二次函数检测题(WORD版含答案)
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二次函数检测题(
WORD版含答案)
一、初三数学二次函数易错题压轴题(难)
1.如图1,抛物线y=mx2﹣3mx+n(m≠0)与x轴交于点C(﹣1,0)与y轴交于点B (0,3),在线段OA上有一动点E(不与O、A重合),过点E作x轴的垂线交直线AB 于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)分别求出抛物线和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,当1
236 25
S
S
=时,求点P的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′,旋转角为α
(0°<α<90°),连接E′A、E′B,求E'A+2
3
E'B的最小值.
【答案】(1)抛物线y=﹣3
4
x2+
9
4
x+3,直线AB解析式为y=﹣
3
4
x+3;(2)P(2,
3 2);(3
410
【解析】
【分析】
(1)由题意令y=0,求出抛物线与x轴交点,列出方程即可求出a,根据待定系数法可以确定直线AB解析式;
(2)根据题意由△PNM∽△ANE,推出
6
5
PN
AN
=,以此列出方程求解即可解决问题;
(3)根据题意在y轴上取一点M使得OM′=4
3
,构造相似三角形,可以证明AM′就是
E′A+2
3
E′B的最小值.
【详解】
解:(1)∵抛物线y=mx2﹣3mx+n(m≠0)与x轴交于点C(﹣1,0)与y轴交于点B (0,3),
则有
3
30 n
m m n
⎧
⎨
⎩++
=
=
,解得4
3
3
m
n
⎧
⎪
⎨
⎪
-
⎩
=
=
,
∴抛物线2
39
3
44
y x x
=-++,
令y=0,得到2
39
3
44
x x
-++=0,
解得:x=4或﹣1,
∴A(4,0),B(0,3),
设直线AB解析式为y=kx+b,则
3
40
b
k b
+
⎧
⎨
⎩
=
=
,
解得
3
3
4
k
b
⎧
-
⎪
⎨
⎪⎩
=
=
,
∴直线AB解析式为y=3
4
-x+3.
(2)如图1中,设P(m,2
39
3
44
m m
-++),则E(m,0),
∵PM⊥AB,PE⊥OA,
∴∠PMN=∠AEN,
∵∠PNM=∠ANE,
∴△PNM∽△ANE,
∵△PMN的面积为S1,△AEN的面积为S2,1
2
36
25
S
S
=,
∴6
5
PN
AN
=,
∵NE∥OB,
∴AN AE
AB OA
=,
∴AN=5
4
5
4
5
4
5
4
(4﹣m),
∵抛物线解析式为y =239
34
4
x x -++, ∴PN =239344m m -
++﹣(34-m+3)=3
4
-m 2+3m , ∴23
364
55(4)4
m m
m -+=-, 解得m =2或4(舍弃), ∴m =2, ∴P (2,
3
2
). (3)如图2中,在y 轴上 取一点M′使得OM′=4
3
,连接AM′,在AM′上取一点E′使得OE′=OE .
∵OE′=2,OM′•OB =4
3
×3=4, ∴OE′2=OM′•OB , ∴
OE OB
OM OE '=''
, ∵∠BOE′=∠M′OE′, ∴△M′OE′∽△E′OB ,
∴
M E OE BE OB '''='=2
3
, ∴M′E′=2
3BE′,
∴AE′+23BE′=AE′+E′M′=AM′,此时AE′+2
3BE′最小(两点间线段最短,A 、M′、E′共线
时),
最小值=AM′2244()3
+410
. 【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识,解题的关键是构造相似三角形,找到线段AM ′就是AE′+2
3
BE′的最小值,属于中考压轴题.
2.如图,抛物线()2
50y ax bx a =+-≠经过x 轴上的点1,0A 和点B 及y 轴上的点
C ,经过B C 、两点的直线为y x n =+.
(1)求抛物线的解析式.
(2)点P 从A 出发,在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动,同时点E 从B 出发,在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动.当其中一个点到达终点时,另一点也停止运动.设运动时间为t 秒,求t 为何值时,PBE △的面积最大并求出最大值. (3)过点A 作AM BC ⊥于点M ,过抛物线上一动点N (不与点B C 、重合)作直线
AM 的平行线交直线BC 于点Q .若点A M N Q 、、、为顶点的四边形是平行四边形,求
点N 的横坐标.
