马尔可夫链及其概率分布
一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态
一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态1. 介绍马尔可夫链是指具有马尔可夫性质的随机过程。
具体而言，如果一个随机过程具有无记忆性，即在时刻t的状态只依赖于时刻t-1的状态，那么这个随机过程就是一个马尔可夫链。
在本文中，将着重讨论一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态的概念及其相关内容。
2. 转移概率一阶马尔可夫链的转移概率是指在已知当前状态的情况下，下一个状态为各可能状态的概率分布。
假设一阶马尔可夫链有N个状态，那么转移概率矩阵P的定义如下：P = [p(i, j)](i, j=1, 2, ..., N)其中，p(i, j)表示在当前状态为i的条件下，转移到状态j的概率。
由于马尔可夫链满足马尔可夫性质，因此转移概率满足条件：(1) p(i, j) ≥ 0, ∀i, j=1, 2, ..., N(2) Σ p(i, j) = 1, ∀i=1, 2, ..., N转移概率矩阵P的性质保证了转移概率的有效性和准确性。
3. 初始状态一阶马尔可夫链的初始状态是指在时刻0的状态分布。
假设一阶马尔可夫链的初始状态分布为π，那么π的定义如下：π = [π(i)](i=1, 2, ..., N)其中，π(i)表示时刻0处于状态i的概率。
同样地，初始状态分布π也需要满足概率分布的性质：(1) π(i) ≥ 0, ∀i=1, 2, ..., N(2) Σ π(i) = 1, i=1, 2, ..., N初始状态的定义是马尔可夫链的重要组成部分，它对于随机过程的演化和预测具有重要意义。
4. 性质一阶马尔可夫链的转移概率和初始状态具有以下几个重要性质：(1) 稳态分布：对于一阶马尔可夫链，如果存在一个稳态分布π*，使得π* = π*P，那么称π*为一阶马尔可夫链的稳态分布。
稳态分布表示了马尔可夫链长时间演化后的状态分布，对于许多实际问题具有重要意义。
(2) 转移概率的计算：转移概率矩阵P可以通过统计样本数据来计算得到，也可以通过最大似然估计等方法来估计转移概率。
马尔可夫链性质
马尔可夫链性质马尔可夫链的性质及简单分类1。
关于马尔可夫性的定义： Markov chain(M)是一个基于（随机）概率分布，或者更确切地说一个集合，这里的概率取决于一个分布的参数值。
一般用“ M”来表示这种性质。
2。
单个马尔可夫链的特征马尔可夫链是有限个无限深的、具有有限个状态和无限个后继的动态过程。
例如，如果考虑在一次掷一颗色子中不被点到次数最多的那个动作为初始状态，那么将该动作进行第k次后停止并且记为k+1，从而就形成了一条以0为状态、具有0个后继的马尔可夫链。
3。
M 的稳定性①一条马尔可夫链是稳定的，如果存在一个稳定点，则它必定收敛于一个极小值。
②无穷大的马尔可夫链不是稳定的，因为无限大的马尔可夫链没有极小点。
③一条马尔可夫链是不稳定的，如果存在一个临界值，那么它将不能收敛到一个极小值。
④当m= 1时，M为不稳定的，因为此时不存在一个能使得M在不断移动中达到极小值的事件。
4。
多重马尔可夫链的稳定性①当m=1时，每个马尔可夫链都是稳定的，但是有一个M-1，即当m=1时， M至少存在两个状态。
②当m为有限值时，它的收敛速度相当快。
所以可以利用它实现无限大的马尔可夫链的分析。
5。
稳定性的相关例子：单个马尔可夫链，初始状态集（ 0， 1）多个马尔可夫链，初始状态集（ 1， 0）多重马尔可夫链，初始状态集（ 1， n-1）马尔可夫链的多样性对比类似于巴斯德的多样性：只有三个简单的经典情况：一组确定的物理事件；一组随机变量；一组标准的模式。
6。
平衡状态：给定初始状态，单个马尔可夫链不可能达到平衡状态，而多重马尔可夫链可以通过某种算法达到平衡状态。
7。
平衡状态下单个马尔可夫链的产生（ 1）可以设想，只要每个平衡状态都是不稳定的，那么有无限多个初始状态集，其中有多个不同的选择。
（ 2）单个马尔可夫链不可能生成的情况：对于给定的马尔可夫链来说，如果一开始的状态集不为空，那么平衡状态也一定不会为空。
第四章 马尔可夫链
一步转移概率
定义4.2 称条件概率pij(n)= P{Xn+1=j|Xn=i} 为马尔 可夫链{Xn，nT }在时刻n的一步转移概率， 简称转移概率，其中i,jI。 定义4.3 若对任意的i,jI，马尔可夫链{Xn,nT } 的转移概率pij(n)与n无关，则称马尔可夫链是 齐次的，并记pij(n)为pij。
如果d>1，就称i为周期的， 如果d=1，就称i为非周期的。
引理4.1 如果i的周期为d，则存在正整数M，对一切 ( nd ) n≥M ，有 p ii 0。
例4.6
