运动定律一共有三个定律，分别是惯性定律、动量定律和作用-反作用定律。
其中，动量定律和作用-反作用定律通常被称为运动方程。
通过运动方程，我们可以计算出物体受到的合力和加速度之间的关系，从而研究物体的运动状态。
五、动力学和静力学问题的数学求解动力学和静力学是力学中比较常见的问题类型。
动力学问题是指研究物体在受力作用下的运动规律，而静力学问题是指研究物体在平衡力作用下的力学性质。
对于这两类问题，我们可以通过数学方法来求解并得到解析解。
说明-大连理工大学运载工程与力学学部
力学（专业代码：0801 授予工学博士学位）一、培养目标本专业培养适应社会主义现代化建设需要，德、智、体全面发展，具备坚实的数理和力学基础，具有系统而深入的专业知识，掌握力学试验技能和计算方法，熟练掌握一门外国语，了解本学科最新发展前沿动态，具有独立从事科研能力的，能够在力学及相邻学科从事科研、教学、设计、生产和管理等工作的能力的高层次、创新性专门人才。
二、学科、专业及研究方向简介力学一级学科下设10个二级学科硕士点：一般力学与力学基础专业研究方向：01 分析结构力学与辛数学方法02 动力学与最优控制03 随机振动及非线性振动04 复杂系统与多体系统动力学固体力学专业研究方向：01应用力学的辛数学方法02 多孔多相介质力学03 计算固体力学与耦合问题数值方法04 破坏力学05 工程流变学与颗粒材料力学流体力学专业研究方向：01 流体力学中的辛技术及应用02 磁流体中智能机器鱼机理与优化设计03 流动的稳定性分析及湍流模拟04 流体的混合及热质传递强化技术05 港口海岸工程及海洋工程06 计算流体力学工程力学专业研究方向：01 工程结构多学科优化与反问题02 结构与多学科耦合系统仿真软件与应用03 先进材料与结构性能表征与现代设计理论04 工程结构动力分析与控制05 工程结构可靠性分析与健康诊断计算力学专业研究方向：01 工程优化与反问题的数值方法及应用02 多场与多尺度耦合问题的数值方法及应用03 现代有限元方法、计算建模与科学计算可视化04交缘与交叉学科中的关键力学问题05计算流体力学岩土与环境力学专业研究方向：01多孔多相材料中非线性力学及耦合问题02 环境土力学03 岩土力学试验测试技术与土的本构关系04 岩石力学、地下工程与边坡工程05 土壤渗流动力学与控制专业研究方向：01工程结构振动分析、控制与优化02 智能材料与结构控制03 机器人系统动力学04 航天器动力学与控制应用与实验力学专业研究方向：01材料和结构在特殊环境下的力学行为02 岩土和环境力学实验测试技术及基础理论研究03 海洋工程抗振技术与实验监测技术04 爆炸力学、冲击动力学、爆破工程、爆炸加工05 大型工业装备故障诊断、强度与可靠性分析生物与纳米力学专业研究方向：01生物器官生物力学模型及新材料应用研究02分子模拟和计算机辅助药物分子设计03微纳米与多尺度力学研究04生物材料的力学行为及其多功能化航空航天力学与工程专业研究方向：01飞行器结构优化设计02 先进材料与结构03 气动与热防护04 航天器动力学与控制05 航空航天推进技术三、培养方式【参照写法】博士研究生培养实行导师负责制，也可实行以导师为主的指导小组负责制。
rk法与辛算法
rk法与辛算法RK法与辛算法是数值计算中常用的两种数值积分方法，它们在求解微分方程和动力学系统中的应用广泛。
虽然这两种方法都属于常见的数值积分方法，但它们在原理和应用范围上存在一些不同。
本文将介绍RK法和辛算法的基本原理，并讨论它们的优缺点和适用范围。
RK法，全称Runge-Kutta法，是一种常用的数值积分方法。
它基于泰勒级数展开的思想，通过将微分方程的解近似表示为一系列的积分形式，并根据级数展开将积分进行离散化，从而得到近似的数值解。
RK法基本思想是采用迭代的方式，通过计算每一步的斜率和时间步长来不断逼近真实解。
具体步骤是：首先计算初始条件下的斜率，然后利用上一步的解和斜率估计下一步的解，并以此类推。
RK法具有高精度和数值稳定性好的特点，特别适用于求解一阶和高阶常微分方程。
辛算法，全称Symplectic Algorithm，是一类特殊的数值积分方法。
它主要用于求解哈密顿方程（Hamiltonian equations）和保持辛结构的系统。
辛算法的基本思想是在积分过程中保持辛流形的结构，从而确保数值解的质量和准确性。
辛算法特点是能够保持系统的能量守恒和相空间的体积不变。
常见的辛算法有Verlet算法和Leapfrog算法等。
