数值计算方法 正交多项式 - 正交多项式

(x2,
1
(x
1
x 1) 2
,x1
(x )
1) 2
x2
x
1 6
,
22
程序设计
Clear[x,f]
f[0]=1;
f[k_]:=x^k-Sum[(Integrate[x^k*f[i],{x,0,1}])/
正
(Integrate[f[i]^2, {x,0,1}])*f[i],{i,0,k-1}]
交
Table[f[k],{k,0,6}]//N;
正
正交性：
交
（1）任意两个不同函数在 [ , ] 上的积分等于零。
多
项 式
cos nxdx 0,
sin nxdx 0,
sin mx cosnxdx 0.
( 其中 m, n 1, 2, )
正交函数系的性质
（2）任意两个相同函数在 [ , ] 上的积分等于 。
正
0,
sin
mx
x3
5 21
x
8 ( x) ~ 10( x)
6(x)
x6
15 11
x4
5 11
x2
5 231
7 ( x)
x7
231 143
x5
105 143
x3
35 429
x
勒让德多项式的结构特点
权函数 ( x) 1
由 {1, x, ...xn , ...} 正交化得到的多项式
区间为 [1,1]
0 0 0
0
0 0
1 698544
0
0 001919088
正交多项式的构造
0(x) x
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
1(x)
x2
1 3
[1,1]正交多项式序列 {n ( x)}0
正
2(x)
x3
3 5
x
交 多 项
4(x)
x4
6 7
x2
3 35
请同学们写出
式
5(x)
x5
10 9
正
则称 f ( x)与 g( x)在 [a, b] 上正交
交 多
若函数族 0 ( x)，1( x), n ( x)， 满足关系
项 式
( j，k )
b
0，
a
j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
则称 {k ( x)}是 [a, b] 上的正交函数系
若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数系。
利用逐个正交化手续构造出正交多项式序列 {n ( x)}0
正 交 多 项
0(x) 1,n(x)
xn
n1 j0
(
(
)( xn, j ( x),
j j
( (
x))
x))
j
(
x
)
（n 1，2，.......)
式
0(x)
1,1( x)
x
( x,1) (1,1)
x
1 2
,
2(x)
x2
( x2 ,1) (1,1)
(cos kx,cos jx) (sin kx,sin jx) (cos kx,sin jx) 0
正交多项式的性质
区间 [a, b] 的上正交函数系必定线性无关
证明 设正交函数系为：{0 ,1}
正
（反证）假设 {0 ,1 , ...n }线性相关 ，即存在不全为零的实数 c0 , c1, ...cn
sin
nxdx
,
mn ,
mn
cos
mx
cos
nxdx
0, ,
mn ,
mn
交 (1,1) 2 ,(sin kx,sin kx) (cos kx,cos kx) ,
多
项 式
而对 k, j 1, 2, ... 当 k j 时，有
(cos kx,sin kx) (1,cos kx) (1,sin kx) 0
项 式
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
则称 {k ( x)}是 [a, b] 上带权( x)的正交函数系
若 Ak 1 ，则称之为标准正交函数系。
正交函数系的性质
三角函数系
{1,cos x,sin x,cos 2x,sin2x,......
x , }
x4
20 11
x3
5 11
x2
1 22
x
1 924
正交性验证
( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
{ Ak
0,
jk jk
正 交
1 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
12
0 0
多 项
0
0
1 180
0
0
0
1
0
式
0 0
0
0
0
0
2800
00
1
44100
0 0
0
0
0 0 0 0
1(x)
x
1 2
[0,1]正交多项式序列{n ( x)}0
正
2(x)
x2
x
1 6
交 多 项
3(x)
x3
3 2
x2
3 5
x
1 20
请同学们写出 8 (x) ~ 10(x)
式
4(x)
x4
2x3
9 7
x2
2 7
x
1 70
5(x)
x5
Hale Waihona Puke Baidu
5 2
x4
20 9
x3
5 6
x2
5 42
x
1 252
6(x)
x6
3x5
75 22
多 项
Expand[%]//N;
式
MatrixForm[%]
F[i_,j_]:=Integrate[f[i]f[j],{x,0,1}]
Table[F[i,j],{i,0,6},{j,0,6}];
MatrixForm[%]
正交多项式的构造
0(x) 1
由 {1, x, ..xn ...}正交化构造出
正交多项式的概念
【定义2】 若 f ( x)，g( x) C0[a,b] ( x) 为 [a, b] 上的权函数且满足
( f ( x)，g( x)) b f ( x)( x)dx 0 a
正
则称 f ( x)与 g( x)在 [a, b] 上带权( x) 正交。
交 多
若函数族 0 ( x)，1( x), n ( x)， 满足关系
交
使得
多 项
c00 c11 ... cnn 0
式
不妨设 ci 0 ，则有：
c（0 0，i ) c（1 1，i ) ... c（n n，i ) c（i i，i ) 0
而 (i，i ) 0 ，只有 ci 0
矛盾！！
证毕
正交多项式系的主要特征
（1）n ( x) 次数为 n，最高次项系数为1.
第 三
函数插逼近值与曲法线拟合
章
主讲教师：刘春凤
1
函数逼近
2
正交多项式
3
曲线的拟合
4
最佳一致逼近
5
最佳平方逼近
正交多项式的基本概念 正交函数系的性质 正交多项式的构造 正交多项式的程序设计
正交多项式的概念
【定义1】 若 f ( x)，g( x) C0[a,b]
( f ( x)，g( x)) b f ( x)( x)dx 0 a
（2）{0 ,1 , ...n } 线性无关
正
交
（3）对 Pn( x) Hn均可表为 0 , ...n 的线性组合
多
项 式
（4） ( j，k )
b
0，
a
( x) j ( x)k ( x)dx
Ak
0,
jk jk
正交多项式的构造
给定区间 a,b 及权函数( x)，均可由一族线性无关的幂函数{1, x, ..xn ...}