5.3 有限离散函数的傅里叶变换

有限离散傅里叶变换
这一节主要掌握的知识点： 1、掌握傅里叶变换的有限离散傅里叶变换关系式 2、傅里叶级数和傅里叶积分变换的离散表达式相同 3、频谱在正负频率上都有定义，只有在正频率上有物理定义 4、频谱在负频率上的数值用来进行逆变换
f1 = ∆f
∆f = 1 代入
T
则离散的周期函数的变换关系为：
N −1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
j 2πnk
∑ x(k∆t) = xk = X (n∆f )e N
n=0
∑ X (n∆f ) =
Xn
=
1 N
N −1
− j 2nπk
x(k∆t )e N
k=0
有限离散傅里叶变换
采样、离散后的计算结果示意图
有限离散傅里叶变换
对于非周期信号x(t)的傅里叶变换关系式为
n=0
∑ X (n∆f
)=
Xn
=
1 N
N −1
− j 2nπk
x(k∆t )e N
K =0
从式中可以看出，若计算某一个频谱Xn，则需进行xk与e-j2πnk/N的N次复数 乘式运算和N—1次的复数加法运算。若将N个频谱全部计算完，则需：
复数乘法运算——N2次， 复数加法运算——N（N—1）次。 若N=1024（210），计算2096128次复数运算。时间长，无法实时分析。
因此，这种周期信号的计算，只需取时域一个周期的N个抽样和频域一个 周期的N个抽样。
有限离散傅里叶变换
则连续的周期函数的变换关系为：
将 t = k ⋅ ∆t
∞
∑ x(t ) = X (nf1)e j2πnf1t
n=−∞
∫ X
(nf1 )
=
1 T
T x(t )e − j2πnf1tdt
0
∆t = T
N
N −1
j 2πnk
∑ x(k∆t) = xk = X (n∆f )e N
n=0
∑ X (n∆f
)=
Xn
=
1 N
N −1
− j 2nπk
x(k∆t )e N
K =0
傅里叶变换对
傅里叶积分变换对的离散表达式与傅里叶级数的离散表达式相同。
有限离散傅里叶变换
N −1
j 2πnk
∑ x(k∆t) = xk = X (n∆f )e N
有限离散函数的傅里叶变换
有限离散傅里叶变换
周期函数的傅里叶级数展开为
∞
∑ x(t ) = X (nf1)e j2πnf1t
n=−∞
∫ X
(nf1
)
=
1 T
T x(t)e− dt j2πnf1t
0
非周期函数的傅里叶积分为
∫ x(t ) = +∞ X ( f )e− j2πftdf −∞
∫ X ( f ) = +∞ x(t )e− j2πftdt −∞
∫ x(t ) = ∞ X ( f )e j2πftdf −∞
∫ X ( f ) = ∞ x(t )e− j2πftdt −∞
傅里叶变换对
正变换和逆变换都是连续函数，但是，在计算处理时，当x(t)是周期函数 时，T就是其周期，当x(t)不是周期函数时，T就是截断的样本长度。
有限离散傅里叶变换
对于非周期信号x(t)的有限离散傅里叶变换关系式仍然为
以上是对于连续函数的傅里叶变换
傅里叶变换对 傅里叶变换对
有限离散傅里叶变换
在工程上所测试的数据经计算机储存后，都是离散函数数据，所以下面 我们讨论离散函数的傅里叶变换。
对于离散函数的傅里叶变换，只能在有限长度上进行，设有限长度为原
始信号的时间周期长度为T，采样点数为N，则t=k∆t，采样时间间隔为∆t ＝T/N，采样频率为fs=1/∆t ，频率间隔为∆f=1/T，fn=n∆f，fm=(N/2) ∆f 。