这些算法通过采用不同的离散化方式和格式来解决辛流形上的积分问题。
RK法和辛算法在数值计算中有各自的优缺点和适用范围。
RK法由于采用泰勒级数展开，可以获得高精度的数值解，特别适用于求解高阶微分方程。
而辛算法被广泛应用于保持辛结构的系统，特别适用于求解哈密顿方程等保守系统。
由于辛算法具有良好的守恒性质，因此在模拟复杂动力学系统、行星运动和相空间的保持等问题中有广泛的应用。
此外，辛算法具有较好的长时间稳定性，因此适用于模拟长时间的物理过程。
然而，RK法和辛算法也有各自的局限性。
RK法在计算高阶微分方程时需要更多的计算量，计算效率相对较低。
而辛算法虽然能够保持辛结构，但对于非辛系统或者存在强非线性的系统，其数值稳定性可能较差。
计算物理学研究中的辛算法
计算物理学研究中的辛算法随着计算机技术和计算物理学的发展，科学家们在探究自然现象时越来越依赖于数值计算方法。
其中，辛算法是计算物理学中的一种常用数值计算方法，它能够较为精确地解决很多常见的物理问题，本文将介绍辛算法的原理、应用和发展现状。
一、辛算法的基本原理“辛”一词表明了辛算法是一种守恒量保持的数值积分方法，这意味着它能够在数值计算过程中保持系统的能量守恒性质。
辛算法在计算李群作用下的微分方程中的效果尤为明显，这种微分方程的形式可以表示为：dq/dt = X(q)其中，q是一个d维的向量，也就是李群的元素，t是时间，X(q)表示其在李代数中的切向量场。
这种微分方程在现实物理中的应用非常广泛，它涉及到很多领域的问题，如量子力学、天体物理学、等离子体物理学等。
在计算的过程中，辛算法采用了辛形式的规范矩阵M作为李群和李代数之间的桥梁。
具体来讲，M是一个d*d的正交矩阵，它能够连接李群中的元素和相应的李代数元素，使它们在李代数中的“相对位置”得以保持，因此保证了守恒量不变。
二、辛算法的应用场景目前，辛算法已经被广泛应用于多个领域的数值计算中。
在天体物理学中，辛算法常用于研究恒星形成、银河生长等问题。
在量子力学中，辛算法也常被用来模拟量子系统的演化。
在等离子体物理学中，辛算法则常用于研究物质在强电磁场下的行为。
特别地，在材料科学中，辛算法具有非常广泛的应用前景。
一些新兴材料的研究需要大量的计算复杂的电子结构和热力学性质，传统的计算方法常常需要耗费很长的时间。
而辛算法具有高效、稳定、精确的特点，能够大大提高计算速度和计算精度，因此备受材料科学家的重视。
三、辛算法的发展现状近年来，辛算法在计算物理学中的应用越来越广泛，吸引了越来越多的科学家的关注。
目前，辛算法的发展方向主要有以下几个方面：1. 基本算法的完善：针对辛算法中一些存在的问题（如能量泄露、数值耗散等），研究者们正在尝试采用一些改进算法，以提高辛算法的准确性和稳定性。
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本书由教育博士点基金(#20010141024)，国家重大基础研究(G1999032805)，以及自然科学基金(#10372019) 支持，特此表示感谢。
钟万勰，2004/8/21
一阴一阳之谓道
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绪论
数学力学在很长一段历史时期，曾是科学的带头学科。几个世纪的发展百花纷呈，成就辉煌。 力学作为工程的基础学科有力地推动了诸如航空航天、机械、土木、化工、能源、材料、等等各方 面的飞跃。应用力学也受到了应用的多方面促进，从而发展了许多理论与方法。从应用数学的角度 看，只要将其基本微分方程建立起来，就已表达清楚，以下就是如何去求解。实际应用要求提供数 据，决不能只是停留在理论上。经常见到的情况是，基本方程虽已建立但其求解却非常困难。以弹 性力学来说，其基本方程体系早在 19 世纪初便已臻完善，然而其求解却费了一个多世纪，还远不 能说已臻完善了。
回顾我们自己学习过的应用力学，可以发现一些问题。分析力学应是力学中最基础的部分，却 在课程中讲得很少。因为弹性力学、结构力学、流体力学、振动与稳定等课程与其关联不多。控制 理论虽源于力学却已很少在工程力学课程中讲授了。这些课程的理论体系与方法各有一套，学科交 叉还很不够。例如以往弹性力学与分析力学看不出有多少关系；现在世界正在走向 Smart(灵巧)， 而力学如不与控制理论相连接，又何能 Smart。
