测度拓扑和连续偏序集的刻画
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
数学中的拓扑学与连续映射理论研究
数学中的拓扑学与连续映射理论研究拓扑学与连续映射理论是数学领域中重要的研究方向。
本文将介绍拓扑学和连续映射理论的基本概念、重要性以及应用领域，并探讨其中的一些研究成果。
一、引言拓扑学是数学中研究空间性质与结构的学科。
它关注的不是空间的度量，而是空间的连接性、连续性以及邻域性等特征。
拓扑学的研究对象包括集合、点、开集、闭集等。
连续映射理论则是研究拓扑空间之间的映射关系及其性质。
二、拓扑学基本概念1. 拓扑空间：拓扑学中的基本概念是拓扑空间，它由一个集合和该集合上的一个拓扑结构构成。
拓扑结构是满足一定条件的子集族，具有开集和闭集的性质。
2. 连通性：拓扑学关注的是空间的连通性，即空间中任意两点都可以通过一条连续曲线相连。
连通性是一个空间是否可以被分割成多个非交叉的部分的性质。
3. 紧致性：在拓扑学中，紧致性是指一个拓扑空间中任意开覆盖都存在有限子覆盖的性质。
紧致性是一种局部性质，反映了空间的有限性。
三、连续映射理论1. 连续映射：连续映射是拓扑学中的一个重要概念，它刻画了两个拓扑空间之间的函数关系。
如果一个映射将一个拓扑空间中的开集映射为另一个拓扑空间中的开集，则该映射被称为连续映射。
2. 同胚：同胚是连续映射理论中的一个重要概念，指的是两个拓扑空间之间存在一个双射，且该双射及其逆映射均为连续映射。
同胚关系保持了空间的拓扑结构，可以看作是两个空间的等同。
3. 完备性：在连续映射理论中，完备性是指拓扑空间中的某种性质可以完全刻画为连续映射的性质。
例如，完备度量空间中的柯西序列有极限，这一性质可以通过连续映射保持。
四、拓扑学与连续映射理论的重要性拓扑学和连续映射理论的重要性体现在以下几个方面：1. 应用数学领域：拓扑学和连续映射理论在应用数学中有广泛的应用。
例如，它们在物理学、计算机科学、工程学等领域中的模型构建和问题解决中起到重要的作用。
2. 基础数学研究：拓扑学和连续映射理论是数学基础研究的重要组成部分。
集合的拓扑与连续性
集合的拓扑与连续性在数学中，拓扑学是研究集合的性质和关系的学科。
它关注集合中元素之间的连续性和相互接近的性质。
在本文中，我们将探讨拓扑学中集合的拓扑性质以及连续性的概念。
1. 拓扑空间的定义拓扑学中最基本的概念就是拓扑空间。
一个拓扑空间由一个集合和集合上定义的拓扑结构组成。
拓扑结构是由集合中的开集构成的，它满足以下三个条件：1) 空集和整个集合为开集；2) 有限个开集的交集仍为开集；3) 任意个开集的并集仍为开集。
2. 拓扑基与拓扑生成给定一个拓扑空间，我们可以通过拓扑基或生成元素来描述这个空间中的开集。
拓扑基是指一组开集，它们的任意非空交集都可以表示成其他开集的并集。
而拓扑生成则是通过集合中的元素生成出所有可能的开集。
拓扑生成是通过开集运算得到一组拓扑基。
3. 连续映射在拓扑学中，映射的连续性是一个重要的概念。
给定两个拓扑空间A和B，一个从A到B的映射f被称为连续的，如果对于B中的任意开集V，f的原像f^(-1)(V)在A中也是开集。
换句话说，连续映射保持了集合中元素的连续性。
4. 连通性连通性是拓扑学中研究的一个重要性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能表示成两个非空的、不相交的开集的并集。
换句话说，连通空间中的任意两点都可以通过连续映射相互连接。
当一个拓扑空间被表示为连通空间时，它被称为连通的。
5. 紧致性在拓扑学中，紧致性是另一个重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限的子覆盖。
也就是说，从一个空间中选择任意多个开集作为覆盖，总能从这个集合中选取有限个开集来覆盖整个空间。
结语通过以上对集合的拓扑与连续性的讨论，我们可以看到拓扑学在数学中扮演着重要的角色。
它不仅仅是一门学科，更是用来描述现实世界中各种现象和关系的有力工具。
无论是在纯数学领域还是应用数学领域，拓扑学的概念和方法都发挥着重要的作用。
通过深入研究和应用拓扑学的相关理论，我们能够更好地理解和描述集合之间的连接性与连续性。
四元数矩阵平方保持偏序关系的刻画
四元数矩阵平方保持偏序关系的刻画
四元数矩阵(4x4 matrices)是在传统3-维旋转空间中常见的一种表示方式，它可以用来表示各种形状、大小和相对位置之间的变换。
它们也可以用来表示平面或3-维对象的状态、位置和运动。
这些矩阵具有一个特别的性质，即它们的平方保持偏序关系，这意味着它们的平方能够表示一个确定的偏序集合。
四元数矩阵的平方保持偏序关系的刻画主要有以下几点：
1. 四元数矩阵是表示旋转空间变换的一种常见表示方式，它可以用来表示形状、大小和相对位置之间的变换；
2. 四元数矩阵的平方具有一个特定的偏序性质，四元数矩阵的平方可以表示一个确定的偏序集合，即它们具有不变性；
3. 这种偏序关系是由四元数矩阵拓扑结构决定的，它使得矩阵平方具有不变性；
4. 这种特殊的性质使得四元数矩阵可以用来表示平面或3-维对象的状态、位置和运动；
5. 通过不断迭代四元数矩阵的平方乘积，可以轻松地构造出满足偏序要求的连续状态集合。
因此，四元数矩阵的平方保持偏序关系的刻画就是，四元数矩阵平方可以表示一个确定的偏序集合，即它们具有不变性。
它能够有效地表示形状、大小和相对位置之间的变换，从而使得四元数矩阵可以用来表示平面或三维对象的状态、位置和运动。
此外，该性质还可以被用来生成一个满足偏序要求的连续状态集合，从而使得四元数矩阵能够更好地支撑多项复杂科学计算领域中的不同应用。
拓扑空间中凸集的性质与刻画
拓扑空间中凸集的性质与刻画拓扑学是数学中的一个重要分支，它研究的是空间和连续性的性质。
在拓扑学中，凸集是一个非常重要的概念。
凸集具有一些特殊的性质和刻画，本文将深入探讨拓扑空间中凸集的性质和刻画方法。
一、凸集的定义在开始讨论凸集的性质之前，我们需要先明确凸集的定义。
为此，我们给出凸集的一般定义如下：定义1：对于拓扑空间X中的一个子集A，如果对于任意的a, b ∈A和0 ≤ t ≤ 1，都有 ta + (1-t)b ∈ A，那么集合A被称为凸集。
简单来说，集合A是凸集，当且仅当A中的任意两点之间的连线上的所有点也都在A中。
这个定义可以很好地描述凸集的性质。
二、凸集的性质凸集具有一些重要的性质，下面我们将逐一介绍。
1. 凸集的稳定性：凸集的任意有限交集仍然是凸集。
即如果A和B是凸集，则A∩B也是凸集。
2. 凸包：对于拓扑空间X中的任意子集A，凸包是包含A的最小凸集。
凸包可以用凸集的有限交集来表示，即凸包等于所有包含A的凸集的交集。
3. 凸集的闭包：凸集的闭包也是凸集。
也就是说，如果A是拓扑空间X中的凸集，则A的闭包cl(A)也是凸集。
4. 凸集上的运算：凸集的非空有限交集和有限并集仍然是凸集。
也就是说，对于拓扑空间X中的任意凸集A和B，A∩B和A∪B仍然是凸集。
5. 球面上的凸集：在欧几里得空间中，球面上的凸集是指包含球面上任意两点间弧的凸集。
球面上的凸集具有一些特殊的性质，如球面上的最大凸集是整个球面。
三、凸集的刻画为了更好地理解凸集的性质，我们还需要了解凸集的一些刻画方法。
下面我们介绍两种常见的凸集刻画方法。
1. 支撑超平面：对于拓扑空间X中的凸集A和点p∉A，如果存在超平面H使得H包含A且p在H的同一侧，那么A是以p为外点的凸集。
该超平面H被称为A在p点处的支撑超平面。
2. 分离定理：分离定理是凸集刻画的另一种常见方法。
根据分离定理，如果有两个不相交非空的凸集A和B，并且存在一条超平面H使得A在H的同一侧而B在H的另一侧，那么A和B可以被一个超平面严格分离。
相容连续偏序集的若干性质
相容连续偏序集的若干性质汪鲲;卢涛【摘要】借助相容连续偏序集的定义,研究相容连续偏序集上映射与伴随之间的关系,探讨相容定向完备偏序集上连续映射空间的若干性质.此外给出相容连续偏序集在Scott拓扑中的一些性质.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2019(035)003【总页数】3页(P13-15)【关键词】相容定向集;相容连续偏序集;Galois伴随;Scott拓扑【作者】汪鲲;卢涛【作者单位】淮北师范大学;淮北师范大学【正文语种】中文【中图分类】O153.10 引言理论计算机中函数式语言的语义研究和偏序结构与内蕴拓扑的纯数学研究对连续格理论与Domain理论的出现起着不可忽视的作用[1,2].经过多年的发展,连续格中许多重要成果被推广到了Domain理论中,并与范畴论,(格上)拓扑学和Locale理论等众多领域和分支发生了关联.但最基本的实数集R因不是定向完备的,从而不能作为连续偏序集.在文献[3]中给出了相容连续偏序集的定义,使得实数集R为相容连续偏序集,该文结合文献[4-6]得到相容连续偏序集与伴随以及它在Scott拓扑内的相关性质.1 预备知识定义1[3] 设P为偏序集,∅≠D⊂P,如果(1)D是定向集;(2)∃p∈P,使得D⊂↓p={x∈p,x≤p}.则称D为P的相容定向集.定义2[3] 设P为偏序集,P称为相容定向完备偏序集,如果对于P中的每一个相容定向集D,D在P中的最小上界sup D存在.定义3[3] 设P为相容定向完备集,定义P上的way-below关系“≤”如下:对任意x,y∈P,如果对P中相容定向集D,当y≤sup D时,存在d∈D使得x≤d,则称x在y 方向相容地小于等于y,记为x≪y.将用符合x表示集合{t∈P:x≪t},符合x表示集合{u∈P:u≪x},分别称为x的way-below上集和下集.定义4[3] 设P是一个相容定向完备偏序集,称P是一个相容连续偏序集,如果P满足如下两个条件:(1) ∀x∈P,集合x是P中的相容定向集.(2)∀x∈P,x=supx.定义5[3] 对于相容定向完备集偏序集P上的上述关系,有下列简单结果:(1)x≪y⟹x≤y.(2)u≤x≪y≤z⟹u≪z.定义6[3] 如果P是一个相容连续偏序集,则下述强插入性质在P中成立:x≪z 且x≠z⟹(∃y∈P)x≪y≪z且x≠y.定义7[3] 设P是一个相容定向完备集,U⊂P.如果U满足条件:(1)U=↑U={x∈P:∃u∈U,u≤x},即U是一个上集.(2)对P的任一相容定向集D,当sup D∈U时,存在d∈D使d∈U,即U∩D≠∅,则称U为P上的Scott开集.P上的Scott开集全体是P上的一个拓扑,记为σ(P),称为Scott拓扑.定义8[5] 设P是一个相容定向完备偏序集,B⊆P,称B是P的基当且仅当满足以下条件:(1)∀x∈P,x∩B是P的相容定向集.(2) x=sup(x∩B).定义9[6] 设P，Q是相容定向完备偏序集,则f：P→Q是Scott连续映射当且仅当f保相容定向并,即对P中的任一相容定向集D,有f (supD)=sup f(D).2 主要结论定义1 若I={↓D,D为P的相容定向集},则称I为P上的相容理想,P的全体相容理想构成的集族记作Ic(P).定理1 设P为相容定向完备偏序集,x,y∈P,则x≪y⟹∀I∈Ic(P),若y≤supI有x∈I.