【答案】(1)2
65y x x =-+- (2)2t =;2(3541-或4541
+ 【解析】 【分析】
(1)先确定A 、B 、C 三点的坐标,然后用待定系数法解答即可;
(2)先求出AB 、BC 的长并说明△BOC 是等腰直角三角形,再求出点P 到BC 的高d 为
)2
454d BP sin t =⋅︒=
-,则12PBE
S
BE d =⨯⨯)()122244222
t t t =⨯⨯-=-,再根据二次函数的性质即可确定最大值;
(3
)先求出4542
AM AB sin =⋅︒=⨯
=N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,再说明四边形AMNQ
是平行四边形,得到NQ AM ==;再过点N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H 结合题意说明NQH 为等腰直角三角
形,求得4NH =
==;设()
2
,65N m m m -+-,则(),0G m ,
(),5H m m -,最后分点N 在x 轴上方时、点N 在x 轴下方且5m >时和1m <三种情况
解答即可. 【详解】
解:()1因为直线y x n =+经过B C 、两点,且点B 在x 轴上,点C 在y 轴上, ∵()(),,00,B n C n -
∴抛物线2
5y ax bx =+-经过点1,0A ,点(),0B n -,点()0,C n ,
∴250505a b an bn n +-=⎧⎪--=⎨⎪-=⎩,解得51,6n a b =-⎧⎪
=-⎨⎪=⎩
所以抛物线的解析式为2
65y x x =-+-.
()2∵()()()1,05,0,0,,5,A B C -
∴4,AB BC BOC ==为等腰直角三角形, ∴45,ABC ∠=
由题意得4,2,02BP t BE t t =-=<≤点P 到BE
的距离()4542
d BP sin t =⋅︒=- 所以1
2
PBE
S
BE d =⨯⨯
)()12442t t t =⨯-=-; ∵二次函数(
)()4f t t =-的函数图象开口向下,零点为0和4, ∴04
22
t +=
=时, ∴()(
)(
)2242max f t f ==⨯-=即2t =时,PBE △的面积最大,且最大值
为
()3
由题意得4542
AM AB sin =⋅︒=⨯
= 过点N 作直线AM 的平行线交直线BC 于点,Q 则,NQ BC ⊥ ∵点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形,
∴NQ AM ==
过点N 作NH x ⊥轴,交x 轴于点,G 交BC 于点,H ∵:5BC l y x =-,
∴NQH 为等腰直角三角形,
∴4,NH =
==
设()
2
,65N m m m -+-, 则(),0G m ,(),5H m m -,
①点N 在x 轴上方时,此时()()2
655,NH m m m =-+---
∴()
()2
6554m m m -+---=,即()()140,m m --=
解得1m =(舍,因为此时点N 与点A 重合)或4m =;
②点N 在x 轴下方且5m >时,此时()()2
565,NH m m m =---+- ∴()(
)
2
5654m m m ---+-=,即2
540,m m --=
解得5m =
<(舍)或m =
③点N 在x 轴下方且1m <时,此时()()2
565,NH m m m =---+-
∴()(
)
2
5654m m m ---+-=,即2
540,m m --=解得52m =
或52
m +=(舍)
综上所述,4,m m ==
,m =符合题意, 即若点,A M N Q 、、为顶点的四边形是平行四边形,
点N 的横坐标为
52-或4或52
+.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质、平行四边形的判定与性质,掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解答本题的关键
3.对于函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),若存在实数x0,使得a 2
0x +(b+1)x 0+b ﹣2=x0成立,则称x 0为函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点. (1)当a =2,b =﹣2时,求y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)若对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,求实数a 的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,且直线y =﹣x+2121
a 是线段AB 的垂
直平分线,求实数b 的取值范围.
