《导数及其应用复习小结》课件
导数及其应用章末总结课件
例1 当x∈(0，π2)时，证明：tanx>x.
分析
构造函数f(x)＝tanx－x.利用导数判断在x∈(0，
π 2
)
上的单调性．
证明 设f(x)＝tanx－x，x∈(0，2π)， 则f′(x)＝csoinsxx′－1 ＝cos2cxo＋s2sxin2x－1 ＝csoins22xx＝tan2x>0. ∴f(x)在(0，2π)上是增函数．
Δy Δx.
(2)公式法：对于较复杂的函数，在求导前应先对解析式
进行化简或变形，再用公式求导．
(3)复合函数的求导方法：运用复合函数的求导法则y′x＝ y′u·u′x，但应注意以下几点：
①利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自 变量的函数，层层求导．
②要分清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不能 混淆，计算到最后，如(cos2x)′＝－sin2x是错的，正确的是 (cos2x)′＝－sin2x·(2x)′＝－2sin2x.
于是f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2) 由f′(x)>0，得x<0，或x>2， 故f(x)的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)； 由f′(x)<0，得0<x<2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)得f′(x)＝3x(x－2)， 令f′(x)＝0，得x＝0，或x＝2.
一、导数的应用 1．导数的概念是本章学习的关键，它不但提供了一般的 求导方法，并且常见函数的导数，函数的和、差、积、商的导 数法则都是用定义得出的． 2．函数求导的常用方法 (1)定义法：用定义求导的一般步骤：
①求函数的增量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；②求平均变化率ΔΔyx＝
fx＋ΔΔxx－fx；③取极限，得f′(x)＝Δlixm→0
导数及其应用复习小结 (2)ppt课件
2a
2a
5
练习二 4. (Ⅱ) 不妨假设 x1 ≥ x2 . 由于 a ≤2,故由 (Ⅰ) 知 f ( x) 在 (0, ) 单调递减.
所以 f (x1) f (x2) ≥4 x1 x2 等价于 f ( x2 ) f ( x1)≥ 4x1 4x2 ,
即 f ( x2 ) 4x2 ≥ f ( x1) 4x1 .
当 x (0, a 1 ))时, f (x) > 0 ; x ( a 1 , ) 时, f (x) < 0 ,
2a
2a
∴综上,当 a≥0 时, f ( x) 增区间为 (0, ) ,无减区间;
当 a ≤1时, f ( x) 减区间为(0, ) ,无增区间;
当 1< a < 0时, f ( x) 增区间为(0, a 1 ) ,减区间为 ( a 1 , ) .
\
f (x)在[-
1,1]上是减函数，且 fmax(x) =
f (-
1) =
2 3 , fmin(x) =
f (1) = -
2 3
∴在[－1，1]上， |
f
(x) |≤
2 3
,
于是x1
,
x2
?
[
1,1] 时，
| f ( x1)-
f (x2 ) |≤|
f ( x1) | +
|
f
(
x2
)
|≤
2 3
+
2= 3
∴
g( x)min
g(e2) 1
1 e2
即b≤1
1 e2
．
8
练习三.3 解: (1) ∵函数 f ( x) 图象关于原点对称，
∴对任意实数 x有f (- x) = - f (x) ， \ - ax3 - 2bx2 - cx+ 4d = - ax3 + 2bx2 - cx- 4d ，
导数及其应用复习PPT课件
所以当 x＝ 1a时，g(x)取得最大值，最大值为 g 1a＝－ a. 所以 b≥－ a.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
当 0<a≤1 时， 1a≥1，此时 g′(x)≥0 在区间(0,1]上恒成 立，所以 g(x)＝－a2x－21x在区间(0,1]上单调递增，当 x＝1 时， g(x)最大，最大值为 g(1)＝－a＋2 1，所以 b≥－a＋2 1.
＋0－0 ＋
f(x) 0 增函数 4 减函数 0 增函数 4
所以函数 f(x)＝x3－6x2＋9x 在区间[0,4]上的最大值
是 4，最小值是 0.
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第 2 讲 │ 要点热点探究
► 探究点五 函数、导数及不等式的综合 例 6 已知函数 f(x)＝13ax3＋bx2＋x＋3，其中 a≠0. (1)当 a，b 满足什么条件时，f(x)取得极值？ (2)已知 a>0，且 f(x)在区间(0,1]上单调递增，试用 a 表示
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第 2 讲 │ 要点热点探究
【点评】 不等式恒成立问题往往转化为研究函数最值问 题．但要注意满足 f′(x0)＝0 的点 x＝x0(称为驻点)只是它为极 大(小)值点的必要而不充分条件，如果一味地把驻点等同于极 值点，往往容易导致失误．
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第 2 讲 │ 要点热点探究
2x为单调递减函在区间01上恒成立所以gxax2x在区间01上单调递增当x1gx最大最大值为g1a132点评本题为三次函数利用求导的方法研究函数的极值单调性和函数的最值函数在区间上为单调函数则导函数在该区间上的符号确定从而转化为不等式恒成立问题再转化为函数研究最值
《导数及其应用》课件(复习课
存在性：在闭区间[a，b]上连续函 数f(x)在[a，b]上必有最大值与最 小值．
求最大（小）值的方法：函数f(x)在闭区间[a，b]上最值求 法：
1. 求出f(x)在(a，b)内的极值； 2. 将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中较大的一个是最大值，
较小的一个是最小值.
例 6(05 北京 15)已知函数 f x x3 3x2 9x a . （Ⅰ）求 f x 的单调递减区间； （Ⅱ）若 f x 在区间2, 2 上的最大值为 20,求它在该
（II）由（I）知，
f
(x)
3mx2
6(m
1) x
3m
6
= 3m( x
1)
x
1
2 m
当 m 0 时,有1 1 2 ,当 x 变化时, f (x) 与 f (x) 的变化如下表： m
x
,1
2 m
1 2 m
1
2 m
,1
1
1,
f (x)
0
0
f (x)
极小值
极大值
故由上表知,当
m
0 时,
f
解： f/(x)=3x2－ 1，
∴k= f/(1)=2
∴所求的切 线方程为：
y－2=2(x －1),
即 y=2x
例1．已经曲线C：y=x3x+2和点(1,2)求在点A处 的切线方程？
变式1：求过点A的切线方程？
解：变1：设切点为P（x0，x03－x0+2）， k= f/(x0)= 3 x02－1，
∴切线方程为 y－ ( x03－x0+2)=(3 x02－1)(x－x0)
又∵切线过点A(1,2) ∴2－( x03－x0+2)=( 3 x02－1)(1－x0) 化简得(x0－1)2(2 x0+1)=0，
第1章导数及其应用复习与小结课件ppt(苏教版数学选修2
例 1.求曲y线 5 x与直y线 2x4平行的切线 . 的
解：设所求切线过曲线
y5
x 上的点（
x
，
0
y
）
0
由y 5
x，得
y
x x0
2
5 x0
.
因为所求切线与直线 y 2 x 4平行，
所以
2
5 x0
2， x0
25 16
，
y
0
25 . 4
因此，所求切线方程为 即16 x 8 y 25 0.
y 25 2( x 25 )，
4
16
例 2.已知 C ： 曲 yx3线 x2和A (点 1,2)，求 A 处 在 的切.线方程
高中数学 选修2-2
第1章 复习与小结
主要题型
1．以填空、选择考查导数的 概念，求函数的导数，求函 数的极、最值． 2．与导数的几何意义相结合 的函数综合问题，利用导数 证明函数的单调性或求函数 的单调区间，多为中档题． 3．利用导数求实际问题中的 最值问题，为中档偏难题．
知 识 结 构
ห้องสมุดไป่ตู้ 数学应用
时，所求切线方程为
y 2 1 ( x 1)，即 x 4 y 9 0 . 4
点评:“过某点”与“在某点处”是不同的， 故审题应细.
