三铰拱内力计算
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第3章静定结构受力分析三铰拱
将以上两式代入上方程得 :
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
FN FQ0 sin FH cos
FQ FQ0 cos FH sin
(2)
M M 0 FH y
概念：
上式即为用相应简支梁的内力 表示的拱的内力式。当将上式 用作拱的内力计算公式时，可 以叫做公式法。
3.拱的内力图特征和制作
分析
由式2可知，在竖向荷载作用 下静定拱内力与相应简支梁
例1 图(a)所示三铰拱的拱轴 为半圆形。计算截面K1、K2的 内力。
FP=10kN
R=4m
(a)
解 1)求支座反力
竖 MA 0
向 FBy
1 [q R 2R
R 2
FP (R
R cos )] 11.33kN()
反 MB 0
力 FAy
1 [q R 2R
力与前规定相同；弯矩以使 拱的下侧受拉为正；
以图示三铰刚架为例说明拱的内 力计算的一般方法。
FH F Ay
FH
F By FN0
解：
截开指定截面K，取左侧为隔 离体，见下页图(c)(d)，截 面上的内力均按规定的正方 向示出 。
M FN
FH
FQ
FAy
(c)
M0 0
FQ0
(d)
在轴力和剪力的两个正交方 向上建立投影方程，并建立 关于截面形心的力矩方程， 即得：
内力及拱水平反力有关。其
中拱水平反力对应确定的荷
载是一常数。此外，拱轴力
和剪力还与所计算截面外法
线与x轴的夹角a有关。
结论
拱轴上内力有以下3个特点：
1
不管是在均布荷载下还是在集 中荷载下，拱的三个内力图都 是曲线图形。
指定三铰拱内力计算及简图
指定三铰拱内力计算及简图姓名：刘风喜班级：土木5班学号：1123310529 一、三铰拱参数及受力三铰拱的轴线方程是：Y=0.1X(20-X),即跨度为20m，矢高为10m受均布荷载q=20KN/m,在X=5,10,15m处受集中荷载F=10KN。
二、计算简图当0<X<5 时，M=215X-0.5qX2-110Y,Fy=215-20X,Fx=110当 5<X<10时，M=215X-0.5qX2-110Y-10(X-5),Fy=215-20X-10,Fx=110当10<X<15时，M=215X-0.5qX2-110Y-10(X-5)-10(X-10),Fy=215-20X-20,Fx=110当15<X<20时，M=215X-0.5qX2-110Y-10(X-5)-10(X-10)-10(X-15),Fy=215-20X-30,F x =110F x=F HF y=F Q0M=M0-F H yF Q=F y cosθ-F x sinθFN=-(Fysinθ+Fxcosθ)F ay=215 F ax=110三、计算表四、内力图五、讨论在相同荷载下，不同拱轴线所对应的内力分布也不同。
特别的，由F y=F Q0说明F y和拱轴线方程（拱的形状，高度）无关，由F x=F H=M c0/f 说明F x只与矢高有关，由M=M0-F H y 说明M只与矢高有关其和形状无关，而F Q , F N 都是θ（tanθ=Y X’）的函数。
所以在相同荷载下，不同拱轴线所对应的内力分布也不同。
第3章 三铰拱
（二） 对称三铰拱的数解法
1. 计算支座反力
图示三铰拱中，共有 四个反力： VA、HA、VB、HB。 根据整体的平衡 条件可建立三个 平衡方程： ∑MA=0 ∑MB=0 ∑X=0 再取中间铰一侧隔离 体， ∑ MC=0， 由这四个方程可 解出四个反力。
由∑MB= 0，得： VAl－P1b1－ P2b2－…= 0 VA= (P1b1 ＋ P2b2 ＋ …)/ l V0A 由∑MA= 0，得： VB= (P1a1＋ P2a2＋…)/ l V0B 把两个竖向反力VA 、VB与相应简支梁支座反力V0A 、 V0B 相比，可知竖向荷载作用下，对称三铰拱的竖向反力与 其相应简支梁的反力完全相同。
两个投影方程可用拱轴在该点的法线n和切线t为 投影轴。
∑n = 0 ，得： QD = VA cosφD －P1 cosφD －P2 cosφD －H sinφD = (V0A－P1－P2) cosφD －H sinφD
= Q0D cosφD －H sinφD
∑t = 0 ，得： ND = VA sinφD - P1 sinφD -P2 sinφD +H cosφD = (V0A－P1－P2) sinφD +H cosφD
由∑X= 0，得： HA= HB = H 中间铰左侧隔离体 ∑MC=0 得：
∑ MC =
