高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1.1综合法课件新人教A选修22 (1)

如同向不等式相加,同向不等式相乘等,但在运用这些
性质时,一定要注意这些性质成立的前提条件.
【巩固训练】已知x>0,y>0,x+y=1,求证 【证明】方法一:因为1=x+y,
1 1 (1 )(1 ) 9. x y
所以
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1 1 xy xy (1 )(1 ) (1 )(1 ) x y x y y x x y (2 x>0,y>0, )(2 ) 5所以 2( ). 又因为 x y y x x× y 所以 ≥5+2 2=9. 2, y x 1 1 (1 )(1 ) x y
方法二:因为x>0,y>0,x+y=1, 所以令x=cos2α,y=sin2α,则
此结论是一个很重要的不等式,许多不等式的证明都可
以用该结论.
(5)a+b+c,a2+b2+c2,ab+bc+ca这三个式子之间的关系由 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)给出,三个式子中知道
两个式子,第三个式子可以由该等式用另外两个式子表
示出来.
【拓展延伸】证明不等式的注意点 在用综合法证明不等式时,常利用不等式的基本性质,
结论: 1.综合法的定义 一般地,利用_________和某些数学定义、公理、定理等, 已知条件 经过一系列的_________,最后推导出所要证明的_____成 推理论证 立,这种证明方法叫做综合法. 结论
2.综合法的流程
其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表
示所要证明的_____,Q1,Q2,…,Qn表示中间结论.
结论
【微思考】 1.综合法又叫由因导果法,其推理过程是合情推理还是
演绎推理?
提示:因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,
因此所得到的每一个结论都是正确的,不同于合情推理
中的“猜想”,所以综合法是演绎推理.
2.综合法逻辑推理的依据是什么? 提示:综合法逻辑推理的依据是演绎推理中的三段论.
【预习自测】 1.设a>0,b>0,A= ,B=
答案:>
5.设x>0,y>0, A x y ;B x y ， 则A与B的大小 1 x y 1 x 1 y 关系为A________B(填“>”“=”或“<”).
【解析】B=
所以B>A.
x y x y xy , 1 x 1 y 1 x y 1 x y 1 x y
D.[2lg3,+∞)
【解析】选B.因为x>0,y>0,x+y=6,所以2
≤6,即
0<xy≤9,所以lg(xy)≤lg9,即lgx+lgy≤2lg3. xy
3.若实数a,b满足0<a<b,且a+b=1,则下列四个数中最大 的是 ( )
A.
1 2
B.2ab
C.a2+b2
D.a
【解析】选C.因为a+b=1,a+b> 所以2ab< 1 . . 2 ab， 2 2 2 2 因为a +b > a b 1 ， 2 a+b=1, 2 所以a< ,所以a2+b2最大. 又因为0<a<b,且 1 2
2.2 直接证明与间接证明
2.2.1 综合法和分析法 第1课时 综 合 法
主题
综合法
1.观察下面不等式的证明过程,思考此证明过程是从什
么方面入手证明结论成立的? 在锐角三角形ABC中,求证: sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
【证明】因为△ABC为锐角三角形, 所以A+B> ， 所以A> 2 -B. 因为y=sinx 2 在
【方法总结】综合法证明不等式的主要依据 (1)a2≥0(a∈R).
(2)(a-b)2≥0(a,b∈R),其变形有a2+b2≥2ab,
a b (3)若a,b∈(0,+∞),则 .
2
≥ab,a2+b2≥
ab 2 ( ) 2
2
特别地,
ab ab， 2
b a 2. a b
(4)a2+b2+c2≥ab+bc+ca(a,b,c∈R). 由基本不等式a2+b2≥2ab,易得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,而
所以上面三式中至少有一个式子不能取“=”,
所以a4+b4+c4>a2b2+b2c2+c2a2. ①
因为a2+b2≥2ab,所以a2c2+b2c2≥2abc2. 同理a2b2+a2c2≥2a2bc,b2c2+b2a2≥2ab2c,
所以a2b2+b2c2+c2a2>abc2+a2bc+ab2c. ②
由①,②得a4+b4+c4>abc(a+b+c).
4.在△ABC中,若a>b,则比较大小:sinA________ sinB(填“>”“<”或“=”).
【解析】在△ABC中,由正弦定理可知
(R为△ABC外接圆半径),易知
a b c 2R sin A sin B sin C
a b 又因为a>b,所以sinA>sinB. sin A 2R ，sin B 2R ，
答案:<
类型一
综合法证明不等式
【典例1】已知a,b,c为互不相等的实数,求证: a4+b4+c4>abc(a+b+c). 【解题指南】从已知不等式a2+b2≥2ab出发,一步步由 因到果直至推出要证的结论.
【证明】因为a4+b4≥2a2b2,b4+c4≥2b2c2,c4+a4≥2a2c2, 又a,b,c互不相等.
为
(
)
a b
ab
,则A,B的大小关系
A.A≥B
B.A≤B
C.A>B
D.A<B
【解析】选C.因为A2=a+2 所以A2>B2,即A>B.
ab
+b,a>0,b>0,B 2=a+b,
2.设x>0,y>0,且x+y=6,则lgx+lgy的取值范围是 ( )
A.(-∞,lg6]
C.[lg6,+∞)
B.(-∞,2lg3]
(0， ) 2
上是增函数,
所以sinA>sin =cosB. ( B) 2 同理可得sinB>cosC,sinC>cosA, 所以sinA+sinB+sinC>cosA+cosB+cosC.
上是增函数这一性质入手 提示:是从函数y=sinx在 (0， ) 2 证明结论成立的.
2.问题1中的证明过程是否为“顺推法”? 提示:证明过程是从已知入手,借助不等式的性质和三 角函数的单调性得出结论的,所以是“顺推法”.