1.用公式法求下列导数：
(1)y x2(3x1)2
(3)ylnx (sixn )
(2)ye2xcoxs
(4)ylo3(gx21)
解： 1） y（ 1(x2)1 2(3x1)2 x22(3x1)3
数学：《导数的复习与小结》课件
依题意应有 当
x (1,4)时, f ( x) 0,当x (6,)时, f ( x) 0.
所以 4 a 1 6. 解得 5 a 7. 故a的取值范围是[5，7].
例6 已知 f ( x) ax3 3x 2 x 1 在R上是减函数，求a的取值
B
D
C1
O
f (t ) S ABO S OBD
B
A C2 x
t
1 1 1 | BD | | 1 0 | | BD | (3t 3 3t ), 2 2 2
即 （Ⅱ）
3 f (t ) (t 3 t ). (0 t 1). 2 3 9 2 3 t . f ( t ) 0 令 解得 f (t ) t . 3 2 2
3 2 f ( x ) ax bx 3x 在 x 1 处取得极值。 例8 已知函数
(1)讨论 f (1) 和 f (1) 是函数 f ( x) 的极大值还是极小值； (2)过点 A(0, 16) 作曲线 y f ( x) 的切线，求此切线方程。 解：(1) f ( x) 3ax2 2bx 3 依题意， f (1) f (1) 0
即 g (a) g (b) 2 g ( a b ) (b a) ln 2. 2
例题讲解：
例2：用公式法求下列导数：
2 x 2 ( 3 x 1 ) （1）y=
（3）y=ln(x+sinx)
2 log ( x 1) （4）y= 3
（2）y= e cos x
1
2x
解(1)y′=
1 ( x 2) 2 (3 x 1) 2 x 2 2 (3 x 1) 3 2 (3 x 1) 2 6(3x 1) x 2 2 x2
最新人教版高中数学选修导数及其应用复习小结ppt课件
函数的单调性与导数
(1) f ( x) 0 f ( x)为单调递增函数 f ( x)为单调递增函数 f ( x) 0
(2) f ( x) 0 f ( x)为单调递减函数 f ( x)为单调递减函数 f ( x) 0
(3) x0为极值点 f ( x0 ) 0 （前提导数存在）
+ n = n(n + 1) 2
+ n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
+ n3 = 轾 犏 犏 臌n(n2+ 1) 2
定积分的概念
如果当n∞时，S 的无限接近某个常数，
这个常数为函数f(x)在区间[a, b]上的定积分，记作
b f (x)dx，即 b
a
a
n
f (x)dx lim 0 i 1
注意：导数等于零的点不一定是极值点．
极值的判断
(1) f (由x)正变负,那么 是极大x值0点;
(2) f (由x)负变正,那么 是极小x值0点; (3) f (不x)变号,那么 不是极x0值点。
y
y
o
x0
x
左正右负极大
o
x0
x
左负右正极小
y
o
x0
x
左右同号无极值
导数求极值的步骤
x x0
x0
x
我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作
f’(xo)或y’|x=x0，即
f
'( x0
)
lim
x0
y x
lim x0
f (x0
x) x
f (x0 )
导数及其应用复习课件
第四单元 ⎪⎪⎪导数及其应用教材复习课“导数”相关基础知识一课过[过双基]1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； (3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． 3．复合函数的导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．[小题速通]1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1＋1x 2 B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B. 2．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．3．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x ，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x ，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x ， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：34．函数y ＝ln (2x ＋1)x的导数为________．解析：y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln (2x ＋1)x ′＝[ln (2x ＋1)]′x －x ′ln (2x ＋1)x 2 ＝(2x ＋1)′2x ＋1·x －ln (2x ＋1)x 2＝2x2x ＋1－ln (2x ＋1)x 2＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2.答案：y ′＝2x －(2x ＋1)ln (2x ＋1)(2x ＋1)x 2[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n )′＝nx n －1中n ≠0且n ∈Q *，(cos x )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x )′＝a x ln a ，而不是(a x )′＝xa x －1. 1．已知函数f (x )＝sin x －cos x ，若f ′(x )＝12f (x )，则tan x 的值为( )A ．1B ．－3解析：选B ∵f ′(x )＝(sin x －cos x )′＝cos x ＋sin x ， 又f ′(x )＝12f (x )，∴cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，∴tan x ＝－3.2．若函数f (x )＝2x ＋ln x 且f ′(a )＝0，则2a ln 2a ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－ln 2D ．ln 2解析：选A f ′(x )＝2x ln 2＋1x ，由f ′(a )＝2a ln 2＋1a ＝0，得2a ln 2＝－1a ，则a ·2a ·ln 2＝－1，即2a ln 2a ＝－1.导数的几何意义[过双基]函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[小题速通]1．曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x ， ∴y ′＝cos x ＋e x ， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0.故选C. 2.(2017·郑州质检)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，又由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. [清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P 处的切线与过P 点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7解析：选A 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564， 当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.2.(2017·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3利用导数研究函数的单调性[过双基]1．函数f (x )在某个区间(a ，b )内的单调性与f ′(x )的关系 (1)若f ′(x )>0，则f (x )在这个区间上是增加的． (2)若f ′(x )<0，则f (x )在这个区间上是减少的． (3)若f ′(x )＝0，则f (x )在这个区间内是常数． 2．利用导数判断函数单调性的一般步骤 (1)求f ′(x )．(2)在定义域内解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0. (3)根据结果确定f (x )的单调区间． [小题速通]1．函数f (x )＝x ＋eln x 的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(－∞，0)和(0，＋∞)D ．R解析：选A 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ex >0，故单调增区间是(0，＋∞)．2.已知函数f (x )的导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则f (x )的图象可能是( )解析：选D 当x <0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c <0，知相应的函数f (x )在该区间内单调递减；当x >0时，由导函数f ′(x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可知，导函数在区间(0，x 1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f (x )单调递增．只有D 选项符合题意．3．已知f (x )＝x 2＋ax ＋3ln x 在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，－26] B.⎝⎛⎦⎤－∞，62 C ．[－26，＋∞)D ．[－5，＋∞)解析：选C 由题意得f ′(x )＝2x ＋a ＋3x ＝2x 2＋ax ＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g (x )＝2x 2＋ax ＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a 2－24≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－a 4≤1g (1)≥0⇔－26≤a ≤26或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－4a ≥－5⇔a ≥－26，故选C. [清易错]若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递增，则f ′(x )≥0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立；若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上单调递减，则f ′(x )≤0，且在(a ，b )的任意子区间，等号不恒成立．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调增函数，则m 的取值范围是________． 解析：∵f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1， ∴f ′(x )＝3x 2＋2x ＋m .又∵f (x )在R 上是单调增函数，∴f ′(x )≥0恒成立， ∴Δ＝4－12m ≤0，即m ≥13.答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞1．函数的极大值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都小于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极大值点，其函数值f (x 0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x 0的一个区间(a ，b )内，函数y ＝f (x )在任何一点的函数值都大于x 0点的函数值，称点x 0为函数y ＝f (x )的极小值点，其函数值f (x 0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值与导数(1)函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过f (x 0)．(2)函数y ＝f (x )在[a ，b ]上的最小值点x 0指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不小于f (x 0)．[小题速通]1．如图是f (x )的导函数f ′(x )的图象，则f (x )的极小值点的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选A 由图象及极值点的定义知f (x )只有一个极小值点． 2．