拉氏变换定义及性质
拉氏变换
6
63 s3
et 7e2t 6e3t
(2). 包含有共轭极点的情况 1,2
例2 求
F(s)
s1 s(s2 s 1)
的拉氏反变换。
13
s1 0,
s2,3
2
j
2
s1
s1
F(s)
s(s2
s 1)
s s
1 2
LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,, LLL111sss111aaaeeeaaatt t,,,
LLL111sss222222sssiiinnnttt,,, LLL111sss222sss222cccooosssttt
1
1
s 1 s2 1
sa 1
s a2
s2 2
序号
f(t)
7
cos(t)
8
t n (n 1，2，3， )
9
t neat (n 1，2，3， )
10
1 eat ebt
ba
11
1 bebt aeat
ba
12
1 ab
1
a
1
j
3 2
1
由此得：
1 1
2 0
s1
A
s(s2
s
1)
s s0
1
s1
s
1
F(s)
s(s2
s 1)
s
1 2
j
3 2
s
拉氏变换定义及性质
拉⽒变换定义及性质2.5 拉⽒变换与反变换机电控制⼯程所涉及的数学问题较多，经常要解算⼀些线性微分⽅程。
按照⼀般⽅法解算⽐较⿇烦，如果⽤拉普拉斯变换求解线性微分⽅程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，⼜能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因⽽是⼀种较为简便的⼯程数学⽅法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义如果有⼀个以时间t 为⾃变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为()()()0e d stF s L f t f t t ∞-= (2.10)s 是复变数，ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ?∞-0e st称为拉普拉斯积分； )(s F 是函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是⼀个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，⽽称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表⽰进⾏拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉⽒变换是这样⼀种变换，即在⼀定条件下，它能把⼀实数域中的实变函数变换为⼀个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
1.单位阶跃函数)(1t 的拉⽒变换单位阶跃函数是机电控制中最常⽤的典型输⼊信号之⼀，常以它作为评价系统性能的标准输⼊，这⼀函数定义为≥)0(0)(1t t t单位阶跃函数如图2.7所⽰，它表⽰在 0=t 时刻突然作⽤于系统⼀个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉⽒变换式为0e 1d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-?stst st t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0e lim →-∞→st t 。
所以：[]s s s t L st 1)1(00e 1)(1=--=∞-=- （2.11）2.指数函数的拉⽒变换指数函数也是控制理论中经常⽤到的函数，其中是常数。
令则与求单位阶跃函数同理，就可求得（2.12）3.正弦函数与余弦函数的拉⽒变换设，，则由欧拉公式，有所以(2.13）同理 (2.14）4.单位脉冲函数δ(t ) 的拉⽒变换单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
拉氏变换详细解读
s+a
（二）、拉氏变换的主要定理 ）、拉氏变换的主要定理 1．线性定理
L[ f1(t ) + f2 (t )] = L[ f1(t )] + L[ f2 (t )] = F1(s) + F2 (s)
L[kf (t )] = kL[ f (t )] = kF(s)
2．微分定理
df (t ) L = sF(s) − f (0+ ) dt
n −at
s 2 2 s +ω n! sn+1 n!
( s + a)
1
n+1
( s + a) ( s + b)
1 s ( s + a) ( s + b)
( s + a) ( s + b)
s
序号
−at
f(t)
F(s)
13
e sinωt e cosωt
− at
( s + a ) + ω2
2
ω
14
s + a ) + ω2 (