【答案】(1)不动点是﹣1或2;(2)a 的取值范围是0<a <2;(3)b 的取值范围是﹣
2
4
≤b <0. 【解析】 【分析】
(1)将a =2,b =﹣2代入函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0),得y =2x 2﹣x ﹣4,然后令x =2x 2﹣x ﹣4,求出x 的值,即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点;
(2)对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点,可以得到x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)时,对于任何实数b 都有△>0,然后再设t =△,即可求得a 的取值范围;
(3)根据y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的图象上A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点,可知点A 和点B 均在直线y =x 上,然后设出点A 和点B 的坐标,从而可以得到线段AB 的中点坐标,再根据直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂
直平分线,从而可以求得b 的取值范围. 【详解】
解:(1)当a =2,b =﹣2时, 函数y =2x 2﹣x ﹣4, 令x =2x 2﹣x ﹣4, 化简,得x 2﹣x ﹣2=0 解得,x 1=2,x 2=﹣1,
即y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点是﹣1或2; (2)令x =ax 2+(b+1)x+b ﹣2, 整理,得 ax 2+bx+b ﹣2=0,
∵对于任何实数b ,函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)恒有两相异的不动点, ∴△=b 2﹣4a (b ﹣2)>0,
设t =b 2﹣4a (b ﹣2)=b 2﹣4ab+8a ,对于任何实数b ,t >0, 故(﹣4a )2﹣4×1×8a <0, 解得,0<a <2,
即a 的取值范围是0<a <2; (3)由题意可得, 点A 和点B 在直线y =x 上, 设点A (x 1,x 1),点B (x 2,x 2),
∵A ,B 两点的横坐标是函数y =ax 2+(b+1)x+b ﹣2(a ≠0)的不动点, ∴x 1,x 2是方程ax 2+bx+b ﹣2=0的两个根, ∴x 1+x 2=﹣
b a
, ∵线段AB 中点坐标为(122x x +,122
x x
+), ∴该中点的坐标为(2b a -,2b a
-), ∵直线y =﹣x+2
121
a +是线段AB 的垂直平分线,
∴点(2b a -,2b
a -)在直线y =﹣x+2121
a +上, ∴2b
a -
=21221
b a a ++
∴﹣b =
2
2
21
22a a a ≤
+=
2,(当a =22
时取等号) ∴0<﹣b ≤
2
4
, ∴﹣
2
≤b <0, 即b 的取值范围是﹣2
4
≤b <0. 【点睛】
本题是一道二次函数综合题、主要考查新定义、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.
4.如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF 折叠,使点A 落在CD 边上点E 处,如图②;
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上,过点C 再次折叠,使得点B 落在边CD 上点B′处,如图③,两次折痕交于点O ;
(Ⅲ)展开纸片,分别连接OB 、OE 、OC 、FD ,如图④. (探究)
(1)证明:OBC ≌OED ;
(2)若AB =8,设BC 为x ,OB 2为y ,是否存在x 使得y 有最小值,若存在求出x 的值并求出y 的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1)见解析;(2)x=4,16 【解析】 【分析】
(1)连接EF ,根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质,运用SAS 证明OBC ≌OED 即可;
(2)连接EF 、BE ,再证明△OBE 是直角三角形,然后再根据勾股定理得到y 与x 的函数关系式,最后根据二次函数的性质求最值即可. 【详解】
(1)证明:连接EF . ∵四边形ABCD 是矩形,
∴AD =BC ,∠ABC =∠BCD =∠ADE =∠DAF =90° 由折叠得∠DEF =∠DAF ,AD =DE ∴∠DEF =90°
又∵∠ADE=∠DAF=90°,
∴四边形ADEF是矩形
又∵AD=DE,
∴四边形ADEF是正方形
∴AD=EF=DE,∠FDE=45°
∵AD=BC,
∴BC=DE
由折叠得∠BCO=∠DCO=45°
∴∠BCO=∠DCO=∠FDE.
∴OC=OD.
在△OBC与△OED中,
BC DE
BCO FDE
OC OD
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
,
,
,
∴△OBC≌△OED(SAS);
(2)连接EF、BE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴CD=AB=8.
由(1)知,BC=DE
∵BC=x,
∴DE=x
∴CE=8-x
由(1)知△OBC≌△OED
∴OB=OE,∠OED=∠OBC.