若函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9在x ＝－3时取得极值，则a 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3，由题意知f ′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2×(－3)a ＋3＝0，解得a ＝5.3．(2017·济宁一模)函数f (x )＝12x 2－ln x 的最小值为( )A.12 B ．1 C ．0D ．不存在解析：选A f ′(x )＝x －1x ＝x 2－1x ，且x >0.令f ′(x )>0，得x >1；令f ′(x )<0，得0<x <1.∴f (x )在x ＝1处取得极小值也是最小值，且f (1)＝12－ln 1＝12.4．设x 1，x 2是函数f (x )＝x 3－2ax 2＋a 2x 的两个极值点，若x 1<2<x 2，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意，f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x ＝a3或a .又∵x 1<2<x 2，∴x 1＝a3，x 2＝a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a3<2，∴2<a <6.答案：(2,6)[清易错]1．f ′(x 0)＝0是x 0为f (x )的极值点的非充分非必要条件．例如，f (x )＝x 3，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点；又如f (x )＝|x |，x ＝0是它的极小值点，但f ′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论． 1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝ln(－x )C ．y ＝x e －xD ．y ＝x ＋2x解析：选D A 、B 为单调函数，不存在极值，C 不是奇函数，故选D. 2．函数f (x )＝13x 3＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是________．解析：f ′(x )＝x 2＋2x －3，令f ′(x )＝0得x ＝1(x ＝－3舍去)，又f (0)＝－4，f (1)＝－173，f (2)＝－103，故f (x )在[0,2]上的最小值是f (1)＝－173. 答案：－1731．定积分的概念在∫b a f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)∫b a kf (x )d x ＝k ∫b a f (x )d x (k 为常数)； (2)∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫b a f 2(x )d x ； (3)∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫b c f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫b a f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )|b a ，即∫b a f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．[小题速通]1．(2017·南昌调研)∫10e x d x 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1B.12(e －1) 解析：选C ∫10e x d x ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.2．(2017·河北省五校联盟质量监测)若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋∫a 03t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A 因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝∫a 03t 2d t ＝t 3 |a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．(2015·天津高考)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的封闭图形的面积为________． 解析：如图，阴影部分的面积即为所求．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 得A (1,1)． 故所求面积为S ＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2－13x 3⎪⎪⎪10＝16. 答案：16[清易错]定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负．(2017·洛阳调研)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x <0e x ，0≤x ≤1的图象与直线x ＝1及x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意知，所求面积为∫0－1(x ＋1)d x ＋∫10e xd x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x |0－1＋e x |10＝－⎝⎛⎭⎫12－1＋(e －1)＝e －12.答案：e －12[双基过关检测] 一、选择题1．已知函数f (x )＝sin x －12x ，则f ′(x )＝( )A ．sin x －12B ．cos x －12C ．－cos x －12D ．－sin x ＋12解析：选B f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x －12x ′＝(sin x )′－⎝⎛⎭⎫12x ′＝cos x －12. 2．已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f ′(1)＝－1，则a ＝( ) A ．eB.1eC.1e 2 B.12解析：选B 因为f ′(x )＝1x ln a ，所以f ′(1)＝1ln a ＝－1，所以ln a ＝－1，所以a ＝1e .3．曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x －1 C ．y ＝3x ＋1D ．y ＝－2x －1解析：选A 因为y ′＝e x ＋x e x ＋2，所以曲线y ＝x e x ＋2x －1在点(0，－1)处的切线的斜率k ＝y ′| x ＝0＝3，∴切线方程为y ＝3x －1.4．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1B.12解析：选A 已知曲线y ＝x 24－3ln x (x >0)的一条切线的斜率为12，由y ′＝12x －3x ＝12，得x ＝3，故选A.5．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D 依题意得f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ，令f ′(x )>0，解得x >2，∴f (x )的单调递增区间是(2，＋∞)．故选D.6．已知函数f (x )＝x (x －m )2在x ＝1处取得极小值，则实数m ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选B f (x )＝x (x 2－2mx ＋m 2)＝x 3－2mx 2＋m 2x ，所以f ′(x )＝3x 2－4mx ＋m 2＝(x －m )(3x －m )．由f ′(1)＝0可得m ＝1或m ＝3.当m ＝3时，f ′(x )＝3(x －1)(x －3)，当1<x <3时，f ′(x )<0，当x <1或x >3时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极大值，不合题意，∴m ＝1，此时f ′(x )＝(x －1)(3x －1)，当13<x <1时，f ′(x )<0，当x <13或x >1时，f ′(x )>0，此时在x ＝1处取得极小值．选B.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x ≤0，x ＋1，0<x ≤2，则⎠⎛2－2f(x)d x 的值为( )A .43B ．4C ．6B.203解析：选D ⎠⎛2－2f(x)d x＝⎠⎛0－2x 2d x ＋⎠⎛20(x ＋1)d x＝13x 3| 0－2＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋x | 20 ＝⎝⎛⎭⎫0＋83＋⎝⎛⎭⎫12×4＋2－0＝203. 8．若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2x ，x ≤0，x 3－3x ＋a ，x>0的值域为[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是( )A ．[2,3]B ．(2,3]C ．(－∞，2]D ．(－∞，2)解析：选A 当x ≤0时，1>f(x)＝1－2x ≥0； 当x>0时，f(x)＝x 3－3x ＋a ，f ′(x)＝3x 2－3， 当x ∈(0,1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，所以当x ＝1时，函数f(x)取得最小值f(1)＝1－3＋a ＝a －2.由题意得1≥a －2≥0，解得2≤a ≤3，选A .二、填空题9．若函数f(x)＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x)＝1＋ax ，要使函数f(x)＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax＝0在(0，＋∞)上有解，即x ＝－a ，∴a<0.答案：(－∞，0)10．已知函数f(x)＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x)＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：811．已知函数f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y ＝12x ＋3，则f(1)＋f ′(1)＝________.解析：由题意知f ′(1)＝12，f(1)＝12×1＋3＝72，∴f(1)＋f ′(1)＝72＋12＝4.答案：412．已知函数g(x)满足g(x)＝g ′(1)e x －1－g(0)x ＋12x 2，且存在实数x 0，使得不等式2m－1≥g(x 0)成立，则实数m 的取值范围为________．解析：g ′(x)＝g ′(1)e x －1－g(0)＋x ， 令x ＝1时，得g ′(1)＝g ′(1)－g(0)＋1， ∴g(0)＝1，g(0)＝g ′(1)e 0－1＝1， ∴g ′(1)＝e ，∴g(x)＝e x －x ＋12x 2，g ′(x)＝e x －1＋x ，当x<0时，g ′(x)<0，当x>0时，g ′(x)>0， ∴当x ＝0时，函数g(x)取得最小值g(0)＝1. 根据题意得2m －1≥g(x)min ＝1，∴m ≥1. 答案：[1，＋∞) 三、解答题13．已知函数f(x)＝x ＋ax＋b(x ≠0)，其中a ，b ∈R.(1)若曲线y ＝f (x )在点P (2，f (2))处的切线方程为y ＝3x ＋1，求函数f (x )的解析式； (2)讨论函数f (x )的单调性；(3)若对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立，求b 的取值范围． 解：(1)f ′(x )＝1－ax 2(x ≠0)，由已知及导数的几何意义得f ′(2)＝3，则a ＝－8.由切点P (2，f (2))在直线y ＝3x ＋1上可得－2＋b ＝7，解得b ＝9，所以函数f (x )的解析式为f (x )＝x －8x ＋9.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ax2(x ≠0)．当a ≤0时，显然f ′(x )>0，这时f (x )在(－∞，0)，(0，＋∞)上是增函数． 当a >0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝±a ， 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：，－a (a －a ，a 上是减函数．(3)由(2)知，对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，不等式f (x )≤10在⎣⎡⎦⎤14，1上恒成立等价于⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝⎛⎭⎫14≤10，f (1)≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧b ≤394－4a ，b ≤9－a对于任意的a ∈⎣⎡⎦⎤12，2成立，从而得b ≤74， 所以满足条件的b 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，74. 