） 式中 f (−1) (0+ ) 为 ∫ f (t dt 在t时间坐标轴的右端 趋于零时的f 的值，相当于初始条件。 趋于零时的f(t)的值，相当于初始条件。
f (t )(dt )2 = 1 F(s) + 1 f (−1) (0+ ) + 1 f (−2) (0+ ) L ∫∫ s2 s2 s
2. 部分分式展开法 (利用逆变化的线性原理)
控制工程中，象函数F(s)通常可以表示有理分式形式 控制工程中，
B(s) bm sm + bm−1sm−1 + bm−2 sm−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +b1s + b0 F(s) = = A(s) an sn + an−1sn−1 + an−2 sn−2 +⋅⋅⋅⋅⋅⋅ +a1s + a0
机械工程控制基础(拉氏变换)
拉氏变换的优势和局限性
优势
拉氏变换为我们提供了一种更方便、更灵活地分 析和解决机械工程中的问题的方法。
局限性
尽管拉氏变换在许多情况下非常有用，但在处理 非线性和时变系统时可能存在一定的限制。
结论和要点
拉氏变换是机械工程 中一种重要的数学工 具。
拉氏变换可以将函数 从时域转换到复频域。
它具有许多重要的性 质和公式，方便我们 分析和解决问题。
拉氏变换的性质
1 线性性质
拉氏变换遵循线性性质，可以对输入信号进行线性组合。
2 时移性质
通过在时域中移动输入信号，我们可以在复频域中对应地移动拉氏变换。
3 频移性质
拉氏变换可以将频率的偏移转移到复频域中。
拉氏变换的公式
输入信号 常数函数 阶跃函数 正弦函数
拉氏变换 1/s 1/s^2 s/(s^2 + w^2)
在机械工程中，拉氏变换被广泛应 用于控制系统、信号处理和系统建 模。
然而，它也有一些局限性，在处理 非线性和时变系统时需要注意。
机械工程控制基础(拉氏 变换)
在机械工程中，拉氏变换是一种重要的数学工具。本演示将介绍拉氏变换的 定义、性质、公式、逆变换以及在机械工程中的应用。同时，我们也会探讨 拉氏变换的优势和局限性。
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种数学工具，用于将一个函数从时域转换到复频域。通过将函 数的时间的依赖性转换为频率的依赖性，我们可以更好地理解和分析信号和 系统的行为。
拉氏变换的逆变换
拉氏变换
F(s)
逆拉氏变换
f(t)常数ຫໍສະໝຸດ 数delta(t)拉氏变换在机械工程中的应用
1
控制系统分析
通过拉氏变换，我们可以分析和设计机械控制系统。
拉氏变换
控制原理补充讲义——拉氏变换拉氏变换是控制工程中的一个基本数学方法，其优点是能将时间函数的导数经拉氏变换后，变成复变量S的乘积，将时间表示的微分方程，变成以S表示的代数方程。
一、拉氏变换与拉氏及变换的定义1、拉氏变换：设有时间函数，其中，则f(t)的拉氏变换记作：称L—拉氏变换符号；s-复变量； F(s)—为f(t)的拉氏变换函数，称为象函数。
f(t)—原函数拉氏变换存在，f(t)必须满足两个条件(狄里赫利条件)：1)在任何一有限区间内，f(t)分断连续，只有有限个间断点。
2)当时，，M，a为实常数。
2、拉氏反变换：将象函数F（s）变换成与之相对应的原函数f(t)的过程。
—拉氏反变换符号关于拉氏及变换的计算方法，常用的有：①查拉氏变换表；②部分分式展开法。
二、典型时间函数的拉氏变换在控制系统分析中，对系统进行分析所需的输入信号常可化简成一个或几个简单的信号，这些信号可用一些典型时间函数来表示，本节要介绍一些典型函数的拉氏变换。
注意：六大性质一定要记住1．单位阶跃函数2．单位脉冲函数3．单位斜坡函数4．指数函数5．正弦函数sinwt由欧拉公式：所以，6．余弦函数coswt其它的可见下表：拉氏变换对照表 序号 F(s) f(t) 序号 F(s) f(t)11 1121(t) 123t13414511+Ts Tte T-1 156)(1a s s +ate --1167)1(1+Ts sTt e--117)1sin(122ϕξωξωξω----t e n t nn8189191020三、拉氏变换的性质1、线性性质若有常数k1，k2,函数f1(t),f2(t),且f1(t),f2(t)的拉氏变换为F1(s),F2(s),则有：，此式可由定义证明。
2、位移定理(1)实数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),则对任一正实数a有,其中，当t<0时，f(t)=0，f(t-a)表示f(t)延迟时间a.证明：，令t-a=τ,则有上式=例：求其拉氏变换(2)复数域的位移定理若f(t)的拉氏变换为F(s),对于任一常数a,有证：例：求的拉氏变换3、微分定理设f(t)的拉氏变换为F(s),则其中f(0+)是由正向使的f(t)值。
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质