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,,9}，转移概率如 下图所示。
1 1
8
9
1
1 3
2
1
7
1
1 6
1
3
1
5
2 3
4
1
从状态1出发再返回状态1的可能步数为T={4,6,8,10, }，T的最大公约数为2，从而状态1的周期为2。
P{ X n j | X n1 i}P{ X n1 i} pi (n 1) pij
iI iI iI
(3)(4)为(1)(2)的矩阵表示。
定理4.3 设{Xn，nT }为马尔可夫链，则对任意 整数i1, i2,,inI和n1 ，有性质
P{ X1 i1 ,, X n in } pi pii1 pi1i2 pin1in
证明： (1) p j (n) P{ X n j} P{ X 0 i , X n j}
P{ X n j | X 0 i}P{ X 0 i}
iI ( p i p ijn ) iI iI
(2) p j (n) P{ X n j} P{ X n1 i , X n j}
马尔可夫链
(3) P( n) P P( n1) (4) P( n) P n
初始概率和绝对概率
初始概率： 绝对概率：
p j (n) P{X n j}, ( j I )
p j P{X 0 j}, ( j I )
初始分布：
{ p j } { p j , j I}
绝对分布：
(第七章)马尔可夫链
马尔可夫链的概念及转移概率 马尔可夫链的状态分类 状态空间的分解 遍历性与平稳分布
马尔可夫过程的四种类型
马尔可夫链
时间、状态都离散 时间离散、状态连续
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程
时间连续、状态离散
时间、状态都连续
连续马尔可夫过程（或扩散过程）
（3）函数表达式
[例3] 设 { Xn , nT } 是一个马尔可夫链，其状态
空间 I = {a, b, c}，转移矩阵为
1 / 2 1 / 4 1 / 4 P 2 / 3 0 1 / 3 3 / 5 2 / 5 0
求： (1) P{ X 1 b, X 2 c, X 3 a, X 4 c X 0 c};
一步转移概率矩阵
p11 P p21 p12 p22 p1n p2 n
性质： (1) pij 0 , i, j I
(2)
p
jI
ij
1, i I
（随机矩阵）
n 步转移概率
[定义] 称条件概率
( n) pij P{X mn j X m i}, (i, j I , m 0, n 1)
( n) n 0, 0 l < n 和 i , j I ，n 步转移概率 pij 具有下 列性质：
马尔可夫链极限概率分布
马尔可夫链极限概率分布
马尔可夫链是一种重要的随机过程，它描述了一系列随机事件之间的转换。
在许多实际问题中，我们需要了解马尔可夫链在长时间内的演化，特别是它的极限概率分布。
马尔可夫链的极限概率分布指的是在长时间内，随机过程中每个状态出现的概率会趋于一个固定的稳定值。
这个值可以通过计算转移矩阵的特征向量得到。
如果这个矩阵满足一定的条件，那么极限概率分布就是唯一的，并且随着时间的推移，随机过程会逐渐收敛到这个分布。
在实际应用中，马尔可夫链的极限概率分布被广泛用于模拟和预测。
例如，在金融领域中，我们可以使用马尔可夫链来模拟股票价格的变化，并通过极限概率分布来预测未来的价格走势。
在生物学中，马尔可夫链也可以用来模拟分子的运动，并计算分子在不同位置出现的概率分布。
总之，马尔可夫链的极限概率分布是一个非常有用的概念，它可以帮助我们更好地理解随机过程的演化，并在实际应用中提供有力的工具。
- 1 -。
第四章马尔可夫链
i1
Pi , j 0
j . i 1 ,i-1 , i 1
1 0 0 0 0 . .
q
0
p
0
0
.
.
0 q 0 p 0 . .
P
0
0
q
0
p
.
.
0 0 0 q 0 . . . . . . . . .
.
例题：带2个吸收壁的随机游动
质点在数轴上移动，规律同上例。随机游动的状态 空间I={0,1,2…a}, 其中0和a为吸收态 。求一步转移p12 p1n Pp21 p22 p2n
称为系统状态的一步转移概率矩阵，它具有 如下性质：
1. pij 0, i, jI
2. pij 1, i, jI jI
满足上述两个性质的矩阵成为随机矩阵
.
定义4.4
称条件概率 p i(n ) j P { X m n j|X m i}i,j I,m 0 ,n 1 为马尔可夫链{Xn,n∈T}的n步转移概率，并称
0 1 1
.
马尔可夫链的状态分类
周期、非周期 常返、非常返
其中，常返分为正常返、零常返 非周期的正常返称为遍历状态
到达和互通
.
设马尔可夫链的状态空间I={1,2,3,4,5,6,7,8,9}， 状态转移图如下图
8
9
2
7
1
3
6
5
4
观察状态1
.
