5、二次函数各系数之间的关系及解析式的求解

第四讲二次函数解析式的求解
【知识梳理】
1．二次函数解析式的求法：
(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：_____ ___(a≠0)．
(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：_____ ___（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．
(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：____ ___(a ≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．
1、二次项系数a：①a＞0时，抛物线开口向上；a＜0时，抛物线开口向下。

②a的绝对值越大，开口越小;a的绝对值越小，开口越大。

2、一次项系数b：在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴，“左同右异”。

3、常数项c：决定抛物线与y轴交点的位置
4、抛物线的特殊位置与系数的关系：（1）顶点在x轴上：b²-4ac=0；（2）顶点在y轴上：b=0；（3）顶点在原点：b=c=0；（4）抛物线经过原点：c=0.
例1.已知y=ax2+bx+c的图象如下，则：
a____0 , b___0, c___0 , a+b+c____0，
a-b+c__0, 2a-b____0 b2-4ac___0,4a+2b+c 0
例2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，现有下列结论：①b2－4ac＞0；②a＞0；③b＞0；④c ＞0；⑤9a＋3b＋c＜0，⑥8a+c>0；⑦3a+c<0。

则其中结论正确的是( )
(例2) (例3)
例3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有( )
A．3个B．2个C．1个D．0个
x
变式练习
1、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示，给出以下结论：①②当x=1时，函数有最大值。

③当x=-1或x=3时，函数y的值都等于0. ④4a+2b+c<0其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4
（第1题）（第2题）（第3题）（第4题）
2、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，有下列4个结论：①abc>0；②b<a+c；③
4a+2b+c >0；④b2-4ac>0；其中正确的结论有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么下列判断不正确的是（）
A、abc＞0；
B、b2-4ac>0；
C、2a+b＞0；
D、4a+2b+c＜0
4、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图1所示，则下列结论中，正确的个数是（）
①a+b+c<0；②a-b+c>0；③abc>0；④b=2a
A、4
B、3
C、2
D、1
5、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c其中a,b,c满足a+b+c=3和9a+3b+c=3，则该二次函数图象的对称轴是直线．
6、已知y=ax2+bx+c中a<0，b>0，c<0 ，△<0，函数的图象经过象限。

7、在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（）
8、如图所示，满足a＞0,b＜0的函数y＝ax2＋bx的图像是（）
9.如图,二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),下列结论:①ab<0;
ＡＢＣＤ
②b2>4a;③0<a+b+c<2;④0<b<1;⑤当x>-1时,y>0.其中正确结论有
(第9题) (第11题) (第12题)
10、已知二次函数y＝ax2＋bx+c,且a＜0, a-b+c＞0,则一定有（）
A. b2-4ac＞0
B. b2-4ac＝0
C. b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
11．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是( )
A．－8 B．8 C．±8 D．6
12．（2015•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（-1，0），（3，0）．对于下列命题：①b-2a=0；②abc＜0；③a-2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个
1. 一般式：已经抛物线任意三点求解析式
2. 顶点式：已知抛物线顶点和一点或已知对称轴和另外两点求解析式
3. 交点式：已知抛物线与x轴的两交点和另一点
1.巧取交点式法：
知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2) (a≠0),x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例1：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例2：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的
解析式。

2.巧用顶点式：
顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。

当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。

在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。

在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．
①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。

例3：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。

②典型例题二：告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标，同样也可以求出顶点式。

例4：已知二次函数当x＝4时有最小值－3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式。

③典型例题三：告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出。

例5：（1）已知二次函数的图象经过点A（3，-2）和B（1，0），且对称轴是直线x＝3．求这个二次函数的解析式.
（2）已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0），求这个二次函数的解析式.
（3）已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式. （4）二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式．
3.利用二次函数图象求二次函数的解析式
此类问题，需抓住图像给的关键信息，如对称轴，顶点，交点等，根据给定的信息，选择适当的二次函数解析式求解。

1．已知抛物线y＝－x2＋bx＋c如图所示，则此抛物线的解析式为．
(第1题) (第2题) (第3题)
2．如图所示，有一个抛物线形拱桥，其最大高度为10 m，跨度为50 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则抛物线的函数解析式为．
3．如图所示，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.求该抛物线的解析式．
变式练习
1.如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3,那么c的值等于（）
（A）8 （B）14 （C）8或14 （D）-8或-14
2.已知抛物线在x轴上截得的线段长为6.且顶点坐标为（2,3）求解析式？
4.若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为________．。