灰色系统概述讲解

1.灰色参数（灰数）
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“某人的身高约为170cm、体重大致为60kg”
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这里的“（约为）170（cm）”、“60”都是灰 数，分别记为 、 60 170 关于身高的灰数 h [157,160]
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“那女孩身高在157－160cm之间”
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白化（whitening）
由于灰数是一个范围而非确定的数。如果需要
（一）灰色系统公理：
1.信息不完全、不确定的解是非唯一的；（解的 非唯一性原理） 2.信息是认识的根据；（认识根据原理） 3.灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的 “最小信息”；（最小信息原理） 4.新信息对认识的作用大于老信息；（新信息优 先原理）
（二）灰色Βιβλιοθήκη Baidu统的描述
1、灰数/灰色参数----灰色系统的基本单 元 2、灰色方程 3、灰色矩阵与灰色度

灰色矩阵A

若在A的m*n个元素中，有N个灰色元素， 则可以用d表示这一矩阵的灰色度
N d mn
灰色系统理论研究的内容
灰色系统理论经过20年的发展，已基本建 立起一门新兴的结构体系，其研究内容主要 包括：灰色系统建模理论、灰色系统控制理 论、灰色关联分析方法、灰色预测方法、灰 色规划方法、灰色决策方法等。 灰色数列预测是指利用动态GM模型，对系 统的时间序列进行数量大小的预测，即对系 统的主行为特征量或某项指标，发展变化到 未来特定时刻出现的数值进行预测。


灰色系统理论的研究对象

“部分信息已知, 部分信息未知”的“小样 本、贫信息”不确定性系统。 灰哲学、灰哲学、灰生成、灰分析、灰建模、 灰预测、灰决策、灰控制、灰评估、灰数学等。
农业科学、经济管理、环境科学、医药卫生、 矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、 生命科学、控制科学等。

灰色系统理论的研究内容


灰色系统理论的应用领域

定义1.1 系统是客观世界普遍存在的一种物质 运动形式,它和运动性一样,是物质存在的一种 根本属性. 定义1.2 灰色系统是指“部分信息已知,部分 信息未知”的“小样本”,“贫信息”的不确 定性系统,它通过对“部分”已知信息的生成、 开发去了解、认识现实世界，实现对系统运行 行为和演化规律的正确把握和描述. 灰色系统模型的特点：对试验观测数据及其分 布没有特殊的要求和限制，是一种十分简便的 新理论，具有十分宽广的应用领域。
解决的问题本身要求是一个明确的数，此时就 需要将灰数转化为一个确定的数，称为白化。
h h (h h), [0,1]
α称为白化系数
h 记为灰数
h的白化默认数(白化数)。
在灰色系统理论中，把随机变量看成灰数， 即是在指定范围内变化的所有白色数的全体。 • 如代购一件价格为100元左右的衣服，100可 作为预购衣服价格的白化值。 灰数有离散灰数（属于离散集）和连续灰数 （属于某一区间）。
L(x) R(x)
x
0 x1 x2 x3 x4
2.灰色代数方程—含有灰色系数的代数方程 如： 2 x 2x 3 0 x3 0 灰色微分方程为含有灰色导数或灰色微分的方 程，如 dx (t )
dt a bx (t )
3.灰色矩阵—行列数确知而含有灰元的矩阵
1 1 2 A 2 0 1 0 a 3

何毓琦，哈佛大学终身教授、 美国工程院院士、中国科学院 及中国工程院外籍院士，长期 从事系统控制科学及工程应用 研究，在最优控制、微分对策、 团队论、离散事件动态系统和 智能系统等方面做出了重大贡 献。是动态系统现代控制理论 的创导者之一。

