数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式
正交多项式
k = 1, 2 , L , n 。
其中系数 ckj = −
( x ,ϕ j )
k
j =0
(ϕ j , ϕ j )
, ( j = 0,L , k − 1)，
正交性
证明： 递推构造法证明 证明：用递推构造法证明 (1) 令ϕ 0 ( x ) = 1; ( 2) 构造ϕ1 ( x ) = x + c10ϕ 0 ( x ), 且选取 c10使 ( x,ϕ 0 ) 0 = (ϕ 1 , ϕ 0 ) = ( x , ϕ 0 ) + c10 (ϕ 0 , ϕ 0 ), 即选取 c10 = − (ϕ 0 , ϕ 0 )
连续函数空间， §2 连续函数空间，正交多项式理论
2.2 正交多项式理论 介绍几种常用的正交多项式
一、生成（张成）的集合 生成（张成） n ϕ 定义6 中线性无关组， 定义6 设{ i ( x )} i = 0 为 C [a , b ] 中线性无关组，称集合
ϕ 生成（张成）的集合。 为由 { i }i = 0 生成（张成）的集合。 结论: 结论 1 （ ） Span { 0 , L , ϕ n } ⊂ C [ a， b ]； ϕ
b
= ( x k , ϕ i ) + c ki ϕ i , ϕ i ) （
的正交多项式组， 于是 {ϕ i ( x )} n= 0 为[ a ， b ]具有权函数 ω ( x ) 的正交多项式组， i
即
(ϕ i , ϕ j ) = ∫ ω ( x )ϕ i ( x )ϕ j ( x )dx = 0,当 i ≠ j。
a
#
性质： 性质：
(1)φ n ( x )是 具 有 最 高 次 项 系 数 为1的 n 次 多 项 式 。
正交多项式
（2） 若 Q( x) Pn ( x) 则
其中i ( x) 是首项系数为1的i次多项式；
（2）P( x) Hn为任一次数 n 多项式，则
① {0 ( x),1 ( x),
n
,n ( x)}于 [a，b] 线性无关；
（P , ） i (i 0,1,, n) ② P ( x ) ci i ( x ) ，其中 ci （ i , ） i i 0
0, j k ( j ( x), k ( x) A 0, j k k
( j , k 0, 1, ) ( Ak 是常数)
则称函数系{k (x)}是[a, b]上带权 (x)的正交函数系，
特别地，当Ak 1时，则称该函数系为标准正交函数系。
定义6.3
设 n ( x)是 [a, b] 上首项系数 an 0 的 n次多
作为度量误差 f (x) － p (x) 的“大小”的标准 在这种意义下的函数逼近称为一致逼近或均匀逼近
对于任意给定的一个小正数 >0，如果存在函数p (x)，使不等式
max f ( x) p( x)
a x b
成立，则称该函数p (x)在区间[a, b]上一致逼近或均匀逼近
于函数f (x)。 (二) 平方逼近： 采用
( 1) n n 2 n!
1
1
Q ( n ) ( x) ( x)dx.
下面分两种情况讨论: 则 Q ( n ) ( x) 0, （1） 若 Q( x) 是次数小于 n的多项式， 故得
1
1
Pn ( x)Pm ( x)dx 0, 当n m.
(2n)! n 1 (n) x , ( x ) n 2 n 2 (n!) 2 n!
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
正交多项式(1)
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
数值微积分---chap正交多项式定理证明
假设 n ( x)在(a, b)中只有l个根(l n), x1 , x2 ,..., xl
2 2 2 则 n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl ) = ( x)( x x1 ) ( x x2 ) ( x xl )
k 0 n
的节点xk : a x0 x1 xn b是Gauss点的充分必要条件是 : 它们是区间(a, b)上以 ( x)为权的正交多项式n 1 ( x)的n 1个根
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第4章 数值微积分
4.4 Gauss型求积公式与正交多项式
School of mathematics and statistics
一般地, ( k 1 , k ) (( x k ) k k k 1 , k )
__ __ __
__
__
__
__
__
(( x k ) k , k ) ( k k 1 , k ) 0 由此函数系的正交性:( k 1 , k ) 0 因此(( x k ) k , k ) 0 ,即( x k , k ) k ( k , k )
__
__
由于( x x1 ) ( x x2 )( x xl )有次数低于n次
则由正交性 ( x) n ( x)( x x1 )( x x2 )( x xl )=0
a
b
__
由 ( x)在(a, b)上不变号
b
a
( x) ( x)( x x1 )2 ( x x2 )2 ( x xl )2 0
3.2 正交多项式
第三章 函数逼近
3.2 正交多项式和最佳平方逼近
(11)
给出。它们是在区间（-∞，+∞）上带权 (x) e2x2的正交多项式。
Hn(x)
(1)n e x2
dn dxn
(e x 2
)
前几个Hermite多项式如下：
第三章 函数逼近
H 2 ( x ) 4 x 2 2, H 3 ( x) 8 x 3 12 x, H 4 ( x ) 16 x 4 48 x 2 12, H 5 ( x) 32 x 5 160x 3 120x.