VAl1－P1(l1 － a1) － P2(l1 － a2) － P3(l1 － a3)－ H f = 0 得： H=[VAl1－P1(l1 － a1)－ P2(l1 － a2)－ P3(l1 － a3)] / f 因 VA = V0A ，得：H= M0C / f M0C为相应简支梁截面C的弯矩。
最后根据本例的已知条件，进行具体计算。
VA=VB= V0A = q l / 2= 4× 16 / 2 = 32kN H = (q l 2 / 8) / f = (4× 162 / 8) / 4 = 32kN
结构力学 第三章 三铰拱
B
②剪力、轴力计算公式
FQFQ 0co-sFHsin
F0yA φ FP1
M0
F0yB
FNFQ 0sin-FHcos
KM
FN
F
0 Q
—相应简支梁对应截面上的剪力
φ φ—截面处拱轴切线倾角，在左半拱
FH A
y φ FQ
为正(右半拱为负)
φ
x
FVA φ
◆ 拱截面轴力较大，且一般为压力
例3-5 作图示三铰拱的内力图，拱轴为抛物线，其方程为
1kN/m C
f=4m x
FQ0L 1kN
FV A l1=8m
4m
l=16m
4kN
D
B FH B
4m
FV B
FQ0R 5kN
1kN/m
A
C
4kN B
F0yA
F0yB
F QLF Q 0L co-sFHsin 1 0 .89 6 ( 4 0 .44 ) 4 1 .7 7k 8 2 N
F Q RF Q 0c R o -sF Hsin 5 0 .8 9 6 ( 0 4 .44 ) 4 1 7 .7k 2 8N 9
四 三铰拱的合理拱轴线（reasonable axis of arch） 1 合理拱轴线的概念 在给定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的拱轴线，称 为拱的合理拱轴线
2 合理拱轴线的确定 根据荷载作用下，任一截面弯矩为零条件确定。如竖向 荷载作用下的三铰拱：
MM0FHy0 y M0
FH
通过由调此整可拱见的，轴当线拱，上使荷拱载在为确已定知荷时载，作只用要下求各出截相面应上简的支弯梁 矩值的为弯零矩，方这程时，拱除截以面支上座只水有平通推过力截FH面，形即心可的求轴得向合压理力拱作轴 用，的其轴压线应方力程沿截面均匀分布，此时的材料使用最为经济
04.三铰拱、组合结构
M ( x) M 0 ( x) FHy( x) 0
于是合理拱轴线的方程为：
M 0 ( x) y ( x) FH
例2： 试求图示对称三铰拱在均匀荷载q作 用下的合理轴线。 解：作出相应简支梁如图所示，其弯矩方程为
1 1 2 1 M qlx qx qx (l x) 2 2 2
0 VA
100 9 20 6 3 FHA 12 105kN
0 FVB FVB
C
4m
A
B FHB
x 6m 6m
100 3 20 6 9 12 115kN
FVA
FVB
0 MC 105 6 100 3 FH FHA FHB 82.5kN f 4
2、三铰拱的类型
平拱 斜拱
虚铰拱
二、三铰平拱的计算
1、支座反力的计算
y a2 a1
i
HA
P2 C
f
an
Pn
M B 0
FVA F (l a )F
i
P1
A
B FHB
x l/2 l/2
l
M A 0
FVB l
Fa
FVA P2 P1 FHA C
f
FVB
i i
M C 0
N图
讨论:影响屋架内 力图的主要原因 有两个: ①高跨比f /l D 高跨比越小轴力 NDE=MC0/ f f1=0.5m， 0.75 越大屋架轴力也 F f2=0.7m A 越大。 0.75 0.75 ②f1与f2的关系 当高度f 确定 D 后，内力状态随 D f1与 f2的比例不 f =1.2m f =0 ，2 1 同而变。 D 弦杆轴力变化 幅度不大，但上 4.5 弦杆弯矩变化幅 度很大。
建筑力学10-静定结构内力三
由上述各式可以得出： VA=V0A VB=V0B HA=HB=M0C/f 支座水平推力与拱轴曲线形状无关，而只与荷载 及三个铰的位置有关；当荷载与跨度确定时，M0C为定 值，水平推力与矢高成反比关系，f愈大，拱愈高，则 推力愈小；f愈小，拱愈扁平，则推力愈大。
图8.37
（2） 内力的计算 拱的内力计算时，仍按截面法计算，且截面应与 拱轴垂直，该截面的位置由截面形心的坐标x、y及该 截面处拱轴切线的倾角φ来确定。 如图8.38(a)所示，设计算截面K的三个参数分别为 xK、yK、φK，该截面上的内力有MK(内侧受拉为正）、 QK(绕隔离体顺时针转动者为正）和NK（以压力为正）。 下面分别讨论三种内力的计算方法。