拉氏变换与Z变换的基本公式及性质拉氏变换（Laplace Transform）是一种重要的信号分析工具，它将时域函数转换为复域函数，使得分析和处理复杂的差分方程、微分方程、线性时不变系统等问题变得更加简单。
拉氏变换的定义如下：对于一个定义在半轴t≥0上的实值函数f(t)，它的拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] e^(-st) f(t) dt其中s是一个复变量，e^(-st)是一个复数系数。
拉氏变换的基本公式：1.映射常数L{1}=1/s2. $L{e^{at}}=\frac{1}{s-a}, Re(s)>a$3.时间平移L{f(t-a)u(t-a)} = e^(-as)F(s)4.频域平移L{e^(as)f(t)} = F(s-a)5.合并函数L{f(t)+g(t)}=F(s)+G(s)6.乘法L{f(t)g(t)}=F(s)*G(s)7.单位冲激函数L{δ(t-a)} = e^(-as)拉氏变换的性质：1.线性性质L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)2.积分性质L{∫[0,t]f(τ)dτ}=1/s*F(s)3.拉氏变换的导数性质L{f'(t)}=sF(s)-f(0)4.初始值定理f(0+) = lim(s->∞) sF(s)5.最终值定理lim(t->∞) f(t) = lim(s->0) sF(s)Z变换是一种由离散信号而来的变换，它将离散序列变换到复平面上。
Z变换的定义如下：对于一个离散序列x[n]，它的Z变换X(z)定义为：X(z)=Z{x[n]}=∑[-∞,∞]x[n]z^(-n)其中z是一个复变量。
Z变换的基本公式：1.映射常数Z{1}=12.单位序列Z{δ[n]}=13.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)4.平移Z{x[n-a]}=z^(-a)X(z)5.单位冲激响应函数Z{h[n]}=H(z)6.时域乘法Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)Z变换的性质：1.线性性质Z{ax[n] + by[n]} = aX(z) + bY(z)2.移位性质Z{x[n-k]}=z^(-k)X(z)3.初始值定理x[0] = lim(z->∞) X(z)4.最终值定理lim(n->∞) x[n] = lim(z->1) (1-z^(-1))*X(z)5.时域卷积性质Z{x[n]*y[n]}=X(z)Y(z)6.时域乘法性质Z{x[n]y[n]}=X(z)Y(z)总结：拉氏变换和Z变换都是用于信号分析和处理的重要工具。
第1节 拉氏变换概念及性质
提出的问题:
1.拉氏变换如何由傅里叶变换演变而来? 2.傅里叶变换是拉氏变换的特例吗?存在拉氏变换的信 号一定存在傅里叶变换吗? 3.信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 单边信号拉氏变换F(s)的反变换是否唯一? 4.拉氏变换求解系统问题的优越性如何体现? 5.拉氏变换应用有局限性吗?
6.微分方程的拉氏变换求解法及其优越性？
1 如信号F ( s) (t ) s
s F ( s) 2 s 4
s F ( s) ( s 1)( s 2 4) 2
例题：
已知：f (t ) (t ) e t (t ) 1 ）试确定双边拉氏变换 及其收敛域； 2 ）求上述拉氏变换在不 同收敛域下的反变换
设：s = σ + jω（复频率）, dω=ds/j
F ( s) f (t )e st dt 1 j st f (t ) j F (s)e ds 2j
(Bilateral LT)
双边拉普拉斯变换 记作：f (t ) F(s)
说明：F s L f t f t e d t F ( j ) F [ f (t )] f (t )e dt
n!
n
5、 (t) 的导函数
s
e
st
dt
n!
0
s
n 1
t (t )
n
n! s
n 1
L t t e
0
st
(n) (t) s n dt s
电路分析中拉氏变换如何理解与计算
电路分析中拉氏变换如何理解与计算拉氏变换是一种在电路分析中常用的数学工具，用于将微分方程转换为代数方程，从而简化电路分析的过程。
它基于拉氏变换的定义和拉氏变换的性质进行计算。
下面将详细介绍拉氏变换的概念、计算方法以及其在电路分析中的应用。
一、拉氏变换的概念与定义1.拉氏变换的定义拉氏变换是一种线性、时不变的积分变换，它将一个函数f(t)转换为复数域的函数F(s)。
拉氏变换定义如下：F(s) = L{f(t)} = ∫[e^(-st) * f(t)] dt其中，f(t)是定义在t≥0时间域上的函数，F(s)是定义在复平面上的函数，s=σ+jω是一个复数，σ和ω分别表示实部和虚部。
2.拉氏变换的性质拉氏变换具有一些重要的性质，这些性质是进行拉氏变换计算的基础。
以下是几个常用的性质：线性性质：对于常数a和b，以及函数f(t)和g(t)，有L{a*f(t)+b*g(t)}=a*F(s)+b*G(s)。