它们的根都在开区间（-1，1）上的单根，并且与
原点对称。
11
ò (Tn ,Tm ) = - 1 1- x2 Tn (x)Tm (x)dx
0, 当n m
2 ,
,
当m n 0 当m m 0
第三章 函数逼近
（3）拉盖尔(Laguerre)多项式。 Laguerre多项式可由三项递推公式
第三章 函数逼近
L2 ( x) x 2 4 x 2, L3 ( x) x 3 9 x 2 18 x 6, L4 ( x) x 4 16 x 3 72 x 2 96 x 24 L4 ( x) x5 25 x4 200x 3 600x 2 600x 120
其中的 (x)0为给定的权函数。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
数值分析正交多项式
(2)Qn( x) Hn均可表为p0( x), p1( x), , pn( x)的线性组合. (3)当k j时，( p j , pk ) 0,且pk ( x)与任一次数小于k的多
项式正交.
（4）有递推关系
pn1( x) ( x n ) pn( x) n pn1( x), n 0,1, , (2.4)
(i
(
x
),
k
(
x))
0, Ak
,
i
k, ik
,
(i,k 0,1,2, )
(2.2)
则称函数族{n( x)}为[a,b]上带权ρ(x)的正交函数族 .
特别地, 当Ak 1时, 则称该函数系为标准正交函数族 .
例如，三角函数族 1,cos x,sin x,cos 2x,sin 2x, ,
为[ , ]上的正交函数族, (1,1) 2 ,(cos kx,cos kx) (sin kx,sin kx) ,其他内积 0.
定义6 设pn( x)是[a,b]上首项系数an 0的n次多项式, ( x)
为[a,b]上的权函数, 若多项式序列{ pn( x)}0 ,满足正交性
(2.2)，则称{ pn( x)}0 为以( x)为权函数的[a,b]上的正交 多项式序列. 称pn( x)为以( x)为权函数的[a,b]上的n次正
(2.10)
切比雪夫多项式的性质: (1) 递推关系
TTn0(1x( x)
1, )2
T1( xTn (
x) x)
x, Tn1(
x
).
Tn( x)的最高次幂xn的系数为2n1,(n 1).
事实上，只需由
(2.11)
cos(n 1) 2cos cos n cos(n 1) , n 1.
正交多项式
一、正交化手续
定义6 设 g n ( x ) 是 [ a , b ]上首项系数 , 若多项式序列 a n 0 的 n 次多项式 , ( x ) { g n ( x )} 0 ,满足正交性
为 [ a , b ]上的权函数 (g i ,g k )
b a
0, i k ( x ) g i ( x ) g k ( x ) dx ( i , k 0 ,1 , ) A k 0, i k
则称 { g n ( x )} 0 为以 ( x ) 为权函数的 称 g n ( x ) 为以 ( x ) 为权函数的
[ a , b ]上的正交多项式序列 .
.
[ a , b ]上的 n 次正交多项式
n
只要给定 [ a , b ]上的权函数 正交化手续立得正交正
g 0 ( x ) 1,
2 1 1 Q n (
n1 ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ x ) dx ( Pn , Pn ) a k ( Pk , Pk ) ( Pn , Pn ) k0
当且仅当 a i 0 时，等式成立。即当
~ Q n ( x ) Pn ( x ) 时平方误差最小。
令： x
ba 2
( n 0 ,1 , 2 , )
m n, 0, Pm ( x ) Pn ( x )d x 2 , m n. 2n 1
证： ( i) 当 m n 时 , 不妨 m n . 做 m 次分部积分
1 1
Pm ( x ) Pn ( x )d x
1 2
( 3 x 1 ),
3
2
[ 2 ( n 1 )]!