证明一方面若x≪y,且∀I∈Ic(P),有y≤supI,则存在s∈Ic使得x≤s,又I为下集,即x∈I.另一方面,设D为P的任一相容定向集且y≤supD=sup↓D,因↓D∈Ic(P),存在s,x∈↓D满足x≤s.从而x≪y.推论∀x∈P,x=∩{I∈Ic(P),x≤supI}.从而x为相容定向集.定理2 设P为相容定向完备偏序集,则Ic(P)是相容连续偏序集.证明由文献[2]易知Ic(P)是相容定向完备偏序集,∀I∈Ic(P),(I)是相容定向的.又I=∪{↓(x)|x∈I}=supIc(P){↓(x)|x∈I}≤supIc(P){J|J∈Ic(P),J≪I}=sup(I).又(I)⊆↓(I),sup(I)≤sup↓(I)=I,所以I=sup(I).即IcP是相容连续偏序集.定理3 设P为相容定向完备偏序集,映射g:Ic(P)→P,g(I)=∨I,有下伴随当且仅当P 为相容连续偏序集.证明必要性设d:P→Ic(P)为g:Ic(P)→P的下伴随,对于∀x∈P和∀I∈Ic(P),x≤supI=g(I) 当且仅当d(x)⊆I,故d(x)⊆x.∀y∈x,因x=g(d(x))=supd(x)且d(x)∈Ic(P) ,于是y∈d(x),从而x⊆d(x).故d(x)=x∈IcP.又因x∈P,x=g(d(x))=supx,故P为相容连续偏序集.充分性对任意x∈P,令d(x)=x,则d为P→Ic(P)的保序映射,∀I∈Ic(P),使得x≤g(I).任意y∈x,存在s∈I使y≤s,从而由I为下集,x⊆I,即d(x)⊆I.因P为相容定向完备偏序集得g(x)=x≤g(I),故g有下伴随d.定理4 设A,B是偏序集,(g,d)为A到B的Galois伴随,则(1)若g保相容定向并,则d保相容≪.(2)若d保相容≪,B为相容连续偏序集,则g保相容定向并.证明 (1)设x≪y,对任意相容定向集D⊆A且d(y)≤supD,则y≤gd(y)≤g(supD)=supg(D).从而存在t∈g(D)使得x≤t,且d(x)≤d(t)∈dg(D)⊆D,所以d(x)≪d(y),即d保相容≪.(2)对于任意相容定向集 D⊆A有g(D)是相容定向集.事实上,由g保序,故g(D)是相容定向的且supg(D)≤g(supD).下证g(supD)≤supg(D).若x≪g(supD),因d保相容≪,可知d(x)≪d(g(supD)),又d(g(supD))≪supD,从而d(x)≤supD.因此存在t∈D,使得d(x)≪t,即t≤g(t)≤supg(D),故t∈↓∨g(D),综上g(supD)⊆↓supg(D).由B为相容连续偏序集可知,g(supD)=supg(supD)≤sup↓supg(D)=supg(D),故g保相容定向并.定义2 设A,B为相容定向完备偏序集,令C(A,B)为A到B的全体相容定向连续映射构成的集合,定义C(A,B)中偏序关系≤如下：f≤g⟹f(x)≤g(x),∀x∈A.定理5 设A,B为相容定向完备偏序集,则C(A,B)是相容定向完备偏序集.特别的,当B 是完备格时,C(A,B)是完备格.证明设F为C(A,B)中的任意相容定向集,对任意x∈A,{f(x),f∈F}是B的相容定向集,令(supF)(x)=sup{f(x),f∈F}.对A的任意相容定向集D,有从而∨F∈C(A,B) ,即C(A,B)是相容定向完备偏序集.定理6 设P是相容连续偏序集, σ(P)为P上的Scott拓扑,则下列性质成立:(1)∀x∈P ,x是Scott开集.(2)U⊆P为Scott开集当且仅当U=↑U且y∈U⟹∃x∈U使得x≪y.(3){x:x∈P}是拓扑空间(P,σ(P))的一个基.(4)(x:x≪y} 是y的一个邻域基.(5)x≪y⟹↑x为y的一个邻域.(6)∀U∈σ(P),U=∪{y:y∈U}.(7){x:x∈B}是(P,σ(P))的一个基,其中B是P的一个基.(8)∀x∈P,↑(x)=∩{U|U∈σ(P),x∈U}.证明 (1)∀x∈P,由定义知x是开集.下证它满足任一相容定向集D,当supD∈x时,有x∩D≠∅.由supD∈x可知x≪supD,再由强插入性质可知∃y∈P使得x≪y≪supD,从而∃d∈D满x≪y≪d ,故x≪d即d∈x.因此x∩D≠∅,故x是Scott开集.(2)由定义易证.(3)设y∈U∈σ(P),因P是相容连续偏序集,则supy=y,故supy∈U.因此supy∩U≠∅,即∃x∈U使得x∈y,从而y∈x.所以{x:x∈P}是拓扑空间(P,σ(P))的一个基.(4)由(3)及邻域基的定义易证.(5)由(4)易证.(6)直接易证.(7)由基的定义和强插入性质易证.(8)若x∈P.因Scott开集是上集,故↑(x)⊆∩{U∈σ(L),x∈U}.下证∩{U:U∈σ(L),x∈U}⊆↑(x).设y∈∩{U:U∈σ(L),x∈U},对任意z∈x,有x∈z∈σ(P),从而y∈z.特别地,z≤y.故Vx=x≤y.即y∈↑(x).因此∩{U:U∈σ(L),x∈U}⊆↑(x).所以,(8)成立.推论设P是相容连续偏序集, x,y∈P,a≠b,则存在Scott开滤子F⊆P使得a∈F,b∉F.参考文献【相关文献】[1] Gierz G,Hofmann K H, Keimel K, et al. Continuous lattices and domains[M].Cambridge University press,2003.[2] 郑崇友,樊磊,崔宏斌.Frame与连续格[M].北京:首都师范大学出版社,2000.[3] 徐罗山.相容连续偏序集及其定向完备化[J].扬州大学学报:自然科学版,2000,3(1)：1-10.[4] 徐晓泉.完备格的关系表示理论及其应用[D].四川大学,2004.[5] 李娇,徐晓泉.相容连续Domain的序同态扩张[J].江西师范大学学报:自然科学版,2011,35(4):373-378.[6] 梁晓荣.相容连续Domain的序同态[J].模糊系统与数学,2011,25(2):54-59.[7] 刘东明,姜广浩,李辉.相对连续偏序集及其应用[J].天津师范大学学报:自然科学版,2018,38(4):13-16.。
Z-连续偏序集的特征与稠密度
人在文 ［］ ２ 中提出了更为一般的概念 ， ｚ 连续偏序集的概念． 即 ＿ 许多人对此进行 了研究 ， 并将 Ｄ ｍ ｉ理论 中 ｏａ ｎ 许 多结果 推广至 了 ｚ 连 续偏序集 上 ． ＿ 在文 ［］ ， 彬和刘 妮讨论 了连续 ｄｍ ｉ的特 征 与浓 度 ． 文将 其推 ３中 赵 ｏ ａｎ 本
摘要： 该文引入了 二 连续偏序集的局部基和稠密子集的概念 ， 基于此定义了 连续偏序集的特征和稠
密度 ； 出了局部基的刻画 ， 给 并讨论 了 连续偏序集 的特征和稠密度与 连续偏序集上 Ｚ Ｓｏ 拓扑和 ＿ｃｔ ｔ Ｚ Ｌｗ ｏ 拓扑的特征 、 － ａ ｓｒ ｌ 稠密度之间的关 系； 明了 连续偏序集上 Ｚ Ｓｏｔ 证 －ｃｔ拓扑的特征小于或 等于 Ｚ 连 ＿
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第 ３ 卷第 ３ ２ 期
江西 师范 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ＵＲ ＡＬＯＦＪＡ Ｘ Ｒ Ｌ Ｈ『 ０ Ｎ Ｉ ＮＧ ＩＮＯ ＭＡ Ｉ、 ⅣＥＲ ｒ１（ ＡＴ ＲＡ ＣＥ Ｅ ｓ Ｉ Ｎ Ｕ Ｌ Ｓ ＩＮＣ Ｙ
定 义 ７ 设 Ｐ为 Ｚ 完 备 偏 序 集 ， ｏ （ ． 令 ． Ｐ）＝ ｛ Ｕ ＝ 十 且 ＶＳＥ Ｚ（ ，ｕ ｓＥ ＝ ５ ｎ ｚ Ｕ ｃ Ｐ： Ｐ）ｓｐ ＝ ＞ Ｕ ≠ ｝ 以 （ 为 开子 基生成 的拓扑称 为 Ｐ上 的 Ｚ Ｓ ｏ 拓 扑 ， ， Ｐ） － ｃｔ ｔ 记为 ｚ Ｐ） （ （ ． Ｐ）＝ Ｏ （ ｚ ＂ Ｐ）Ｖ ｃ（ 称 Ｚ Ｕ Ｐ）
广至 ｚ 连续偏 序集 情形 ， ＿ 得到 了一系 列相应 的结果 ．
１ 预备知识
在本 文 中 ，ｏｅ表 示所有 以偏序 集为对 象 ， 序映射 为态射 的范 畴 ；ｅ表示 集合 范畴 ． Ｐ ｓｔ 保 Ｓｔ
数学中的拓扑学与连续变换
拓扑学是数学中的一个重要分支，研究的是集合间的连续变换关系。
在数学中，拓扑学的研究对象是集合，而连续变换则是通过一系列的映射实现的。
拓扑学和连续变换的研究对于理解和描述物理世界中的各种现象和现实问题非常重要，因此在数学、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
拓扑学的研究首先关注的是空间的连续性和连接性。
在拓扑学中，集合的子集称为拓扑。
拓扑学的基本思想是，通过定义集合和子集间的映射，研究集合中元素之间的关系。
特别是对于空间中的连续性和连接性进行研究，可以对不同空间中的特性进行刻画和比较。
拓扑学的基本研究对象是点和集合，而不需要涉及具体的度量和坐标系统。
在拓扑学中，连续变换是非常重要的概念。
连续变换指的是将一个点从一个集合映射到另一个集合的过程，同时保持点之间的连接性和连续性。
在连续变换的过程中，点的位置可以发生改变，但点与点之间的关系不会发生变化。
例如，将一个纸杯沿着一个环形轨道有限次数旋转后放回原处，这个过程就是一个连续变换。
连续变换的研究可以帮助我们理解和描述物理世界中的各种现象和现实问题。
例如，在物理学中，连续变换可以用来描述粒子的运动，帮助我们理解物体在空间中的位置变化和相对位置的关系。
在化学中，连续变换可以用来描述分子的构型变化和物质的相变过程。
在计算机科学中，连续变换可以用来研究图像处理和计算机图形学中的几何变换。
此外，拓扑学和连续变换在现代数学的发展中也发挥着重要作用。
拓扑学的基本思想贯穿了现代数学的各个分支，并且为其他数学理论的发展提供了基础。
在代数学中，通过拓扑学的方法可以研究群、环和域等代数结构的连续变换。
在几何学中，通过拓扑学的方法可以研究空间的性质和形状。
总之，数学中的拓扑学和连续变换是非常重要的研究领域。
拓扑学通过定义集合和子集间的映射，研究空间的连续性和连接性。
连续变换是将一个点从一个集合映射到另一个集合的过程，保持点之间的连接性和连续性。
拓扑学和连续变换的研究对于理解和描述物理世界中的各种现象和现实问题具有重要意义，并且在数学、物理、计算机科学等多个领域都有广泛应用。
交C-连续偏序集
＠ ｚ （ １ ５ ＫＪ Ｄ１ １ ０ ０ ０ ６ ） ； 江苏
１ ０ ４
高 校 应 用 数 学 学 报
第３ ２ 卷第１ 期
有 的表现 ．比如有界 完备偏 序集 是 交Ｃ ． 连续 的当且仅 当 的有 限交对 非空有界Ｓ ｃ ｏ ｔ ｔ闭集 的并 是分配 的 而有界完备偏序集是 Ｃ 一 连续的当且 仅当它 是交Ｃ 一 连续且 拟Ｃ 一 连续的．
中图分类号： ０ ห้องสมุดไป่ตู้ ５ ３ ． １ ； ０ １ ８ ９ ． １
文献标识码 ： Ａ
文章编号 ： １ ０ ０ ０ — ４ ４ ２ ４ （ ２ ０ １ ７ ） ０ １ — ０ １ ０ ３ — ０ ６
§ １ 引 言
Ｄｏ ｍａ ｉ ｎ 理论【 １ 】 的建立 旨在为计算机高级程序设计语言 的指称语义提供数学模型， 受到计算 机科 学和数 学领域诸 多学者 的关注， 且不 断向信 息科 学， 逻辑 学， 分析 学及 各种应用 学科渗透． Ｄｏ ｍａ ｉ ｎ 理 论或更为一般 的连续偏序集理论体现 了序与拓扑 的相互结合， 其 中一个基本而重要的