时延性质：对于函数f(t)和其时延h(t)=f(t-τ)，有L{h(t)}=e^(-sτ)*F(s)。
因果性质：对于定义在t≥0时间域上的函数f(t)，如果f(t)=0当t<0，那么F(s)只在Re(s)>σ0的区域存在，其中σ0是f(t)中所有极点的实部的最大值。
二、拉氏变换的计算方法在实际计算中，为了将一个函数f(t)进行拉氏变换，通常需要先将其分解为更简单的函数的组合。
常用的计算方法有积分法、查表法和拉氏变换的性质。
1.积分法积分法是根据拉氏变换的定义进行计算，将函数 f(t) 乘以 e^(-st) 后积分。
这种方法适用于简单的函数，如指数函数、幂函数等。
2.查表法拉氏变换的常见函数对应关系可以通过查找拉氏变换表来获得。
在查表法中，将函数f(t)的拉氏变换直接从表格中找到。
这种方法适用于常见函数的变换计算，如单位阶跃函数、脉冲函数等。
3.拉氏变换的性质根据拉氏变换的性质，可以将一个复杂的函数分解成多个简单的函数，然后利用已知的变换对这些简单函数进行变换。
拉氏变换的基本性质
频移性质表明信号在时域中乘以指数函数对应于频域中的平移。
微分性质
微分定理
若$f(t)$的拉氏变换为$F(s)$，则$f'(t)$的拉氏变换为$sF(s)-f(0^-)$。
微分性质的意义
微分性质建立了信号时域微分与频域之间的关系，便于通过拉氏变换求解微分方 程的初值问题。
积分性质
积分定理
拉氏变换的基本性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的基本性质 • 拉氏变换的收敛域 • 拉氏反变换 • 拉氏变换在电路分析中的应用 • 拉氏变换在信号处理中的应用
01 引言
拉氏变换的定义
拉氏变换是一种线性积分 变换
它将一个有实数变量t（t≥0）的函数转换为 一个复数变量s的函数。
转换公式
对于实数变量t的函数f(t)，其拉氏变换F(s)定 义为F(s)=∫[0,∞)f(t)e^(-st)dt，其中s为复数
电路分析
在电路分析中，拉氏反变换常用 于将电路的频率响应转换回时域 响应，以便分析电路的动态行为。
控制系统
在控制系统中，拉氏反变换可用于 将控制系统的传递函数转换回时域， 以便分析系统的稳定性和性能。
信号处理
在信号处理中，拉氏反变换可用于 将信号的频谱转换回时域信号，以 便进行信号的重构和分析。
05 拉氏变换在电路分析中的 应用
确定收敛域。
收敛域与函数性质的关系
函数增长性与收敛域
函数增长越快，其拉氏变换的收敛域越小；反之，函数增长越慢， 其收敛域越大。
函数奇偶性与收敛域
对于偶函数，其拉氏变换的收敛域关于实轴对称；对于奇函数，其 收敛域关于原点对称。
函数周期性与收敛域
周期性函数的拉氏变换在相应的周期内收敛，而在其他区域可能发 散。
拉氏变换_精品文档
拉氏变换什么是拉氏变换拉氏变换（Laplace Transform）是一种将函数从时间域转换到复频域的数学工具。
它在工程学科和物理学中有广泛的应用，特别是在控制系统分析和信号处理领域。
拉氏变换通过积分运算将一个函数从时间域（t-domain）变换到频域（s-domain），其中s是一个复变量。
拉氏变换的定义给定一个函数f(t)，其拉氏变换F(s)定义为：F(s) = L{f(t)} = ∫[0, ∞] e^(-st) f(t) dt这里，s是复变量，e是自然对数的底数，t表示时间。
拉氏变换的性质拉氏变换具有许多有用的性质，以下是一些常见的性质：1.线性性质：L{af(t) + bg(t)} = aF(s) + bG(s)，其中a和b是常数。
2.移位性质：L{f(t - a)} = e^(-as)F(s)，其中a是常数。
3.初值定理：lim_[s→∞] sF(s) = f(0)，其中f(0)是函数f(t)在t=0时的初值。
4.终值定理：lim_[s→0] sF(s) = lim_[t→∞] f(t)，即函数f(t)在t→∞时的极限等于F(s)在s=0时的极限。
这些性质使得拉氏变换成为了解决微分方程问题以及计算复杂电路的有效工具。
拉氏变换的应用1. 信号处理在信号处理领域，拉氏变换用于分析和处理连续时间信号。
通过将信号从时间域转换到频域，可以更好地理解信号的频谱特性，并进行滤波、降噪、调制等处理。
2. 控制系统在控制系统分析中，拉氏变换被广泛用于研究和设计控制系统的性能和稳定性。
通过将控制系统表示为拉氏域的传输函数，可以方便地进行频率响应、稳定性分析和控制器设计。
3. 电路分析在电路分析中，拉氏变换用于求解电路的幅频特性、相频特性和传输函数。
通过将电路中的电压和电流转换到拉氏域，可以更方便地进行复杂电路的分析和计算。
4. 信号传输拉氏变换在信号传输中的应用非常广泛。
信号的拉氏变换可以帮助我们理解信号在传输过程中的衰减、失真和干扰等问题，从而优化信号传输的方案。
拉氏变换
1 ：广义阻抗；运算阻抗； SC
uC (0) Useg (S)＝US (S) + LiL (S) ：等值电压源象函数。 S
Z(S)I(S)=Useg(S)