最佳逼近 - 正交多项式、最佳逼近
2
(x)
x2
1 3
3
(
x)
x3
3 5
x
4
(x)
x4
6 7
x2
+
3 35
5
(x)
x5
10 9
x3
+
5 21
x
6
(
x)
x6
15 11
x4
+
5 11
x
2
5 231
7
(x)
x7
231 143
x5
+
105 143
x3
35 429
x
3．正交多项式的性质
（1）{0 (x),1(x),,n (x)} 线性无关；
（2）任何 n 次多项式均可表示为0 (x),1 (x),,n (x),的线性组合；
（4）
Pn (x) 的最高次项系数为 an
(2n)! 2n (n!)2
，显然最高项系数为
1 的勒让德多项式为
~
Pn (x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x
2
1)n
]
；
（5） Pn (x) 在区间[1,1] 内有 n 个不同的实零点。
勒让德多项式的由来：
勒让德微分方程:
(1
-
x2)
d
2P(x) dx2
称为逼近的误差或余项。 这里必须表明两点：其一是函数类 M 的选取。何为简单函数？在数值分析中所谓简单函数
主要是指可以用四则运算进行计算的函数，最常用的有多项式及有理分式函数；其二是如何确
定 P 与 f 之间的度量。 定义 3.9 设函数 f (x) 是区间[a, b] 上的连续函数，对于任意给定的 "e 0 ，如果存在多项
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
数值分析第8讲正交多项式 56页PPT文档
b
(k,Q k1)a (x)kQ k1d x0
(k1,2,...)
特 别 Q k 1(x )取 j(x )： (k,j)a b(x )k(x )j(x )d x 0 (j1 ,2 ,.k . .1 )
又 (k ,k ) 2 k ( x ) 0 a b( x )2 k ( x ) d 0 x
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
内积空间常用的范数为： u (u,u)
C[a, b]上的内积定义为：
b
(f(x )g ,(x ) ) a (x )f(x )g (x )dx
范数定义为：
f(x)
(
b
1
f2(x)dx)2
Heut-lcf163
定理3 Gram矩阵
设X为一内积空间，u1 , u2 ,...un X ,
(u1 , u1 ) (u1 , u2 ) ... (u1 , un )
G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
2
a
Heut-lcf163
内积空间的重要结论 定理2 Cauchy-Schwarz不等式
设X是一内积空间 u,v,， X对 ,有 (u,v)2 (u,u)(v,v)
特别地
( x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3 ) 2 ( x 1 2 x 2 2 x 3 2 )y 1 2 y 2 2 y 3 2
于 是 得x首 n的项 系an数 2(n2(nn!))!2 .显 然 最 高 项1 系 的勒让德多项式为
正交多项式
1
第三章 函数逼近与计算
3.4.1 正交化手续
定义1 设 gn ( x)是 [a, b]上首项系数 an 0 的 n次多项式，
( x)为 [a, b]上权函数，如果多项式序列 { gn ( x)}0 满足
b
0, j k.
(g j , gk )
a
(x)gj (x)gk
1
1 2n n!
1 Q( x) (n1) ( x)dx
1
(1)n 2n n!
1 Q(n) ( x) ( x)dx
1
（1） 若 Q(x) 是次数小于 n 的多项式，则 Q(n) (x) 0,
故得
1
)}00是成[a立, b关]上系带权
(
x )的首项系数为1的
gn1( x) ( x n )gn( x) n gn1( x) (n 0,1,).
其中 g0 ( x) 1, g1( x) 0,
n
( xgn ( x), gn ( x)) ( gn ( x), gn ( x))
最高项系数为1的勒让德多项式为
P~n ( x)
n! (2n)!
dn dx n
[( x 2
1)n ].