高校应用数学学报 ２ ０ １ ７ ， ３ ２ （ １ ） ： １ ０ ３ — １ ０ ８
交Ｃ 一 连续偏序集
毛 徐 新 ， 徐 罗 山
（ １ ．南京航 空航 天大学 理学院，江苏 南京 ２ １ ０ ０ １ ６
２ ．扬 州 大学 数 学 科 学 学 院 ， 江 苏扬 州 ２ ２ ５ ０ ０ ２ ）
§ ２ 预备知识
下面是一些预备知识， 大多采自文献『 １ ， ４ － ６ ］ ． 设（ Ｌ ≤） 是偏序集 ， 其对 偶偏序集 （ ≥） 记为 ．设 ） ， Ｘ ：｛ ∈Ｌ：
， 记Ｔ Ｘ ＝｛ ∈Ｌ： Ｘ∈Ｘ， Ｘ≤
基于偏序集的连续映射
第38卷第1期2024年2月南华大学学报(自然科学版)Journal of University of South China(Science and Technology)Vol.38No.1Feb.2024收稿日期:2023-10-18基金项目:湖南省教育厅科研基金项目(22B0447)作者简介:杨大子(1998 ),男,硕士研究生,主要从事偏序集理论方面的研究㊂E-mail:ydz1344939@㊂∗通信作者:邹志伟(1983 ),男,副教授,博士,主要从事Domain 理论方面的研究㊂E-mail:zouzhiwei1983@DOI :10.19431/ki.1673-0062.2024.01.008基于偏序集的连续映射杨大子,邹志伟∗(南华大学数理学院,湖南,衡阳,421001)摘㊀要:基于实数集R 的经典邻域的概念,引入了一个新的基于偏序集P 的邻域的概念,随后定义了一个从P 到R 的映射的极限和连续的新概念,并在偏序集的背景下验证了连续函数的各种经典结论,例如有界性㊁介值定理等等㊂关键词:偏序集;邻域;极限;连续性中图分类号:O153.1文献标志码:A 文章编号:1673-0062(2024)01-0060-07Continuous Mapping Based on PosetYANG Dazi ,ZOU Zhiwei ∗(School of Mathematics and Physics,University of South China,Hengyang,Hunan 421001,China)Abstract :Different from the classical neighborhood based on real number set R ,this paper introduces we introduce a new notion of neighborhood based on a poset P .Subsequently,the novel notions of limit and continuity of a mapping from P to R are also defined.Various classical results about a continuous functions are verified in the context of poset inthis paper,such as boundness,intermediate value theorem and etc.key words :poset;neighborhood;limit;continuity0㊀引㊀言偏序集作为近代数学三大母结构之一,在数学中是广泛存在的㊂偏序集(P ,ɤ)由一个非空集合P 和满足自反性㊁反对称性和传递性的二元关系 ɤ 组成㊂如果偏序集中任意两个元素都存在上下确界则称为格㊂格论起源于G.Birkhoff在1940年出版的巨著Lattice Theory [1]㊂经过这些年的发展,格论在拓扑学㊁模糊数学㊁组合数学等都得到了广泛的应用[2-8]㊂在微积分中,如果对于定义域中的任一点x ,U (x )⊆R 且f (x )在像集中,存在f (U (x ))⊆U (f (x )),则称函数f 连续㊂连续这一概念是微积分的基础,在微积分理论的发展过程中起到不可第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月或缺的作用㊂同时连续性本身也带来了分析中的许多关键性质和定理,如闭区间上的有界性㊁零点存在定理,介值定理和不动点理论[9]等等㊂函数是一个从实数集R 的子集到实数集R 的映射,类似地在偏序集理论中也有从偏序集到偏序集的映射㊂考虑到实数集可以看作是一个特殊的偏序集,那么如何定义和研究从偏序集到实数集的连续映射,推广连续函数的性质成为有意义的?函数的极限和连续性的概念是基于邻域的概念,因此可以首先在偏序集上定义邻域的概念;其次,定义从P 到R 的映射上的极限的概念并推广相关性质;然后给出从P 到R 的映射的连续的概念并着手对其性质进行研究㊂考虑闭区间上连续函数的性质,需要将它们推广到从P 到R 的映射上,由于一般偏序集不具有实数集的完备性,所以不能使这些性质成立,因此,需要完备格来代替一般偏序集㊂最后,才能在此背景下验证数学分析中的各种重要定理㊂1㊀预备知识下文将使用以下基本定义和命题㊂定义1[10]㊀设P 为偏序集,称P 有一个底元,如果存在ʅɪP 且对任意的x ɪP 有ʅɤx ㊂对偶地,P 有一个顶元,如果存在ʅɪP 使得对于任意的x ɪP 有x ɤʅ㊂对于a ,b ɪP ,如果它们满足a ɤb 且a ʂb ,则记为a <b ㊂定义2[10]㊀设P 为偏序集且x ,y ɪP ,称x 被y 覆盖(或y 覆盖x ),并且写作x ≼y 或y ≽x ,如果x <y 且x ɤz <y 蕴含z =x ㊂后一个条件要求不存在z ɪP 使得x <z <y ㊂定义3[10]㊀假设P 和Q 是(不相交的)偏序集㊂P 和Q 的不交并集PQ 是偏序集,在PQ中定义x ɤy 当且仅当x ,y ɪP 且在P 中x ɤy 或者x ,y ɪQ 且在Q 中x ɤy ㊂设P 为偏序集且取Q ⊆P ,那么称a ɪQ 是Q 的一个极大元,如果a ɤx 且x ɪQ 蕴含a =x ,记Q 的极大元的集合为Max Q ㊂如果Q (继承P 中的序)有顶元ʅQ ,那么Max Q ={ʅQ },这种情况下ʅQ 称为Q 中的最大元,写作max Q =ʅQ ;极小元㊁极小元的集合Min Q 和最小元min Q 的定义与上对偶㊂定义4[10]㊀设P 是一个非空偏序集,如果对于所有的S ⊆P ,ᶱS 和ɡS 都存在,那么P 被称为完备格㊂其中用x ᶱy 代替sup{x ,y },x ɡy 代替inf{x ,y },类似地用ᶱS 和ɡS 代替sup S 和inf S (如果它们存在)㊂命题1[11]㊀设P 是一个偏序集,若任意并存在(或者任意交存在),则P 为完备格㊂2㊀主要结论2.1㊀邻域和极限设P 为偏序集且在P 中有a <b ㊂称子集{x ɪP a ɤx ɤb }为闭区间,记为[a ,b ];称子集{x ɪP a <x <b }为开区间,记为(a ,b )㊂定义5㊀设P 为偏序集,对于P 中的点x (1)若存在a ɪP 使得a <x ,则称[a ,x ]为x的一个左邻域,记作U -(x ,a ),简记为U -(x );称[a ,x )为x 的一个去心左邻域,记作U ㊂-(x ,a ),简记为U ㊂-(x );(2)若存在b ɪP 使得x <b ,则称[x ,b ]为x 的一个右邻域,记作U +(x ,b ),简记为U +(x );称(x ,b ]为x 的一个去心右邻域,记作U ㊂+(x ,b ),简记为U ㊂+(x );(3)若存在a ,b ɪP 使得a <x <b ,则称[a ,x ]ɣ[x ,b ]为x 的一个邻域,记作U (x ,a ,b ),简记为U (x );称[a ,x )ɣ(x ,b ]为x 的一个去心邻域,记作U ㊂(x ,a ,b ),简记为U ㊂(x )㊂基于邻域的概念,极限的概念可以如下定义:定义6㊀设P 为偏序集,f :P ңR 为一个映射,x 0ɪP 且A ɪR ㊂(1)对任意的ε>0和a <x 0㊂存在U ㊂-(x 0)⊆[a ,x 0),使得对于任意的x ɪU ㊂-(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的左极限,记为lim x ңx -0f (x )=A ;(2)对任意的ε>0和x 0<b ㊂存在U ㊂+(x 0)⊆(x 0,b ],使得对于任意的x ɪU ㊂+(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的右极限,记为lim x ңx +0f (x )=A ;(3)对任意的ε>0和a <x 0<b ㊂存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有f (x )-A <ε,则称A 为f 在x 0的极限,记为lim x ңx 0f (x )=A ㊂注1:如果x 0ɪP 没有左(右)邻域但是映射f在x 0处有右(左)极限时,亦称f 在点x 0处有极限㊂命题2㊀假设A 与B 都是f 在点x 0的极限,第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月则A =B ㊂证明:由极限的定义,可知对任意的ε>0和P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0),f (x )-A <ε2成立㊂对U ㊂1(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂2(x 0),f (x )-B <ε2成立㊂则对于任意的x ɪU ㊂2(x 0),使得|A -B |ɤf (x )-A +f (x )-B <ε由于ε可以无限接近于0,可知A =B ㊂证毕㊂命题3㊀若lim x ңx 0f (x )=A ,lim x ңx 0g (x )=B ,且A >B ,则存在U ㊂(x 0),使得对于任意x ɪU ㊂(x 0),有f (x )>g (x )㊂证明:取ε0=A -B2>0㊂由lim x ңx 0f (x )=A ,对于P中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0),有f (x )-A <ε0,从而A +B2<f (x );由lim x ңx 0g (x )=B ,对U ㊂1(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂2(x 0),有|g (x )-B |<ε0,从而g (x )<A +B2㊂则对于任意的x ɪU ㊂2(x 0),有g (x )<A +B2<f (x )㊂证毕㊂推论1㊀若lim x ңx 0f (x )=A >0,对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0),f (x )>A2>0成立㊂证明:令g (x )=A2,由命题3可知存在U ㊂(x 0)⊆P ,使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有f (x )>A2>0㊂证毕㊂对偶地,当A <0时,有f (x )<A2<0㊂推论2㊀如果lim x ңx 0f (x )=A >0,lim x ңx 0g (x )=B ,那么对P 中任意的a <x 0<b 存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0)有g (x )ɤf (x ),那么B ɤA ㊂证明:假设B >A ,则由命题3,对U ㊂(x 0)中任意的c <x 0<d ,存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,c ,d ),使得对任意的x ɪU ㊂1(x 0)有g (x )>f (x )㊂可知对于任意的x ɪU ㊂1(x 0)既有g (x )ɤf (x )又有g (x )>f (x ),从而产生矛盾㊂证毕㊂推论3㊀令lim x ңx 0f (x )=A >0,对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得f (x )在U ㊂(x 0)中有界㊂证明:取常数M 和m ,满足m <A <M ,并且令g (x )=m ,h (x )=M 为两个常值映射㊂由命题3可知对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对任意的x ɪU ㊂(x 0)有m <f (x )<M ㊂证毕㊂如果f 在x 0有定义,取G =max{|m |,|M |,|f (x )|},则对任意x ɪU (x 0)有f (x )ɤG ㊂命题4㊀如果对P 中任意的a <x 0<b ,存在U ㊂(x 0)⊆U ㊂(x 0,a ,b ),使得对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有g (x )ɤf (x )ɤh (x ),并且lim x ңx 0g (x )=lim x ңx 0h (x )=A ,那么lim x ңx 0f (x )=A ㊂证明:对于任意的ε>0和U ㊂(x 0)中任意的a 1<x 0<b 1㊂由lim x ңx 0h (x )=A 可知存在U ㊂1(x 0)⊆U ㊂(x 0,a 1,b 1),使得对于任意的x ɪU ㊂1(x 0)有|h (x )-A |<ε,那么h (x )<A +ε㊂由lim x ңx 0g (x )=A ,对U ㊂1(x 0)中任意的a 2<x 0<b 2可知存在U ㊂2(x 0)⊆U ㊂(x 0,a 2,b 2),使得对于任意的x ɪU ㊂2(x 0)有|g (x )-A |<ε,那么A -ε<g (x )㊂对任意的x ɪU ㊂2(x 0)有A -ε<g (x )ɤf (x )ɤh (x )<A +ε即lim x ңx 0f (x )=A ㊂证毕㊂2.2㊀连续性定义7㊀设P 为偏序集,x 0ɪP 且f :P ңR ㊂(1)若lim x ңx -0f (x )=f (x 0)或者x 0没有左邻域,称f 在x 0处左连续;(2)若lim x ңx +0f (x )=f (x 0)或者x 0没有右邻域,称f 在x 0处右连续;(3)如果f 在x 0处既左连续又右连续,那么f 在x 0处连续;(4)对任意的x ɪP ,如果f 在x 处连续,那么f 在P 上连续㊂第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月以lim x ңx -0f (x )=f (x 0)为例㊂由极限的定义,左极限存在且等于f (x 0)当且仅当对于任意的ε>0和a <x 0,存在U ㊂-(x 0)⊆[a ,x 0),使得对于任意的x ɪU ㊂-(x 0)有f (x )-f (x 0)<ε㊂然后称使得f (x )-f (x 0)<ε成立的所有U ㊂-(x 0)的集族为x 0的连续左邻域系并记作U P -(x 0,ε)㊂类似地,连续右邻域系U P +(x 0,ε)和连续邻域系U P (x 0,ε)㊂若P 为一个反链,则映射f :P ңR 连续㊂证明:因为P 是一个反链,所以任意的x ɪP 都没有左右邻域,所以f 在任意x ɪP 上连续,所以f 在P 上连续㊂证毕㊂定义8㊀设P 为偏序集,对于任意的a ,b ɪP ,如果P 中存在一列有限个元素即x 1,x 2, ,x n ,使得序列a ,x 1,x 2, ,x n ,b 任意相邻两个元素之间存在覆盖关系,则称a 与b 有关系,记为a ~b ,反之则称a 与b 没有关系㊂定理1㊀设P 为有限偏序集,f :P ңR 为一个映射,则以下条件等价:(1)f 在P 上连续;(2)∀a ,b ɪP ,若a ≼b ,则f (a )=f (b );(3)∀a ,b ɪP ,若a ~b ,则f (a )=f (b )㊂证明:(1)⇒(2)假设存在a ,b ɪP 且a ≼b ,使得f (a )ʂf (b ),那么对于点a ,存在ε=f (a )-f (b )2>0,有f (a )-f (b )>ε,则映射f 在点a 处不连续,与条件(1)矛盾;(2)⇒(3)由定义8可知对a ~b ,则P 中存在一列有限个元素x 1,x 2, ,x n ,使得序列a ,x 1,x 2, ,x n ,b 任意相邻两个元素之间存在覆盖关系,由条件(2)可知任意两个元素之间如果存在覆盖关系则他们在映射的作用下的像相等,此即f (a )=f (x 1)=f (x 2)= =f (x n )=f (b );(3)⇒(1)由条件(3)可知对任意的a ɪP ,若存在b ɪP ,使得a ~b ,则f (a )=f (b )㊂此即对任意的ε>0,存在U ㊂-(a )ʂØ或U ㊂+(a )ʂØ,使得对任意x ɪU ㊂-(a )或任意x ɪU ㊂+(a )时,有f (x )-f (a )<ε㊂对任意a ɪP ,如果任意U ㊂(a )=Ø,那么映射f 在点a 处连续㊂因为点a 是P 中任意点,所以f 在P 上连续㊂证毕㊂设P 为偏序集,P 1⊆P 且f 是从P 到R 的映射㊂构造一个映射f P 1:P 1ңR 且其满足f P 1(x )=f (x )㊂那么称fP 1是f 的投影㊂定理2㊀假设f 在P 上连续,取P 1⊆P ,映射fP 1在P 1上连续,如果P 1满足以下条件:(1)对任意的a ,x 0ɪP 1且a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0};(2)对任意的b ,x 0ɪP 1且x 0<b ,有{x ɪP 1x 0<x ɤb }={x ɪP x 0<x ɤb }㊂证明:对任意的x 0ɪP 1,如果x 0在P 1上没有左邻域,那么fP 1在x 0处左连续㊂如果x 0在P 1上有左邻域,因为f 在x 0处连续,所以对于任意的ε>0存在U P -(x 0,ε)㊂由条件(1)对P 1中任意的a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0},易知存在U ㊂-(x 0)⊆{x ɪP 1a ɤx <x 0},使得U ㊂-(x 0)ɪU P -(x 0,ε)㊂那么f P 1在x 0处左连续㊂对偶地,fP 1在x 0处右连续㊂这能推出fP 1在P 1上连续㊂证毕㊂定理3㊀设P 1,P 2是两个不相交的偏序集,且令P =P 1P 2,则以下条件等价:(1)映射f 在P 上连续;(2)映射f P i 在P i (i =1,2)上连续㊂证明:(1)⇒(2)只需证明fP 1在P 1上连续㊂由条件(1),f 在任意x ɪP 处连续㊂取任意x 0ɪP 1,如果x 0在P 1上有左邻域,因为P 1,P 2是两个不相交的偏序集,所以对P 1中任意的a <x 0,有{x ɪP 1a ɤx <x 0}={x ɪP a ɤx <x 0}㊂对偶地,对P 1中任意的x 0<b ,有{x ɪP 1x 0<x ɤb }={x ɪP x 0<x ɤb }㊂由定理2可知映射f P 1在P 1上连续㊂类似地f P 2在P 2上连续㊂(2)⇒(1)因为fP i在P i (i =1,2)上连续,对任意x ɪP ,x ɪP 1或者x ɪP 2,所以映射f 在P 上连续㊂证毕㊂注2:若存在一族两两不相交的偏序集{P γ}γɪΓ,令P =γɪΓP γ,映射f 在P 上连续当且仅当映射f P γ在任意P γ上连续㊂证明过程与定理3一致㊂2.3㊀连续映射的性质设P 为偏序集㊂对于P 中任意a ɤb ,[a ,b ]是P 上的闭区间㊂定理4㊀设P 为偏序集,f :P ңR 为一个映射㊂对P 中任意的a ɤb ,如果映射f 在P 上连续,那么在f 闭区间[a ,b ]⊆P 上连续㊂证明:若a ≼b ,则f (a )=f (b ),即f 在闭区间[a ,b ]上连续㊂如果(a ,b )ʂØ,对任意的x 0ɪ[a ,b ]㊂容易知道对于[a ,b ]中任意的y <x 0,有{x ɪ[a ,b ]y ɤx <x 0}={x ɪP y ɤx <x 0}㊂对偶的对于[a ,b ]中任意的x 0<z ,有{x ɪ[a ,b ]x 0<第38卷第1期南华大学学报(自然科学版)2024年2月x ɤz }={x ɪP x 0<x ɤz }㊂然后根据定理2,f 在[a ,b ]上连续㊂证毕㊂找到闭区间之后,发现上面的这些性质在偏序集上不一定成立㊂下面是两个反例㊂例2㊀设P 为(R \{0},ɤ),对任意的x ɪP有f (x )=1|x |㊂以闭区间[-1,1]⊆P 为例㊂由定理4,f 在[-1,1]上连续,容易发现lim x ң0f (x )=+ɕ,于是映射f 无界并且没有最大值㊂例3㊀设P 为(R \{0},ɤ),对任意的x ɪP 有f (x )=x ㊂以闭区间[-1,1]⊆P 为例㊂由定理4,f 在[-1,1]上连续,f (-1)=-1<0且f (1)=1>0,但是0在P 中没有原像,所以零点存在定理和介值定理在偏序集上的闭区间上也不一定成立㊂从数学分析中可以看出,如果没有实数集的完备性,就不能建立闭区间上连续函数的性质㊂从以上两个例子可以看出,与实数集相比,一般偏序集缺乏完备性㊂为此,选择了一个特殊的偏序集 完备格,并考虑它的完备性㊂类似于实数理论,首先定义序列及其极限的概念㊂设P 为偏序集,P 中的一列由正整数编号的元素x 1,x 2, ,x n 被称为一个序列,记作{x n }㊂定义9㊀设P 为偏序集,{x n }为P 中的序列且x 0ɪP ㊂如果P 中有一条升链{a n }和一条降链{b n }并且sup {a n }=inf {b n }=x 0㊂对于任意的m ɪN +,存在N >0使得对于任意的n >N 有x n ɪU (x 0,a m ,b m )㊂那么序列{x n }趋近于x 0㊂称x 0为{x n }的极限并记作lim n ң+ɕx n =x 0㊂命题5㊀如果f :P ңR 连续且lim n ң+ɕx n =x 0,则f (lim n ң+ɕx n )=lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)㊂证明:由lim n ң+ɕx n =x 0可知f (lim n ң+ɕx n )=f (x 0)㊂对任意的ε>0,又因为lim n ң+ɕx n =x 0可知P 中有一条升链{a n }和一条降链{b n }并且sup{a n }=inf{b n }=x 0㊂对于任意的m ɪN +,存在N >0使得对于任意的n >N 有x n ɪU (x 0,a m ,b m )㊂因为f 在P 上连续,对a 1<x 0<b 1,存在m >0使得对任意的x ɪU ㊂(x 0,a m ,b m )有f (x )-f (x 0)<ε㊂因为x n ɪU (x 0,a m ,b m ),所以对于任意n >N 有f (x n )-f (x 0)<ε㊂所以lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)㊂证毕㊂设P 为完备格,S 为P 任意非空子集㊂由完备格的定义可知sup S 和inf S 在P 中存在㊂然后通过实数理论研究完备格的一些完备性质㊂实数理论的确界原理在完备格上自然成立㊂然后我们由实数理论来考虑完备格的完备性质㊂命题6㊀设P 为偏序集,对P 1⊆P ,X ⊆P 1,若sup PX ɪP 1,则sup P 1X 存在且sup P 1X =sup PX ㊂证明:令a =sup PX ɪP 1,首先对于任意的x ɪX ,有x ɤa ㊂若存在y ɪP 1,使得对任意的x ɪX 有x ɤy ,则y 在P 中为X 的上界,所以a ɤy ,即a 为X 在P 1的上确界,即sup P 1X =sup PX ㊂证毕㊂命题7㊀设P 为完备格,对于P 中任意的a ɤb ,[a ,b ]也为完备格㊂证明:对任意的X ⊆[a ,b ]⊆P ,sup P X 存在㊂因为对任意的x ɪX 有a ɤx ɤb ,所以sup PX ɪ[a ,b ]㊂由命题6可知,sup [a ,b ]X 存在且sup [a ,b ]X =sup PX ,由命题1,[a ,b ]为完备格㊂证毕㊂注3:由完备格定义可知,完备格自身也为闭区间形如[ʅ,ʅ]㊂如果没有特殊说明,以下的P 为完备格㊂命题8㊀设{x n }为P 中的序列,若{x n }单调递增且有上界,则序列{x n }有极限且极限为上确界㊂证明:设x 0=sup{x n },构造集合E ={x n n =1,2, }⊆P ,所以ᶱE 存在且ᶱE =x 0㊂取{a n }={x n }且取{b n }={x 0,x 0, },则对任意的m ɪN +,存在N >0,使得对任意的n >N ,有x n ɪ[a m ,x 0]ɣ[x 0,b m ]=[a m ,x 0],则lim n ң+ɕx n =x 0㊂证毕㊂对偶地,当{x n }单调递减且有下界时lim n ң+ɕx n =inf{x n }㊂命题9㊀有界序列有收敛子列㊂证明:设{x n }为P 上有界序列㊂首先证明单调子列的存在性㊂如果{x n }中存在单调增子列{x n k },那么证明完毕㊂如果{x n }中不存在单调增子列,那么存在n 1>n 总有x n 1ɤx n ㊂类似地,{x n }(n >n 1)中也不存在单调增子列,存在n 2>n 1总有x n 2ɤx n 1ɤx n ㊂如此无限下去,可以得到一列单调递减子列{x n k }㊂那么有界序列存在单调子列{x n k },又因为它有界由命题8可知{x n k }收敛㊂证毕㊂定理5㊀若映射f :P ңR 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,则它在[a ,b ]上有界㊂证明:假设f 在[a ,b ]上无界,则对于每个正实数A ,都存在x ɪ[a ,b ],使得f (x )ȡA ;所以对每个n ɪN +,存在x ɪ[a ,b ],使得f (x )ȡn ㊂由命题9,可以找到一个序列{x n }⊆[a ,b ](n ɪN +),使得f (x n )ȡn ㊂由命题9可知{x n }(n ɪ第38卷第1期杨大子等:基于偏序集的连续映射2024年2月N +)有收敛子列{x n k }(k ɪN +)㊂令x 0=lim k ң+ɕx n k 并且构造集合E ={x n k k =1,2, }⊆[a ,b ],那么x 0ɪ[a ,b ]㊂又因为f 在[a ,b ]上连续,由命题5易知f (lim n ң+ɕx n )=lim n ң+ɕf (x n )=f (x 0)且f (x 0)<+ɕ㊂所以lim k ң+ɕf (x n k )<+ɕ㊂对于f (x n k )ȡn k ȡk ,lim k ң+ɕf (x n k )=+ɕ,产生矛盾㊂所以f 在[a ,b ]上有界㊂证毕㊂为了验证最值定理,本文引入了复合映射的概念㊂设映射f :P ңR 和函数g :R ңR ,称g f :P ңR 为复合映射㊂定理6㊀如果u =f (x )在点x 0处连续且u 0=f (x 0)并且y =g (u )在点u 0处连续,则g f :P ңR 在点x 0处连续㊂证明:对任意ε>0,由于lim u ңu 0g (u )=g (u 0),存在U ㊂(u 0)⊂R ,使得对于任意u ɪU ㊂(u 0),有g (u )-g (u 0)<ε㊂因为lim x ңx 0f (x )=f (x 0)=u 0,存在U ㊂(x 0)⊂P ,使得对于任意x ɪU ㊂(x 0),有f (x )ɪU ㊂(u 0)㊂那么对于任意的x ɪU ㊂(x 0)有g f (x )-g f (x 0)=g f (x )-g (u 0)<ε,此即lim x ңx 0g f (x )=g f (x 0)㊂证毕㊂由定理6可知当映射f :P ңR 在P 上连续,函数g :R ңR 在R f 上连续时,复合映射g f :P ңR 在P 上连续㊂定理7㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,则它在[a ,b ]上能取到最大值和最小值,即存在A ,B ɪ[a ,b ],对任意x ɪ[a ,b ]有f (A )ɤf (x )ɤf (B )㊂证明:由定理5,集合R f ={f (x )x ɪ[a ,b ]}是一个有界实数集,所以必有上下确界,记m =inf R f ,M =sup R f ㊂接着需要证明存在B ɪ[a ,b ],使得f (B )=M ㊂假设对于任意x ɪ[a ,b ]有f (x )<M ㊂令g (x )=1M -f (x ),x ɪ[a ,b ]㊂由定理6,复合映射g f :P ңR 在[a ,b ]上连续且值为正的㊂那么g 在[a ,b ]上有上确界并记为G ㊂则有0<g (x )=1M -f (x )ɤG ,x ɪ[a ,b ]㊂从而推得f (x )ɤM -1G,x ɪ[a ,b ]㊂这与M 为f ([a ,b ])的上确界相矛盾,所以必有B ɪ[a ,b ],使得f (B )=M ,即f 在[a ,b ]上有最大值㊂同理可证f 在[a ,b ]上有最小值㊂证毕㊂以下是数学分析中零点存在定理的推广㊂定理8㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续且f (a )㊃f (b )<0,则存在c ɪ(a ,b ),使得f (c )=0㊂证明:不失一般性,不妨设f (a )<0,f (b )>0,集合E ={x ɪ[a ,b ]f (x )<0},显然E 有底元a ,且存在极大元集合Max E ⊆E ,因为f (a )<0,所以Max E 和E 非空㊂对任意的c ɪMax E ,c ɪ[a ,b ]㊂假设f (c )ʂ0㊂如果f (c )>0,由推论1,存在U ㊂-(c )⊆[a ,b ],使得对于任意的x ɪU ㊂-(c )有f (x )>0,那么U ㊂-(c )ɘE ʂØ,这与c ɪMax E 矛盾㊂如果f (c )<0,对于f (b )>0且c <b ,由命题3,存在U ㊂+(c )⊆[a ,b ],使得对任意的x ɪU ㊂+(c )有f (x )<0,这与c ɪMax E 矛盾㊂所以f (c )=0㊂证毕㊂定理9㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,存在A ,B ɪ[a ,b ],使得m =f (A )=inf R f ,M =f (B )=sup R f ㊂那么映射f 在[a ,b ]上能取到[m ,M ]中的任意值㊂证明:对于A ,B ɪ[a ,b ]⊆P ,A 和B 不一定比,所以取两个闭区间[a ,A ]和[a ,B ],因为对任意的x ɪ[a ,b ]有f (A )ɤf (x )ɤf (a )或者f (a )ɤf (x )ɤf (B )㊂取任意y ɪ(m ,f (a )),令g (x )=f (x )-y ,易知g (A )<0且g (a )>0,由定理8,存在c ɪ(a ,A ),使得g (c )=0㊂类似地,对于任意地y ɪ(f (a ),M ),存在c ɪ(a ,B ),使得g (c )=0㊂证毕㊂推论4㊀如果映射f 在闭区间[a ,b ]⊆P 上连续,m 是最小值,M 是最大值,则映射的值域是闭区间R f =[m ,M ]㊂参考文献:[1]BIRKHOFF ttice theory[M].Providence:American Mathematical Society,1940:1-20.[2]JIN Q,LI L Q,MA Z M,et al.A note on the relationshipsbetween generalized rough sets and topologies[J].Inter-national journal of approximate reasoning,2021,130(1):292-296.[3]PEI Z,PEI D W,ZHENG L.Topology vs generalizedrough sets[J].International journal of approximate rea-soning,2011,52(2):231-239.(下转第89页)第38卷第1期屈㊀星等:一种考虑光伏发电系统的广义综合模型2024年2月(5):312-318.[15]李培强,曾小军,黄际元,等.面向综合负荷的并网光伏发电系统等效建模[J].电力系统自动化,2016,40(8):43-50.[16]盛四清,关皓闻,雷业涛,等.基于混沌海鸥优化算法的含光伏发电系统负荷模型参数辨识[J].太阳能学报,2022,43(7):64-72.[17]李善寿,张兴.改进的光伏组件工程数学模型建模方法[J].电力自动化设备,2015,35(9):108-112. 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数学中的拓扑与连续性
数学中的拓扑与连续性数学是一门广阔而又深奥的学科，其中拓扑和连续性是其中重要的概念和理论之一。
拓扑学研究的是集合之间的一种关系，而连续性是分析函数和空间之间的性质。
在数学的发展过程中，拓扑和连续性的应用越来越广泛，并在各个领域中发挥着重要的作用。
一、拓扑的基本概念拓扑学是研究集合之间的一种关系和性质的学科。
在拓扑学中，我们关注的是集合中元素之间的邻近性和包含关系。
拓扑学主要研究的对象是拓扑空间，而拓扑空间是一个集合和该集合上的一些特定子集构成的一对。
拓扑空间中的子集被称为开集，而拓扑空间本身满足一定的公理，例如空集和整个集合都是开集，开集的任意个并集仍然是开集等。