5应用拉普拉斯变换法分析线性电路 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
应用拉氏变换分析线性电路的步骤： 把电路变换成频域电路； 电路可用结点电压法、网孔法、叠加法等来求解； 利用拉氏反变换得到时域的值。
uC (0 ) 1 U C (S ) = + IC (S ) S SC
U C ( 0 ) 1 : 运算容抗; : 附加电压源； SC S
4 运算电路
duC L [iC ] = L C dt
IC(S)=SCUC(S)CuC(0)
SC : 运算容纳;CU C ( 0 ) : 附加电流源；
K13 = ( S S1 )3 N (S ) D( S )
S = S1
Q
K2 d [ K13 + K12 ( S S1 ) + K11 ( S S1 ) 2 + ( S S1 )3 ] dS S S2 ∴ K12 d 3 N (S ) = [( S S1 ) ] dS D( S ) S = S 1
1 d2 3 N (S ) K11 = 2 [( S S1 ) ] 2! dS D ( S ) S = S
K1( p j )
1
1 dj N (S ) = j [( S S1 ) p ] , j ! dS D ( S ) S = S
1
j = 0,1, 2L ( p 1) , 0! = 1,
5 应用拉普拉斯变换法分析线性电路
例：RC 并联电路，换路前为零状态，t=0 时接通单位阶跃电流源， 求 uC(t)和 iC(t)。
拉氏变换及其性质
15.3 拉普拉斯变换的基本性质
一、线性（linearity）性质
若 ℒ [f1(t)] F1(s) , ℒ [f2(t)] F2(s)
则 ℒ [a f1(t) b f2(t)] aF1(s) bF2(s)
例1
ℒ [ A]
A s
例2
ℒ [ A(1 et )]
1 A(
f(t) ，t [0,)称为原函数（original function），属时 域（time domain）。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。
F(s) 称为象函数（transform function），属复频域 （complex frequency domain） 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。
n sn1
例 求图示两个函数的拉氏变换式
f1(t)
f2(t)
1 e-t
1 e-t
t
t
0
0
解 由于定义的拉氏变换积分下限是0－，两个
函数的拉氏变换式相同
F(s) 1
s 当取上式的反变换时，只能表示出 t 0 区间的函数式
ℒ 1[ 1 ] e t
s
(t 0)
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本章重
. 点 常用函数的拉普拉斯变换 . 拉普拉斯变换的基本性质 . 复频域中的电路定律 . 运算阻抗和运算导纳 . 拉普拉斯变换法分析电路的动态响应 . 网络函数
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15.1 拉普拉斯变换
一、拉氏变换（Laplace transformation）的定义
正变换
F (s) f (t )estdt 0
s 0
t n est e st dt n n t n1estdt
第2节拉氏变换
( )
( )
( )
ɺ 若： f 0 + = f 0 + = ⋯ = f n − 2 0 + = f n − 1 0 + = 0 d n f (t ) n L = s F (s ) n dt
( )
( )
( )
( )
3 积分定理 F (s ) L[ f (t )dt ] = +
∫
jω t − jω t
应记住的 一些简单函数的 拉氏变换
原函数
1 (t
象函数
1 s
)
e − α t ⋅ 1 (t )
sin ω t ⋅ 1(t )
1 s + α
ω
s +ω
2 2
cos ω t ⋅ 1(t )
t n ⋅ 1(t )
s s2 + ω 2 n! s
n +1
§3拉氏变换的性质
1. 叠加性质
f (t − α ) ⋅ 1(t − α )
0
0
α
6 初值定理
lim
t →0+
f (t ) = lim sF (s )
s→∞
例：
ω 求 lim sin ωt = lim s ⋅ 2 =0 2 s +ω s→∞ t →0
+
7 终值定理
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞ s→0
=
两个推论：
s
+
f
−1
(0 )
+
s
其中 f
−1
(t )∆ ∫ f (t )dt
( )
F (s ) f −1 0 + f −2 0+ f −n 0+ n L ∫ ⋯∫ f (t )(dt ) = n + + + ⋯+ n n −1 s s s s n 式中， 式中，符号 f
Laplace变换
t
设：L[ f ( t )] F ( S ) 当t t 0时，f ( t t 0 ) 0
