2.1 连续信号的时域描述和分析

4）频率比为无理数时，合成信号为准周期信号。
5）复杂周期信号可以分解成（无穷）多个正弦信号的 线性组合。
一、时域描述—普通信号的时域描述
指数信号
x(t ) A e , s j为复数
st
当 0时，为实指数信号
0
xt
0 0
1： 0, 0 2： 0, 0 3： 0, 0
t
积分只与t=0时 f(t)的取值有关
一、时域描述—奇异信号的描述
单位冲激信号的性质 （2）奇偶性
(t ) (t )
（3）微积分特性：冲激信号与阶跃信号互为积分和微分关系

t

( ) d ut
du (t ) (t ) dt
2.1 二、时域运算
1. 基本运算 尺度变换 翻转 平移 复合变换 2. 叠加和相乘 3. 微分和积分 4. 卷积运算
连续信号的时域描述和分析
二、时域运算—基本运算
尺度变换 波形的压缩与扩展，又称标度变换，时间压扩。 幅度尺寸变换： f t af t , (a 0常数), 基本特性不变，幅度放大或缩小a倍 如线性放大器。 时间尺寸变换： f t f at , (a 0常数), 基本特性发生变化，时间坐标压缩或扩展。
1
直流信号 指数衰减 指数增长
A
O
t
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表信号衰减 速度，具有时间的量纲。
一、时域描述—普通信号的时域描述
指数信号
当 0， 0时，为复指数信号
x(t ) A e xt Re：
( j ) t
Ae e
t
jt
Ae cos t jAe sin t Im： xt
考虑：矩形脉冲函数宽度0时的极限
窗高＝窗宽的倒数，面积≡1 脉宽↓； 脉冲高度↑； 当τ0时，窗高∞ ★面积恒为1 三个特点：



(t ) d t 1

则窄脉冲集中于 t=0 处。 面积＝1
1
p( t )

★宽度为0
无穷 ★ 幅度 0
t0 t0


2
O

f t f at b f at b a 设a 0
先展缩：f(t)f(at)
再翻转：f(at)f(-at) 后平移单位b/a, f(-at)f[-a(t±b/a)]
＝f(-at±b)
二、时域运算—基本运算
总结：信号的基本运算
f t f at b f at b a 设a 0
二、时域运算—基本运算
复合变换 平移－翻转－展缩
f t f at b f at b a 设a 0
先平移单位b, f(t)f(t±b) 再翻转：f(t±b)f(-t±b)
后展缩：f(-t±b)f(-at±b)
二、时域运算—基本运算
复合变换 展缩－翻转－平移
t
信号取值随其它连续变量的关系，如： 表面粗糙度随测量长度的变化; 导线电阻随导线长度的变化； 热变形大小随温度的变化。
2.1
连续信号的时域描述和分析

一、时域描述 二、时域计算

普通信号的时域描述 奇异信号的时域描述 基本运算
叠加和相乘 微分和积分 卷积运算
三、信号分解

分解成冲激函数之和 正交分解
原信号f(t)以原点(t＝0)为基准，沿横坐标轴展缩到原 来的1/a。
方法：将原信号f (t)中自变量t at，得到f (at)。
二、时域运算—基本运算
尺度变换
x( 2t ) 2 t -2 0 1
a>1
时间尺度压缩或扩展取决于a:
a>1时间尺度压缩； 录音带快放 0<a<1时间尺度扩展 录音带慢放
指数信号 正弦信号和余弦信号常借助于复指数信号来表示， 由欧拉（Euler）公式： j t
e
cost j sint
cost j sint
e
-j t
1 jt jt cos t e e 2 1 jt jt sin t e e 2j
+
t
y(t ) x1 (t ) x2 (t )
sint sin8t
=
t
二、时域运算—叠加和相乘
x[n] n
离散系统叠加 若 x[n]、y[n] 是两个离散 信号，它们的和（差）定义 为：两信号对应点取值之和 （差）
+ y[n]
n
z[n] x[n] y[n]
x[n]+y[n]
2
t
一、时域描述—奇异信号的描述
单位冲激信号
1 定义： (t ) lim u t u t 0 2 2
(t )

强度
时移的冲激函数
(t t0 )
(1)

o
t
o
(1)
若面积为k，则强度为k。
二、时域运算—叠加和相乘
离散系统乘除
离散信号的积定义为两离散信号对应点的积，即内积。
Z [n] x[n] y[n]
离散信号的商定义为两离散信号对应点的商。
二、时域运算—基本运算
复合变换 展缩－平移－翻转
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩： f (t) f (at) 再平移b/a单位：f(at)f[a(t±b/a)]
+左；－右
后翻转： f[a(t±b/a)]f [a(-t±b/a)]=f(-at±b)
t0
t
三角形脉冲、双边指数脉冲、钟形脉冲、抽样函数取0 极 限，都可以构成冲激函数。
一、时域描述—奇异信号的描述
单位冲激信号的性质
（1）抽样性（筛选性） 如果f(t)在t = 0处连续，且处 处有界，则有
f ( 0)
f (t )




