一元线性回归模型习题及答案

一元线性回归模型
一、单项选择题
1、变量之间的关系可以分为两大类__________。

A
A 函数关系与相关关系
B 线性相关关系和非线性相关关系
C 正相关关系和负相关关系
D 简单相关关系和复杂相关关系 2、相关关系是指__________。

D
A 变量间的非独立关系
B 变量间的因果关系
C 变量间的函数关系
D 变量间不确定性的依存关系 3、进行相关分析时的两个变量__________。

A
A 都是随机变量
B 都不是随机变量
C 一个是随机变量，一个不是随机变量
D 随机的或非随机都可以 4、表示x 和y 之间真实线性关系的是__________。

C
A 01ˆˆˆt t
Y X ββ=+ B 01()t t E Y X ββ=+ C 01t t t Y X u ββ=++ D 01t t Y X ββ=+
5、参数β的估计量ˆβ
具备有效性是指__________。

B A ˆvar ()=0β
B ˆvar ()β为最小
C ˆ()0β
β－＝ D ˆ()ββ－为最小 6、对于01ˆˆi i i
Y X e ββ=++，以σˆ表示估计标准误差，Y ˆ表示回归值，则__________。

B
A i i ˆˆ0Y Y 0σ∑
＝时，（－）＝
B 2
i
i
ˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）＝0 C i
i ˆˆ0Y Y σ∑＝时，（－）为最小 D 2
i
i
ˆˆ0Y Y
σ∑＝时，（－）为最小 7、设样本回归模型为i 01i i
ˆˆY =X +e ββ+，则普通最小二乘法确定的i ˆβ的公式中，错误的是__________。

D
A ()()()i
i
1
2
i X X Y -Y ˆX X β--∑∑＝
B ()i i
i
i
1
2
2
i
i
n X Y -X Y ˆn X -X β∑∑∑∑∑＝
C i
i 1
2
2
i
X Y -nXY ˆX -nX β∑∑
＝ D i i i
i
1
2
x
n X Y -X Y ˆβσ
∑∑∑＝
8、对于i 01i i ˆˆY =X +e ββ+，以
ˆσ表示估计标准误差，r 表示相关系数，则有__________。

D
A ˆ0r=1σ
＝时， B ˆ0r=-1σ
＝时， C ˆ0r=0σ
＝时， D ˆ0r=1r=-1σ
＝时，或 9、产量（X ，台）与单位产品成本（Y ，元/台）之间的回归方程为ˆY
356 1.5X -＝，这说明__________。

D
A 产量每增加一台，单位产品成本增加356元
B 产量每增加一台，单位产品成本减少1.5元
C 产量每增加一台，单位产品成本平均增加356元
D 产量每增加一台，单位产品成本平均减少1.5元
10、在总体回归直线01
ˆE Y X ββ+（）＝中，1β表示__________。

B A 当X 增加一个单位时，Y 增加1β个单位 B 当X 增加一个单位时，Y 平均增加1β个单位 C 当Y 增加一个单位时，X 增加1β个单位 D 当Y 增加一个单位时，X 平均增加1β个单位
11、对回归模型i 01i i Y X u ββ+＝＋进行检验时，通常假定i u 服从__________。

C
A 2
i N 0) σ（， B t(n-2) C 2
N 0)σ（， D t(n)
12、以Y 表示实际观测值，ˆY
表示回归估计值，则普通最小二乘法估计参数的准则是使__________。

D
i i 2i i i i 2
i i ˆA Y Y 0
ˆB Y Y 0
ˆC Y Y ˆD Y Y ∑∑∑∑ （－）＝ （－）＝ （－）＝最小
（－）＝最小
13、设Y 表示实际观测值，ˆY
表示OLS 估计回归值，则下列哪项成立__________。

D ˆˆA Y
Y B Y Y ˆˆC Y
Y D Y Y ＝ ＝　＝ ＝
14、用OLS 估计经典线性模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，则样本回归直线通过点_________。

D
ˆA X Y B X Y
ˆC X Y
D X Y （，） （，）　（，） （，）
15、以Y 表示实际观测值，ˆY
表示OLS 估计回归值，则用OLS 得到的样本回归直线i 01i
ˆˆˆY X ββ+＝满足__________。