灰色系统理论发展概况
华中科技大学邓聚龙教授于20世纪70年代末、
输出y
系统y=f(x)
一、灰色系统
系统 （根据信息明确程度）
黑色系统 （信息毫无所知 或知之甚少）
不确定系统 （既含有已知信息 又有未知信息）
白色系统 （信息完全明确）
几种不确定系统(理论)的比较
1 、 区间数学/概率论 2、模糊理论 3、灰色系统理论 4、其他：证据理论、粗糙集理论、粒计算、 可拓理论、直觉集

x为模糊数,它属于一个模糊集合
y必然也是一个模糊数,属于某个模糊集合…

灰色系统理论

灰色系统理论是我国学 者邓聚龙教授于19世纪 80年代初创立并发展的 理论，它把一般系统论， 信息论和控制论的观点 和方法延伸到社会，经 济，生态等抽象系统， 结合运用数学方法发展 的一套解决灰色系统的 理论和方法。
80年代初提出 诞生标志：邓教授第一篇灰色系统论文 “ The Control Problems of Grey Systems”， 发表于北荷兰出版公司期刊System & Control Letter, 1982, No.5

提出意义
系统思维和系统思想在方法论上的具体体现 科学方法论上的重大进展, 具有原创性的科学 意义和深远的学术影响 ，是对系统科学的新贡 献。
灰数（grey number） 灰数是那些只知道大概范围而不知其确切 值的数（只知道部分数学特征，而不知道 具体数值的参数）。

没有明确数值或确定的分布，仅知大概范围
（上限、下限）
A [ A, ) A (, A] A [ A, A]
当灰数的上限和下限相等时，就成为了确定数
⑥若cd>0, 则
1 / 2 = 1 · 2-1 ∈[min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}]
⑦若k为正实数
则： k1 ∈[ka, kb]
定义：形如 化。
a (1 )b (0,1)
a

~
的白化称为等权白 而得到的白化值称
区间灰数的运算
设灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
① 1 + 2 ∈[a+c,b+d]
② - 1 ∈ [-a, -b]
③ 1 - 2 =1 +(- 2) ∈[a-d,b-c]
a

④ 若ab>0, 则
1 1 -1 1 ∈[ b , a
]
⑤ 1 ·2 ∈ [min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}]
概率论
概率统计研究的是“随机不确定”现象， 考察具有多种可能发生的结果之“随机不 确定”现象中每一种结果发生的可能性大 小。 要求大样本，并服从某种典型分布。


区间
下月土豆价格在[1.5,
5.0]元/kg之间

空间 概率空间

概率论


明天天气: 80%可能性为晴天,20%可能性下雨 有些随机事件无规律可循，但不少是有规律的， 这些“有规律的随机事件”在大量重复出现的条 件下，往往呈现几乎必然的统计特性 大数定律：样本数量很大的时候，样本均值和真 实均值充分接近。 中心极限定理: 很多个因素独立同分布并且可以叠 加，那么叠加结果就会接近正态分布。
模糊理论
L.A.Zadeh（扎德）于1965年首创模糊理 论，第一次用精确的数学方式来分析和研 究模糊量，取得了新的突破。 模糊数学着重研究“概念不确定”问题， 其研究对象具有“内涵明确，外延不明确” 的特点。

模糊理论

“年轻人”概念
隶属度
年轻人 0 10 40 年龄

系统对x输入的响应: y=f(x)
a

即：灰数自差一般不能等于0，仅当减数与被减数的取 数一致时，灰数的自差才等于0。
如： ∈[2，5]， - =0 取数一致
∈[-3，3] 取数不一致
再如： /
=1
取数一致
∈[2/5，5/2] 取数不一致
定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称为典型 的白化权函数。
f(x) 1
定义：在等权白化中 为等权均值白化。
1 2
定义：设区间灰数1 ∈ [a, b], 2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
1 a (1 )b 2 a (1 )b
~
~
(0,1), (0,1)
当 时称 1与2取数一致；当 时，称 为取数不一致。 定理1：区间灰数不能相消、相约。
灰色关联分析
经济与管理学院 郭敏
课程结构
1 灰色系统概述 2 灰序列与灰色建模 3 灰预测 4 灰决策 5 灰关联分析

第一节 灰色系统理论概述
一、灰色系统
定义：系统作为一个包含若干相互关联、相互制约的 任意种类元素组成的具有某种特定功能的整体。 • 信息－－对系统的认知
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