《导数及其应用复习小结》课件

2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
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x2
0
x4 x3 b x 返回
g
f(a)
f(x2)
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 5(05 山东 19)已知 x 1 是函数
f ( x) mx 3(m 1) x nx 1的一个极值点，其中
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1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
'
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导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)
是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ， 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就 把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。
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此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率， 用极限运算的表达式来写出，即 k=tanα= lim f ( x0 x) f ( x0 )
x 0
x
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（一）导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则此极限称为
x 0
x
x 0
3 2
m, n R, m 0 ，
（I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f ( x ) 的单调区间； （ III）当 x 1,1 时 ,函数 y f ( x) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
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割 线 T 切 线 x
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定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
x 0
x
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3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
导数及其应用复习小结
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本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
导数应用
曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
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一．知识串讲 曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)
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当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.
y=f Q (x)
设切线的倾斜角为α,那 P 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. f ( x0 x) f ( x0 ) y ' lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
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y=f(x)
f '(x)<0
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o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数. 返回
函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根，并且在 a 的左侧附近 f’(x)<0 ，在 a 右侧附近 f’(x)>0 ，那么是 f(a) 函数 f(x)的一个极小值. 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（小）值与导数
f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|x x ；
0
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2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导， 就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个 确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)
的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，
即v(t)=s’(t).
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基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax，则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex，则f(x)=e