则：L[ f ( t t 0 ) ( t t 0 )] e st F ( S )
0
证：L[ f ( t t 0 )]
0
0
f ( t t 0 )e st dt
st
0
2 Laplace变换的基本性质
一、线性
若L[ f1 ( t )] F1 ( S ) , L[ f 2 ( t )] F2 ( S )
则 L[af1 (t ) bf2 (t )] aF1 ( S ) bF2 ( S )
证： 0 [af1 ( t ) bf2 ( t )]e dt 0 af1 ( t )e dt 0 bf2 ( t )e dt aF1 ( S ) bF2 ( S )
d 1 1 例1：L[t (t )] ( ) 2 dS S S
d 1 n! ( ) n1 例2：L[t ( t )] ( 1) (n) dS S S
nnຫໍສະໝຸດ (n)例3：L[te
at
d 1 1 ) ] ( 2 dS S a ( S a)
三、积分性质
设：L[ f (t )] F ( S )
拉氏变换存在条件：对于一个函数f(t)，若存在正的有限值 M和c，使得对于所有t 满足：
f ( t ) Me
则f(t)的拉氏变换F(s)总存在。
ct
0 积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 0 0 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
积分下限从0 开始，可以计及 t=0时 f(t)所包含的冲激 。
拉氏变换
t<0 0≤t<a a ≤ t < 3a t ≥ 3a
试用单位阶梯函数将f(t)合写为一个式子。
例5
已知
sin t , 0 ≤ t < π f (t ) = t ≥π t,
试将f(t)合写为一个式子。
（2）狄拉克函数 δ (t ) (Dirac) 定义 设 t<0 0, 1 δ τ (t ) = 0 ≤ t ≤τ τ t >τ 0, 则称 δ ( t ) = lim δ τ ( t ) 为狄拉克函数，
说明：
1）为方便计，总假定：当t<0时，f(t) 0。 2）p本来是复数，为方便，假定p为实数。 ≡ 不影响讨论。 3）拉氏变换是一种积分变换（另一种为： 傅里叶变换）。
例题
例1 求f(t)=eat（t ≥ a是常数）的拉氏变 0, 换。 例2 求f(t)=at（t ≥0, a为常数）的拉氏变换。 例3 求f(t)=sin t(t 0)的拉氏变换。 ≥ ω 同理可求L[cos t].
拉氏变换及其性质
一 拉氏变换的基本概念
定义
设函数f(t)的定义域为[0， + ∞ ),若广义积分 +∞ 对于p的某一范围内的值收敛于F(p)，即 f ( t ) e − pt dt ∫0 +∞ F(p)= − pt
∫
0
f (t )e
dt
则称F(p)为f(t)的拉普拉斯变换（或象函数， 拉氏变换），记作L[f(t)]=F(p).也称f(t)为F(p) −1 L 的拉氏逆变换（或象原函数），记作 [F(p)]=f(t).
g (t )δ (t )dt = g (0)
例6
求u(t)的拉氏变换。
例7
求
δ (t ) 的拉氏变换。
拉氏变换定义,性质
拉氏变换的未来发展
理论完善
随着数学和工程领域的发展，拉普拉斯变换的理论体系将不断完 善，为解决更复杂的问题提供更有效的工具。
应用拓展
随着科技的不断进步，拉普拉斯变换的应用领域将不断拓展，例如 在人工智能、机器学习等领域的应用。
数值计算
随着计算机技术的发展，拉普拉斯变换的数值计算方法将更加精确 和高效，为实际应用提供更好的支持。
拉氏变换的定义
定义
拉普拉斯变换是一种将时域函数（通常是无限或有限时间内 的信号或系统响应）转换为复频域函数的方法。通过将时域 函数乘以相应的权函数，然后对结果进行积分，可以得到该 时域函数的拉普拉斯变换。
符号表示
通常使用符号 (L) 表示拉普拉斯变换，例如，如果 (f(t)) 是时 域函数，那么 (F(s)) 就是 (f(t)) 的拉普拉斯变换，其中 (s) 是 复频域变量。
时移性质
时移性质
若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(t-a)$ 的拉氏变换为 $e^{-sa}F(s)$，其中 $a$ 是时移量。
应用
在系统分析中，时移性质可用于分析 系统的稳定性和动态响应。
频移性质
Hale Waihona Puke 频移性质若 $f(t)$ 是输入信号，$F(s)$ 是它的 拉氏变换，则 $f(at)$ 的拉氏变换为 $frac{1}{|a|}F(frac{s}{a})$，其中 $a$ 是频移量。
拉氏变换定义、性质
目录
• 引言 • 拉氏变换的性质 • 拉氏变换的应用 • 结论
01 引言
拉氏变换的背景和重要性
背景
拉普拉斯变换是18世纪末由法国科学家拉普拉斯提出的一种数学工具，主要用 于解决初值问题，即求解微分方程时，需要给出初始条件的问题。
拉氏变换
e t cos t 4 sint
求
X ( s)
s3 s 2 2s 2