A i
i
2
i i 2
i i 2i i ˆA Y Y 0B Y Y 0ˆC Y Y 0
ˆD Y Y 0
∑
∑∑∑ （－）＝ （－）＝ （－）＝ （－）＝
16、用一组有30个观测值的样本估计模型i 01i i Y X u ββ+＝＋，在0.05的显著性水平下对1β的显著性作t 检验，则1β显著地不等于零的条件是其统计量t 大于__________。

D
A t0.05(30)
B t0.025(30)
C t0.05(28)
D t0.025(28) 17、已知某一直线回归方程的判定系数为0.64，则解释变量与被解释变量间的线性相关系数为__________。

B
A 0.64
B 0.8
C 0.4
D 0.32 18、相关系数r 的取值范围是__________。

D
A r ≤-1
B r ≥1
C 0≤r ≤1
D －1≤r ≤1
19、判定系数R 2的取值范围是__________。

C
A R2≤-1
B R2≥1
C 0≤R2≤1
D －1≤R2≤1
20、某一特定的X 水平上，总体Y 分布的离散度越大，即σ2越大，则__________。

A A 预测区间越宽，精度越低 B 预测区间越宽，预测误差越小 C 预测区间越窄，精度越高 D 预测区间越窄，预测误差越大 22、如果X 和Y 在统计上独立，则相关系数等于__________。

C A 1 B －1 C 0 D ∞
23、根据决定系数R 2与F 统计量的关系可知，当R 2＝1时，有__________。

D A F ＝1 B F ＝-1 C F ＝0 D F ＝∞
24、在C —D 生产函数β
αK AL Y =中，__________。

A A.α和β是弹性 B.A 和α是弹性 C.A 和β是弹性 D.A 是弹性
25、回归模型i i i u X Y ++=10ββ中，关于检验010=β：H 所用的统计量)ˆ(ˆ1
11βββVar -，
下列说法正确的是__________。

D
A 服从）（22
-n χ B 服从）
（1-n t C 服从）（12
-n χ D 服从）（2-n t
26、在二元线性回归模型i i i i u X X Y +++=22110βββ中，1β表示__________。

A A 当X2不变时，X1每变动一个单位Y 的平均变动。

B 当X1不变时，X2每变动一个单位Y 的平均变动。

C 当X1和X2都保持不变时，Y 的平均变动。

D 当X1和X2都变动一个单位时，Y 的平均变动。

27、在双对数模型i i i u X Y ++=ln ln ln 10ββ中，1β的含义是__________。

D A Y 关于X 的增长量 B Y 关于X 的增长速度 C Y 关于X 的边际倾向 D Y 关于X 的弹性
26、根据样本资料已估计得出人均消费支出Y 对人均收入X 的回归模型为i i X Y ln 75.000.2ln +=，这表明人均收入每增加1％，人均消费支出将增加__________。

C
A 2％
B 0.2％
C 0.75％
D 7.5％
28、按经典假设，线性回归模型中的解释变量应是非随机变量，且__________。

A A 与随机误差项不相关 B 与残差项不相关 C 与被解释变量不相关 D 与回归值不相关
29、根据判定系数R 2与F 统计量的关系可知，当R 2=1时有__________。

C A.F=1 B.F=－1 C.F=∞ D.F=0 30、下面说法正确的是__________。

D
A.内生变量是非随机变量
B.前定变量是随机变量
C.外生变量是随机变量
D.外生变量是非随机变量
31、在具体的模型中，被认为是具有一定概率分布的随机变量是__________。

A A.内生变量 B.外生变量 C.虚拟变量 D.前定变量 32、回归分析中定义的__________。

B A.解释变量和被解释变量都是随机变量
B.解释变量为非随机变量，被解释变量为随机变量
C.解释变量和被解释变量都为非随机变量
D.解释变量为随机变量，被解释变量为非随机变量
33、计量经济模型中的被解释变量一定是__________。

C A ．控制变量 B ．政策变量 C ．内生变量 D ．外生变量
二、多项选择题
1、指出下列哪些现象是相关关系__________。

ACD
A 家庭消费支出与收入
B 商品销售额与销售量、销售价格
C 物价水平与商品需求量
D 小麦高产与施肥量
E 学习成绩总分与各门课程分数
2、一元线性回归模型i 01i i Y X u ββ+＝＋的经典假设包括__________。