§4 正交多项式 © 2009, Henan Polytechnic University
99
第三章 函数逼近与计算
勒让德多项式的性质
性质1 正交性
1 1
Pn (
x)Pm
(
x)dx
p1( x)
x
( x,1) (1,1)
1
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
数值计算方法_正交多项式
数值计算方法_正交多项式正交多项式是数学中的一类特殊的多项式函数。
这些多项式函数在一定的定义域上满足正交性的性质，即在一定的权函数下，两个不同的正交多项式的内积为0。
正交多项式在数学分析、数值计算和物理学等领域中有着广泛的应用和重要的作用。
常见的正交多项式包括勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
它们各自的定义域、权函数和正交性条件不同，因此在不同的问题中可以选择不同的正交多项式来进行数值计算和求解。
以勒让德多项式为例，其定义域为闭区间[-1,1]，权函数为常数函数1、勒让德多项式满足以下正交性条件：∫[-1, 1] P_n(x) P_m(x) dx = 0 (n ≠ m)其中P_n(x)表示勒让德多项式的n次多项式。
这意味着在权函数为常数函数1的条件下，两个不同次数的勒让德多项式在[-1,1]上的内积为0，即满足正交性的性质。
正交多项式的正交性给数值计算带来了很大的便利。
通过使用正交多项式可以将一些数学问题转化为多项式的相关计算，进而简化问题的求解过程。
例如，利用正交多项式可以将函数在一定区间上的积分转化为多项式系数的线性组合，从而通过计算多项式系数来估计函数的积分值。
在实际的数值计算中，正交多项式也可以用于数据拟合、插值、逼近等问题。
在确定了问题的定义域、权函数和正交性条件之后，可以通过计算相关的正交多项式系数来求解问题的数值解。
同时，正交多项式的性质还可以用于数值解的稳定性分析和误差估计，提高数值计算的精度和效率。
总之，正交多项式是数值计算中一类重要的数学工具。
通过合理选择不同的正交多项式，可以简化问题的求解过程，并得到更加准确和稳定的数值解。
因此，正交多项式在数值计算中具有广泛的应用前景。
正交多项式
正交多项式
若首项系数 an ≠ 0 的 n 次多项式 ϕ n ( x) ，满足
b 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x)ϕ j ( x)ϕ k ( x) d x = a Ak > 0
j ≠ k, j = k;
( j , k = 0,1,L)
就称多项式序列 ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n ，在 [a, b] 上带权 ρ ( x) 正交， 并称 ϕ n ( x) 是 [a, b] 上带权 ρ ( x) 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 {ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 是区间 [a, b] 上关于权函数 ρ ( x) ≥ 0 的 正交函数族。
ϕ ( x) =
( f , ϕ0 ) ( f , ϕ1 ) ( f ,ϕ2 ) ϕ 0 ( x) + ϕ1 ( x) + ϕ 2 ( x) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ 2 , ϕ 2 )
≈ −4.1225 x 2 + 4.1225 x − 0.05047
4－1 勒让德多项式 当区间为［－1，1］ ，权函数 ρ ( x) ≡ 1 时，由 {1, x,L , x ,L} 正交化得到的多项式就称
( xϕ1 , ϕ1 ) α2 = = (ϕ1 , ϕ1 )
1 2
∫
1 x( x − ) 2 dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x − 2 ) dx
1 0
(ϕ , ϕ ) β2 = 1 1 = (ϕ 0 , ϕ 0 )
∫ (x − 2) ∫ 1dx
0 1 0
1
1
2
dx
正交多项式
首项系数
1 P2 ( x ) (3 x 2 1) 2 ( 2n)! an n . 2 2 ( n! )
1 P3 ( x ) (5 x 3 3 x ) 2
由于 ( x 2 1) n是 2n 次多项式， 所以对其求 n 阶导数后得
Pn ( x ) 1 n n 1 ( 2 n )( 2 n 1 ) ( n 1 ) x a x a0 , n 1 n 2 n!
则
1 2 n
Q ( n ) ( x ) Pn( n ) ( x )
( 2n)! , n 2 n!
第三章 函数逼近与计算 于是
( 2n)! ( 1) n ( 2n)! 1 2 n P ( x ) dx ( x 1 ) dx 1 2 2 n ( n! ) 2 2 2 n ( n! )2 1
0, m n; 1 Pn ( x ) Pm ( x )dx 2 , m n. 2n 1
证明 令 ( x) ( x 2 1) n ，则 ( k ) (1) 0 (k 0,1,, n 1). 设 Q( x) 是在区间 [1, 1] 上 n 阶连续可微的函数，由分部 积分知 1 1 1 ( n)
1
1
(1 x 2 ) n dx .