14．已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间与极值．解：(1)对f (x )求导，得f ′(x )＝14－a x 2－1x (x >0)，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x ，知f ′(1)＝－34－a ＝－2，解得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32，则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1或x ＝5.因为x ＝－1不在f (x )的定义域(0，＋∞)内，故舍去．当x ∈(0,5)时，f ′(x )<0，故f (x )在(0,5)内为减函数；当x ∈(5，＋∞)时，f ′(x )>0，故f (x )在(5，＋∞)内为增函数． 由此知函数f (x )在x ＝5时取得极小值f (5)＝－ln 5，无极大值． 高考研究课(一)————————————————————————————— 导数运算是基点、几何意义是重点、定积分应用是潜考点————————————————————————————————— [全国卷5年命题分析][典例] (1)(2017·惠州模拟)已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝( ) A ．－3π2B ．－1π2C ．－3πD ．－1π(2)已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，f n ＋1(x )是f n (x )的导函数，即f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f ′2(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N *，则f 2 017(x )等于( )A ．－sin x －cos xB ．sin x －cos xC ．－sin x ＋cos xD ．sin x ＋cos x(3)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e[解析] (1)∵f ′(x )＝－1x 2cos x ＋1x (－sin x )，∴f (π)＋f ′⎝⎛⎭⎫π2＝－1π＋2π·(－1)＝－3π. (2)∵f 1(x )＝sin x ＋cos x ，∴f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，∴f 3(x )＝f 2′(x )＝－sin x －cos x ， ∴f 4(x )＝f 3′(x )＝－cos x ＋sin x ， ∴f 5(x )＝f 4′(x )＝sin x ＋cos x ， ∴f n (x )是以4为周期的函数，∴f 2 017(x )＝f 1(x )＝sin x ＋cos x ，故选D.(3)由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1. [答案] (1)C (2)D (3)B [方法技巧]求导运算应遵循的2个原则(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错．(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等式等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．[即时演练]1．(2017·江西九校联考)已知y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)，则y ′＝( ) A ．3x 2－12x ＋6 B ．x 2＋12x －11 C ．x 2＋12x ＋6D ．3x 2＋12x ＋11解析：选D 法一：y ′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＝3x 2＋12x ＋11. 法二：∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)＝x 3＋6x 2＋11x ＋6， ∴y ′＝3x 2＋12x ＋11.2．已知函数f (x )＝x ln x ，若f ′(x 0)＝2，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝ln x ＋1，由f ′(x 0)＝2， 即ln x 0＋1＝2，解得x 0＝e. 答案：e导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题的角度一：求切线方程1．(2016·全国丙卷)已知f (x )为偶函数，当x <0时，f (x )＝ln(－x )＋3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程是________．解析：因为f (x )为偶函数，所以当x >0时，f (x )＝f (－x )＝ln x －3x ，所以当x >0时，f ′(x )＝1x －3，则f ′(1)＝－2.所以y ＝f (x )在点(1，－3)处的切线方程为y ＋3＝－2(x －1)，即y ＝－2x －1.答案：y ＝－2x －1 角度二：求切点坐标2．(2017·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，点M 在曲线C ：y ＝x 3－x －1上，且在第三象限内，已知曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，则点M 的坐标为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，曲线C 在点M 处的切线的斜率为2，∴3x 2－1＝2，x ＝±1， 又∵点M 在第三象限，∴x ＝－1，∴y ＝(－1)3－(－1)－1＝－1， ∴M 点的坐标为(－1，－1)． 答案：(－1，－1)角度三：已知切线求参数值或范围3．(2017·西安检测)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：选B 因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1或x ＝－32(舍去)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.4．(2017·武汉一模)已知a 为常数，若曲线y ＝ax 2＋3x －ln x 上存在与直线x ＋y －1＝0垂直的切线，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知曲线上存在某点的导数值为1， 所以y ′＝2ax ＋3－1x ＝1有正根， 即2ax 2＋2x －1＝0有正根．当a ≥0时，显然满足题意；当a ＜0时，需满足Δ≥0，解得－12≤a ＜0.综上，a ≥－12.答案：⎣⎡⎭⎫－12，＋∞角度四：切线的综合应用5．(2016·全国甲卷)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)． (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)， f (1)＝0，f ′(x )＝ln x ＋1x－3，f ′(1)＝－2.故曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0. (2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0等价于ln x －a (x －1)x ＋1＞0.设g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a (x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0.①当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时， x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1＞0， 故g ′(x )＞0，g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 因此g (x )＞0；②当a ＞2时，令g ′(x )＝0， 得x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2＞1和x 1x 2＝1得x 1＜1，故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )＜0，g (x )在(1，x 2)上单调递减， 因此g (x )＜0.综上，a 的取值范围是(－∞，2]． [方法技巧]利用导数解决切线问题的方法(1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0求解．定积分及应用[典例] (1)(2017·东营模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则⎠⎛02f(x)d x 等于( )A .34 B.45 C .56D ．不存在(2)定积分⎠⎛039－x 2d x 的值为________．(3)(2017·历城二中模拟)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.[解析] (1)如图，⎠⎛2f(x)d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛12(2－x)d x ＝13x 3⎪⎪⎪1＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2⎪⎪⎪21＝13＋⎝⎛⎭⎫4－2－2＋12＝56. (2)由定积分的几何意义知，⎠⎛039－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2， 直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，其为圆x 2＋y 2＝9的面积的14，故⎠⎛39－x 2d x ＝π·324＝9π4.(3)封闭图形如图所示， 则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49.[答案] (1)C (2)9π4 (3)49[方法技巧](1)运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 ①对被积函数要先化简，再求积分；②求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和；③对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分； ④注意用“F ′(x)＝f(x)”检验积分的对错． (2)根据定积分的几何意义可利用面积求定积分． [即时演练]1．(2017·西安调研)定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )⎪⎪⎪1＝1＋e 1－1＝e .故选C . 2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2D ．4解析：选D 如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点A(2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积． S 阴＝⎠⎛2(4x －x 3)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－14x 4⎪⎪⎪20＝8－14×24＝4，故选D . 3.(2017·济南模拟)如图，设抛物线y ＝－x 2＋1的顶点为A ，与x 轴正半轴的交点为B ，设抛物线与两坐标轴正半轴围成的区域为M ，随机往M 内投一点P ，则点P 落在△AOB 内的概率是( )A .56 B.45 C .34B.23解析：选C 由题意得，在第一象限内抛物线与坐标轴所围成的区域的面积为⎠⎛01(－x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x ⎪⎪⎪10＝23，△AOB 的面积为12×1×1＝12，所以点P 落在△AOB 内的概率为1223＝34.1．(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y ＝ax －ln (x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选D y ′＝a －1x ＋1，由题意得y ′| x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3.2．