ABCDE
A ()0t E u =
B 2
var()t u σ=
C cov(,)0t s u u =
D (,)0t t Cov x u =
E 2
~(0,)t u N σ
3、以Y 表示实际观测值，ˆY
表示OLS 估计回归值，e 表示残差，则回归直线满足__________。

ABE
i
i
2i i 2i i i i A X Y ˆB Y Y
ˆC Y Y 0ˆD Y Y 0
E cov(X ,e )=0∑∑∑∑ 通过样本均值点（，）
＝ （－）＝ （－）＝　
4、ˆY
表示OLS 估计回归值，u 表示随机误差项，e 表示残差。

如果Y 与X 为线性相关关系，则下列哪些是正确的__________。

AC
i 01i
i
1
i
i 01i i i
1
i
i
i 01i A E Y X ˆˆB Y X ˆˆC Y X e ˆˆˆD Y
X e ˆˆE E(Y )X βββ
βββββββ+++++++　（）＝　＝　＝＝＝
5、ˆY
表示OLS 估计回归值，u 表示随机误差项。

如果Y 与X 为线性相关关系，则下列哪些是正确的__________。

BE
i 01i i 01i i
i
1
i
i
i 01i i i
1
i
A Y X
B Y X u ˆˆ
C Y X u ˆˆˆ
D Y X u ˆˆˆ
E Y
X βββββ
βββββ+++++++　＝　＝＋　＝＝＝
6、回归分析中估计回归参数的方法主要有__________。

CDE A 相关系数法 B 方差分析法 C 最小二乘估计法 D 极大似然法 E 矩估计法
7、用OLS 法估计模型i 01i i Y X u ββ+＝＋的参数，要使参数估计量为最佳线性无偏估
计量，则要求__________。

ABCDE
A i E(u )=0
B 2
i Var(u )=σ
C i j Cov(u ,u )=0
D i u 服从正态分布
E X 为非随机变量，与随机误差项i u 不相关。

8、假设线性回归模型满足全部基本假设，则其参数的估计量具备__________。

CDE A 可靠性 B 合理性 C 线性 D 无偏性 E 有效性
9、普通最小二乘估计的直线具有以下特性__________。

ABDE A 通过样本均值点(,)X Y
B
ˆi
i Y Y =∑∑
C 2
ˆ()0i
i
Y Y
-=∑ D 0i
e =∑
E (,)0i i Cov X e =
10、由回归直线i 01i
ˆˆˆY X ββ+＝估计出来的i ˆY 值__________。

ADE A 是一组估计值 B 是一组平均值
C 是一个几何级数
D 可能等于实际值Y
E 与实际值Y 的离差之和等于零
11、反映回归直线拟合优度的指标有__________。

A 相关系数 B 回归系数
C 样本决定系数
D 回归方程的标准差
E 剩余变差（或残差平方和）
12、对于样本回归直线i 01i
ˆˆˆY X ββ+＝，回归变差可以表示为__________。

ABCDE A 22i i i i
ˆY Y -Y Y ∑∑　（－）　（－） B 2
2
1
i
i
ˆX X β∑（－） C 2
2
i
i R Y Y ∑（－）
D 2
i
i
ˆY
Y ∑（－） E 1
i
i
i
i
ˆ X X Y Y β∑
（－（）－） 13对于样本回归直线i 01i
ˆˆˆY X ββ+＝，ˆσ为估计标准差，下列决定系数的算式中，正确的有__________。

ABCDE
A 2i i 2
i
i
ˆY Y Y Y ∑∑
（－）（－） B 2i i 2
i
i
ˆY Y 1Y Y ∑∑
（－）－（－）
C 2
2
1
i
i 2
i
i
ˆX X Y Y β∑∑
（－）（－） D 1
i
i
i i
2
i
i
ˆX X Y Y Y Y β∑∑
（－（）－）（－）
E 22i i ˆn-2)1Y Y σ∑
（－
（－）
14、下列相关系数的算式中，正确的有__________。

ABCDE A
X Y
XY XY
σσ－
B i
i
i
i
X Y X X Y Y n σσ∑（－（）－）
C X Y
cov (X,Y)σσ
D
X X Y Y （－（）－） E
2
X Y -nX Y
Y Y ∑（－）
15、判定系数R 2可表示为__________。

