第二章2：可控性

(2 − 15)
以上六个等价性条件基本概括了时不变系统在 可控性方面的主要成果。
证明的主要思路： 证明的主要思路：
(1) ⇔ (2)step 1 ⇔(5)st ep 2 ⇕ ⇕ (4)step 4 (3)step 3
⇕ (6)st ep 5
证明（1）⇔（2），即下列命题等价性：
(1) 在[0，+∞ )中的每一个 t0 ,（A, B）可控；
§2-2
1.可控性的定义 1.可控性的定义
线性系统的可控性
一、可控性的定义及判别定理
任一非零状态 定义2 定义2-3:若对状态空间的任一非零状态 x(t0)，都存 在一个有限时刻 t1>t0 和一个容许控制 u[t0, t1]，能在 t1时刻使状态 x(t0) 转移到零，则称状态方程
ɺ x = A(t )x + B(t )u
−1
(t 0 , t 1 ) x (t 0 )
t ∈[t 0 ,t1 ] (2 − 9)
可以证明，(2-9)式所定义的u(t)能在 t1 时刻将x(t0) 转移到 x(t1)=0。
必要性。 必要性。反证法。 设在t0时刻方程可控，但对任何t1>t0, Φ(t0 ,τ )B(τ ) 在 [t0，t1]上都是线性相关的，
定理2 定理2-6 对于n 维线性不变状态方程
ɺ x = Ax + Bu 下列提法等价:
(2 − 13)
(1) 在[0，+∞ )中的每一个 t0 ,（2−13）可控； (2) e−AtB（也即eAtB）的行在[0，+∞)上是复数域行 线性无关的； (3)对于任何t0 ≥0 及任何 t > t0 ，矩阵
2. 可控性的一般判别准则 直接利用定义判断系统可控很不方便，故 需要研究判别系统可控性的一般准则。 定理2 定理2-4状态方程
ɺ x = A(t )x + B(t )u
(2 − 7)
在t0可控，必要且只要存在一个有限时间 t1>t0，使 矩阵 Φ(t0 ,τ )B(τ ) 的 n个行在[t0, t1]上线性无关。 证明： 充分性。 证明： 充分性。证明是构造性的，思路如下： ：
t1
只要取 u = B *( t )Φ*(t 0 , t ) Y − 1 (t 1 , t 0 )x f 即可。
三、时不变系统的可控性判据
本小节我们将讨论时不变状态方程
ɺ x = Ax + Bu 的可控性问题。
(2 − 13)
时不变线性系统是线性系统理论中迄今为 止被讨论得最多、结果最为完美的系统。主要 原因是： 1) 时不变系统简单，便于分析，利用线性代数的 工具就可以基本上弄清楚其中的问题；而时变 线性系统则仍有许多问题没有解决； 2) 许多真实的工业系统在工作点附近均可用时不 变线性系统近似。
证完。 证完。
例2—7 讨论如下系统的可控性： 7
骣1 鼢 & x 珑 鼢 珑 珑 鼢 珑2 鼢 & x = 珑 鼢 珑 鼢 珑 鼢 珑3 鼢 & x 珑 鼢 桫 鼢 骣 çt 1 0 ÷ ÷ ç ÷ ç ç0 t 0 ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ÷ ç ÷ ç ÷ ç0 0 t 2 ÷ ç 桫 骣1 ÷ çx ÷ ç çx ÷ + ç 2÷ ÷ ç ÷ ç ÷ çx ÷ ç 桫3 ÷ 骣 0 1 u 1 桫
可采用前一节介绍的方法来判断 f1 和 f2 的线性相关性。
3. 可控性的一个实用判据 为了应用定理2—4，必须计算 & x = A(t )x
的状态转移矩阵Φ(t , t 0 )，这是一件困难的工作。
假定A(t),B(t)是(n−1)次连续可微的，定义矩阵 序列 M0, M1, …, Mn−1如下：
(2 − 7)
在t0时刻是可控的。反之称为在 t0 时刻不可控。
例2-4: 考虑由如下网络组成的系统：
+ u_
1Ω 1Ω
1Ω
x + _
+
y
_
1Ω
令初始时刻电容两端的电压x(t0)不为零，则网络 的对称性使得无论施加何种控制均无法在有限时 刻t1使x(t1)=0。根据以上定义，系统在t0不可控。
