人教版九年级数学上册二次函数总复习

二次函数总复习
二次函数知识点导航：
1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求抛物线解析式的三种方法 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常 数， a ≠ 0 ）
4 a，b，c及相关符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：
（1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号： 由抛物线与y轴的交点位置确定.
交点在x轴上方
c>0
交点在x轴下方
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
对称轴在y轴左侧
a、b同号
在对称轴的右侧, y随着x的增大而增
当x
b
时,
大.
y最小值为
4ac
b2
2a
4a
a<0,开口向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减
当x
bwk.baidu.com
时,
小.
y最大值为
4ac
b2
2a
4a
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 析式为__y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(a_≠__0_)
2、顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， 通常设解析式为_y_=_a_(_x_-_h_)2_+_k_(_a_≠_0_) 求出表达式后化为一般形式. 3、交点式:已知抛物线与x 轴的两个交点 (x1,0)、 (x2,0),通常设解析式为 __y_=_a_(_x_-x_1_)_(x_-_x_2_)_(a_≠_0_)__ 求出表达式后化为一般形式.
对称轴在y轴右侧 对称轴是y轴
a、b异号 b=0
（4）b2-4ac的符号： 由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0
b2-4ac<0
练习：
１、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图 y
B 所示，则a、b、c的符号为（ ）
一元二次方程根的情况与b²-4ac的关系 • 我们知道:代数式b²-4ac对于方程的根起着关键
的作用.
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax²＋bx＋c的图象和x轴交点的横坐标，
便是对应的一元二次方程ax²＋bx＋c=0的解。
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点 b2 – 4ac >
(2)有一个交点 0b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
判别式： 二次函数
b2-4ac
y=ax2+bx +c
与（x轴a有≠0两）个不
b2-4ac＞0
同的交点 （x1，0）
（x2，0）
b2-4ac=0
与x轴有唯一个
C 所示，则a、b、c 、 △的符号为（ ）
A、a>0,b=0,c>0,△>0 B、a<0,b>0,c<0,△=0 C、a>0,b=0,c<0,△>0 D、a<0,b=0,c<0,△<0
熟练掌握a，b， c，△与抛物线图象的关系 (c：上正、下负）(a与b：左同、右异)
y
ox
y
o
x
y
4、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点和
再向 上 平移 2 个单位可得到函数y=2(x+1)2+2的
图象。
引申：y=2(x+3)2-4
y=2(x+1)2+2
练习：
（3）由二次函数y=x2的图象经过如何平移可 以得到函数y=x2-5x+6的图象.
y=x2-5x+6 (x 5)2 1 24
y=x2
y (x 5)2 1 24
6 二次函数与一元二次方程的关系
二、三、四象限，判断a、b、c的符号情况：
o
x
a <0,b 0<,c 0. =
y
5、抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过原点,
且它的顶点在第三象限，则a、b、c满足
的条件是：a >0,b 0>,c 0. =
o
x
6、二次函数y=ax2+bx+c中，如果a>0，b<0，c<0，
那么这个二次函数图象的顶点必在第 四 象限
• 定义要点： • ①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式 • 练习：
2 • 1、y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²， y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。 2 2、当m =_______时,函数y=(m+1)x - 2x+1
是二次函数？
2、二次函数的图像及性质
y 先根据题目的要求画出函数的草图，再根据 图象以及性质确定结果（数形结合的思想）
x
5、抛物线的平移
练习
左加右减，上加下减
⑴二次函数y=2x2的图象向下 平移 3 个单位可得
到y=2x2-3的图象；
二次函数y=2x2的图象向右 平移3 个单位可得到
y=2(x-3)2的图象。
⑵二次函数y=2x2的图象先向左 平移1 个单位，
A、a<0,b>0,c>0 B、a<0,b>0,c<0 C、a<0,b<0,c>0 D、a<0,b<0,c<0
·co
x
2、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象
A 如图所示，则a、b、c的符号为（ ）
A、a>0,b>0,c=0 B、a<0,b>0,c=0
C、a<0,b<0,c<0 D、a>0,b<0,c=0 3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
由a,b和c的符号确定
开口方向 增减性 最值
a>0,开口向上
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
交点 ( b ,0) 2a
与x轴没有
b2-4ac＜0 交点
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=
0
y
O
x
（a≠0）的根
有两个不相等的 解x=x1，x=x2
y 有两个相等的解
O
x y
x1=x2=
b 2a
没有实数根
O
x
练习：
1、如果关于x的一元二次方程 x2-2x+m=0有两个相等
的实数根,则1m =＿,此时抛物线 y=x2-2x+m与1x轴有 个 交2、点已. 知抛物线 y=x2–8x+c的顶点在 x轴上, 则c=＿1＿6 .