的原函数 x(t)。
解：s2 + 2s + 2 = (s+1)2 + 1 = (s +1 + j)(s +1 j)
时，原函数的另一种求法。
X(s)
X(s)
x(t)
（2） D(s) = 0有重根。设有r个重根 p1 ，则
1 t 3 2 1 3t x (t ) e (t ) e 2 2 3 12
2.4.1. 线性常系数微分方程的求解 r ( t)
微分方程式
c(t)
求解微分方程式
时域解c(t)
L
R(s) s的代数方程 C(s)
求解代数方程
L-1
s域解C(s)
用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化时， 需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。 用拉氏变换求解微分方程的一般步骤： 1)对微分方程两边进行拉氏变换。 2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。 3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。
X ( s) ( s 1)
2
s1
s
s3
1 c4 lims 3 X ( s ) s 3 12
1 c1 lims 1 X ( s ) s 1 2
2
2 c3 limsX ( s ) s0 3
c2 lim
d 3 2 s 1 X ( s) s 1 ds 4
4 j c1 lim s 1 j X ( s ) s 1 j 2j 4 j c2 lim s 1 j X ( s ) s 1 j 2j
第三章拉氏变化
控 制 工 程 基 础
式中， 式中，
∫
t 0
f ( t − λ )g ( λ )d λ = f ( t ) ∗ g ( t )
称为f(t)与g(t)的卷积。 称为f(t)与g(t)的卷积。 f(t) 的卷积
式中，p1,p2 ,pn称为F(s)的极点， ,pn称为F(s)的极点 式中，p1,p2…,pn称为F(s)的极点， p1,p2…,pn称为F(s)的零点。 ,pn称为F(s)的零点 p1,p2 ,pn称为F(s)的零点。
第三章
拉氏变换
1)F(s)无重极点的情况 1)F(s)无重极点的情况
控 制 工 程 基 础
第三章
拉氏变换
拉氏变换存在的条件
控 制 工 程 基 础
1.f(t)分段连续； f(t)分段连续； 分段连续 满足： 2.时间t充分大时，f(t)满足： 时间t充分大时，f(t)满足
f (t ) ≤ Me
at
第三章
拉氏变换
二、典型时间函数的拉氏变换
控 制 工 程 基 础
1、单位阶跃函数
0 1(t ) = 1
s = p1
k11 = F(s)(s − p1 )r
d k12 = [F(s)(s − p1 ) r ] ds
1 d2 k13 = [F(s)(s − p1 )r ] 2 2! ds ⋮
s = p1
s = p1
1 d r −1 k1r = [F(s)(s − p1 ) r ] (r − 1)! ds r −1
L[e f ( t )] = F(s + a )
− at
第三章 实 微 分 定 理
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2.5 拉氏变换与反变换
机电控制工程所涉及的数学问题较多，经常要解算一些线性微分方程。
按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转化为代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。
2.5.1 拉普拉斯变换的定义
如果有一个以时间t 为自变量的实变函数 ()t f ，它的定义域是 0≥t ，，那么()t f 的的拉普拉斯变换定义为
()()()0
e d st
F s L f t f t t ∞
-=∆⎡⎤⎣⎦⎰ (2.10)
s 是复变数， ωσj +=s （σ、ω均为实数）， ⎰∞
-0e st 称为拉普拉斯积分； )(s F 是
函数 )(t f 的拉普拉斯变换，它是一个复变函数，通常也称 )(s F 为 )(t f 的象函数，而称 )(t f 为 )(s F 的原函数；L 是表示进行拉普拉斯变换的符号。
式（2.10）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的实变函数变换为一个在复数域内与之等价的复变函数 )(s F 。
1.单位阶跃函数
)(1t 的拉氏变换
单位阶跃函数是机电控制中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能
的标准输入，这一函数定义为
⎩⎨
⎧≥<∆)0(1
)0(0)(1t t t
单位阶跃函数如图2.7所示，它表示在 0=t 时刻突然作用于系统一个幅值为1的不变量。
单位阶跃函数的拉氏变换式为
0e 1
d e )(1)](1[)(0∞-===-∞-⎰st
st s