BCE
A 2
RSS
R =
TSS B 2
ESS R =TSS
C 2
RSS R =1-TSS D 2
ESS R =1-TSS E 2
ESS R =ESS+RSS
16、线性回归模型的变通最小二乘估计的残差i e 满足__________。

ACDE
A
i e 0∑＝ B i i e Y 0∑＝
C i i
ˆe Y
0∑＝ D i i
e X 0∑＝
E i i cov(X ,e )=0
17、调整后的判定系数2
R 的正确表达式有__________。

BCD
A 2i i 2
i
i
Y Y /(n-1)ˆY Y /(n-k)∑∑
（－）1-（－） B 2
i
i
2
i
i
ˆY Y /(n-k-1)1Y Y /(n-1)∑∑（－）－（－）
C 2
(n-1)1(1-R )(n-k-1)- D 22
k(1-R )R n-k-1-
E 2(n-k)1(1+R )(n-1)
- 18、对总体线性回归模型进行显著性检验时所用的F 统计量可表示为__________。

BC A
ESS/(n-k)RSS/(k-1) B ESS/(k-1)
RSS/(n-k)
C 22R /(k-1)(1-R )/(n-k)
D 22(1-R )/(n-k)R /(k-1)
E 22
R /(n-k)(1-R )/(k-1)
三、名词解释
函数关系与相关关系 线性回归模型
总体回归模型与样本回归模型 最小二乘法
高斯－马尔可夫定理 总变量（总离差平方和） 回归变差（回归平方和） 剩余变差（残差平方和） 估计标准误差 样本决定系数 相关系数 显著性检验 t 检验 经济预测 点预测 区间预测 拟合优度 残差 四、简答
1、在计量经济模型中，为什么会存在随机误差项？
答：①模型中被忽略掉的影响因素造成的误差；②模型关系认定不准确造成的误差；③变量的测量误差；④随机因素。

这些因素都被归并在随机误差项中考虑。

因此，随机误差项是计量经济模型中不可缺少的一部分。

2、古典线性回归模型的基本假定是什么？
答：①零均值假定。

即在给定x t 的条件下，随机误差项的数学期望（均值）为0，即t E(u )=0。

②同方差假定。

误差项t u 的方差与t 无关，为一个常数。

③无自相关假定。

即不同的误差项相互独立。

④解释变量与随机误差项不相关假定。

⑤正态性假定，即假定误差项
t u 服从均值为0，方差为2σ的正态分布。

3、总体回归模型与样本回归模型的区别与联系。

答：主要区别：①描述的对象不同。

总体回归模型描述总体中变量y 与x 的相互关系，而样本回归模型描述所观测的样本中变量y 与x 的相互关系。

②建立模型的不同。

总体回归模型是依据总体全部观测资料建立的，样本回归模型是依据样本观测资料建立的。

③模型性质不同。

总体回归模型不是随机模型，样本回归模型是随机模型，它随着样本的改变而改变。

主要联系：样本回归模型是总体回归模型的一个估计式，之所以建立样本回归模型，目的是用来估计总体回归模型。

4、试述回归分析与相关分析的联系和区别。

答：两者的联系：①相关分析是回归分析的前提和基础；②回归分析是相关分析的深入和继续；③相关分析与回归分析的有关指标之间存在计算上的内在联系。

两者的区别：①回归分析强调因果关系，相关分析不关心因果关系，所研究的两个变量是对等的。

②对两个变量x 与y 而言，相关分析中：xy yx r r =；但在回归分析中，
01ˆˆˆt t
y b b x =++和01ˆˆˆt t x a a y =++却是两个完全不同的回归方程。

③回归分析对资料的要求是：被解释变量y 是随机变量，解释变量x 是非随机变量。

相关分析对资料的要求是两个变量都随机变量。

5、在满足古典假定条件下，一元线性回归模型的普通最小二乘估计量有哪些统计性质？
答：①线性，是指参数估计量0ˆb 和1ˆb 分别为观测值t y 和随机误差项t u 的线性函数或线性组合。