说明如下： 说明如下： 1. 定义仅要求输入 u 能在有限时间内将状态空间 中任何初态转移到零状态，至于状态遵循什么 轨迹转移则并未指定；而且对输入除了容许控 制之外也未对其幅值加以任何限制，这种不加 限制的控制称为无约束容许控制 无约束容许控制。 无约束容许控制 2. t 1 时刻是依赖于初始状态的，但是由于状态空 间是有限维的，因此对可控系统来说，必对所 有的初始状态都存在一个共同的有限时刻t1，也 就是说，t1可以取得与初始状态大小无关。
ö ÷ ÷ ÷ ÷ 2 t - 1÷ ÷ ÷ ÷ ÷ 4 ÷ t - 2t ÷ ç ø
[M1
M2
骣 - 1 2t ÷ ç0 ÷ ç ÷ ç ç1 - t t 2 - 1 ÷ ÷ M3 ] = ç ÷ ç ÷ ÷ ç ç ÷ ç 1 - t 2 t 4 - 2t ÷ ÷ ç 桫
易于验证，上述矩阵的行列式对任意 t ≠ 0 均非 零，故系统对任意 t0 都是可控的。 注意： 注意： 该定理无需计算状态转移矩阵。但需要特别注 意的是，仅是一个充分条件； 该定理在时变线性系统的可控性分析中是很重 要的。
rank [M0 (t 1 ) M1 (t1 ) L Mn - 1 (t 1 )] = n
则状态方程在t0 时刻可控。 证明： 证明： 只要证明存在一个t1>t0，使得
Φ(t 0 ,t )B(t )∀t ∈ [t 0 ,t1 ]
行线性无关就可以了。而根据定理2-2，若能找到 一个t1>t0，使得
F 抖 (t 0 , t )B(t ) [F (t 0 , t1 )B(t1 ) ¶t t = t1
二、可达性的概念
定义2—4 若对t0时刻状态空间中的任一 任一非零状态x(t0)， 定义 任一 存在着一个有限时刻t1<t0 和一个容许控制，能在[t1,t0] 内使状态x(t1)=0转移到x(t0)，则称状态方程（2-7）在t0 时刻是可达的。 可达 t1 可控 t0 t1 t0
完全类似于可控性的讨论，如下结论为显然： 定理： 定理：状态方程 ɺ x = A ( t ) x + B( t ) u
M0 (t ) = B(t )
M k (t ) = - A(t ) M k d M k - 1 (t ) 1 (t ) + dt k = 1, 2, L , n - 1
易于验证，以上矩阵序列满足：
¶ k Φ(t 0 , t )B(t ) ¶t
k
= Φ(t 0 , t )Mk (t )
定理2 5 定理2—5 设状态方程dx/dt=A(t)x+Bu中的矩阵A(t), 存在有限时间t1>t0,使得 B(t)是(n−1)次连续可微的。若存在有限 存在有限
0 1 1 f1 1 Φ (t 0 , t )b1 (t ) = = −t − t = − (t 0 − t ) −2 t e e 0 e f 2 0 e 0 1 1 f1 1 Φ (t 0 , t )b2 (t ) = = −t = − (t 0 − t ) − t e e 0 f 2 0 e
t1
事实上，只要考虑
x ( t 0 ) = Φ ( t 0 , t1 )[ x ( t1 ) +
t0
∫ Φ ( t1 , τ ) B (τ ) u (τ ) d τ ]
t1
由于x (t1 ) = 0，上式可进一步写成：
x (t0 ) =
t0
∫ Φ ( t 0 , τ ) B (τ ) u (τ ) d τ
n- 1
L
F (t 0 , t )B(t ) ] n- 1 ¶t t = t1
= F (t 0 , t1 ) [M0 (t1 ) M1(t1 ) L
Mn - 1(t1 )]
的秩是 n 就可以了。由
rank[M0 (t1 ) M1(t1 ) L Mn - 1(t1 )] = n
有Φ(t0,τ)B(τ)在[t0, t1]上行线性无关。
3. 与可控概念相反，只要存在一个非零初态 x(t0)， 只要存在一个非零初态 无论t1取多大，都不能找到一个容许控制将这个 状态 x(t 0 )控制到 x(t 1 )=0，这时称系统在t 0 是 不可控的。 4. 这里所定义的可控性有时称为到达原点的可控 到达原点的可控 性。定义2-3所阐述的到达原点的可控性与状态 空间的任何状态转移到另一任意状态是等价的 （见习题2—3）。