定义4.6 如集合{n: n≥1,pii(n)>0}非空，则称该集合的 最大公约数d=d(i)=G.C.D{n:pii(n)>0}为状态i 的周期。如d>1就称i为周期的，如d=1就称i 为非周期的。
.
第十一篇马尔可夫链
pi2 L
M M M
aj L
p1 j L
p2 j
L
记成
M P(1) P
pij
L
M
2020/6/1
9
例2 （0 1传输系统） 在如图111只传输数字 0和1的串联系统中，设每一级的传真率（输出 与输入数字相同的概率称为系统的传真率，相 反情形称为误码率）为p，误码率为q 1- p,并 设一个单位时间传输一级，X 0是第一级的输入， X n是第n级的输出（n 1).那么{X n , n 0,1, 2,L } 是一随机过程，状态空间I {0，1}，而且
7
当转移概率Pij (m, m n)只与i, j及时间间距n有关时， 把它记为Pij (n),即Pij (m, m n) Pij (n),并称此转移 概率具有平稳性。同时也称此链是齐次的或时齐的。
在马氏链为齐次的情形下，由（1.3)式定义的转移概率
Pij (n) P{X mn a j | X m ai}
0
0
q(1 p)
pq (1 p)
2020/6/1
20
例5 某计算机机房的一台计算机经常出故障，研 究者每隔15分钟观察一次计算机的运行状态，收集 了24小时的数据（共作97次观察）。用1表示正常状 态，用0表示不正常状态，所得的数据序列如下：
1110010011111110011110111111001111111110001101101
称它为马氏链的初始分布。
再看马氏链在任一时刻n T1的一维分布：
P{X mn a j | Xt1 ai1 , Xt2 ai2 ,L , Xtr air , X m ai}
P{X mn a j | X m ai}
第六章 6.2 马尔可夫链的概率分布
如果个体当前收入等级为3，试分析经过三代后个体收 入等级转变为2的可能性，进一步分析经过n代后个体 收入等级的概率分布，并具体计算n=10时，个体收入 等级的概率分布。
i
= ∑ P ( X 0 = i, X n = j )
i
= ∑ P( X 0 = i) ⋅ P( X n = j X 0 = i)
i
= ∑ q p (0)
(0) i (n) ij i
n ≥ 0, i, j ∈ S
对于齐次马尔可夫链，上述结论可表示为
q
(n)
=q P , n≥0
(0) n
有限维分布 定理6.2.2 马尔可夫链X的有限维分布由其初始分 布和一步转移概率所完全确定. 证明 对∀n ≥ 1, ∀0 ≤ t1 < t2 < ⋯ < tn , i1 , i2 , ⋯, in , i ∈ S
i
= ∑ P ( X 0 = i, X t1 = i1 , X t2 = i2 ,⋯ , X tn = in )
i
= ∑ P ( X 0 = i ) ⋅ P( X t1 = i1 X 0 = i ) ⋅ P ( X t2 = i2 X 0 = i, X t1 = i1 )
i
⋅⋯ ⋅ P ( X tn = in X 0 = i , X t1 = i1 ,⋯ , X tn−1 = in −1 )
(2) 其中p02 为两步转移概率，是两步转移概率
矩阵中第一行第三列元素.
（2） 而P = P2
= 5 9 3 9 1 6 3 9 7 18 5 12 1 9 5 18 5 12
4马氏链
可见,｛Xn,n=0，1，2,…｝是一个马氏链。
Pij ( m , m + n)∆ P { X n + m = j | X m = i}
称为马氏链在时刻 m 系统处于状态 i 的条件下，在时 刻 m+n 转移到状态 j 的转移概率。
2．转移概率的性质
(1) Pij≥0；
(2)
∑ P (m , m + n) = 1, i = 0,1, 2,⋯
对任意的 n 及 i 0 , i 1 , ⋯ , i n , i n + 1 ∈ x ,
P {X n +1 = i n +1 X 0 = i 0 , X 1 = i1 , ⋯ , X n = i n } 0 i n+1 > i n =1 = P{X n+1 = i n+1 | X n = i n } i n +1 ≤ i n in
马尔可夫链及其概率分布 引言
直观上，过程（或系统）在时刻t0所处的状态为已 知的条件下,过程在时刻t＞t0所处状态的条件分布与过 程在时刻t0之前所处的状态无关。 用分布函数表达此性质，设随机过程{X(t),t∈T}， 状态空间为χ，若对于t 的任意n个值t1<t2<…<tn,n≥3, 有
P {X ( t n ) ≤ xn X ( t1 ) = x1 , X ( t 2 ) = x 2 , ⋯ , X ( t n−1 ) = x n−1 }
条件下， 即在 X ( t i ) = x i , i = 1,2,⋯ , n − 1条件下，X ( t n )的条件分 布函数等于在条件 X ( t n−1 ) = x n−1下X ( t n )的条件分布函 数。
则称过程{X(t),t∈T}具有马尔可夫性，或称 {X(t),t∈T}为马尔可夫过程。
第十三章 马尔可夫链概率论与数理统计
而与时刻 n 以前所处的状态无关.