由于 0 (1 x ) dx 0 cos 2 n1 tdt
2 n
2
1
2 4 2n 1 3 ( 2n 1)
故
1
1
Pn2 ( x )dx
2 . 2n 1
性质2
奇偶性
Pn ( x ) ( 1) n Pn ( x ).
P ( x ) c j g j ( x ).
新编文档数值分析第8讲正交多项式精品文档PPT课件
G
(u2 , u1
)
(u2 , u2 )
...
(u2
,
un
)
(un , u1 ) (un , u2 )
(un , un )
G非奇 异 u1,u2,.u .n.线性无关
Heut-lcf163
第2节 正交多项式
Heut-lcf163
一、正交多项式的概念
定义 若f(x)，g(x)C0a,b，(x)为a,b上的权函
HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY
heut-liucf163 heut08yjs163
第三章 函数逼近
函数逼近
1
函数逼近的基本概念
正交多项式的基本概念
正交函数系的性质
正交多项式的构造
函数的最佳平方逼近
Heut-lcf163
第1节 函数逼近的基本概念
Heut-lcf163
函数逼近
则｛S, •｝称为赋范线性空间。 内积与内积空间 N维数量空间内积
(x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 . .x .n y n (x ,y ) x 1 y 1 x 2 y 2 x 3 y 3
Heut-lcf163
推而广之 设 X是数 K域 (或 RC）上的线性 u空 ,v间 X, ， 有 K中一个数与为 之(u对 ,v)它 ,应满 ，足 记以下
（ 1） (u,v)(v,u)
(2)(u,v)(u,v) (3)(uv,w)(u,w)(v,w) u,v,wX,K
(4)(u,v)0,当 且 仅 u0当 时(u， ,u)＝ 0
则称(u,v)为X上的内积。 {X(线性空 ),( 间 , )}称为内积空间
Heut-lcf163
数值分析正交多项式
数值分析正交多项式数值分析是数学的一门分支，研究数值计算的方法和算法，并通过数学模型和近似计算方法对实际问题进行数值求解。
在实际科学计算中，往往会涉及到函数的近似、方程的求解、积分和微分等问题，数值分析的研究便是对这些问题进行建模和求解的过程。
在数值分析中，正交多项式是一类重要的函数族，其在数值逼近、插值、积分等问题中具有重要的应用。
正交多项式是指在一些特定的区间上，相互之间满足其中一种正交条件的多项式函数。
这些多项式函数一般具有良好的数学性质，如稳定性、收敛性、插值性质等，能够用于解决连续函数逼近、曲线拟合、数值积分等问题。
常见的正交多项式有勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式和切比雪夫多项式等。
下面简要介绍一下这些常见的正交多项式。
1. 勒让德多项式：勒让德多项式是最早被研究的正交多项式，其形式为Pn(x)=An(x)xn+An-1(x)xn-1+...+A1(x)x+A0(x)，其中An(x)为系数函数，满足勒让德多项式的正交性质：∫Pm(x)Pn(x)dx=0 (m≠n)。
勒让德多项式在数值计算中广泛应用于多项式插值和函数逼近等问题。
2.拉盖尔多项式：拉盖尔多项式是一类特殊的勒让德多项式，定义在区间[0,+∞)，其形式为L(x)=e^(-x)x^n/n!，其中n为非负整数。
拉盖尔多项式在物理学中的量子力学和热力学等问题中有重要应用。
3. 埃尔米特多项式：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式，其形式为Hn(x)=(-1)^ne^(x^2)d^n(e^(-x^2))/dx^n，满足埃尔米特多项式的正交性质：∫Hm(x)Hn(x)e^(-x^2)dx=0 (m≠n)。
埃尔米特多项式在量子力学和量子力学等领域的波函数展开中有广泛应用。
4. 切比雪夫多项式：切比雪夫多项式是在区间[-1,1]上的正交多项式，其形式为Tn(x)=cos(n·arccos(x))，满足切比雪夫多项式的正交性质：∫Tm(x)Tn(x)(1-x^2)^(-1/2)dx=0 (m≠n)。
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
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多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1,
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
12
0 0
多 项
0
0
1 180
0
0
0
1
0
式
0 0
0
0
0
0
2800
00
1
44100
0 0
0
0
0 0 0 0
x3
5 21
x
8 ( x) ~ 10( x)
6(x)
x6
15 11
x4
5 11
x2
5 231
7 ( x)
x7
231 143
x5
105 143
x3