(2 − 7)
在t0时刻可达的充分必要条件是存在有限的t1<t0，使 得 Φ(t 0 , t )B(t ) 在[t1，t0]上行线性无关，或等价地，下列可达性矩 阵非奇异 (t1<t0)：
Y (t 1 , t 0 ) =
t0
∫ Φ (t 0 , t ) B ( t
) B * ( t ) Φ * ( t 0 , t )d t
1 0 0 ɺ x = x + −2t u 0 −1 e 1 0 0 ɺ x = x + −t u 0 −1 e (I )，
(II )
由L
故
−1
0 s 0 s + 1
−1
0 1 ⇒ Φ (t , t 0 ) = − (t −t 0 ) 0 e
⇒ ∃a ≠ 0，a Φ(t 0 ,t )B(t ) = 0∀t ∈ [t 0 ,t1 ]
又由于方程在t0时刻可控，当取x(t0)= α * 时，存在有 限时刻t1>t0和u[to, t1],使x(t1)=0，即
x (t 1 ) = Φ (t 1 , t 0 )[ a * + ∫ Φ (t 0 , t ) B ( t )u ( t )d t ] = 0
+∞ (2) e−AtB（也即eAtB）的行在[0， )上是复数域行 线性无关的。
证明：对任意t0 ∈ [0，∞）(A, B )可控 ⇔ ∀t0，∃有限的t1 > t0，Φ(t0 ,τ )B(τ ) 有限的 = e A (t0 −τ )B = e At0 e − Aτ B在[t0 , t1 ]行无关 ⇔e
1. 注意到Φ(t0 ,τ )B(τ )的n行在[t0 , t1 ]上线性无关 ⇔
W (t 0 , t 1 ) =
t1
∫ Φ ( t 0 , t ) B ( t ) B * ( t ) Φ * ( t 0 , t )d t
(2-8)
t0
为非奇异。 2. 对于任给的 x(t0)，构造如下控制输入
u (t ) = − B * (t ) Φ * (t 0 , t ) W
t0 t1
⇒ a ∗ = − ∫ Φ (t 0 , t ) B ( t )u ( t )d t
t0
t1
⇒ aa = 0 ⇒ a = 0
∗
矛盾。 证完。 证完。
推论2 推论2-4 状态方程（2-7）在t0可控的充分必要条件是 存在有限时刻 t1>t0 使得W(t0, t1) 为非奇异。 证明： 证明：直接利用定理2-1。 通常将式（2-8）式所定义的矩阵W(t0, t1) 称为可 控性Gram矩阵，或简称为可控性矩阵。 例：讨论如下系统在任意时刻t0的可控性:
W (t 0 , t ) =
wk.baidu.com非奇异；
∫e
t0
t
A (t 0 − t )
BB *e
A *(t 0 − t )
dt
(4) rank[B AB … An−1B]= n ；
（2-14）
(5) 在复数域上，矩阵(sI−A)−1B的行是线性无关的； (6) 对于A 的任一特征值 λi ，都有
rank [ A − l i I B] = n
直接计算得到：
骣÷ ç0 ÷ ç ÷ ç ç ÷ M0 (t ) = ç 1 ÷ ç ÷ ç ÷ ç1 ÷ ç ÷ 桫÷
骣 ç- 1÷ ÷ ç ÷ ç d ç- t ÷ ÷ M1 (t ) = - A(t )M0 (t ) + M0 (t ) = ç ÷ ç ÷ dt ç ç 2÷ ÷ ç- t ÷ ç 桫 ÷ 骣t ÷ 2 珑 ÷ 珑 ÷ 珑2 ÷ d 珑 ÷ M2 (t ) = - A(t )M1 (t ) + M1 (t ) = 珑 ÷ + t 珑 ÷ dt 珑 ÷ 珑4 ÷ 珑 ÷ çt ÷ 桫 骣0 ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç - 1 ÷= ÷ ç ç ÷ ç ÷ ÷ ç- 2t ÷ ç 桫 2t