“师者，所以传道、授业、解惑也”。在 Courant & Hilbert 名著“数学物理方法”的序言中指 出：“物理的直观，对于数学问题和方法是富有生命力的根源。....。因此，有必要引导我们的努 力转向于将许多有特点的和各式各样的科学事实的共同点及其相互关联加以阐明，以重新统一这种 分离的趋向。只有这样，才可以使学者们掌握这些材料，从而为研究工作更进一步的有机发展准备 下基础。本书发展了起源于物理问题的数学方法，并试图使这些结果纳入统一的数学理论。…”。 统一的数学理论与方法就是“道”。这些论述至今仍然适用，很有启发意义。
从拉格朗日体系向哈密顿体系的过渡，其意义还在于从传统的欧几里得型几何形态进入到了辛 几何的形态之中，突破了传统观念，从而使对偶的混合变量进入到应用力学的广大领域。书中给出 了振动、波传播、弹性力学、以及多变量单连续坐标弹性体系求解体系，再讲述最优控制的 LQG 与 H∞ 理论及其精细求解等。采用的是统一的辛数学理论体系，辛的道。只要读懂一个方面，就可 方便地理解其他方面。这对于教学也有很大好处。面对课时的限制，而欲使学生尽量掌握现代的科 技发展，一套横贯多个学科的方法论是很有利的。
20 世纪 50 年代后，计算机及高级语言问世，有限元首先在工程力学中出现[7]，迅速改变了局 面。在工程力学体系的理论基础上，以强大的计算能力为后盾，对于用线性方程描述的结构力学、 固体力学等很快就发展出通用灵活的有限元数值方法，并系统化为大规模有限元程序系统，成为工 程师手中强大的分析工具，确立了计算力学的地位。有限元法在结构分析中成功的基础上迅即扩展 到了力学、工程与科学计算的各个方面，取得了极大的成功。
经典分析力学是力学最根本的体系。Larange 方程，最小作用量原理，Hamilton 正则方程，正 则变换，Hamilton-Jacobi 理论，等等，是非常优美的数学理论体系。并且也是统计力学，电动力学， 量子力学等基本学科的基础；反而在应用力学课程中体现得不够。现代控制论所奠基的状态空间法 的起点至少也应回朔到 Hamilton 正则方程体系。Hamilton 正则方程体系也正是对偶变量、对偶方
“师者，所以传道、授业、解惑也”。教改就应寻求不同以往而更有效的道。至此就有疑问， 非要采用这种传统的消元过程不可吗？事实上，这种传统方法论不是唯一的，对偶理论、状态空间 就是其回答。
在分析力学中，在拉格朗日方程之后，哈密顿提出了其正则方程体系[8]，这就是状态空间法 的开始。常微分方程组的基本理论也是奠基于一阶微分的方程组的。但是在以往自动控制的经典理 论中，采用的也是尽量消元而成为单输入-单输出的高阶常微分方程的表述。控制论在计算技术的 冲击下，出现了现代控制论。现代控制论并不只是在原有经典控制论的理论体系上加以延伸而已， 而是使控制论的基本理论体系也发生了根本性的更迭：采用状态空间描述的道，达到了新的境界。 应用力学可由此汲取到其成功经验。
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程的体系。线性规划、二次规划以及非线性规划的基本方法也奠基于对偶变量基础上。基于以上观 察，应用力学也应自觉地、系统地运用对偶变量体系于其多个学科分支。
根据结构力学与控制理论的模拟关系，将对偶变量理论体系引入到弹性力学，就改变了以往弹 性力学求解中大量运用半逆凑合法的传统，而导向了理性的求解方法。这样就可以求得许多以往半 逆凑合法无法导出的结果。对于波的传播、振动理论，引入对偶变量系统，也使问题的求解范围得 以扩大，表述更加清楚。现代控制论本来就是奠基于对偶变量体系上的，而将应用力学的方法引入 到控制理论，可以使一些基本问题的求解得到重要推进。因此对应用力学的一些学科分支引入对偶 变量体系，有利于向不同学科领域渗透，也利于教改。
物理与应用力学的辛数学方法
中行独复，以从道也ຫໍສະໝຸດ 序言钟万勰， 大连理工大学
当代世界处于科技大发展时期。空间、纳米、环境、能源、生命、信息等各方面都发生着深刻 变化，大量新学科的涌现与学科交叉是时代的特点，这离不开基础学科的支撑。中国的崛起面临发 展科技的强烈需求，国家正在制订中、长期科学发展规划。显然、10-20 年后攀登世界科技高峰的 主力军是现在的年青一代。大学生、研究生的培养至关重要，这给教学提出了挑战。更新教学内容， 提供扎实的数理化基础，启发学生的主动性、事业心等方面，就成为必须探讨的课题。