(2016·全国甲卷)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln (x ＋1)的切线，则b ＝________.解析：y ＝ln x ＋2的切线方程为： y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)， y ＝ln (x ＋1)的切线方程为：y ＝1x 2＋1x ＋ln (x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点的横坐标为x 2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1x 1＝1x 2＋1，ln x 1＋1＝ln (x 2＋1)－x2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln 2. 答案：1－ln23．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x)＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1.又f(1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：14．(2015·全国卷Ⅱ)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.解析：∵y ＝x ＋ln x ， ∴y ′＝1＋1x，y ′| x ＝1＝2.∴曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线方程为 y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1.∵y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，∴a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0.由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8. 答案：8[高考达标检测] 一、选择题1．若∫π20(sin x －a cos x)d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2解析：选A 由题意知(－cos x －a sin x)⎪⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1.2．(2017·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝xx ＋2，∴y ′＝x ＋2－x (x ＋2)2＝2(x ＋2)2，y ′|x ＝－1＝2， ∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)， 即y ＝2x ＋1.3．(2017·济南一模)已知曲线f(x)＝ln x 的切线经过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C .1eD ．－1e解析：选C 法一：∵f(x)＝ln x ， ∴x ∈(0，＋∞)，f ′(x)＝1x .设切点P(x 0，ln x 0)，则切线的斜率为k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝k OP ＝ln x 0x 0.∴ln x 0＝1，∴x 0＝e ，∴k ＝1x 0＝1e.法二：(数形结合法)：在同一坐标系下作出y ＝ln x 及曲线y ＝ln x 经过原点的切线，由图可知，切线的斜率为正，且小于1，故选C .4．已知f(x)＝ln x ，g(x)＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x)＝1x ，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1. 又f(1)＝0，∴直线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x)＝x ＋m ，设直线l 与g(x)的图象的切点为(x 0，y 0)， 则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1， 又因为y 0＝12x 20＋mx 0＋72(m ＜0)， 解得m ＝－2，故选D .5．(2017·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫5π6，π B.⎣⎡⎭⎫2π3，π C .⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π B.⎝⎛⎦⎤π2，5π6 解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫2π3，π. 6．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线斜率取得最大值时的直线方程为( ) A ．x ＋4y －2＝0 B ．x －4y ＋2＝0 C ．4x ＋2y －1＝0D ．4x －2y －1＝0解析：选A y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x＋2，因为ex ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ×1ex ＝2(当且仅当e x＝1e x ，即x ＝0时取等号)，则e x＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≤－14当(x ＝0时取等号)．当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最大值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.故选A . 二、填空题7．(2017·山西模拟)已知函数f(x)＝⎩⎨⎧4－x 2，－2≤x ≤0，x ＋2，0＜x ≤2，则⎠⎛2－2f(x)d x ＝________.解析：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2，－2≤x ≤0，x ＋2，0＜x ≤2，则⎠⎛2－2f(x)d x ＝⎠⎛0－24－x 2d x ＋⎠⎛20(x ＋2)d x＝14π×22＋⎝⎛⎭⎫12x 2＋2x ⎪⎪⎪20＝π＋6.答案：π＋68．曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________． 解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2，∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴三角形面积为S ＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e .答案：12log 2e9．(2016·东营一模)函数f(x)＝x ln x 在点P(x 0，f(x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P(x 0，f(x 0))的坐标为________．解析：∵f(x)＝x ln x ， ∴f ′(x)＝ln x ＋1，由题意得f ′(x 0)·(－1)＝－1，即f ′(x 0)＝1⇔ln x 0＋1＝1⇔ln x 0＝0⇔x 0＝1， ∴f(x 0)＝1·ln 1＝0， ∴P(1,0)．答案：(1,0) 三、解答题10．已知函数f(x)＝13x 3－2x 2＋3x(x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由题意，及(1)可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)． 11．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5， ∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)，又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)，整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0， 解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0.12．(2017·洛阳模拟)已知函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1.(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设直线l 为函数g (x )＝ln x 的图象上任意一点A (x 0，y 0)处的切线，在区间(1，＋∞)上是否存在x 0，使得直线l 与曲线h (x )＝e x 也相切？若存在，满足条件的x 0有几个？解：(1)∵函数f (x )＝ln x －a (x ＋1)x －1，∴f ′(x )＝1x ＋2a (x －1)2，∵曲线y ＝f (x )在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线平行于直线y ＝10x ＋1， ∴f ′⎝⎛⎭⎫12＝2＋8a ＝10， ∴a ＝1，∴f ′(x )＝x 2＋1x (x －1)2. ∵x ＞0且x ≠1， ∴f ′(x )＞0，∴函数f (x )的单调递增区间为(0,1)和(1，＋∞)． (2)存在且唯一，证明如下： ∵g (x )＝ln x ，∴切线l 的方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0－1， ①设直线l 与曲线h (x )＝e x 相切于点(x 1，e x 1)， ∵h ′(x )＝e x ，∴e x 1＝1x 0，∴x 1＝－ln x 0，∴直线l 的方程也可以写成y －1x 0＝1x 0(x ＋ln x 0)，即y ＝1x 0x ＋ln x 0x 0＋1x 0， ②由①②得ln x 0－1＝ln x 0x 0＋1x 0，∴ln x 0＝x 0＋1x 0－1.下证：在区间(1，＋∞)上x 0存在且唯一． 由(1)可知，f (x )＝ln x －x ＋1x －1在区间(1，＋∞)上单调递增，又f (e)＝－2e －1＜0， f (e 2)＝e 2－3e 2－1＞0，结合零点存在性定理，说明方程f (x )＝0必在区间(e ，e 2)上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x 0.高考研究课(二)————————————————————————————函数单调性必考，导数工具离不了————————————————————————————[全国卷5年命题分析][典例] (2016·山东高考节选)已知f (x )＝a (x －ln x )＋2x －1x 2，a ∈R.讨论f (x )的单调性． [解] f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a －a x －2x 2＋2x 3＝(ax 2－2)(x －1)x 3.当a ≤0，x ∈(0,1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 当a ＞0时，f ′(x )＝a (x －1)x 3⎝⎛⎭⎫x － 2a ⎝⎛⎭⎫x ＋ 2a . ①若0＜a ＜2，则 2a＞1， 当x ∈(0,1)或x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞时， f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ②若a ＝2，则2a＝1，在x ∈(0，＋∞)内，f ′(x )≥0，f (x )单调递增． ③若a ＞2，则0＜ 2a ＜1，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，2a 或x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增； 当x ∈⎝⎛⎭⎫2a ，1时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． 综上所述，当a ≤0时，f (x )在(0,1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减；当0＜a ＜2时，f (x )在(0,1)内单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，2a 内单调递减，在⎝⎛⎭⎫ 2a ，＋∞内单调递增；当a ＝2时，f (x )在(0，＋∞)内单调递增； 当a ＞2时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，2a 内单调递增，在⎝⎛⎭⎫2a ，1内单调递减，在(1，＋∞)内单调递增．