②无偏性，指参数估计量0ˆb 和1ˆb 的均值（期望值）分别等于总体参数0b 和1b 。

③有效性（最小方差性或最优性），指在所有的线性无偏估计量中，最小二乘估计量0ˆb 和1
ˆb 的
方差最小。

6、简述BLUE 的含义。

答：在古典假定条件下，OLS 估计量0ˆb 和1
ˆb 是参数0b 和1b 的最佳线性无偏估计量，即BLUE ，这一结论就是著名的高斯－马尔可夫定理。

7、对于多元线性回归模型，为什么在进行了总体显著性F 检验之后，还要对每个回归系数进行是否为0的t 检验？
答：多元线性回归模型的总体显著性F 检验是检验模型中全部解释变量对被解释变量的共同影响是否显著。

通过了此F 检验，就可以说模型中的全部解释变量对被解释变量的共同影响是显著的，但却不能就此判定模型中的每一个解释变量对被解释变量的影响都是显著的。

因此还需要就每个解释变量对被解释变量的影响是否显著进行检验，即进行t 检验。

五、综合题
X:年均汇率（日元/美元） Y:汽车出口数量（万辆） 问题：
（1）画出X 与Y 关系的散点图。

（2）计算X 与Y 的相关系数。

其中X 129.3＝，Y 554.2＝，2X X 4432.1∑（－）＝，2
Y Y 68113.6∑（－）
＝，
(
)()X X Y Y ∑－－＝16195.4
（3）若采用直线回归方程拟和出的模型为
ˆ81.72 3.65Y
X =+ t 值 1.2427 7.2797 R 2=0.8688 F=52.99
解释参数的经济意义。

解答：（1）散点图如下：
300
400
500
600
700
80
100
120
140
160
180
X Y
（2）()()
XY X X Y Y r --=
=
=0.9321
（3）截距项81.72表示当美元兑日元的汇率为0时日本的汽车出口量，这个数据没有实际意义；斜率项3.65表示汽车出口量与美元兑换日元的汇率正相关，当美元兑换日元的
汇率每上升1元，会引起日本汽车出口量上升3.65万辆。

2、已知一模型的最小二乘的回归结果如下：
i i
ˆY =101.4-4.78X 标准差 （45.2） （1.53） n=30 R 2=0.31
其中，Y ：政府债券价格（百美元），X ：利率（%）。

回答以下问题：
（1）系数的符号是否正确，并说明理由；
（2）为什么左边是i
ˆY 而不是Yi ； （3）在此模型中是否漏了误差项u i ；
（4）该模型参数的经济意义是什么。

答：（1）系数的符号是正确的，政府债券的价格与利率是负相关关系，利率的上升会引起政府债券价格的下降。

（2） （3）
（4）常数项101.4表示在X 取0时Y 的水平，本例中它没有实际意义；系数（－4.78）表明利率X 每上升一个百分点，引起政府债券价格Y 降低478美元。

3、估计消费函数模型i i i C =Y u αβ++得
i i ˆC =150.81Y +
t 值 （13.1）（18.7） n=19 R 2=0.81 其中，C ：消费（元） Y ：收入（元）
已知0.025(19) 2.0930t =，0.05(19) 1.729t =，0.025(17) 2.1098t =，0.05(17) 1.7396t =。

问：（1）利用t 值检验参数β的显著性（α＝0.05）； （2）确定参数β的标准差；
（3）判断一下该模型的拟合情况。

答：（1）提出原假设H 0：0β=，H1：0β≠
统计量t ＝18.7，临界值0.025(17) 2.1098t =，由于18.7>2.1098，故拒绝原假设H 0：0β=，即认为参数β是显著的。

（2）由于ˆˆ()
t sb ββ=，故ˆ0.81ˆ()0.043318.7sb t ββ==
=。

（3）回归模型R 2=0.81，表明拟合优度较高，解释变量对被解释变量的解释能力为81%，
即收入对消费的解释能力为81％，回归直线拟合观测点较为理想。

4、已知估计回归模型得
i i
ˆY =81.7230 3.6541X + 且2X X 4432.1∑（－）＝，2Y Y 68113.6∑（－）＝，
求判定系数和相关系数。

答：判定系数：22
12
2
()()
b X X R Y Y -=
-∑∑=23.65414432.1
68113.6
⨯==0.8688
相关系数：0.9321r == 5、、有如下表数据
-0.1
（1）设横轴是U ，纵轴是P ，画出散点图。

