圆锥曲线专题 全国卷1 高考真题

2015全国卷(20)(本小题满分12分)

在直角坐标系xoy中，曲线C：y＝

2

4

x

与直线l:y＝kx＋a(a>0)交于M，N两点，

(Ⅰ)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；

(Ⅱ)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由. （20）解：

（I）有题设可

得),(),

M a N a M

-或（）.

又

2

=y

24

x x

y x

'==

，故在

处的导数值

为，C在

点)a出的切线方程

为a0

y x y a

-=---=

2

4

x

y x

==-

在

y a

-+=.

00

y a y a

--=++=

（I）存在符合题意的点，证明如下：

设P(0，b)为符合题意的点，M(x,y),N(x,y)直线PM，PN的斜率分别为

12

,k k

2440.

y kx a C x kx a

=+--=

代入的方程得

故

1212

4,4.

x x k x x a

+==-

从而2440.

kx a C kx a

+--=

代入的方程得x

1212

4,4.

x x k x x a

+==-

故

12

1

12

1212

12

b

2

2()()

y y b

k k

x x

kx x a b x x

x x

--

+=+

+-+

从而

()

k a b

a

+

=

当b=-a时，有

12

0,=

k k PM

+=∠∠

则直线的倾角与直线PN的倾角互补，故OPM OPN，所以点P(0,-a)符合题意

2014全国卷

20.（本小题满分12分）已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b

+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为

233

，O 为坐标原点. （Ⅰ）求E 的方程； （Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.

20.（本小题满分12分）

(2013课标全国Ⅰ，理20)(本小题满分12分)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2

＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C .

(1)求C 的方程；

(2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |.

20．

解：由已知得圆M 的圆心为M (－1,0)，半径r 1＝1；圆N 的圆心为N (1,0)，半径r 2＝3. 设圆P 的圆心为P (x ，y )，半径为R .

(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，

所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.

由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2

(左顶点除外)，其方程为22

=143

x y +(x ≠－2)． (2)对于曲线C 上任意一点P (x ，y )，由于|PM |－|PN |＝2R －2≤2，

所以R ≤2，当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时，R ＝2.

所以当圆P 的半径最长时，其方程为(x －2)2＋y 2＝4.

若l 的倾斜角为90°，则l 与y 轴重合，可得|AB |

＝若l 的倾斜角不为90°，由r 1≠R 知l 不平行于x 轴，设l 与x 轴的交点为Q ，则

1||||QP R QM r =，可求得Q (－4,0)，所以可设l ：y ＝k (x ＋4)．

由l 与圆M

， 解得k

＝4

±. 当k

＝4

时，将4y x =+代入22

=143

x y +， 并整理得7x 2＋8x －8＝0，

解得x 1,2

. 所以|AB |

2118|7x x -=

.

当4k =-时，由图形的对称性可知|AB |＝187

. 综上，|AB |

＝|AB |＝187

. 2012全国卷（21）（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答．．．．．．无效．．

） 已知抛物线2:(1)C y x =+与圆222

1:(1)()(0)2M x y r r -+-=>有一个公共点A ，且在点A 处两曲线的切线为同一直线l .

（Ⅰ）求r ；

（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到

l的距离。