[方法技巧]导数法判断或证明函数f (x )在(a ，b )内的单调性的3步骤(1)求f ′(x )；(2)确定f ′(x )在(a ，b )内的符号；(3)作出结论：f ′(x )＞0时为增函数；f ′(x )＜0时为减函数．[提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．[即时演练]1．(2017·芜湖一模)函数f (x )＝e x －e x ，x ∈R 的单调递增区间是( ) A.()0，＋∞ B.()－∞，0 C.()－∞，1D.()1，＋∞解析：选D 由题意知，f ′(x )＝e x －e ，令f ′(x )＞0，解得x ＞1，故选D.2．(2016·全国甲卷节选)讨论函数f (x )＝x －2x ＋2e x 的单调性，并证明当x >0时，(x －2)e x ＋x ＋2>0.解：f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(－2，＋∞)． f ′(x )＝(x －1)(x ＋2)e x －(x －2)e x (x ＋2)2＝x 2e x(x ＋2)2≥0，当且仅当x ＝0时，f ′(x )＝0，所以f (x )在(－∞，－2)，(－2，＋∞)上单调递增． 因此当x ∈(0，＋∞)时，f (x )>f (0)＝－1. 所以(x －2)e x >－(x ＋2)，即(x －2)e x ＋x ＋2>0.利用导数研究函数单调性的应用函数的单调性是高考命题的重点，其应用是考查热点.,常见的命题角度有： (1)y ＝f (x )与y ＝f ′(x )的图象辨识； (2)比较大小；(3)已知函数单调性求参数的取值范围.角度一：y ＝f (x )与y ＝f ′(x )图象辨识1.已知函数y ＝f (x )的图象是下列四个图象之一，且其导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则该函数的图象是( )解析：选B 由函数f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象自左至右是先增后减，可知函数y ＝f (x )图象的切线的斜率自左至右先增大后减小．角度二：比较大小2．(2017·甘肃诊断考试)函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )，且当x ∈()－∞，1时，(x －1)f ′(x )＜0，设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜a解析：选C 因为当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0，所以f ′(x )＞0，所以函数f (x )在(－∞，1)上是单调递增函数，所以a ＝f (0)＜f ⎝⎛⎭⎫12＝b ，又f (x )＝f (2－x )， 所以c ＝f (3)＝f (－1)，所以c ＝f (－1)＜f (0)＝a ，所以c ＜a ＜b ，故选C. 角度三：已知函数单调性求参数的取值范围3．(2017·宝鸡一检)已知函数f (x )＝x 2＋4x ＋a ln x ，若函数f (x )在(1,2)上是单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－6，＋∞)B ．(－∞，－16)C ．(－∞，－16]∪[－6，＋∞)D ．(－∞，－16)∪(－6，＋∞)解析：选C ∵f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋4＋a x ＝2x 2＋4x ＋ax， f (x )在(1,2)上是单调函数，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(1,2)上恒成立，即2x 2＋4x ＋a ≥0或2x 2＋4x ＋a ≤0在(1,2)上恒成立， 即a ≥－()2x 2＋4x 或a ≤－(2x 2＋4x )在(1,2)上恒成立． 记g (x )＝－(2x 2＋4x )，1＜x ＜2， 则－16＜g (x )＜－6， ∴a ≥－6或a ≤－16，故选C.4．(2017·四川成都模拟)已知函数f (x )＝－12x 2＋4x －3ln x 在区间[t ，t ＋1]上不单调，则t 的取值范围是________．解析：由题意知f ′(x )＝－x ＋4－3x ＝－(x －1)(x －3)x ，由f ′(x )＝0得函数f (x )的两个极值点为1和3，则只要这两个极值点有一个在区间(t ，t ＋1)内，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上就不单调，∴1∈(t ，t ＋1)或3∈(t ，t ＋1)⇔⎩⎪⎨⎪⎧ t ＜1，t ＋1＞1或⎩⎪⎨⎪⎧t ＜3，t ＋1＞3⇔0＜t ＜1或2＜t ＜3.答案：(0,1)∪(2,3) [方法技巧]由函数的单调性求参数的取值范围的4种方法(1)可导函数f (x )在D 上单调递增(或递减)求参数范围问题，可转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)对x ∈D 恒成立问题，再参变分离，转化为求最值问题，要注意“＝”是否取到．(2)可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是f ′(x )＞0(或f ′(x )＜0)在该区间上存在解集，这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题．(3)若已知f (x )在区间I 上的单调性，区间I 中含有参数时，可先求出f (x )的单调区间，令I 是其单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围．(4)若已知f (x )在D 上不单调，则f (x )在D 上有极值点，且极值点不是D 的端点．1．(2016·全国乙卷)若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是( )A ．[－1,1] B.⎣⎡⎦⎤－1，13 C.⎣⎡⎦⎤－13，13 B.⎣⎡⎦⎤－1，－13 解析：选C 法一：取a ＝－1，则f (x )＝x －13sin 2x －sin x ，f ′(x )＝1－23cos 2x －cos x ，但f ′(0)＝1－23－1＝－23＜0，不具备在(－∞，＋∞)单调递增的条件，故排除A 、B 、D.故选C.法二：函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，等价于f ′(x )＝1－23cos2x ＋a cos x ＝－43cos 2x ＋a cos x ＋53≥0在(－∞，＋∞)恒成立．设cos x ＝t ，则g (t )＝－43t 2＋at＋53≥0在[－1,1]恒成立，所以⎩⎨⎧g (1)＝－43＋a ＋53≥0，g (－1)＝－43－a ＋53≥0，解得－13≤a ≤13.故选C.2．(2014·全国卷Ⅱ)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：选D 因为f (x )＝kx －ln x ，所以f ′(x )＝k －1x .因为f (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，所以当x >1时，f ′(x )＝k －1x ≥0恒成立，即k ≥1x 在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x >1，所以0<1x <1，所以k ≥1.故选D.3．(2016·全国乙卷节选)已知函数f (x )＝(x －2)e x ＋a (x －1)2.讨论f (x )的单调性．解：f′(x)＝(x－1)e x＋2a(x－1)＝(x－1)(e x＋2a)．①设a≥0，则当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②设a＜0，由f′(x)＝0得x＝1或x＝ln(－2a)．，则f′(x)＝(x－1)(e x－e)，若a＝－e2所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．，则ln(－2a)＜1，若a＞－e2故当x∈(－∞，ln(－2a))∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(ln(－2a)，1)时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，ln(－2a))，(1，＋∞)上单调递增，在(ln(－2a)，1)上单调递减．，则ln(－2a)＞1，若a＜－e2故当x∈(－∞，1)∪(ln(－2a)，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(1，ln(－2a))时，f′(x)＜0.所以f(x)在(－∞，1)，(ln(－2a)，＋∞)上单调递增，在(1，ln(－2a))上单调递减．[高考达标检测] 一、选择题1．(2017·厦门质检)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(-1,1)B ．(0,1]C ．(1，＋∞)D ．(0,2)解析：选B 由题意知，函数的定义域为(0，＋∞)，又由y ′＝x －1x ≤0，解得0＜x ≤1，所以函数的单调递减区间为(0,1]．2．(2017·成都外国语学校月考)已知函数f (x )＝x 2＋2cos x ，若f ′(x )是f (x )的导函数，则函数f ′(x )的图象大致是( )解析：选A 设g (x )＝f ′(x )＝2x －2sin x ，g ′(x )＝2－2cos x ≥0，所以函数f ′(x )在R 上单调递增．3．对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足1－x f ′(x )≤0，则必有( )A ．f (0)＋f (2)＞2f (1)B ．f (0)＋f (2)≤2f (1)C ．f (0)＋f (2)＜2f (1)D ．f (0)＋f (2)≥2f (1)解析：选A 当x ＜1时，f ′(x )＜0，此时函数f (x )单调递减，当x ＞1时，f ′(x )＞0，此时函数f (x )单调递增，∴当x ＝1时，函数f (x )取得极小值同时也取得最小值， 所以f (0)＞f (1)，f (2)＞f (1)，则f (0)＋f (2)＞2f (1)．4．已知函数f (x )＝x sin x ，x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且f (x 1)＜f (x 2)，那么( ) A ．x 1－x 2＞0B ．x 1＋x 2＞0C ．x 21－x 22＞0D ．x 21－x 22＜0解析：选D 由f (x )＝x sin x 得f ′(x )＝sin x ＋x cos x ＝cos x (tan x ＋x )，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＞0，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数，又f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ，因而f (x )为偶函数，∴当f (x 1)＜f (x 2)时有f (|x 1|)＜f (|x 2|)，∴|x 1|＜|x 2|，x 21－x 22＜0，故选D.。
导数及其应用 阶段复习课 课件
【拓展延伸】确定导函数符号的方法 确定函数单调性的关键是确定导函数的符号，导函数的符号确 定可以借助以下方法完成： (1)解关于导函数的不等式. (2)利用导函数的单调性，如果导函数较复杂，还可以利用导 数判定导函数的单调性. (3)数形结合，利用导函数图象找出其大于零和小于零的区间. (4)含有参数时，经常利用分类讨论思想，将参数取值分类后， 确定导函数值的符号.
(iii)当0＜a＜1时，由g′(x)=0得 x 1 a＞0.
2a
①若 1≥a 1，即0＜a≤ 时1，g(x)在［0，1］上单调递增，
2a
3
g(x)在x=0处取得最小值g(0)=1+a，在x=1处取得最大值
g(1)=(1-a)e.
②若 1＜a 1，即 ＜1a＜1时，g(x)在x= 1处 a取得最大值
②设函数y=x3-x图象上切点的坐标为P(x0，x03-x0)，
则切线斜率为
k
y
|xx0
3x
2 0
1，
切线方程为y-(x03-x0)=(3x02-1)(x-x0)，
由于切线经过点(1，0)，
所以0-(x03-x0)=(3x02-1)(1-x0)， 整理，得2x03-3x02+1=0，即2(x03-1)-3(x02-1)=0， 所以2(x0-1)(x02+x0+1)-3(x0+1)(x0-1)=0， 所以(x0-1)2(2x0+1)=0，
由Δ=b2+8a>0，
得
x1
b
b2 4a
8a
，x 2
b
b2 8a ， 4a
显然，x1<0，x2>0.
当0<x<x2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，
北师大版高中数学选修22第三章导数应用导数应用小结与复习课件
2.与数学中其它分支的结合与应用. 22.01.2021
例3:在边长为60cm的正 方形铁皮的四角切去相等
的正方形,再把它的边沿虚 线折起(如图),做成一个无 盖的方底箱子,箱底边长为 多少时,箱子的容积最大?最大容积是多少?