（2）对下面的菲力普斯曲线进行OLS 估计。

1
P
u U αβ
＝＋＋
已知P
（3）计算决定系数。

答：（1）散点图如下：
（2）
7、根据容量n=30的样本观测值数据计算得到下列数据：
22XY 146.5X 12.6Y 11.3X 164.2Y ＝，＝，＝，＝，＝134.6
试估计Y 对X 的回归直线。

8、表2-4中的数据是从某个行业5个不同的工厂收集的，请回答以下问题： 表2-4 总成本Y 与产量X 的数据
Y
80 44 51 70 61 X
12 4 6 11 8
（1）估计这个行业的线性总成本函数：i 01i
ˆˆˆY =b +b X （2）01
ˆˆb b 和的经济含义是什么？ （3）估计产量为10时的总成本。

9、有10户家庭的收入（X ，元）和消费（Y ，百元）数据如表2－5。

表2－5 10户家庭的收入（X ）与消费（Y ）的资料
X 20 30 33 40 15 13 26 38 35 43 Y
7 9 8 11 5 4 8 10 9 10 （1）建立消费Y 对收入X 的回归直线。

（2）说明回归直线的代表性及解释能力。

（3）在95%的置信度下检验参数的显著性。

（4）在95%的置信度下，预测当X ＝45（百元）时，消费（Y ）的置信区间。

10、已知相关系数r ＝0.6，估计标准ˆ8σ
＝误差，样本容量n=62。

求：（1）剩余变差；（2）决定系数；（3）总变差。

11、在相关和回归分析中，已知下列资料：
222X Y i 16,10,n=20,r=0.9,(Y -Y)=2000
σσ∑＝＝ （1）计算Y 对绵回归直线的斜率系数。

（2）计算回归变差和剩余变差。

（3）计算估计标准误差。

12、已知：n=6,22
i i i i i i X =21,Y =426,X =79,Y =30268,X Y =1481∑∑∑∑∑。

（1）计算相关系数；
（2）建立Y 对的回归直线；
（3）在5%的显著性水平上检验回归方程的显著性。

13、根据对某企业销售额Y 以及相应价格X 的11组观测资料计算：
22XY 117849X 519Y 217X 284958Y ＝，＝，＝，＝，＝49046
（1）估计销售额对价格的回归直线；
（2）销售额的价格弹性是多少？
14、假设某国的货币供给量Y 与国民收入X 的历史如表2－6。

在散点图上。

（2）如何解释回归系数的含义。

（3）如果希望1997年国民收入达到15，那么应该把货币供给量定在什么水平？
15、假定有如下的回归结果 t
t X Y 4795.06911.2ˆ-= 其中，Y 表示美国的咖啡消费量（每天每人消费的杯数），X 表示咖啡的零售价格（单位：美元/杯），t 表示时间。

问：
（1）这是一个时间序列回归还是横截面回归？做出回归线。

（2）如何解释截距的意义？它有经济含义吗？如何解释斜率？
（3）能否救出真实的总体回归函数？
（4）根据需求的价格弹性定义： Y
X ⨯弹性＝斜率，依据上述回归结果，你能救出对咖啡需求的价格弹性吗？如果不能，计算此弹性还需要其他什么信息？
解答：（1）这是一个时间序列回归。

（图略）
（2）截距2.6911表示咖啡零售价在每磅0美元时，美国平均咖啡消费量为每天每人
2.6911杯，这个没有明显的经济意义；斜率－0.4795表示咖啡零售价格与消费量负相关，表明咖啡价格每上升1美元，平均每天每人消费量减少0.4795杯。

（3）不能。

原因在于要了解全美国所有人的咖啡消费情况几乎是不可能的。

（4）不能。

在同一条需求曲线上不同点的价格弹性不同，若要求价格弹性，须给出具体的X 值及与之对应的Y 值。

16、下面数据是依据10组X 和Y 的观察值得到的：（李子奈书P18）
1110=∑i Y ，1680=∑i X ，204200=∑i i Y X ，3154002=∑i X ，1333002=∑i Y 假定满足所有经典线性回归模型的假设，求
（1）0β，1β的估计值及其标准差；
（2）决定系数2
R ；
（3）对0β，1β分别建立95％的置信区间。

利用置信区间法，你可以接受零假设：
01=β吗？。