二、连续性的基本概念连续性是分析函数和空间之间的性质。
在数学中，我们经常研究函数的连续性以及函数在拓扑空间中的连续性。
对于函数而言，如果函数在某一点的左极限等于右极限且有定义，则称该函数在该点连续。
在拓扑空间中，如果一个函数的原象的开集的逆象是开集，那么这个函数就是连续函数。
三、拓扑与连续性的关系拓扑和连续性是数学中密不可分的概念。
拓扑空间中的开集构成了连续函数的关键性质，而连续性是拓扑空间中元素之间的邻近性的重要判断标准。
拓扑和连续性的研究在数学分析、几何学、拓扑学、物理学等多个领域中都有广泛的应用。
在数学分析中，拓扑和连续性理论为函数极限的研究提供了基础。
通过研究函数的连续性，我们可以判断函数在某一点的极限是否存在，并进一步研究函数的性质。
同时，通过拓扑空间中开集的性质，我们可以定义一致连续性、极限点和闭集等重要概念，为函数的分析提供了更高层次的工具。
在几何学中，拓扑和连续性理论在空间形状的研究中起到了重要的作用。
通过研究欧几里得空间中的连续性和拓扑性质，我们可以刻画和描述不同形状的空间结构，并进一步研究其性质和变换。
在物理学中，拓扑和连续性的理论应用非常广泛。
拓扑学的一大应用是在拓扑相变理论中，研究材料在相变过程中的连续性和拓扑性质。
拓扑空间与连续映射
定义2.2.1例2.2.5作业§2.2拓扑空间与连续映射本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．定义2.2.1 设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件：（l）X，∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T ；（3）若则称T是X的一个拓扑．如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间，或称集合X是一个相对于拓扑T而言的拓扑空间；此外T的每一个元素都叫做拓扑空间（X，T）或X中的一个开集．即：A∈T A是开集（此定义与度量空间的开集的性质一样吗）经过简单的归纳立即可见，以上定义中的条件（2）蕴涵着：有限多个开集的交仍是开集，条件（3）蕴涵着：任意多个开集的并仍是开集．现在首先将度量空间纳入拓扑空间的范畴．定义2.2.2 设（X，ρ）是一个度量空间·令为由X中的所有开集构成的集族．根据定理2.1.2，（X，）是X的一个拓扑．我们称为X的由度量ρ诱导出来的拓扑．此外我们约定：如果没有另外的说明，我们提到度量空间（X，ρ）的拓扑时，指的就是拓扑；在称度量空间（X，ρ）为拓扑空间时，指的就是拓扑空间（X，）因此，实数空间R，n维欧氏空间（特别，欧氏平面），Hilbert空间H都可以叫做拓扑空间，它们各自的拓扑便是由例2.1.1，例2.1.2和例2.1.3中定义的各自的度量所诱导出来的拓扑．例2.2.1 平庸空间．设X是一个集合．令T ={X，}．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的平庸拓扑；并且我们称拓扑空间（X，T）为一个平庸空间．在平庸空间（X，T）中，有且仅有两个开集，即X本身和空集．例2.2.2 离散空间．设X是一个集合．令T =P（X），即由X的所有子集构成的族．容易验证，T是X的一个拓扑，称之为X的离散拓扑；可知，在离散空间（X，T）中，X的每一个子集都是开集．例2.2.3 设X＝{a，b，c}．令T ={，{a}，{a，b}，{a，b，c}}．容易验证，T是X的一个拓扑，因此（X，T）是一个拓扑空间．这个拓扑空间既不是平庸空间又不是离散空间．例2.2.4 有限补空间．设X是一个集合．首先我们重申：当我们考虑的问题中的基础集自明时，我们并不每次提起．因此在后文中对于X的每一个子集A，它的补集X－A我们写为．令T ={U X|是X的一个有限子集}∪{}先验证T是X的一个拓扑：（1）X∈T (因为=)；另外，根据定义便有∈T．（2）设A，B∈T如果A和B之中有一个是空集，则A∩B∈T,假定A和B都不是空集．这时是X的一个有限子集，所以A∩B∈T ．（3）设．令,显然有如果，则设任意选取．这时是X的一个有限子集，所以根据上述（1），（2）和（3），P是X的一个拓扑，称之为X的有限补拓扑．拓扑空间（X，P）称为一个有限补空间．例2.2.5 可数补空间．设X是一个集合．令T ={U X|是X的一个可数子集}∪{}通过与例2.2.4中完全类似的做法容易验证（请读者自证）T 是X的一个拓扑，称之为X的可数补拓扑．拓扑空间（X，T ）称为一个可数补空间．一个令人关心的问题是拓扑空间是否真的要比度量空间的范围更广一点？换句话就是问：是否每一个拓扑空间的拓扑都可以由某一个度量诱导出来？定义2.2.3 设（X，P）是一个拓扑空间．如果存在X的一个度量ρ使得拓扑P即是由度量ρ诱导出来的拓扑，则称（X，P）是一个可度量化空间．根据这个定义，前述问题即是：是否每一个拓扑空间都是可度量化空间？从§2．1中的习题2和3可以看出，每一个只含有限个点的度量空间作为拓扑空间都是离散空间．然而一个平庸空间如果含有多于一个点的话，它肯定不是离散空间，因此它不是可度量化的；例2.2.3中给出的那个空间只含有三个点，但不是离散空间，也不是可度量化的．由此可见，拓扑空间是可度量空间的范围要广泛．进一步的问题是满足一些什么条件的拓扑空间是可度量化的？这是点集拓扑学中的重要问题之一，以后我们将专门讨论．现在我们来将度量空间之间的连续映射的概念推广为拓扑空间之间的连续映射．定义2.2.4 设X和Y是两个拓扑空间，f:X→Y．如果Y中每一个开集U的原象（U）是X中的一个开集，则称f是X到Y的一个连续映射，或简称映射f连续．按这种方式定义拓扑空间之间的连续映射，明显是受到了§2．1中的定理2.1.4的启发．并且那个定理也保证了：当X和Y是两个度量空间时，如果f:X→Y是从度量空间X到度量空间Y的一个连续映射，那么它也是从拓扑空间X到拓扑空间Y的一个连续映射，反之亦然．（按照约定，涉及的拓扑当然都是指诱导拓扑）下面的这个定理尽管证明十分容易，但所指出的却是连续映射的最重要的性质．定理2.2.1 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：:X→X是一个连续映射；（2）如果f:X→Y和g:Y→Z都是连续映射，则gof:X→Z也是连续映射．证明（l），所以连续．（2）设f:X→Y,g:Y→Z都是连续映射这证明gof连续．在数学科学的许多学科中都要涉及两类基本对象．如在线性代数中我们考虑线性空间和线性变换，在群论中我们考虑群和同态，在集合论中我们考虑集合和映射，在不同的几何学中考虑各自的图形和各自的变换等等．并且对于后者都要提出一类来予以重视，例如线性代数中的（线性）同构，群论中的同构，集合论中的—一映射，以及初等几何学中的刚体运动（即平移加旋转）等等．我们现在已经提出了两类基本对象，即拓扑空间和连续映射．下面将从连续映射中挑出重要的一类来给予特别的关注．定义2.2.5 设X和Y是两个拓扑空间．如果f：X→Y是一个—一映射，并且f和：Y→X都是连续的，则称f是一个同胚映射或同胚．定理2.2.2 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）恒同映射：X→X是一个同胚；（2）如果f：X→Y是一个同胚，则：Y→X也是一个同胚；（3）如果f：X→Y和g：Y→Z都是同胚，则gof：X→Z也是一个同胚．证明以下证明中所涉及的根据，可参见定理2.2.1，定理l．5．3和定理1．5．4．（l）是一个—一映射，并且，都是连续的，从而是同胚．（2）设f：X→Y是一个同胚．因此f是一个—一映射，并且f和都是连续的．于是也是一个—一映射并且和也都是连续的，所以也是一个同胚．（3）设f：X→Y和g：Y→Z都是同胚．因此f和g都是—一映射，并且f，，g和都是连续的．因此gof也是—一映射，并且gof和都是连续的．所以gof是一个同胚．定义2.2.6 设X和Y是两个拓扑空间．如果存在一个同胚f：X→Y，则称拓扑空间X 与拓扑空间Y是同胚的，或称X与Y同胚，或称X同胚于Y．粗略地说，同胚的两个空间实际上便是两个具有相同拓扑结构的空间．定理2.2.3 设X，Y和Z都是拓扑空间．则（1）X与X同胚；（2）如来X与Y同胚，则Y与X同胚；（3）如果X与Y同胚，Y与Z同胚，则X与Z同胚．证明从定理2.2.2直接得到．根据定理2.2.3，我们可以说：在任意给定的一个由拓扑空间组成的族中，两个拓扑空间是否同胚这一关系是一个等价关系．因而同胚关系将这个拓扑空间族分为互不相交的等价类，使得属于同一类的拓扑空间彼此同胚，属于不同类的拓扑空间彼此不同胚．拓扑空间的某种性质P，如果为某一个拓扑空间所具有，则必为与其同胚的任何一个拓扑空间所具有，则称此性质P是一个拓扑不变性质．换言之，拓扑不变性质即为同胚的拓扑空间所共有的性质．拓扑学的中心任务便是研究拓扑不变性质．至此我们已经做完了将数学分析中我们熟知的欧氏空间和欧氏空间之间的连续函数的概念，经由度量空间和度量空间之间的连续映射，一直抽象为拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射这样一个在数学的历史上经过了很长的一段时期才完成的工作．在数学的发展过程中对所研究的问题不断地加以抽象这种做法是屡见不鲜的，但每一次的抽象都是把握住旧的研究对象（或其中的某一个方面）的精粹而进行的一次提升，是一个去粗取精的过程．也正因为如此，新的概念和理论往往有更多的包容．拓扑学无疑也是如此，一方面它使我们对“空间”和“连续”有更为纯正的认识，另一方面也包含了无法列入以往的理论中的新的研究对象（特别是许多无法作为度量空间处理的映射空间）．这一切读者在学习的过程中必然会不断地加深体会．作业：P55 2,5,6,8,9,10。
偏序集上一致连续性的等价刻画与性质
收稿日期: 2018-02-27 修回日期: 2018-07-04 基金项目: 国家自然科学基金(11671008; 11101212; 11701500); 江苏省自然科学基金(BK20170483); 江苏高校品 牌专业建设工程(PPZY2015B109)
§1 引 言
Domain理论[1]的建立旨在为计算机高级程序设计语言的指称语义提供数学模型, 受到计 算机科学和数学领域诸多学者的关注, 且不断向信息科学, 逻辑学, 分析学及各种应用学科渗 透. 通常偏序集的连续性是通过双小于关系及定向逼近性来定义的, 其研究体现了序与拓扑 的相互结合, 其中一个基本而重要的结果是: 一个偏序集是连续的当且仅当它上面的Scott拓 扑是完全分配格[2-3]. 后来人们又提出了偏序集的多种形式的连续性. 作为完全分配格的一 种推广, Zhao和Zhou在偏序集上借助于完全双小于关系引入S-超连续(supercontinuity)的概念, 并探讨了S-超连续偏序集的序结构性质[4]. 文献[5]则研究了偏序集上的S-超连续性与超连续 性(Hypercontinuity), C-连续性等广义连续性间的关系. 文献[6]则进一步在偏序集上引入Scott S-集, S-基, 弱逼近元等概念, 得到了S-超连续偏序集的若干新的刻画.