(t ) f (t ) d t f (0)
o
t
O u(t)
A
u(t)
A
O
t
O
t
一、时域描述—奇异信号的描述
单位阶跃信号
0 R(t ) t
0 u (t ) 1
t0 t0
t0 t 0
dr (t ) u (t ) dt
一、时域描述—奇异信号的描述
单位冲激信号
狄拉克给出的定义：
(t ) 0 , t 0
t t0 t t0
在t-t0 = 0处，导数不连续
一、时域描述—奇异信号的描述
单位阶跃信号 定义 u( t ) 1
0 u (t ) 1
t0 t 0
1 (0点无定义或 ) 2
有延迟的单位阶跃信号
O u(t- t0) 1
t
0 u( t t 0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
x(t) 2 t 0 -4 -2 1 2
x( 0.5 t ) 2
a<1
t
-8
-4
-2
0
1
2
4
二、时域运算—基本运算
尺度变换 正弦信号的尺度变换 ω＝4π/T T/2 ω＝2π/T ω＝π/T 2T
t
T
f(2t) a=2
结论：
f(t)
f(t/2) a=1/2
a>1时域压缩频域（带）扩展
= n
二、时域运算—叠加和相乘
sint t sin8t
连续系统乘除
若 x1 (t )、x2 (t )是两个连续信号，
它们的积定义为：两信号瞬时值 之积
×
t
y(t ) x1 (t ) x2 (t )
两个连续信号，它们的商定义为：
=
两信号瞬时值之商
sint sin8t t
A
2

T
f
1 T f
周期：
角频率： 2 π f

0

2
t

一、时域描述—普通信号的时域描述
正弦信号的性质
1）正弦信号的微、积分仍为正弦信号。
2）两个同频正弦信号相加，仍得同频信号，且频率不变， 幅值和相位改变。
3）频率比为整数的正弦信号合成为非正弦周期信号，以 低频（基频f0）为基频，叠加一个高频(nf0)分量。
a<1时域扩展频域（带）压缩
二、时域运算—基本运算
翻转
f (t ) f ( t )
以纵轴为轴折叠，把信号的过去与未来对调, t =0点不动。方法： t -t f (t) f (-t) 例：
1 t -2 1 O 1 2
二、时域运算—基本运算
平移 将信号f(t)沿时间轴t移动一段距离，得f (t-τ）， 即 f ( t ) f ( t ) ，称为平移。
t
t
t
O O
t
s jLeabharlann Baidu
称为复指数信号的复频率。
一、时域描述—普通信号的时域描述
指数信号
x(t ) Aet cos t j sin t
0 时，衰减的复信号
xt Re：
Im： xt
t
O O
t
0 时,发散复信号
一、时域描述—普通信号的时域描述
第二章 连续信号的分析
第二章 连续信号的分析
2.1 2.2 2.3 2.4
连续信号的时域描述和分析 连续信号的频域分析 连续信号的复频域分析 信号的相关分析
2.1
连续信号的时域描述和分析
信号的时域描述 xt 信号取值随时间的变化关系; 直观地反映信号的时间历程; 不能反映信号的频率结构; O 用于简单信号的描述. 推广：



(t ) d t 1




(t ) d t (t ) d t
0
0
函数值只在 t = 0 时不为零； 积分面积为1； t =0 时， t ，为无界函数。 t
0
一、时域描述—奇异信号的描述
单位冲激信号
(t ) 0 , t 0
先展缩： a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍 后平移： +，左移b/a单位；－，右移b/a单位 f(t)—>
f at b f at b a
3、后平移；
1、先翻转； 2、再展缩； 注意！
一切变换都是相对t 而言 最好用先翻缩后平移的顺序
二、时域运算—基本运算
例：已知f(t)，求f(3t+5)。 解:
在 t t0 处，信号发生跳变
0 u( t t 0 ) 1
t t0 , t0 0 t t0
O t0 u(t+ t0) 1
t
t O
t
x(t)
A
u(t)
u(t)
A
A
- / 2 O
/2
t
O
t
O
t
u(t)
A
x(t ) A[u (t ) u (t )] 2 2


一、时域描述—奇异信号的描述
单位斜坡信号 定义 R(t)
0 R(t ) t
t0 t0
1
O
1
t
无定义 t 0 R(t ) t0 1
在t=0处，导数不连续 R(t-t0) 1 O t0 t0+1 t
有延迟的单位斜坡信号
0 R(t t0 ) t t0
2.1 一、时域描述
连续信号的时域描述和分析
1. 普通信号的时域描述 正弦信号 指数信号 2. 奇异信号的描述 单位斜坡信号 单位阶跃信号 单位冲激信号
一、时域描述—普通信号的时域描述
正弦信号 表达式： 振幅： 初相： 频率：
f (t ) A sin(t )
A
f (t )
> 0，右移(滞后) < 0，左移(超前)
例：
-2 -1 0 1 2
f(t)
1
t
左移1 f(t+1)
复位 f(t)
右移1 f(t-1)
二、时域运算—基本运算
复合变换
f t f at b f at b a 设a 0
信号运算中，一般同时存在尺度变换、平移、翻转、以 及幅度变换，变换准则： 尺度变换: t at; 平移：t ( t-t0 ); 翻转：t ( -t ). 变换顺序可任意.
1 f (t )
1
O
f(3t+5) = f [3(t+5/3)]
1 t
尺度 变换
f ( 3t )
1
1 O 3
3t
3(t+5/3) 时移
f ( 3t 5) 1
2
4 3
1 3
t
t
二、时域运算—叠加和相乘
sint
连续系统叠加
t sin8t
若 x1 (t )、x2 (t )是两个连续信号，它 们的和（差）定义为：两信号瞬时 值和（差）