所以它是一个马氏链, 且是齐次的.
一步转移概率
pij
P{ Xn1
j|
Xn
i} Βιβλιοθήκη p, j i q, j i,
i, j 0,1
一步转移概率矩阵
01
P 0 1
p q
q p
例2 一维随机游动 一随机游动的质点在如图所示直线的点集 I {1,2,3,4,5}上作随机游动,并且仅仅在1秒、2秒 等时刻发生游动.
结论 马氏链的n步转移概率是一步转移概率的 n 次
方.
例1 设任意相继的两天中, 雨天转晴天的概率为 1 3, 晴天转雨天的概率为1 2, 任一天晴或雨是互 为逆事件. 以 0 表示晴天状态,以1 表示雨天状态, Xn 表示第n天状态 (0或1). 试写出马氏链{ Xn , n 1}的一步转移概率矩阵. 又已知5月1日为晴 天 ,问5月3日为晴天, 5月5日为雨天的概率各等 于多少? 解 由于任一天晴或雨是互为逆事件且雨天转
Pij (n) P{ Xmn a j | Xm ai }.
称为马氏链的n步转移概率
P(n) (Pij(n))为n步转移概率矩阵.
特别的, 当 n=1 时, 一步转移概率 pij Pij (1) P( Xm1 a j | Xm ai }. 一步转移概率矩阵
的 状 态
记为P
三、应用举例
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第十三章 马尔可夫链
第一节 马尔可夫过程及其概率分布 第二节 多步转移概率的确定
第三节 遍历性
第一节 马尔可夫过程及其概率分布
一、马尔可夫过程的概念 二、马尔可夫过程的概率分布 三、应用举例 四、小结
如何使用马尔可夫链蒙特卡洛进行概率建模(八)
马尔可夫链蒙特卡洛（Markov Chain Monte Carlo, MCMC）是一种在概率建模和统计推断中广泛应用的方法。
它通过模拟随机过程来估计复杂概率分布的特征，并在许多领域中都有着重要的应用，包括机器学习、自然语言处理、生物统计学等。
在本文中，我们将介绍马尔可夫链蒙特卡洛的基本原理和应用，以及如何使用它进行概率建模。
马尔可夫链蒙特卡洛的基本原理是通过随机抽样的方式来估计复杂的概率分布。
这种方法的核心思想是通过构建一个马尔可夫链，使得该链的平稳分布恰好是所要估计的概率分布。
然后，通过模拟这个马尔可夫链的状态转移过程，最终得到该概率分布的样本。
由于马尔可夫链的性质，经过足够长的状态转移之后，得到的样本将逼近所要估计的概率分布。
这种方法的理论基础是马尔可夫链的收敛性，即在一定条件下，经过足够长的时间，马尔可夫链将收敛到其平稳分布。
在实际应用中，马尔可夫链蒙特卡洛通常通过一系列的迭代来模拟马尔可夫链的状态转移。
在每一次迭代中，根据当前状态和状态转移规则，生成下一个状态。
通过大量的迭代，最终得到的样本将逼近所要估计的概率分布。
由于马尔可夫链的性质，最终得到的样本将符合所要估计的概率分布，并且能够用于对该概率分布的特征进行估计。
马尔可夫链蒙特卡洛在概率建模中有着广泛的应用。
其中一个重要的应用是在贝叶斯统计推断中，用于对参数的后验分布进行估计。
在贝叶斯统计推断中，我们通常需要对参数的后验分布进行估计，以获得对参数的不确定性的认识。
由于后验分布通常是复杂的，很难直接进行分析，因此马尔可夫链蒙特卡洛成为了一种重要的方法。
通过马尔可夫链蒙特卡洛，我们可以得到参数的后验样本，从而对后验分布进行估计，并得到对参数的不确定性的认识。
这种方法的优点是可以对任意复杂的后验分布进行估计，而无需对其进行简化或近似。
除了贝叶斯统计推断之外，马尔可夫链蒙特卡洛还在机器学习中有着重要的应用。
在机器学习中，我们通常需要对模型的参数进行估计，以获得对数据的预测能力。
随机过程中的马尔可夫链模型
随机过程中的马尔可夫链模型马尔可夫链是一种描述随机过程的数学模型，它具有“无记忆性”的特点，即未来状态仅受当前状态的影响，与过去状态无关。
在这篇文章中，我们将探讨随机过程中的马尔可夫链模型及其应用。
一、什么是马尔可夫链模型马尔可夫链是一种随机过程，指的是一系列的随机事件，其中每个事件的发生仅依赖于前一个事件的状态。
这种“无记忆性”使得马尔可夫链具有简洁的数学描述和计算特性。
马尔可夫链由五个基本要素组成：状态空间、状态转移概率、初始概率分布、时间步长和转移矩阵。
1. 状态空间：马尔可夫链的状态空间表示系统可能处于的所有状态的集合。
例如，掷骰子的状态空间是{1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2. 状态转移概率：状态转移概率表示从一个状态转移到另一个状态的概率。
