等效变换原理

数学的基本特征

从这篇开始，探讨关于数学和物理的一些基本问题。

从一个很通俗的例子开始吧。先问一个问题，牛奶和桔子之间有什么联系呢？

这，问得很突兀，有点令人无所适从的感觉。

你可以说这两者都可以是商品，都是可食之物。诸如此类的回答没有什么不对，但也没什么新奇的东西。所以，说这类答案没什么太大的实际意义也不为过。

究竟想要什么样的答案呢？相信你很想这样反问。

找到一个你认为确实很有意思的答案，那就是我想要的答案。下一段叙述则是我的一个答案。

假定，十元钱可以买一盒牛奶，也可以买两斤桔子。基于这个假定，虽然一盒牛奶和两斤桔子完全是两种不同的东西，但是它们的价值相同，所以从理论上，你可以拿手里的一盒牛奶换取两斤桔子。这个例子体现了商品交换所遵循的基本原则，我们叫它等价交换原则，是商品社会不可或缺的基本原则。这里有两个关键的东西，一是发生了交换，交换前后你手里的东西变了；二是交换前后，你手里东西的价值没变，都是十元钱，这是在交换过程中体现出来的。

因为很重要，重复强调这两个关键点：一是发生了交换，东西变了；二是交换过程中体现出不变的量。

在上述商品交换过程中体现出一个不变的量。这个不变的量，即是商品交换的一个性质，也是商品本身的一个性质。我们就把它称之为商品的价值。商品交换遵循等价交换原则。

上面关于牛奶桔子的一番讨论，究竟和数学有什么关系呢？

数学是一门变换的艺术。在数学中变换无处不在，我们笼统地称之为数学变换。也许你刚刚开始学到一点线性代数，应该知道初等变换，也知道在初等变换下，虽然线性方程组的形式变了，但线性方程

组的解（或解空间）保持不变，也知道初等变换保持矩阵的秩不变。

这里有两个关键的东西：一是进行了初等变换，线性方程组（或矩阵）的形式变了；二是初等变换保持线性方程组的解（或矩阵的秩）不变。

回首中小学的数学，到处都是数学变换的例子。加法运算是最简单也是最基本的数学变换；合并同类项当然是恒等变换的例子；三角化简自然也是恒等变换。等等。

在数学中的数学变换，犹如在商品社会中的商品交换一般，即是基本的，也是普遍的（无处不在）。商品交换遵循等价交换原则，数学变换则遵守等效原理。我们看初等变换的例子，线性方程组的形式在变换前后变了，但是线性方程组的解（空间）保持不变，所以在求解这个环节上，初等变换前后的线性方程组是等效的（也可以说是等价的，但在数学中不这样说）。从这个意义上，数学变换也可以称之为等效变换，等效原理也可以称之为等效变换原理。

所以，数学的基本特征是变中求不变。那不变的量，即是变换本身的性质，也是研究对象的性质。

等效原理在数学中的地位，如同等价交换原则在商品社会中基础地位。

事实上，以上就数学的基本特征所作的探讨，完全适用于物理。这样，有如下的基本结论：

数学以及物理的基本特点就是研究变换的科学。在对研究对象进行变换的过程中，把握那（些）保持不变的量来认识研究对象的性质和本质。

说得通俗一点，数学（物理）的基本特点，就是对研究对象进行等效变换，以发现变换过程中保持不变的量。这个不变的量就是研究对象的性质，也是变换本身的性质。