∵∠OED+∠OEC=180°,
∴∠OBC+∠OEC=180°.
在四边形OBCE中,∠BCE=90°,∠BCE+∠OBC+∠OEC+∠BOE=360°,∴∠BOE=90°.
在Rt△OBE中,OB2+OE2=BE2.
在Rt△BCE中,BC2+EC2=BE2.∴OB2+OE2=BC2+CE2.
∵OB2=y,∴y+y=x2+(8-x)2.
∴y=x2-8x+32
∴当x=4时,y 有最小值是16.
【点睛】
本题是四边形综合题,主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点,灵活应用所学知识是解答本题的关键.
5.二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象交y 轴于点A ,顶点为P ,直线PA 与x 轴交于点B .
(1)当m =1时,求顶点P 的坐标;
(2)若点Q (a ,b )在二次函数22(0)63
m m y x x m m =
-+>的图象上,且0b m ->,试求a 的取值范围;
(3)在第一象限内,以AB 为边作正方形ABCD .
①求点D 的坐标(用含m 的代数式表示);
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,请直接写出符合条件的整数m 的值.
【答案】(1)P (2,13
);(2)a 的取值范围为:a <0或a >4;(3)①D (m ,m +3); ②2,3,4.
【解析】
【分析】
(1)把m =1代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =
-+>解析式中,进而求顶点P 的坐标即可; (2)把点Q (a ,b )代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中,根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组,解出a 的取值范围即可; (3)①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标,得到OA 的长,再根据待定系数法求出直线AP 的解析式,进而求出与x 轴的交点B 的坐标,得到OB 的长;通过证明△ADF ≌△ABO ,得到AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,求出点D 的坐标;
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,由①同理可得:C (m+3,3),分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况,进行讨论m 可能取的整数值即可.
【详解】
解:(1)当m =1时,二次函数为212163y x x =
-+, ∴顶点P 的坐标为(2,13
); (2)∵点Q (a ,b )在二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象上, ∴2263
m m b a a m =-+, 即:2263m m b m a a -=- ∵0b m ->, ∴
2263
m m a a ->0, ∵m >0, ∴2263
a a ->0, 解得:a <0或a >4,
∴a 的取值范围为:a <0或a >4;
(3)①如下图,过点D 作DE ⊥x 轴于点E ,过点A 作AF ⊥DE 于点F ,
∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =
-+, ∴顶点P (2,3
m ), 当x=0时,y=m ,
∴点A (0,m ),
∴OA=m ;
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0),
把点A (0,m ),点P (2,3
m )代入,得: 23
m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩, 解得:3m k b m
⎧=-⎪⎨⎪=⎩,
∴直线AP 的解析式为y=3
m -
x+m , 当y=0时,x=3,
∴点B (3,0);
∴OB=3;
∵四边形ABCD 是正方形,
∴AD=AB ,∠DAF+∠FAB=90°,
且∠OAB+∠FAB =90°,
∴∠DAF=∠OAB ,
在△ADF 和△ABO 中, DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
,
∴△ADF ≌△ABO (AAS ), ∴AF=OA=m ,DF=OB=3,DE=DF+EF= DF+OA=m+3,
∴点D 的坐标为:(m ,m+3);
②由①同理可得:C (m+3,3),
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点,
∴当x =m 时,3y m ≤+,可得3
22363m m m m -+≤+,化简得:32418m m -≤. ∵0m >,∴2
184m m m -≤,∴218(2)4m m
--≤, 显然:m =1,2,3,4是上述不等式的解,
当5m ≥时,2(2)45m --≥,18 3.6m ≤,此时,218(2)4m m
-->, ∴符合条件的正整数m =1,2,3,4; 当x = m +3时,y ≥3,可得2
(3)2(3)363m m m m m ++-+≥, ∵0m >,∴2
1823m m m ++≥,即218(1)2m m
++≥, 显然:m =1不是上述不等式的解,
当2m ≥时,2(1)211m ++≥,189m ≤,此时,218(1)2m m
++>恒成立, ∴符合条件的正整数m =2,3,4;
综上:符合条件的整数m 的值为2,3,4.