通常用转移矩阵表示，其中每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
3. 初始概率分布：初始概率分布表示系统在初始时刻处于各个状态的概率分布。
通常用向量形式表示，其中每个元素表示系统处于对应状态的概率。
4. 时间步长：时间步长表示系统从一个状态转移到下一个状态所经过的时间。
5. 转移矩阵：转移矩阵是一个方阵，其中的每个元素表示从一个状态到另一个状态的转移概率。
转移矩阵的每一行之和为1。
二、马尔可夫链模型的应用马尔可夫链模型在许多领域都有广泛的应用，包括自然语言处理、金融市场分析、生物信息学、网络传播模型等。
1. 自然语言处理：在自然语言处理中，马尔可夫链模型被用于文本生成、机器翻译和语音识别等任务。
通过建立一个马尔可夫链模型，可以根据已知的文本数据生成具有相似特征的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链模型被广泛应用于金融市场的分析和预测。
通过分析历史数据，建立一个马尔可夫链模型，可以预测未来的市场变化趋势，帮助投资者做出决策。
3. 生物信息学：在生物信息学中，马尔可夫链模型被用于基因序列分析、蛋白质结构预测等任务。
通过构建一个马尔可夫链模型，可以识别基因序列中的编码区域和非编码区域，进而对基因功能进行推断。
概率统计 马尔可夫链
状态空间 S {0,1,2, , k, }
其转移概率 P{X n1 0 | X n i} P{X n1 0} q 1 p
P{X n1 i 1| X n i} P{第n 1次试验时成功 } p
p00 q, p01 p, p02 0,
0, j i 2
pij
P{X n1
P{X (tm1)
j}
p,
j
1
例2：一维随机游动 一个质点在直线上的五个位置:0,1,2,3,4之上随机
游动.当它处在位置1或2或3时,以1/3的概率向左移 动一步而以2/3的概率向右移动一步;当它到达位置 0时,以概率1返回位置1;当它到达位置4时以概率1停 留在该位置上(称位置0为反射壁,称位置4为吸收壁).
n, 中, 对任意正整数
t1 t2 tn tn1
X t1 , X t2 , , X tn , X tn1 相互独立,
故对 jk 0,1, (k 1,2,, n 1) 有
P{X tn1 jn1 | X t1 j1, X t2 j2 , , X tn jn}
P{X tn1 jn1}
P{X (kn ) jn | X (k1 ) j1, X (k2 ) j2 , , X (kn1 ) jn1}
1 10
1 10 9 10
82 100
18 100
18 100 82 100
756
P(3) P3 1000
244 1000
244 1000 756 1000
p (3) 11
756 1000
0.756
P{X n1 1, X n2 1 | X n 1}
一个矩阵
p00 p01 p0 j
p10 p11 p1 j
马尔可夫链的模型解概率题
马尔可夫链的模型解概率题马尔可夫链是一种随机过程，它描述了一系列可能的状态，以及在每个状态之间转移的概率。
这种模型特别适用于那些下一个状态只依赖于当前状态的情况。
假设我们有一个天气模型，其中只有两种状态：晴天（S）和雨天（R）。
我们观察到，如果今天是晴天，那么明天还是晴天的概率是0.9，变成雨天的概率是0.1。
如果今天是雨天，那么明天还是雨天的概率是0.8，变成晴天的概率是0.2。
我们可以使用马尔可夫链来描述这个模型。
首先，我们需要一个状态转移矩阵，它描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
在这个例子中，状态转移矩阵可以写成：= [0.9 0.10.2 0.8]，第一行表示如果今天是晴天，那么明天还是晴天的概率是0.9，变成雨天的概率是0.1。
第二行表示如果今天是雨天，那么明天变成晴天的概率是0.2，还是雨天的概率是0.8。
现在，假设我们想知道，如果今天是晴天，那么接下来三天都是晴天的概率是多少。
我们可以使用马尔可夫链的模型来解决这个问题。
首先，我们知道今天是晴天的概率是1，雨天的概率是0。
我们可以把这个概率分布表示为一个向量：接下来，我们可以使用这个向量和状态转移矩阵来计算明天是晴天的概率。
根据马尔可夫链的性质，我们可以通过乘以状态转移矩阵来得到下一个状态的概率分布：1 = π_0 * P = [1 0] * [0.9 0.10.2 0.8] = [0.9 0.1]，是雨天的概率是0.1。