t t t L s F 当 0)Re(>s ，则 0
e lim →-∞
→st t 。
所以：
[]s s s t L st 1
)1(00e 1)(1=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=∞-=- （2.11）
2.指数函数的拉氏变换
指数函数也是控制理论中经常用到的函数，其中
是常数。
令
则与求单位阶跃函数同理，就可求得
（2.12）
3.正弦函数与余弦函数的拉氏变换 设
，
，则
由欧拉公式，有
所以
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-=
-∞--∞⎰⎰t t s F st t st t d e e d e e j 21)(0j 0j 1ωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-∞+-∞--⎰⎰t t st t s t s d e e d e j 210)j (0)j (ωω
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎣⎡∞+-∞--=+---0e j 10e j 1j 21)j ()j (t s t s s s ωωωω22j 1j 1j 21ωω
ωω+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=
s s s
(2.13）
同理 (2.14）
4.单位脉冲函数 δ(t ) 的拉氏变换
单位脉冲函数是在持续时间期间幅值为的矩形波。
其幅值和作用时间
的乘积等于1，即。
如图2.8所示。
单位脉冲函数的数学表达式为
其拉氏变换式为
此处因为时，，故积分限变为。
(2.15)
2.5.3 拉氏变换的主要定理
根据拉氏变换定义或查表能对一些标准的函数进行拉氏变换和反变换，但利用以下的定理，则对一般的函数可以使运算简化。
1.叠加定理
拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。
（1）齐次性设，则
（2.18）式中——常数。
（2）叠加性设,，则
（2.19）两者结合起来，就有
这说明拉氏变换是线性变换。
2.微分定理
设
则
式中——函数在时刻的值，即初始值。
同样，可得的各阶导数的拉氏变换是
（2.20）
式中
,
，…——原函数各阶导数在
时刻的值。
如果函数及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则
各阶导
数的拉氏变换为
（2.21）
3.复微分定理 若
可以进行拉氏变换，则除了在
的极点以外，
()[]()s F s t tf L d d
-
= （2.22）
式中，。
同样有
()[
]
()
s F s t f t L 22
2
d d =
一般地，有
()()()
d 11,2,3,
d n
n
n
n L t f t F s n s ⎡⎤=-=⎣⎦ （2.23）
4.积分定理
设
，则
（2.24）
式中——积分在时刻的值。
当初始条件为零时，
（2.25）
对多重积分是
（2.26）
当初始条件为零时，则
（2.27）
5.延迟定理
设，且时，，则
（2.28）
函数为原函数沿时间轴延迟了，如图2.11所示。
6.位移定理
在控制理论中，经常遇到一类的函数，它的象函数只需把用代替即可，这相当于在复数坐标中，有一位移。
设，则
（2.29）
例如的象函数，则的象函数为
7.初值定理
它表明原函数在时的数值。
（2.30）
即原函数的初值等于乘以象函数的终值。
8.终值定理
设，并且存在，则
（2.31）即原函数的终值等于乘以象函数的初值。
这一定理对于求瞬态响应的稳态值是很有用的。
9.卷积定理
设，，则有
（2.32）
即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们象函数的乘积。
式（2.32）中，为卷积分的数学表示，定义为
10.时间比例尺的改变
（2.33）
式中——比例系数
例如,的象函数 ,则的象函数为
11.拉氏变换的积分下限
在某些情况下,在处有一个脉冲函数。
这时必须明确拉普拉斯积分的下
限是还是，因为对于这两种下限，的拉氏变换是不同的。
为此，可采用如下符号予以区分：
若在处包含一个脉冲函数，则
因为在这种情况下
显然，如果
在处没有脉冲函数，则有
2.5.4 拉普拉斯反变换 拉普拉斯反变换的公式为
()[]⎰∞+∞--=
=j j 1d e )(πj 21)(c c st
s s F s F L t f （2.36）
式中 1
-L ——表示拉普拉斯反变换的符号
通常用部分分式展开法将复杂函数展开成有理分式函数之和，然后由拉氏变换表一一查出对应的反变换函数，即得所求的原函数 )(t f 。
1. 部分分式展开法
在控制理论中，常遇到的象函数是的有理分式
为了将
写成部分分式，首先将
的分母因式分解，则有
式中，
，
，…，
是
的根的负值，称为
的极点，按照这些根
的性质，可分为以下几种情况来研究。