令 S(r,)即h=2r,.解2r得V2 4,从r而 0
V r3
2
3 4V 23 V
2
V
V
h r2
(3
V
)2
2
由于S(r)只有一个极值,所以它是最小值.
答:当罐的高与底半径相等时,所用的材料最省.
22.01.2021
例4: 如图,在二次函数f(x)=
4x-x2的图象与x轴所 围成的图形中有一个
23
23
x123,x223.
因此x当1点 B为(0,2),时,所矩以形(当的2最大面2积是时x 3, ,02 ) 233
22.01.2021
2
323
S(x)max 9 . 32 3 .
9
例5:证明不等式:
ln x11(x 1 )2 1 2(1 x )3(x 0 ).
x2
3
证:设 f(x ) ln x 1 1 (x 1 )2 2 (x 1 )3 (x 0 ).
二、重点导析： （一）、曲线的切线及函数的单调性
1.设函数
y f x 在某个区间内可导，若
y f x 则
在该区间上是增函数；若
为减函数。
y f x
f x 0 ，
f x 0 ，则
22.01.2021
2. 求可导函数单调区间的一般步骤和方法：
导数及其应用知识归纳16页PPT
71、既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。——康德 72、家庭成为快乐的种子在外也不致成为障碍物但在旅行之际却是夜间的伴侣。——西塞罗 73、坚持意志伟大的事业需要始终不渝的精神。——伏尔泰 74、路漫漫其修道远，吾将上下而求索。——屈原 75、内外相应，言行相称。——韩非
（1）在闭区间［a ，ｂ］上连续的函数 f ( x ) ，在 ［ a ，ｂ］上必有最大值和最 小值． （2 ）利用导数求最值的步骤：
① 求 f （x ）在（ a , b ）内的极值；
② 将 f ( x ）的各极值与 f ( a ) , f （b ）比较， 确定 f （x ）的最大值和最小值．
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导数及其应用知识归纳
Байду номын сангаас
《导数及其应用》 知识归纳
二、本章内容总结
本章介绍导数和定积分的概念、求法以及应用．
（一）导数的概念
可过分地记为 ‘’导数值’’与’’导函数’’ 以示区别!
导数来源于各种实际问题，它描述了非均匀变化 过程的变化率．例如变速直线运动的瞬时速度、质 量分布不均匀的细直杆的线密度、曲线切线的斜率 等等 ·
（3 ）利用导数求函数极值的步骤： ①求f‘(x)； ② 求 f ‘ （x ）＝０的根；
③ 检查 f ‘ ( x ）在方程根左、右值的符号 若左正右负，则 f ( x ）在这个根处取得极大
值； 若左负右正，则 f ( x ）在这个根处取得极小
值； 若同正同负，则 f ( x ）在这个根处无极值．
3 ．函数的最值
（五）求函数 y = f ( x ）在点x 。处的导数有两 种方法，即导数定义法和导函数的函数值法．
高三数学章节总复习课件——导数及其应用PPT优秀课件
y f(x)
a
bx
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
积分上限
x a bf(x )d x I l i0i n m 1f(i) x i
被
被
积
积分下限
积
积
分
函
表
变
数
达
量
式
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
数的平方.即:g f((xx))f(x)g(xg)( x)f2(x)g(x)(g(x)0)
22.05.2019
江西省赣州一中刘利剑 整理 heishu800101@
复合函数的导数:
复合函数y=f(g(x))的导数和函数
y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
步骤: 1,求导函数 y f '(x)
2,求分界点 f'(x ) o 求 出 其 解 x 1 ， x 2 ， x 3注意不一定有解
3,列表分析
x
a
（
a，
x
）
1
x1
（
x
1，
x
）
2
x
2
（
x
2，
x
）
3
x
3
（ x 3， b ）
b
f '( x )
f (x ) f (a)
f (x1)
f (x2)
f
(
x
）
3
(x)dx．，
a
Oa
bx
bc b
a f ( x ) d x a S f ( x ) d x c f ( x
第三章 导数应用 小结与复习(精品公开课课件)
0 ,得
x1
2
2
3 3
,
.
x1 (0,2),
所以当
x 2 2 3时,
3
32 3 S( x)max 9 .
因此当点B为 (2 2 3 ,0)时,矩形的最大面积是
32 3 .
2
9
2019/4/28
名师伴你行
2019/4/28
题型三 ：求函数的极值与最值
名师伴你行
例3 .［2010年高考安徽卷］ 设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值；
【分析】求出f′(x),利用f′(x)>0,f′(x)<0,求出单调区间,再 求极值.
【解析】 (1)由f(x)=ex-2x+2a,x∈R知f′(x)=ex-2,x∈R. 令f′(x)=0，得x=ln2. 于是当x变化时，f′(x),f(x)的变化情况如下表：
只需讨论x2 x 1 0或x2 x 1 0，
而x2 x 1 0无解，则x2 x 1 0恒成立，即y<0恒成立
当x>-1且x 0时即函数在区间 （-1,0）和（0，+ ）单调递减
2019/4/28
这里一般写“和” 而不写并集“U”
（二）、可导函数的极值
x
2019/4/28
解:设B(x,0)(0<x<2), 则 A(x, 4x-x2).
从而|AB|= 4x-x2, |BC|=2(2-x). 故矩形ABCD的面积为: S(x)=|AB||BC|=2x3-12x2+16x (0<x<2).
S( x) 6x2 24x 16.
导数及其应用章末总结课件
－ 1
ln(2n＋
1)<2，
n∈
N*
.
专题四 定积分的计算与应用 定积分的计算一般考虑用微积分基本定理求解，当被积函 数有明显的几何意义但其原函数不易找到时，应考虑利用 定积分的几何意义来计算．对于定积分的应用，主要考查 求面积问题．
例5 (1)已知函数 y＝f(x)的图象是折线段 ABC，其中
A(0,0)、B
2x2，0≤x＜1， 2
∴y＝xf(x)＝ －2x2＋2x，1≤x≤1，
2 xf(x)(0≤x≤1)的图象如图(2)所示．
作出函数 y＝
(1)
(2)
函数 y＝xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴围成的图形如图(2)阴 影部分，
(2)①∵f(x)＝sin(ωx＋φ)，∴f′(x)＝ωcos(ωx＋φ).
章末专题整合
专题一 导数的几何意义 导数几何意义的应用主要在研究曲线的切线问题上，关 键在于应用切点的三条性质来解决．有三个常见类型: (1)在某点处的切线；(2)过某点的切线(此点不一定是切 点，需设切点求解)；(3)两曲线的公切线(常通过写出两 条切线，使其重合求解)．
例1 设点 P 在曲线 y＝1ex 上，点 Q 在曲线 y＝ln(2x) 2
当 φ＝π6时，f′(x)＝ωcosωx＋π6.
又该函数过点
P0，32
3
，
故3 2
3＝ωcosπ6.
∴ω＝3.
②设 A(x0,0)，则 ωx0＋φ＝π2，∴x0＝2πω－ωφ.
又 y＝ωcos(ωx＋φ)的周期为2ωπ，
∴ |AC|＝ωπ ， C2πω－ωφ ＋ ωπ ， 0.
依题意曲线段 与 x 轴围成的面积为
上点
(x0，
导数及其应用 章末归纳总结 课件
利用导数研究函数的极值和最值
1.应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f ′(x)＝0的根； (3)检验f ′(x)＝0的根的两侧f ′(x)的符号． 若左正、右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负、右正，则f(x)在此根处取得极小值． 否则，此根不是f(x)的极值点．
已知函数 f(x)＝ln(x＋1)＋x＋ax1 (a∈R)． (1)当 a＝2 时，求函数 y＝f(x)的图象在 x＝0 处的切线方程； (2)判断函数 f(x)的单调性； (3)若函数 f(x)在(a，a＋1)上为增函数，求 a 的取值范围．
[解析] (1)当a＝2时，f(x)＝ln(x＋1)＋x＋2x1(x>－1)， ∴f ′(x)＝x＋1 1＋x＋212＝xx＋＋132， ∴f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3. 又∵f(0)＝0，所以切点为(0,0)． 故所求的切线方程为y＝3x.