§2 预备知识
下面是一些预备知识, 大多采自文献[1, 4, 8]. 设(P , )是偏序集. 对x, y ∈ P , x y, 称集合[x, y] = {z ∈ P : x z y} 为P 中由x, y决 定的闭区间, 分别称集合↓ x = {z ∈ P : z x}和↑ x = {z ∈ P : x z}为P 中的由x决定的主理 想和主滤子. 对A ⊆ P , 记↓ A = {y ∈ P : ∃ x ∈ A, y x}, ↑ A = {y ∈ P : ∃ x ∈ A, x y}, 并 称z ∈ P 为A的一个上界(下界), 若A ⊆↓ z (A ⊆↑ z). 若子集A在P 中有上界, 则称A为P 的相容集. 用supP A或 P A表示A在P 中的上确界, 可简 记为sup A或 A. 设(P , )是偏序集, D为P 的非空子集. 若对任意a, b ∈ D, 存在c ∈ D使a c, b c, 则 称D为P 的定向集. 若P 的任意定向集D都存在上确界, 则称P 是定向完备偏序集, 简称dcpo. 若P 中任意非空有限子集都有上确界(下确界), 则称P 是并半格(交半格). 既是并半格又是交 半格称为格. 若P 中任意相容集都有上确界, 则称P 是有界完备偏序集, 简称bc-poset. 容易验 证P 是bc-poset当且仅当P 的任意非空子集都有下确界, 从而任一bc-poset均是交半格. 有界完备 的dcpo简称为bc-dcpo. 若P 中任意子集都有上确界和下确界, 则称P 是完备格. 设P 是偏序集, x, y ∈ P . 若对任意定向集D ⊆ P , 当sup D存在且y sup D时有d ∈ D使x d, 则称x逼近于(或双小于)y, 记作x y. 对任意x ∈ P , 记⇓ x = {y ∈ P : y x}. 若 对任意x ∈ P , 有⇓ x是定向集且sup ⇓ x = x, 则称P 是连续偏序集. 定义2.1(见[7-9]) 设P 是偏序集, S ⊆ P . 若对任意a, b ∈ S, 存在c ∈ P 使a c, b c, 则 称S为P 的一致集. 若P 的任意一致集都存在上确界, 则称P 是一致完备偏序集. 注2.2 显然空集, 定向集和相容集均为一致集, 从而一致完备偏序集都是bc-dcpo. 有最大元 的偏序集中任一集均为一致集. 例2.3 有界完备的dcpo不一定是一致完备的. 例如, 设X = {a, b, c}, 且P(X)为X的幂集格. 令L = P(X)\{X}. 易见L为bc-dcpo. 但L中的一致集{{a}, {b}, {c}}无上确界, 从而L不是一致 完备的. 定义2.4 (见[8-9]) 设P , Q是偏序集, f : P → Q是保序映射. 若对P 的任意存在上确界的 一致集S, 有f ( P S) = Q f (P ), 则称f 是保一致并的, 或称f 是一致连续的. 定 义2.5 (一 致 完 备 情 形 见[8-9]) 设P 是 一 致 完 备 偏 序 集, x, y ∈ P . 若 对 任 意 一 致 集S ⊆ P , 当y sup S时有s ∈ S使x s, 则称x 一致小于y, 记作x v y. 对任意x ∈ P , 记⇓v x = {y ∈ P : y v x}. 若对任意x ∈ P , 有sup ⇓v x = x, 则称P 为一致连续的. 定义2.6 (见[4-6]) 设P 是偏序集, x, y ∈ P . 若对任意子集A ⊆ P , 当∨A存在且y ∨A时 有z ∈ A使x z, 则称x 完全双小于y, 记作x y. 对任意x ∈ P , 记⇓ x = {y ∈ P : y x}, ⇑ x = {y ∈ P : x y}. 偏序集P 称为S-超连续偏序集, 若对任意x ∈ P , 有x = ⇓ x. 下一引理说明S-超连续偏序集上的 关系具有插值性质.
度量空间的拓扑性质与连续性
——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 8 -1.2 度量空间的拓扑性质与连续性 1.2.1 度量空间的拓扑性质定义1.2.1 邻域设(,)X d 是度量空间，0x X ∈，0δ>，称集合0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=<∈为以0x 为中心，δ为半径的开球，或0x 的一个δ邻域．如果不特别强调半径，用0()O x 表示0x 的半径；称0(,)O x δ0{|(,),}x d x x x X δ=≤∈为闭球．定义1.2.2 内点、开集与闭集设(,)X d 是一度量空间，0x G X ∈⊂，若存在0x 的δ邻域0(,)O x δG ⊂，则称点0x 为G 的内点．如果G 中的每个点均是它的内点，则称G 为开集．并规定空集φ为开集．对于F X ⊂，若C F X F =−是开集，则称F 为闭集．注1：实数域中的任何开球是开集，闭球是闭集，对于度量空间其结论如何？ 例1.2.1 度量空间(,)X d 的开球0(,)O x δ是开集．证明 x ∀∈0(,)O x δ,显然0(,)d x x δ<，取*01((,))2d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则对任何*(,)y O x δ∈，都有*(,)d x y δ<，从而0(,)d y x 0(,)(,)d y x d x x ≤+*0(,)d x x δ<+δ<．即*(,)O x δ⊂0(,)O x δ,所以0(,)O x δ是开集．□图2.1 例1.2.1和例1.2.2证明示意图例1.2.2 度量空间(,)X d 的闭球0(,)O x δ是闭集．证明 0((,))C x O x δ∀∈，显然0(,)d x x δ>，取*01((,))2d x x δδ=−，即*02(,)d x x δδ+=，则*(,)y O x δ∀∈，有*00(,)(,)(,)2(,)d y x d x x d y x d y x δδδ≥−=+−>可见0(,))C y O x δ∈，即*(,)O x δ⊂0(,))C O x δ，从而0((,))C O x δ为开集，故0,)O x δ为闭集．例1.2.3 设0(,)X d 是离散度量空间，A 是X 的任意非空子集，证明A 既是开集又是闭集． 证明 0x A ∀∈，取 12δ=，则{}000011(,)|(,),22O x x d x x x X x A ⎧⎫=<∈=⊂⎨⎬⎩⎭，故0x 是A 的内点，从而A 是开集．由于X A −是X 的子集，故它是开集，从而A 是闭集．□下面是一些与实数域相类似的开集、闭集性质，仿照相应的证明可证得． 定理1.2.1（开集的性质）度量空间X 中的开集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是开集； (2) 任意多个开集的并集是开集； (3) 有限个开集的交集是开集.定理1.2.2（闭集的性质）度量空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.3 聚点与闭包设(,)X d 是一度量空间， A X ⊂，0x X ∈，如果在0x 的任意δ邻域0(,)O x δ内含有A 中异于0x 的点，则称0x 是A 的一个聚点或极限点．A 的全体聚点所构成的集合称为A 的导集，记为A ′，称A A ′U 称为A 的闭包，记为．注2：由聚点的定义知，0x 可以在A 中，也可以不在A 中．0x 是A 的一个聚点的一个等价定义是：0x 的任意一个去心δ邻域与A 的交非空．定理1.2.3 设(,)X d 是度量空间,0x X ∈,A X ⊂,那么下面的命题成立: (1) 0x A ′∈当且仅当存在{}n x A ⊂，使得0lim n n x x →∞= ；(2) A 是闭集；(3) A 是闭集当且仅当A A =.注3： 对于度量空间(,)X d , 设A 是X 的非空子集,则A 为闭集的充要条件是A A ′⊂. 如果A φ′≠,那么A 为闭集.定义1.2.4 边界点与孤立点设(,)X d 是一度量空间，A X ⊂，若0x 的任意邻域内既有属于A 的点，也有不属于A 的点，——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 10 -则称0x 为A 的边界点．A 的全体边界点所构成的集合，称为A 的边界，记为A ∂．若0x A ∈，但0x 不是A 的聚点，则称0x 为A 的孤立点．注4：0x 是A 的孤立点的充要条件是：存在0x 的某个δ邻域0(,)O x δ，使得00(,){}A O x x δ=I ．注5：A 的边界点不是聚点便是孤立点．注6：闭包的其他形式表示：{}A A A A A A A ′=∂=∂=oU U U 的孤立点．其中A o表示A 的全体内点所构成的集合，称其为A 的内部．由孤立点的定义可知离散度量空间0(,)X d 中的每个点都是孤立点，由例1.2.3知0(,)X d 的子集A 既开又闭，所以{}A A A A ===o的孤立点．对于一般的度量空间X 而言，A X ⊂，A 的内部A o是由一些聚点和孤立点组成，A 的边界A ∂也是由一些聚点和孤立点组成，且A A φ∂=oI ．A 的导集A ′是由一些内点和边界点组成，A 的孤立点要么是边界点要么是内点，且{}A A φ′=I 的孤立点．1.2.2 拓扑空间定义1.2.5 拓扑空间设X 是一个非空集合，如果τ是X 的一个子集族，且满足如下条件： (1)空集φ和X 都属于τ．(2)τ内任意个集合的并集都仍然会属于τ． (3)τ内任意两个集合的交集也仍然会属于τ．则称子集族τ为X 的拓扑；(,)X τ为一个拓扑空间，在不引起混乱的情形下简记为X ．τ内的集合称为拓扑空间的开集，X 中的元素称为点．□对于度量空间(,)X d 而言，若记X 中由度量定义的开集组成的集合为τ，那么容易验证(,)X τ为一个拓扑空间，称(,)X τ为由距离d 诱导的拓扑．定义1.2.6 离散拓扑空间设X 是一个非空集合，τ由X 的所有子集构成，容易验证τ是X 的一个拓扑，称之为X 的离散拓扑；并且称拓扑空间(,)X τ为一个离散拓扑空间．在离散拓扑空间(,)X τ中，X 的每一个子集都既是开集，又是闭集．□显然，离散度量空间诱导的拓扑为离散拓扑空间． 定义1.2.7 拓扑空间中的邻域和闭集设(,)X τ是一个拓扑空间，(1)点x X ∈，V X ⊂，若存在O τ∈，使得x O V ∈⊂，则称V 为x 的邻域．(2)子集F X ⊂，如果c G X F F τ=−=∈，则称F 为拓扑空间X 的闭集．□定理1.2.4 拓扑空间X 中的闭集具有以下性质： (1) 空集φ和全空间X 都是闭集； (2) 任意多个闭集的交集是闭集； (3) 有限个闭集的并集是闭集. 