3.3.2简单的线性规划问题(2)

解：设每天调出的A型车x辆，
B型车y辆，公司所花的费用为 z元，则
y
4x+5y=30
x+y=10
x=8
{
x≤8 y≤4 x+y≤10 4x+5y≥30 x,y∈N* Z=320x+504y
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y=4
X
作出可行域 作出可行域中的整点，
可行域中的整点（5，2）使Z=320x+504y取得最 小值，且Zmin=2608元
320x+504y=0
方法归纳：运用线性规划解决问题时，必须清楚目标函数的几何意义。 y A(2,4)
ห้องสมุดไป่ตู้
练习3：
B(-1,2)
如图1所示，已知△ABC中的三顶点 A(2,4) ,B(-1,2),C(1,0),点P(x,y) 0 C(0,1) 在△ABC内部及边界运动， 请你探究并讨论以下问题： （图1） ① z=x+y 在_____处有最大值___，在____处有最小值____； ② z=x-y 在___处有最大值____，在____处有最小值____； ③ 你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的 情况有无穷多个？ ④ 请你分别设计目标函数，使得最值点分别 在A处、B处、C处取得？ ⑤ (思考）若目标函数是 z=x2+y2 ， 你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得
x
zmin和zmax
y 1 2y 3 呢？ 或z ？如果是 z x x 1
课堂小结：
二元一次不等式 表示平面区域 直线定界， 特殊点定域 约束条件 目标函数 简单的线性规划 可行解 可行域
应 用
求解方法：最优解 图解法； 应用题 设-列-解-联-答
最优解
3x+5y-25=0 2
3
4
5
6
7
x
zmax 5 2 2 1
变题：若改为求z=3x+5y的最大值、最小值呢？
y x=1
作直线l : 3x 5 y 0
平移使之与平面区域有公 共点,由图,当l 过B(1,1)时， ｚ的值最小，当 l 22 过A(5,2)、C (1, )时， 5 z的值最大，
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N
y
15
B(3,9)
C(4,8)
{
网格法
目标函数z = x+y
9
A(18/5,39/5)
x+y =0
2 1 0 12
x 78
2x+y=15
18
27
作出一组平行直线z = x+y， 当直线经过点A时z=x+y=11.4,但它不是最优整数解，
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0
目标函数为 z=x+y
作出可行域（如图）
例题分析
{
2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N
y
15
调整优值法
作出一组平行直线z=x+y，
10 B(3,9) C(4,8) 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8
6 5• 4 3 2 1 B • 2 3 • C
实际上线段AC上所有 点的坐标为最大值解
•
A
x-4y+3=0
3x+5y-25=0 4 5 6 7
z min 3 1 5 1 8 z max 3 5 5 2 25
z max
-1 O -1 或
1
22 3 1 5 25 5
x 0 1.不等式组 y 0 表示的平面区域内的整数 点共有 4 x 3 y 12 y
巩固练习:
4
（
3
）个
3
2
1
0
1
2
3
4
x
4x+3y=12
2.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资 的任务，该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨 的B型卡车，有10名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A型卡车 4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元， B型卡车为504元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最 低，最低为多少元？(要求每型卡车至少安排一辆）
y 分析：目标函数变形为 1 1 x=1 y x z 2 2 6 把z看成参数，同样是一组平行 线，且平行线与可行域有交点。 5 • 最大截距为过C (1, 22 ) C• 4 5 的直线 l1 3 l 最小截距为过A(5,2) 1
的直线 l 2
2 1 B
•
A
x-4y+3=0
• 注意：直线取最大截距 时，等价于 1 z 2 -1 O 1 取得最大值，则z取 得最小值 l 0 l -1 22 39 2 z min 1 2 5 5 同理，当直线取最小截距时，z有最大值
•
x-4y+3=0 A
3x+5y-25=0
使z=2x+y取得最大值的可行 -1 O 解为 (5,2) ， -1 且最大值为 12 ； 使z=2x+y取得最小值的可行解 (1, 1) ， 且最小值为 3 ； 最优解 。
3
4
5
6
7
x
l0
l1
l2
这两个最值都叫做问题的
变式题：上例若改为求z=x-2y的最值呢？
x 12x+y=12 x+2y=18 27 18
作直线x+y=12 答（略） x+3y=27
2x+y=15
当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.
代入约束条件解得交点B,C的坐标B(3,9)和C(4,8)
直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，它们是最优解.
例题分析
x+2y=18 x+3y=27
在可行域内打出网格线， 将直线x+y=11.4继续向上平移，
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时，z=x+y=12是最优解. :(略) 答
在可行域内找出整点最优解的一般方法 是：
1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是最优解；
（在包括边界的情况下） 2.调整优值法：若区域“顶点”不是整点或不包括边界 时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z，然后在 可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z最 接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没 有整点，继续放缩，直至取到整点为止。 3.网格法：在可行域内找整数解，一般采用平移找解法， 即打网格、找整点、平移直线、找出整数最优解。(网 格法一般用于数不大的问题中且要求作图必须精准)
3.3.2 简单的线性规划问题(2)
复习引入:
x 4 y 3 若实数x , y满足 3x 5 y 25,求z=2x+y的最值. y x 1
6 5• 4 3 2 1 B 1 • 2 • C
（1）画出不等式组所表示的平面区域； x=1 （2）设z=2x+y，则式中 变量x,y满足的二元一次 不 等 式 组 叫 做 x,y 的 线性约束条件； z=2x+y 叫做 线性目标函数 ； 满足 线性约束条件 的解(x,y)都 叫做可行解；
l0
l1
l2
x
例题分析：关于整点最优解的问题
例2 要将两种大小不同规格的钢板截成A、B、C三种规格， 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 ：
规格类型 钢板类型
A规格 2 1
B规格 1 2
C规格 1 3
第一种钢板 X张 第二种钢板 y张
今需要A,B,C三种规格的成品分别为15，18，27块，问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所 用钢板张数最少。 解：设需截第一种钢板x张，第一种钢板y张，则