【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用,熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键.
6.如图,已知点()1,2A 、()()5,0B n n >,点P 为线段AB 上的一个动点,反比例函数()0k y x x
=>的图像经过点P .小明说:“点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.”
(1)当1n =时.
①求线段AB 所在直线的函数表达式.
②你完全同意小明的说法吗?若完全同意,请说明理由;若不完全同意,也请说明理由,并求出正确的k 的最小值和最大值.
(2)若小明的说法完全正确,求n 的取值范围.
【答案】(1)①1944y x =-
+;②不完全同意小明的说法;理由见详解;当92x =时,k 有最大值8116
;当1x =时,k 有最小值2;(2)109n ≥; 【解析】
【分析】
(1)①直接利用待定系数法,即可求出函数的表达式;
②由①得直线AB 为1944y x =-
+,则21944k x x =-+,利用二次函数的性质,即可求出答案;
(2)根据题意,求出直线AB 的直线为21044n n y x --=
+,设点P 为(x ,k x ),则得到221044n n k x x --=
-,讨论最高项的系数,再由一次函数及二次函数的性质,得到对称轴52b a
-≥,即可求出n 的取值范围. 【详解】
解:(1)当1n =时,点B 为(5,1),
①设直线AB 为y ax b =+,则
251a b a b +=⎧⎨+=⎩,解得:1494a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
, ∴1944
y x =-+; ②不完全同意小明的说法;理由如下: 由①得1944y x =-
+, 设点P 为(x ,k x
),由点P 在线段AB 上则 1944
k x x =-+,
∴22191981()444216k x x x =-
+=--+; ∵104
-<, ∴当92x =时,k 有最大值8116
; 当1x =时,k 有最小值2;
∴点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值先增大后减小,当点P 在点A 位置时k 值最小,在92
x =的位置时k 值最大. (2)∵()1,2A 、()5,B n ,
设直线AB 为y ax b =+,则
25a b a b n +=⎧⎨+=⎩,解得:24104n a n b -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩
, ∴21044
n n y x --=+, 设点P 为(x ,
k x ),由点P 在线段AB 上则 221044n n k x x --=
-, 当204
n -=,即n=2时,2k x =,则k 随x 的增大而增大,如何题意; 当n≠2时,则对称轴为:10
104224
2
n n x n n --==--; ∵点P 从点A 运动至点B 的过程中,k 值逐渐增大,当点P 在点A 位置时k 值最小,在点B 位置时k 值最大.
即k 在15x ≤≤中,k 随x 的增大而增大; 当204
n ->时,有 ∴20410124
n n n -⎧>⎪⎪⎨-⎪≤⎪-⎩,解得:26n n >⎧⎨≥-⎩, ∴不等式组的解集为:2n >;
当2
04
n -<时,有 ∴20410524
n n n -⎧<⎪⎪⎨-⎪≥⎪-⎩,解得:1029n ≤<, ∴综合上述,n 的取值范围为:109
n ≥
. 【点睛】
本题考查了二次函数的性质,反比例函数的性质,一次函数的性质,以及解不等式组,解题的关键是熟练掌握所学的知识,掌握所学函数的性质进行解题,注意利用分类讨论的思想进行分析.
7.如图,已知抛物线y=ax 2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为Q(2,-1),且与y 轴交于点C(0,3),与x 轴交于A ,B 两点(点A 在点B 的右侧),点P 是该抛物线上的一动点,从点C 沿抛物线向点A 运动(点P 与A 不重合),过点P 作PD ∥y 轴,交AC 于点D .
(1)求该抛物线的函数关系式;
(2)当△ADP 是直角三角形时,求点P 的坐标;
(3)在题(2)的结论下,若点E 在x 轴上,点F 在抛物线上,问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形?若存在,求点F 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) y=x 2﹣4x +3;(2) P 1(1,0),P 2(2,﹣1);(3) F 1(22,1),F 2(22,1).