定义1.2.8 Hausdorff 空间设(,)X τ是一个拓扑空间，如果X 中任意两个不同的点都有不相交的邻域，则称X 为豪斯道夫(Hausdorff)拓扑空间．□例1.2.4 度量空间(,)X d 诱导的拓扑空间是Hausdorff 空间． 证明 设00,x y X ∈且00x y ≠，于是00(,)0d x y δ=>，令0000(,){|(,),}33U O x x d x x x X δδ==<∈0000(,){|(,),}33V O y x d x y x X δδ==<∈ 显然0U ，0V 分别是00,x y 的邻域，且00U V φ=I ．□1.2.3 度量空间的连续性定义1.2.5 连续与一致连续设11(,)X d ，22(,)X d 是两个度量空间，f 是这两个度量空间之间的一个映射12:f X X →． (1) 关于01x X ∈，如果0ε∀>，0δ∃>，当1x X ∈且10(,)d x x δ<时，有20((),())d f x f x ε<，则称f 在点0x 处连续．若f 在1X 的每一点处都连续，则称映射f 在1X 上的连续．(2) 如果0ε∀>，0δ∃>，1,x y X ∀∈，当1(,)d x y δ<时，有2((),())d f x f y ε<，则称f 在1X 上一致连续． □注7：显然，由一致连续可以推出连续． 定理1.2.4 连续的等价条件设11(,)X d ，22(,)X d 是两个度量空间，12:f X X →,01x X ∈,则下列各命题等价． (1) 映射f 在0x 点连续；（2）对于0()f x 的任一邻域0((),)O f x ε，都存在0x 的一个邻域0(,)O x δ使得]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣；（3）对于X 中的任意点列{}n x X ⊂，若0()n x x n →→∞，则有0()()()n f x f x n →→∞．（即00lim lim ()()n n n n x x f x f x →∞→∞=⇒=）证明 （1）⇒(2)由f 在0x 处连续的定义知，任给0ε>,存在0δ>，当10(,)d x x δ<时，有20((),())d f x f x ε<.注意10(,)d x x δ<即0(,)x O x δ∈,而20((),())d f x f x ε<即0()((),)f x O f x ε∈．所以]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣．——西安电子科技大学数学与统计学院杨有龙教授ylyang@ - 12 -（2）⇒（3）由（2）知，0ε∀>，0δ∃>，使得]00(,)((),)f O x O f x δε⎡⊂⎣．根据假设0n x x →得，对于此0δ>,存在N ,当n N >时，0(,)n x O x δ∈.即0()((),)n f x O f x ε∈，于是20((),())n d f x f x ε<,因此0()()n f x f x →．（3）⇒（1）反证法．假设f 在0x 不连续，则必存在某个正数0ε，使得对于每一个1n nδ=，其中1,2,n =L ，有n x 满足101(,)n d x x n<,但200((),())n d f x f x ε≥，显然这与0()()n f x f x →相矛盾．□图2.2 连续映射示意图定理1.2.5 连续的充要条件设(,)X d ，(,)Y ρ是两个度量空间，那么映射:f X Y →是连续映射的充分必要条件是，对Y 中的任一开集G ，其原象{1(), ()}f G x x X f x G −=∈∈是开集．证 必要性⇒，不妨设1()f G −非空．任取10()x f G −∈，即0()f x G ∈．因为G 是开集，故存在0ε>，使0((),)O f x G ε⊂．由于f 连续，所以对0ε>，有0δ>,使得00((,))((),)f O x O f x G δε⊂⊂．即10(,)()O x f G δ−⊂．说明0x 是1()f G −的内点，故1()f G −是开集．充分性⇐：任取0x X ∈，对任意的0ε>，取开集0((),)G O f x ε=，则10(),x f G −∈由假设1()f G −是开集，因而存在0δ>，使10(,)()O x f G δ−⊂,故00((,)((),)f O x G O f x δε⊂=，即f 在0x 连续． □注8：由上述定理知，在连续映射下，开集的原象是开集，那么开集的象一定是开集吗？不一定．例如：()sin :f x x R R =→是连续映射，f 将(0,2)π映射为[1,1]−．例1.2.4 设(,)X d 是度量空间，*x X ∈，那么*()(,):f x d x x X R =→是度量空间X 上的连续映射．证 任取0x X ∈，对于x X ∈而言，由**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤及**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤可得**00(,)(,)(,)d x x d x x d x x −≤．0ε∀>，2εδ∃=,当0(,)2d x x εδ<=时，就有**000()()(,)(,)(,)2f x f x d x x d x x d x x εδε−=−≤<=<因此,*d x x是X上的连续映射．□(,)。
偏序、拓扑与子代数偏序的结构性质
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ａ
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吴红霞：偏序、拓扑与了代数偏序的结构性质
３２
扬州大学学位论文原创性声明和版权使用授权书
学位论文原创性声明
本人声明：所呈交的学位论文是在导师指导下独立进行研究工作所取得的研 究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含其他个人或集体已经发表 的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本声明的法律结果由本人承担。
１９５７年，Ｃ．Ｅｈｒｅｓｍａｎｎ提出了一种新的观点，他认为具有某种分配性的格（如 完备Ｈｅｙｔｉｎｇ代数）本身就有作为一种广义拓扑空间的研究价值，而不论它是否表 示为某一拓扑空间的开集格．这样，经Ｃ．Ｅｈｒｅｓｍａｎｎ的提倡而发展起来的研究工 作，称之为Ｆｒａｍｅ理论，或Ｌｏｃａｌｅ理论，它集一般拓扑学、连续格理论和范畴学 于一体，成为格上拓扑学的一个重要分支，又因其研究方法一般不涉及点的概念， 也称为无点式拓扑学．Ｐ．Ｔ．Ｊｏｈｎｓｔｏｎｅ的专著［１０］和郑崇友等的专著［４］是对这一 领域研究工作的系统总结．
扬州大学 硕士学位论文 偏序、拓扑与子代数偏序的结构性质 姓名：吴红霞 申请学位级别：硕士 专业：基础数学 指导教师：徐罗山
20080401
扬州大学硕：上学位论文
中文摘要
随着计算机科学的发展，序结构愈来愈受到人们的关注，它与拓扑结构、代 数结构相互结合，充分体现在连续格与Ｄｏｍａｉｎ理论中，有着重要的研究价值．
ｌ Ｅｌ
拓扑的分解性质，得到了（对偶）Ａｌｅｘａｎｄｒｏｖ拓扑、Ｓｃｏｔｔ拓扑的一些具体分解性 质．
第三章考察了一些特殊拓扑的分解性质，构造了例子说明一族可数定向拓扑 的并未必还是拓扑，证明了拓扑空间（ｘ，ｖ ｔ，）上的特殊化序等于诸拓扑空间（Ｘ，ｔ；）
Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集若干问题的研究的开题报告
Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集若干问题的研究的
开题报告
摘要：
在偏序集中，若元素 a,b 满足 a≤b，则称 a 是 b 的下界或 b 是 a 的上界。
若偏序集中每一对元素都有上界和下界，且任何一个元素都可以作为若干下界或若干上界，则该偏序集称为格。
因此，格是具有比一般偏序集更多性质的偏序集。
Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集是格的一类重要子类。
Z-连通偏序集的定义是一个偏序集中任意两个元素可以用数轴上不相交的线段连接起来，称为它们z-连通。
本文将研究Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集的若干问题，包括它们的结构和性质。
首先，我们将介绍偏序集的基本概念和性质。
然后，我们将定义Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集，并介绍它们的特征和性质。
接着，我们将探讨这些偏序集的
子结构和关系，以及它们之间的转化。
最后，我们将研究一些具有实际应用背景的问题，例如在图像处理和拓扑数据分析中，Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集的应用。
通过研究Z-连通连续偏序集和Z-连通光滑偏序集，我们可以更深入地理解格的
基本性质和结构。
此外，我们可以将这些偏序集的理论引入实际应用领域，从而提高
数据分析和处理的效率和精度。
关键词：Z-连通连续偏序集，Z-连通光滑偏序集，格，图像处理，拓扑数据分析。
偏序集上的测度拓扑和全测度
偏序集上的测度拓扑和全测度
徐罗山
【期刊名称】《模糊系统与数学》
【年(卷),期】2007(21)1
【摘要】在偏序集上引入测度拓扑和全测度概念,研究其性质以及与其它内蕴拓扑间的众多关系。
主要结果有:连续偏序集的测度拓扑实际上是由其上的任一全测度所决定且可由它的定向完备化上的测度拓扑和全测度分别限制得到;当连续偏序集还是D om a in时,其上的测度拓扑与μ拓扑一致;连续偏序集有可数基当且仅当其上的测度拓扑是可分的;一个网如果测度收敛则存在最终上确界;任一ω连续偏序集上都存在全测度。
【总页数】8页(P28-35)
【关键词】μ拓扑;Scott拓扑;测度拓扑;定向完备化;μ连续映射
【作者】徐罗山
【作者单位】扬州大学数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O153.1;O189.1
【相关文献】
1.连续偏序集上的测度 [J], 陆树章
2.测度拓扑和连续偏序集的刻画 [J], 毛徐新; 徐罗山
3.在全测度集上球面函数的Cesaro平均逼近 [J], 李落清
4.在全测度集上球面函数的Cesàro平均逼近 [J], 李落清
5.立方体T_n上的符号测度和函数通过它们的B-R球形平均在全测度集上的逼近[J], 刘永平
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