(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点A(x0，13x30 ＋43)，
则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20， ∴切线方程为y－(13x30＋43)＝x20(x－x0)， 即y＝x20·x－23x30＋43.
∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43， 即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0， ∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0， ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2， 故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
y0－y1＝f ′(x1)(x0－x1)
①
又y1＝f(x1)
②
由①②求出x1，y1的值．
即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
第3章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教A版选修1-1课件
(2)由题意知 x＝1 是方程 3x2－x＋b＝0 的一个根．
设另一个根为 x0，则xx00×＋11＝＝b313
，解得x0＝－23 . b＝－2
∴f(x)＝x3－12x2－2x＋c. f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．
当 x∈(－23，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(－1，－23)和(1,2]时，f′(x)>0. ∴当 x＝－23时，f(x)有极大值2227＋c. 当 x＝1 时，f(x)有极小值－32＋c.
1.注意区分“曲线在点 P 处的切线”与“过点 P 的曲线的 切线”．
2．导数公式与导数的四则运算法则． (1)要注意公式的适用范围．如(xn)′＝nxn－1 中，n∈N＋，若 n∈Q 且 n≠0，则应有 x>0. (2)注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax －1.还要特别注意(uv)′≠u′v′，uv′≠uv′ ′.
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论． 6．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数 值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导．数．为．零．的．点．不．一．定． 是．极．值．点．．． (4)极值是一个局．部．概念，极大值不．一．定．比极小值大．
x
(－∞，3)
3
(3，＋∞)
g′(x)
－
0
＋
g(x)
减
极小值－e13
增
故函数 g(x)在 x＝3 处取得极小值，亦即最小值，
导数及其应用复习小结【可直接使用】.ppt
P o
y=f 割 (xQ) 线
切T 线
x
即:
k切线
f
'(x0 )
lim
x0
y x
lim
x0
f
(x0
x) x
f
( x0 )
精选
函数的单调性
一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 （1)如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
（2)如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
f '(x)>0
oa
bx
oa
bx
如果在某个区间内恒有
精选
f
(x)
0
,则
f
(
x)为常数.
函数的极值
（1)如果b是f'(x)=0的一个根，并且在b左侧附近 f'(x)>0，在b右侧附近f'(x)<0，那么f(b)是函数f(x) 的一个极大值
（2)如果a是f'(x)=0的一个根，并且在a 的左侧附近 f'(x)<0，在a 右侧附近f'(x)>0，那么是f(a)函数 f(x)的一个极小值.
b a xdx
a
1 ln a
ax
|ba
(6)(ex )' ex
b a
e x dx
ex
|ba
(7)(loga
x)'
1 x ln a
b a
1 x ln
a
dx
log a
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x
2017/9/27
（一）导数的概念：
1．导数的定义：对函数y=f(x)，在点x=x0处给自变量
x以增量△x，函数y相应有增量△y=f(x0+△ x)－f(x0)， 若极限 lim y lim f ( x0 x) f ( x0 ) 存在，则此极限称为
x 0
x
x 0
3 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
m, n R, m 0 ，
（I）求 m 与 n 的关系表达式； （II）求 f ( x ) 的单调区间； （ III）当 x 1,1 时 ,函数 y f ( x) 的图象上任意一 点的切线斜率恒大于 3 m ,求 m 的取值范围.
2)在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲 线,则它必有最大值和最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
2017/9/27
x2
0
x4 x3 b x 返回
g
f(a)
f(x2)
函数导数方程不等式中等问题复习选讲
例 5(05 山东 19)已知 x 1 是函数
f ( x) mx 3(m 1) x nx 1的一个极值点，其中
x
f(x)在点x=x0处的导数，记为f ’(x0)，或y|x x ；
0
2017/9/27
2．导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都可导， 就说y=f(x)在区间(a，b)内可导．即对于开区间(a，b)内每一个 确定的x0值，都相对应着一个确定的导数f ’(x0)，这样在开区 间(a，b)内构成一个新函数，把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内 的导函数．简称导数．记作f ’(x)或y’. 即f ’(x)=y’= lim f ( x x) f ( x)
y
y=f(x)
f '(x)<0
2017/9/27
o a o a b x b x 如果在某个区间内恒有 f ( x) 0 ,则 f ( x)为常数. 返回
函数的极值 1)如果b是f’(x)=0的一个根，并且在b左侧附近f’(x)>0， 在b右侧附近f’(x)<0，那么f(b)是函数f(x)的一个极大值 2) 如果 a 是 f’(x)=0 的一个根，并且在 a 的左侧附近 f’(x)<0 ，在 a 右侧附近 f’(x)>0 ，那么是 f(a) 函数 f(x)的一个极小值. 注：导数等于零的点不一定是极值点． 函数的最大（小）值与导数
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割 线 T 切 线 x
返回
定理 一般地，函数y＝f（x）在某个区间(a,b)内 1) 如果恒有 f′(x)>0，那么 y=f（x) 在这个区间（a,b)内单调递增；
2) 如果恒有 f′(x)<0，那么 y=f（x） 在这个区间(a,b)内单调递减。
y
y=f(x) f '(x)>0
的函数为：s=s(t)，那么瞬时速度 v 就是路程 s 对于时间t的导数，
即v(t)=s’(t).
2017/9/27
基本初等函数的导数公式
' 1.若f(x)=c，则f(x)=0 ' n-1 2.若f(x)=x n，则f(x)=nx (n R) ' 3.若f(x)=sinx，则f(x)=cosx ' 4.若f(x)=cosx，则f(x)=-sinx ' x 5.若f(x)=ax，则f(x)=a ln a ' x 6.若f(x)=ex，则f(x)=e
f ( x)g ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函 数的平方.即:
f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) ( g ( x) 0) g ( x) 2 g ( x)
x 0
x
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3．导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意 义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线 y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为k＝f ’(x0)．所以曲线 y＝ f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 yy0=f ’(x0)· (x－x0)． 4．导数的物理意义：物体作直线运动时，路程s关于时间t
2017/9/27
1 7.若f(x)=logax，则f(x)= xlna 1 ' 8.若f(x)=lnx，则f(x)= x
'
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导数的运算法则:
法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的导数的 和(差),即:
f ( x) g ( x) f ( x) g ( x)
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
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2017/9/27
当点Q沿着曲线无限接近点 P即Δx→0时,割线PQ如果有一 y 个极限位置PT.则我们把直线 PT称为曲线在点P处的切线.
y=f Q (x)
设切线的倾斜角为α,那 P 么当Δx→0时,割线PQ的 斜率,称为曲线在点P处的 o 切线的斜率. f ( x0 x) f ( x0 ) y ' lim 即: k切线 f ( x0 ) lim x 0 x x 0 x
导数及其应用复习小结
2017/9/27
本章知识结构
函数的瞬时变化率
导数概念
运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导
导数
导数运算
导数的四则运算法则 简单复合函数的导数 函数单调性研究 函数的极值、最值
导数应用
曲线的切线 变速运动的速度 最优化问题
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一．知识串讲 曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)
上取一点P(x0，y0)，点Q(x0+△x，y0+△y)
是曲线C上与点P临近的一点，做割线PQ， 当点Q沿曲线C无限地趋近点P时，割线PQ 便无限地趋近于某一极限位置PT，我们就 把直线PT叫做曲线C的在点P处的切线。
2017/9/27
此时割线PT斜率的极限就是曲线C在点P处的切线的斜率， 用极限运算的表达式来写出，即 k=tanα= lim f ( x0 x) f ( x0 )