【解析】
【分析】
(1)已知了抛物线的顶点坐标,可将抛物线的解析式设为顶点式,然后将函数图象经过的C 点坐标代入上式中,即可求出抛物线的解析式;
(2)由于PD ∥y 轴,所以∠ADP≠90°,若△ADP 是直角三角形,可考虑两种情况:
①以点P 为直角顶点,此时AP⊥DP,此时P 点位于x 轴上(即与B 点重合),由此可求出P 点的坐标;
②以点A 为直角顶点,易知OA=OC ,则∠OAC=45°,所以OA 平分∠CAP,那么此时D 、P 关
于x轴对称,可求出直线AC的解析式,然后设D、P的横坐标,根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标,由于两点关于x轴对称,则纵坐标互为相反数,可据此求出P 点的坐标;
(3)很显然当P、B重合时,不能构成以A、P、E、F为顶点的四边形,因为点P、F都在抛物线上,且点P为抛物线的顶点,所以PF与x轴不平行,所以只有(2)②的一种情况符合题意,由②知此时P、Q重合;假设存在符合条件的平行四边形,那么根据平行四边形的性质知:P、F的纵坐标互为相反数,可据此求出F点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标.
【详解】
(1)∵抛物线的顶点为Q(2,﹣1),
∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2﹣1,
将C(0,3)代入上式,得:
3=a(0﹣2)2﹣1,a=1;
∴y=(x﹣2)2﹣1,即y=x2﹣4x+3;
(2)分两种情况:
①当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合;
令y=0,得x2﹣4x+3=0,解得x1=1,x2=3;
∵点A在点B的右边,
∴B(1,0),A(3,0);
∴P1(1,0);
②当点A为△AP2D2的直角顶点时;
∵OA=OC,∠AOC=90°,
∴∠OAD2=45°;
当∠D2AP2=90°时,∠OAP2=45°,
∴AO平分∠D2AP2;
又∵P2D2∥y轴,
∴P2D2⊥AO,
∴P2、D2关于x轴对称;
设直线AC的函数关系式为y=kx+b(k≠0).
将A(3,0),C(0,3)代入上式得:
303k b b +=⎧⎨=⎩
, 解得13k b =-⎧⎨=⎩
; ∴y=﹣x+3;
设D 2(x ,﹣x+3),P 2(x ,x 2﹣4x+3),
则有:(﹣x+3)+(x 2﹣4x+3)=0,
即x 2﹣5x+6=0;
解得x 1=2,x 2=3(舍去);
∴当x=2时,y=x 2﹣4x+3=22﹣4×2+3=﹣1;
∴P 2的坐标为P 2(2,﹣1)(即为抛物线顶点).
∴P 点坐标为P 1(1,0),P 2(2,﹣1);
(3)由(2)知,当P 点的坐标为P 1(1,0)时,不能构成平行四边形;
当点P 的坐标为P 2(2,﹣1)(即顶点Q )时,
平移直线AP 交x 轴于点E ,交抛物线于F ;
∵P (2,﹣1),
∴可设F (x ,1);
∴x 2﹣4x+3=1,
解得x 1=2﹣2,x 2=2+2;
∴符合条件的F 点有两个,
即F 1(2﹣2,1),F 2(2+2,1).
【点睛】
此题主要考查了二次函数的解析式的确定、直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质等重要知识点,同时还考查了分类讨论的数学思想,能力要求较高,难度较大.
8.如图1,在平面直角坐标系中,O 为原点,抛物线2y ax bx c =++经过、、A B C 三点,且其对称轴为1,x =其中点(3C ,点()3,0B .
(1)求抛物线的解析式;
(2)①如图(1),点D 是直线CB 上方抛物线上的动点,当四边形DCAB 的面积取最大值时,求点D 的坐标;
②如图(2),连接,CA 在抛物线上有一点,M 满足12
MCB ACO ∠=∠,请直接写出点M 的横坐标.
【答案】(1)23233=y x ;(2)①D 3532,,②233+2 【解析】
【分析】 (1)根据点(3C ,点()3,0B ,利用待定系数法,可得函数解析式;
(2)①先求出直线BC 的解析式,当直线m 与抛物线只有一个交点时,点D 到BC 的距离最远,此时△BCD 取最大值,故四边形DCAB 有最大值,求出b 的值代入原式即可得到答案; ②根据题干条件抛物线上有一点,M 满足12
MCB ACO ∠=
∠,通过利用待定系数法利用方程组求出直线BE 的解析式,可得答案.