“行成于思，毁于随”。从弹性力学的求解体系来看，以铁木辛柯《弹性力学》为代表，历来 的求解方法都是在一类变量的范围之内进行的。从数学的角度来看一类变量求解属拉格朗日体系的 方法，因此必然导致高阶偏微分方程，以至于分离变量等有效的方法未能对此实施。随着该思路，
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半逆法求解法长期未能突破。然而当转变方法论的道，将原变量与对偶变量组成的状态空间引入弹 性力学，弹性柱体的圣维南问题就可导出新的一套基本方程。于是分离变量法就可顺利的实施了。 过去一套半逆法的解，在状态空间中都可用直接法求解出来，而过去因端部条件方面的困难，只能 用圣维南原理予以覆盖的一大批解，现在也可以予以求解了[11]。直接法通过理性的推导，逐步进 行下去可使读者便于理解。
2002 年我曾出版《应用力学对偶体系》，并用作教材在大连理工大学力学系讲授过三遍。实践 结果说明，虽然该书给出了新(辛)的求解体系，但用作教材仍不够理想。问题主要在传统分析力学 的第一章不易为初学者所接受。写这本《物理与应用力学的辛数学方法》是为了给初学者提供最易 接受的途径。本书力求由浅入深，循序渐进，但仍保持辛对偶体系的特点，便于在教学中应用。并 且也注意介绍辛对偶体系对物理与力学的应用，其目的是揭示其数学上的同一性。希望在辛数学的 基础上，发展统一的数学理论与方法。
在本书中，作者有意安排固体物理等方面的一些浅近的基础内容。其目的也是为了展示辛数学 的适应性，也为读者的跨学科研究准备一些基础知识，可任意选读。同一套数学方法将在不同课题 中一再出现，如果读者感到本教材的方法总是这一套，重复，这正是统一的数学方法么。
应用当然要给出数值结果，因此本书尽量给出有关的算法与简单程序，以加深理解。充分发挥 计算能力也是道。计算力学已经是力学中最活跃的部分之一，是应用力学通向工程的桥梁。故本书 特别强调算法。精细积分法既用于初值问题的积分，又用于两端边值问题的积分。对于动力方程以 及控制理论中的 Riccati 方程，精细积分都给出了几乎是计算机上的精确解。各种精细积分算法与 辛本征问题的算法，是本书的另一个特点。
控制论既已按其自身的发展而做出了体系换代，粗略想来在理论体系上离开应用力学更远了。 然而情况并非如此，现代控制论的数学问题与结构力学的某类问题是一一对应地互相模拟的[9-11]， 本书正是在这种模拟关系基础上写成的。从数学角度看，模拟关系是建筑在哈密顿体系理论基础上 的。既然控制论以状态空间法为基础发展出整套新的理论体系，则应用力学也理应有对偶变量状态 空间法应用的前景。
工程需要以及严格求解的困难促使各种应用理论得以发展，如结构力学、薄壁结构、板壳理论、 再加上结构动力与稳定性、土力学、流体力学等问题，就构成了工程力学的一个体系。这些力学应 用理论虽使方程得以简化，但解析求解仍有很大困难。数学家与力学家通力合作，既丰富了数理方 法又发展了工程力学。这个时代的代表著作为 R.柯朗与 D.希尔伯脱的《数学物理方法》[1]，以及 S.P.铁木辛柯的一套教材《弹性力学》，《弹性稳定理论》，《板与壳学》，《工程振动问题》，《高等材 料力学》，[2-6]，……当然还有其他一批著作上。这一整套解析求解体系可谓一整套的经典理论体 系，涵盖了当年的高度成就，也影响并指引着随后的进展。
当代科技的信息化发展，体现在智能化材料，智能化结构，智能化系统，精确制导武器，…。 充分表现出控制、遥感的多方渗透。结构的控制正日益受到关注。在工程力学教学中不应忽视这种 发展趋势。美国已感到结构与控制工程师在设计中互相分离，因此不利于整体的合理设计。正在呼 唤“控制-结构整体设计”。当前这本书力图将力学的多个方面与控制论加以汇合，采用一个统一的 理论体系加以阐述，使读者从理论与方法上对控制与力学看清楚其内在联系。这对于培养新一代工 程师是很有利的。
面对新学科的大量涌现，单纯地增加教学内容将使学生负担过重而无法承受。不改变教学内容 又将落后于时代。以应用力学为例，多尺度、多层次的发展，纳米材料已到了量子理论的阶段， Timoshenco 传统理论体系已不能适应，改革是大势所趋。需要数、理、化、力等基础学科的专家一 起探讨，发展新时期的教学改革，努力走出自己的路子来。2004/3/28-31 教育部高教司指示召开“数 学、物理、力学课程体系改革联合研讨会”是很重要的一步。作为与会大多数专家、教授的共识， 写出有我国特色的数理力教材是重要的关键之一。此形势使我认识到开拓新教材的重要性。因此有 了这份《物理与应用力学的辛数学方法》讲义。