接下来，我们可以使用同样的方法来计算接下来两天的天气概率分布：0.1] * [0.9 0.10.2 0.8] = [0.83 0.17]今天是晴天，那么接下来两天都是晴天的概率是0.83，有一天是雨天的概率是0.17。
最后，我们可以计算接下来三天都是晴天的概率：_3 = π_2 * [1 0] = [0.83 0.17] * [1 0] = 0.83错误，我们不能直接这样计算。
实际上，我们应该再次使用状态转移矩阵：= π_2 * P = [0.83 0.17] * [0.9 0.10.2 0.8] = [0.767 0.233]，即0.767。
概率论中的马尔可夫链与随机游走
概率论中的马尔可夫链与随机游走马尔可夫链和随机游走是概率论中重要的概念，用于描述随机过程中状态的变化和演化。
马尔可夫链是一种数学模型，其特点是在给定当前状态下，未来状态只与当前状态相关，而与过去状态无关。
随机游走则是在具体的空间中，随机地在不同的位置间移动。
1. 马尔可夫链马尔可夫链是一个序列，其中每个状态都是由其前一状态引起的，同时又与当前状态的概率相关。
马尔可夫链具有无记忆性，即未来状态只与当前状态相关，与过去状态无关。
马尔可夫链可以用有向图表示，图中的每个节点表示一个状态，有向边表示状态之间的转移概率。
在马尔可夫链中，每个节点之间的转移概率是已知的，且满足转移概率矩阵的性质。
转移概率矩阵表示从一个状态到另一个状态的概率分布。
如果存在一个马尔可夫链，使得对于所有的状态，从任意一个状态出发的转移概率都是固定的，则该马尔可夫链是时间齐次的。
2. 马尔可夫链的性质马尔可夫链具有一些重要的性质，如有限性、连通性和遍历性。
（1）有限性：马尔可夫链如果状态空间是有限的，则称之为有限马尔可夫链。
有限马尔可夫链具有稳定分布，即当链收敛时，存在一个稳定的状态分布。
（2）连通性：马尔可夫链中，如果任意两个状态之间都存在一条路径，则称之为连通的。
连通性保证了在有限时间内可以从任意一个状态到达其他任意状态。
（3）遍历性：马尔可夫链中，如果从任意一个状态出发都可以回到该状态，则称之为遍历的。
遍历性保证了在无限时间内，马尔可夫链可以在状态空间内随机漫步。
3. 随机游走随机游走是一种随机过程，其基本思想是在一定的状态空间中，通过随机选择下一步的状态来进行移动。
随机游走可以用来模拟随机漫步的现象，例如在二维平面上，随机选择上、下、左、右四个方向中的一步进行移动。
随机游走与马尔可夫链密切相关。
事实上，随机游走可以看作是马尔可夫链的一种具体应用。
在随机游走中，每一步的移动都是根据一定的概率进行的，而这些概率正是马尔可夫链中的转移概率。
10632-数学建模-论文-马尔可夫链
若以X n表示时刻 n 时Q的位置，
则 { X n , n = 0,1,2,L}是一随机
1
2
3
45
过程， 而且当X n = i 时，X n+1 , X n+2 ,L等以后的行为只与 X n = i
有关，而与质点以前是如何到 i 是完全无关的，所以，它是一
个马氏链，且为齐次马氏链。
状态空间为：I = {1,2,3,4,5}
= 0.284
14
南京邮电大学孔告化讲 课稿
例题：设 {X n , n ≥ 0} 是具有三个状态 0,1,2 的齐次马氏链，
一步转移概率矩阵为 0 1 2
0 ⎜⎛ 3 / 4 1/ 4 0 ⎟⎞ P = 1 ⎜1/4 1/2 1/4⎟
2 ⎜⎝ 0 3 / 4 1/ 4⎟⎠
已知初始分布为：pi (0) = P{X0 = i} = 1/ 3, i = 0,1,2
=
1|
Xn
=
1}
≈
8
52 + 52
=
26 35
13
南京邮电大学孔告化讲 课稿
续例：若计算机在某一时段（15分钟）的状态为 0，问从此时段 起此计算机能连续正常工作 一小时 （4个时段）的概率为多少？
解：由题意，P{ X1 = 1, X 2 = 1, X 3 = 1, X 4 = 1 | X 0 = 0}
有 P{Xm+n = aj | Xt1 = ai1 , Xt2 = ai2 ,L, Xtr = air , Xm = ai }
= P{Xm+n = a j | Xm = ai }
记 Pij (m, m + n) = P{ Xm+n = a j | X m = ai } 称 Pij (m, m + n) 为马氏链在时刻 m 处于状态 ai 条件下， 在时刻 m + n 转移到状态 a j 的转移概率.