【详解】
解:(1)由题意得:
1
2
0933
b
a
a b
⎧
-=
⎪
⎨
⎪=++
⎩
解得
323
a,b
故抛物线的解析式是2
323
3
=-++
y x x.
图(1)图(2)
(2)①设直线BC的解析式为3.
∵直线BC过点B(3,0),
∴3
则k=
3
3
-,
故直线BC解析式为y=
3
3
设直线m解析式为
3
y x b,且直线m∥直线BC
当直线m与抛物线只有一个交点时,点D到BC的距离最远,此时△BCD取最大值,故四边形DCAB有最大值.
令2
3323
b3
+=+
2
3-333330
x x b
当2
Δ(-33)-43(333)0
b时
直线m与抛物线有唯一交点
解之得:
73
,
b
代入原式可求得:3
2x =
∴D 353(,).24
图(3)
过D 作DP ∥y 轴交CB 于点P ,△DCB 面积=△DPC 面积+△DPB 面积, ∴D 3532⎛ ⎝⎭
②存在,点M 的横坐标为313+2
解题提示:如图3
符合条件的直线有两条: CM 1和CM 2(分别在CB 的上方和下方)
∵在Rt △ACO 中,∠ACO=30°,在Rt △COB 中,∠CBO=30°,
∴∠BCM 1=∠BCM 2=15°
∵△BCE 中,∠BCE=∠BEC 2=15°
∴BC=BE=23则E (33+0)
设直线CE 解析式为:3y kx =+
∴0(323)3k
解之得:32 ∴直线CE 解析式为:(32)3y x
∴2323333(32)3y x x y x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩
解得:x 1=0,x 23-1
∵ 在Rt △OCF 中,∠CBO=30°,∠BCF=15°
∴在Rt△COF中,∠CFO=45°
∴OC=OF=3
∴F(3,0)
∴直线CF的解析式为-3
y x
∴
2
323
3
-3
y x x
y x
⎧
=-++
⎪
⎨
⎪=+
⎩
解之得:30
x=(舍去),
4
3+2
x
即点M的横坐标为:23-1或3+2
【点睛】
本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求二次函数解析式,理解坐标与图形性质是解题关键.
9.定义:函数l与l'的图象关于y轴对称,点(),0
P t是x轴上一点,将函数l'的图象位于直线x t
=左侧的部分,以x轴为对称轴翻折,得到新的函数w的图象,我们称函数w是函数l的对称折函数,函数w的图象记作1F,函数l的图象位于直线x t=上以及右侧的部分记作2F,图象1F和2F合起来记作图象F.
例如:如图,函数l的解析式为1
y x
=+,当1
t=时,它的对称折函数w的解析式为()
11
y x x
=-<.
(1)函数l的解析式为21
y x
=-,当2
t=-时,它的对称折函数w的解析式为_______;(2)函数l的解析式为
1
²1
2
y x x
=--,当42
x
-≤≤且0
t=时,求图象F上点的纵坐标的最大值和最小值;
(3)函数l的解析式为()
2230
y ax ax a a
=--≠.若1
a=,直线1
y t=-与图象F有两个公共点,求t的取值范围.
【答案】(1)()212y x x =+<-;(2)F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩
;图象F 上的点的纵坐标的最大值为32
y =,最小值为3y =-;(3)当3t =-
,1t <≤
,5t <<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点. 【解析】
【分析】
(1)根据对折函数的定义直接写出函数解析式即可;
(2)先根据题意确定F 的解析式,然后根据二次函数的性质确定函数的最大值和最小值即可;
(3)先求出当a=1时图像F 的解析式,然后分14t -=-、点(),1t t -落在
223()y x x x t =--≥上和点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上三种情况解答,最后
根据图像即可解答.