35 429
x
勒让德多项式的结构特点
权函数 ( x) 1
由 {1, x, ...xn , ...} 正交化得到的多项式
区间为 [1,1]
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5
最佳平方逼近
正交多项式的基本概念 正交函数系的性质 正交多项式的构造 正交多项式的程序设计
正交多项式的概念
【定义1】 若 f ( x)，g( x) C0[a,b]
( f ( x)，g( x)) b f ( x)( x)dx 0 a
1(x)
x
1 2
[0,1]正交多项式序列{n ( x)}0
正
2(x)
x2
x
1 6
交 多 项
3(x)
x3
3 2
x2
3 5
x
1 20
请同学们写出 8 (x) ~ 10(x)
式
4(x)
x4
2x3
9 7
x2
2 7
x
1 70
5(x)
x5
5 2
x4
20 9
x3
5 6
x2
5 42
x
1 252
6(x)
x6
3x5
75 22
交
使得
多 项
c00 c11 ... cnn 0
式
不妨设 ci 0 ，则有：
c（0 0，i ) c（1 1，i ) ... c（n n，i ) c（i i，i ) 0
而 (i，i ) 0 ，只有 ci 0
矛盾！！
证毕
正交多项式系的主要特征
（1）n ( x) 次数为 n，最高次项系数为1.
正
则称 f ( x)与 g( x)在 [a, b] 上正交
交 多
若函数族 0 ( x)，1( x), n ( x)， 满足关系
项 式
( j，k )
b
0，
a
j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
则称 {k ( x)}是 [a, b] 上的正交函数系
若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数系。
0 0 0
0
0 0
1 698544
0
0 001919088
正交多项式的构造
0(x) x
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
1(x)
x2
1 3
[1,1]正交多项式序列 {n ( x)}0
正
2(x)
x3
3 5
x
交 多 项
4(x)
x4
6 7
x2
3 35
请同学们写出
式
5(x)
x5ห้องสมุดไป่ตู้
10 9
项 式
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
则称 {k ( x)}是 [a, b] 上带权( x)的正交函数系
若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数系。
正交函数系的性质
三角函数系
{1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,......
x , }
(x2,
1
(x
1
x 1) 2
,x1
(x )
1) 2
x2
x
1 6
,
22
程序设计
Clear[x,f]
f[0]=1;
f[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*f[i],{x,0,1}])/
正
(Integrate[f[i]^2, {x,0,1}])*f[i],{i,0,k-1}]
交
Table[f[k],{k,0,6}]//N;
正交多项式的概念
【定义2】 若 f ( x)，g( x) C0[a,b] ( x) 为 [a, b] 上的权函数且满足
( f ( x)，g( x)) b f ( x)( x)dx 0 a
正
则称 f ( x)与 g( x)在 [a, b] 上带权( x) 正交。
交 多
若函数族 0 ( x)，1( x), n ( x)， 满足关系
sin
nxdx
,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
交 (1,1) 2 ,(sin kx,sin kx) (cos kx,cos kx) ,
多
项 式
而对 k, j 1, 2, ... 当 k j 时，有
(cos kx,sin kx) (1,cos kx) (1,sin kx) 0
（2）{0 ,1 , ...n } 线性无关
正
交
（3）对 Pn( x) Hn均可表为 0 , ...n 的线性组合
多
项 式
（4） ( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
正交多项式的构造
给定区间 a,b 及权函数( x)，均可由一族线性无关的幂函数{1, x, ..xn ...}
正
正交性：
交
（1）任意两个不同函数在 [ , ] 上的积分等于零。
多
项 式
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
sin mx cosnxdx 0.
( 其中 m, n 1, 2, )
正交函数系的性质
（2）任意两个相同函数在 [ , ] 上的积分等于 。
正
0,
sin
mx