马尔可夫链及其性质
马尔可夫链及其性质马尔可夫链是一个具有马尔可夫性质的随机过程。
马尔可夫性质指的是在给定当前状态的情况下，未来的状态仅依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
这个概念最早由俄国数学家马尔可夫在20世纪初提出，并且在各领域展示了广泛的应用。
一、马尔科夫链的定义马尔可夫链可以由以下元素定义：1. 状态空间：表示系统可能处于的所有状态的集合。
用S表示状态空间。
2. 转移概率：表示从一个状态到另一个状态的概率。
这些概率可以用转移矩阵P来表示，其中P[i, j]表示从状态i转移到状态j的概率。
3. 初始概率分布：表示系统在初始状态时各个状态的概率分布。
用初始概率向量π表示，其中π[i]表示系统初始时处于状态i的概率。
二、马尔可夫链的性质1. 马尔科夫性质：马尔可夫链的核心特性是满足马尔可夫性质，即未来状态只依赖于当前状态，与过去状态无关。
2. 细致平稳条件：若马尔可夫链的转移概率满足细致平稳条件，则存在唯一的平稳分布。
细致平稳条件是指对于任意两个状态i和j，从i 到j的概率乘以停留在状态i的时间和从j到i的概率乘以停留在状态j 的时间应相等。
3. 遍历性：若马尔可夫链的任意两个状态之间存在一条路径，并且这条路径上的概率都不为零，那么这个马尔可夫链是遍历的。
遍历性保证了无论初始状态如何，最终都可以到达所有的状态。
4. 不可约性：若马尔可夫链的任意两个状态之间都是互达的，那么这个马尔可夫链是不可约的。
不可约性保证了从任意一个状态出发，都可以到达所有的状态。
5. 周期性：若马尔可夫链中存在状态i，使得从状态i出发，无论经过多少次转移，都不能回到状态i，那么这个状态具有周期性。
马尔可夫链的周期定义为状态的所有周期的最大公约数，具有相同周期的状态构成一个封闭的循环。
三、马尔可夫链的应用1. 自然语言处理：马尔可夫链可以用于文本生成和语音识别等自然语言处理领域。
通过观察文本中的状态转移概率，可以生成类似语义的新文本。
2. 金融市场分析：马尔可夫链可以应用于股票价格预测和市场波动分析等金融领域。
马尔可夫链模型的理论与应用分析
马尔可夫链模型的理论与应用分析马尔可夫链是随机过程的一种，它是一个过程，其下一个状态仅与当前状态有关，与之前的状态无关，因此它具有无记忆性。
马尔可夫链有着广泛的应用，在金融、信号处理、自然语言处理、社交网络分析等领域都有着非常重要的地位，今天我们就来分析一下马尔可夫链模型的理论与应用。
一、马尔可夫链模型的理论马尔可夫链是用状态间的转移概率来描述系统状态及其随机演化规律的。
它描述的是一个离散时间的动态系统模型，它的状态空间是离散的，状态变量随时间按离散时间轴演变。
马尔可夫链可以用以下三要素来描述：1. 状态空间S：马尔可夫链的状态空间指所有可能状态的集合。
2. 初始概率分布π(0)：马尔可夫链在初始时刻所处状态的概率分布。
3. 转移概率矩阵 P：马尔可夫链状态间的转移概率。
如果 P 的每一行都满足概率分布条件，则 P 为随机矩阵。
若在所有时刻 t, 当前状态为i，未来状态为j 的转移概率仅由 i 和 j 决定，而与其它时刻的状态无关，则称该过程为时间齐次的马尔可夫链。
马尔可夫链在时间齐次的条件下，可以形式化地表示为：P(P,P)=P{PP=P|PP−1=P}其中，P，P∈P，0 ≤ P(P, P) ≤1。
因为概率转移矩阵是随机矩阵，所以在一段时间之后，状态会趋于稳定，此时一个马尔可夫链就处于平稳状态。
二、马尔可夫链模型的应用1. 金融市场预测马尔可夫链可以应用于金融市场预测。
因为金融市场的波动难以预测，但可以根据历史数据得到一些统计规律。
用马尔可夫链模型可以将金融市场的变化看成一系列的状态转移过程，从而对未来的市场变化进行预测。
例如，如果预测一个股票的价格涨跌，就可以用股票的历史价格构造一个马尔可夫链，再将未来的价格看作是一个新的状态，从而进行预测。
2. 自然语言处理马尔可夫链可以应用于自然语言处理。
例如，可以用马尔可夫链训练一个文本生成模型，这个模型可以生成以前看过的语句的延续，也可以根据语法规则生成全新的句子。
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定义2 设{Xn,n0},其状态空间为,若对于任意的正 整数n和任意的 ai0 , ai1 , , ain , ain1 ,
有 P X n1 ain1 X 0 ai0 , X 1 ai2 , , X n ain
P X n1 ain1 | X n ain
则称｛Xn,n0｝为马氏链。
一、马尔可夫链及其概率分布的定义
状态和时间参数都是离散的马尔可夫过程称为马尔 可夫链，或马氏链。
记为｛Xn=X(n),n=0,1，2，…｝,记链的状态空间为 ＝a1，a2，…，aiR .在链的情况，马尔可夫性通常用 分布率表示。
1.马氏链的定义
定义1 若对于任意的正整数n，r和任意的
0 t1 t2 tr m, ti , m, m n T 0,1,2, , n, 有
0 1
in
in1 in
in1 in P X n1 in1 | X n in
可见,｛Xn,n=0，1，2,…｝是一个马氏链。
2．转移概率的性质 (1) Pij0；
(2) Pij (m, m n) 1, i 1,2, j 1 事实上，因为链在m时刻从状态ai出发，到m+n时刻
ai pi1
a2 p12 p22
pi2
aj p1 j p2 j
pij
称为马氏链的一步转移概率矩阵；其中列 为Xm的状态，行为Xm+1的状态。
例（0－1传输系统）在一个n级数字传输系统中，设每
一级的传真率为p，误码率为q=1-p，并设一个单位时 间传输一级，X0是第一级的输入, Xn是第n级的输出 （n≧1）,那么｛Xn, n=0，1，2,…｝是一随机过程， 状态空间={0,1}.