【详解】
解:(1)()212y x x =+<-
(2)F 的解析式为2211(0)211(0)2y x x x y x x x ⎧=--≥⎪⎪⎨⎪=--+<⎪⎩
当4x =-时,3y =-,当1x =-时,32y =
, 当1x =时,32
y =-,当2x =时,1y =, ∴图象F 上的点的纵坐标的最大值为32y =
,最小值为3y =-. (3)当1a =时,图象F 的解析式为2223()23()y x x x t y x x x t ⎧=--≥⎨=--+<⎩
∴该函数的最大值和最小值分别为4和-4;
a :当14t -=-时,3t =-,
∴当3t =-时直线1y t =-与图象F 有两个公共点;
b :当点(),1t t -落在223()y x x x t =--≥上时,
2123t t t -=--
,解得1t =
2t = c :当点(),1t t -落在()223y x x x t =--+<上时,
2123t t t -=--+,解得34t =-(舍),41t =
14t -=,
∴55t =
∴当3171t -<≤或3175t +<<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点; 综上所述:当3t =-,
3171t -<≤,3175t +<<时,直线1y t =-与图象F 有两个公共点.
【点睛】
本题属于二次函数综合题,考查了“称折函数”的定义、二次函数的性质、解二元一次方程等知识,弄清题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键.
10.如图,已知顶点为M (32,258
)的抛物线过点D (3,2),交x 轴于A ,B 两点,交y 轴于点C ,点P 是抛物线上一动点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当点P 在直线AD 上方时,求△PAD 面积的最大值,并求出此时点P 的坐标; (3)过点P 作直线CD 的垂线,垂足为Q ,若将△CPQ 沿CP 翻折,点Q 的对应点为Q '.是否存在点P ,使Q '恰好落在x 轴上?若存在,求出点P 的坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)213222y x x =-
++;(2)最大值为4,点P (1,3);(3)存在,点P 1393132
-+). 【解析】
【分析】 (1)用待定系数法求解即可;
(2)由△PAD 面积S =S △PHA +S △PHD ,即可求解;
(3)结合图形可判断出点P 在直线CD 下方,设点P 的坐标为(a ,213222
a a -++),当P 点在y 轴右侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可.
【详解】 解:(1)设抛物线的表达式为:y =a (x ﹣h )2+k =a (x ﹣
32)2+258, 将点D 的坐标代入上式得:2=a (3﹣32)2+258, 解得:a =﹣12, ∴抛物线的表达式为:213222
y x x =-
++; (2)当x =0时,y =﹣12x 2+32
x +2=2, 即点C 坐标为(0,2), 同理,令y =0,则x =4或﹣1,故点A 、B 的坐标分别为:(﹣1,0)、(4,0),
过点P 作y 轴的平行线交AD 于点H ,
由点A 、D 的坐标得,直线AD 的表达式为:y =
12(x +1), 设点P (x ,﹣12x 2+32
x +2),则点H (x ,12x +12), 则△PAD 面积为:
S =S △PHA +S △PHD =12×PH ×(x D ﹣x A )=12×4×(﹣12x 2+32x +2﹣12x 12
-)=﹣x 2+2x +3, ∵﹣1<0,故S 有最大值,
当x =1时,S 有最大值,则点P (1,3);
(3)存在满足条件的点P ,显然点P 在直线CD 下方,设直线PQ 交x 轴于F ,点P 的坐标为(a ,﹣12a 2+32
a +2),
当P 点在y 轴右侧时(如图2),CQ =a ,
PQ =2﹣(﹣12a 2+32a +2)=12a 2﹣32
a , 又∵∠CQ ′O +∠FQ ′P =90°,∠COQ ′=∠Q ′FP =90°,
∴∠FQ ′P =∠OCQ ′,
∴△COQ ′∽△Q ′FP ,
'''Q C Q P CO FQ =,即213222'a a a Q F
-=, ∴Q ′F =a ﹣3,
∴OQ ′=OF ﹣Q ′F =a ﹣(a ﹣3)=3,CQ =CQ ′22223213CO OQ +=
+= 此时a 13P 1393132
-+). 【点睛】
此题考查了二次函数的综合应用,综合考查了翻折变换、相似三角形的判定与性质,解答此类题目要求我们能将所学的知识融会贯通,属于中考常涉及的题目.。