Ftn|tn1 ( xn , t n | xn1 ; t n1 )
即在 X (ti ) xi , i 1,2, , n 1条件下，X (tn )的条件分 布函数等于在条件X (tn1 ) xn1下X (tn )的条件分布函 数。
则称过程{X(t),tT}具有马尔可夫性，或称 {X(t),tT}为马尔可夫过程。
4
0
0 1 / 3 1 / 3 1 / 3
例.记从数1,2, …,N中任取一数为X0，当n1时，记从
数1,2, …,Xn-1中任取一数为Xn,证明｛Xn,n=0，1， 2,…｝是一个马氏链。
证：｛Xn,n=0，1，2,…｝的状态空间={i,1iN},
对任意的n及 i0 , i1 , , in , in1 x,
P X n1 in1 X 0 i0 , X 1 i1 , , X n in
的。它的一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为
1
pij
P X n1
j|
Xn
i
3 1
0
j i 1, i 1,1 i 5, i 1, j 2或i 5, j 4
| j i | 2
12345
1 0 1 0 0 0
2 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0
0
P 3 0 1/3 1/3 1/3 0
必然转移到a1，a2，状态中的一个，从而
Pij (m, m n) P X mn a j | X m ai
j 1
j 1
P
X mn
aj
|
Xm
ai
1.
j
2.
齐次马尔可夫链及一步转移概率
定义 若对任意的正整数m,n及任意的ai，aj，有
Pij n, n 1 Pij m, m 1
P X nm a j X t1 ai1 , X t2 ai2 , , X tr air , X m ai
P X nm a j | X m ai
其中a., 称｛Xn,n=0,1，2，…｝为马氏链。
Pij (m, m n) P X nm a j | X m ai
称为马氏链在时刻m系统处于状态ai的条件下，在时刻 m+n转移到状态aj的转移概率。
p q
P
q
p
,且是齐次马氏链.
i, j 0,1
定义3 称条件概率 Pij (m, m n) P X mn a j | X m ai
为马尔可夫链在时刻m处于状态ai的条件下，在时刻m+n步 转移到状态aj的n步转移概率，简称为转移概率。
例(一维随机游动) 设一醉汉Q（或看作一随机游动的质 点），在如图所示直线的点集I＝｛1，2，3，4，5｝上 作游动，仅仅在1秒、2秒…等时刻发生游动。游动的概 率规则是：如果Q现在位于点i (1<i <5)，则下一时刻各以 1/3的概率向左或向右移动一格，或以1/3的概率留在原 处；如果Q现在位于1（或5）这点上，则下一时刻就以概 率1移动到2（或4）点上。1和5这两点称为反射壁。上面 这种游动称为带有两个反射壁的随机游动。
即马氏链{Xn,n0}的转移概率Pij(n,n+1)与n无关，则称 转移概率具有平稳性，这时，马尔可夫链称为是齐次 的。
pij pij 1 P X m1 a j | X m ai
称为马氏链的一步转移概率；
P P(1) pij (1)
a1 a1 p11 P(1) a2 p21
P X(tn ) xn X(t1) x1,X(t2 ) x2, , X(tn1) xn1
P X (tn ) xn | X (tn1 ) xn1 ,
xn R
或 F ( x , t tn|t1t2 tn1 n n | x1 , x2 , , xn1; t1 , t 2 , , t n1 )
X0 0 p 0 X1 11-p 1
p
0
0
11-p 1
Xn-1 0
p 0
Xn
11-p 1
当Xn=i, i为已知时，Xn+1所处的状态的概率分 布只与Xn=i 有关，而与时刻n以前所处的状态无关，所以它 是一个马氏链。
且一步转移概率和一步转移概率矩阵分别为
pij
P X n1
j|
Xn
i
p q
ji ji
1234 5
若以Xn表示时刻n时Q的位置，不同的位置就是Xn的不同 状态，那么｛Xn,n=0，1,2,…｝是一随机过程，状态空间 就是I，而且当Xn=i,iI为已知时,Xn+1所处的状态的概率 分布只与Xn=i有关，而与Q在时刻n以前如何到达i是完全无 关的，所以｛Xn,n=0，1,2,… ｝是一马氏链，且是齐次