BE段：取结点B为隔离体，如图8.33(b)所示，
∑MB=0:MBE+MBC-MBD=0 MBE=0 以竖向为y坐标轴，向上为正，以水平向为x坐标轴，向右为 正，以B为原点，则： ∑X=0:QBE+NBDcosα-NBCcosα+QBDsinα-QBCsinα=0 QBE=0
① 弯矩的计算
取K截面以左为隔离体，如图8.38(c)所示，对K截 面取矩：
∑MK=0: HAyK-VAxK+P1(xK-a1)+MK=)］-HAyK
相应简支梁在相应位置处的弯矩也可由静力平衡 条件求出，如图8.38(b)、(d)所示：
图8.34
8.7.3 刚架的内力求解
1，内力求解的方法——与梁有相似之处，内力有弯矩、剪力还有轴力； 2，刚架结构内力计算的步骤：
1）支坐反力； 2）用简易法画各段的受力图； 3）分段画出内力图（M、Q、N）。
三铰拱及无铰拱
s
S sin
(2) 由∑FR=0，得
0 FQ FQ cos FH sin
l/2 l FP1
FVA
R
FP2 B A
0 FV A
0
A
K C
FP1
K
0 FQ
(3) 由∑FS=0，得
0 FN FQ sin FH cos
M0
F
0 VA
l/2
M
l
0 C
l/2
0 FV B
8
小
FVA=70kN 4m
4m
4m
4m
FVB=50kN
l=16m
得 2) 求φ
x y x 16
2
q=10kN/m A D
0 FV A
FP=40kN B C E
x tan y 1 8
16m
0 FV B
代入各x值，即可查得相应的φ值。 为绘内力图将拱沿跨度分为8个等分，计有9个控制截面， 求出各截面的y、 φ等值，列于表中。
17
2、压力线的用途 (1)求任一拱截面的内力 (2)选择合理拱轴 由上面分析可知，拱的压力线与拱轴曲线形式无关。 因此，有了压力线之后，可以选择合理的拱轴曲线 形式，应使拱轴线与压力线尽量接近（以减少弯 矩），最好重合（此时截面弯矩为零）。对抗拉强 度低的砖石拱和混凝土拱，则要求截面上合力FR 作用点不超出截面核心(对于矩形截面，压力线应 不超过截面对称轴上三等分的中段范围)。
12
(3)计算内力 以截面E为例，计算其内力值。
y 将x =12m代入y 和 y 式中，得yE = 3m， E tan y E = -0.5， F =40kN 查得φ E = -26º34′。因此，有 q=10kN/m
结构力学——组合结构-三铰拱ppt课件
（A,B,C三铰在一直线上，成为几何瞬变体。）
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
.
②拱内力计算：
QM
P1
N
D
HA
VA
弯矩：受拉侧做弯矩图； 剪力：垂直于拱轴线的切线（顺时针为正)； 轴力：平行于拱轴线的切线(拉为正)。
.
a1
M
P1 D
y HA x
VA
•弯矩：
由 MD0
M V A x P 1 ( x a 1 ) H y 0 M M oH y
C
Mc0q2l /8
l
Mc0 / 6
Mc0 / 6
B
A
C
B
Mc0 / 6
0.207 l 0.586 l 0.207 l
优点：方便，简单； 缺点：截面仍有弯矩。
.
②三铰曲拱：
f MM0Hy (HM c0/ f)
优点：截面弯矩很小或无弯矩； 缺点：曲线杆件施工复杂。
.
③桁架： 上弦、下弦承受弯矩；腹杆承受剪力。
其中：M o V A x P 1 (x a 1 )— 对应点的简支梁弯矩
.
Qo
Q
M
P1
φ
DH
HA
VA
•剪力：
其中：
QQ oco sH sin
Q VAP 1–– 对应点的简支梁剪力
— 切线与水平线所成锐角
（由水平向逆时针为正）
+φ -φ
左右
.
Qo M N
P1
φ
DH
y
HA x
•轴力：
VA
N Q s i n H c os
q M
qr
C
d θ
A
r
任意截面内力：
M q2r(1co )so qrdrsin () q2r(1co )sq2r(1co )s0
下篇 结构力学部分 第15章 三铰拱
(a) Î޽¹°
(b) Á½½Â¹°
(c) Èý½Â¹°
图15-1
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第一节 三铰拱的受力特点
拱和梁的主要区别是拱在竖向荷载作用下会产生水 平反力。这种水平反力指向内侧，故又称为推力。由于 推力的存在，拱的弯矩与跨度、荷载相同的梁相比较要 小的多，且主要承受压力，因此更能发挥材料的作用， 并能利用抗拉性能较差而抗压性能较强的材料如砖、石、 混凝土等来建造，这是拱的主要优点。而拱的主要缺点 也正在于支座要承受水平推力，因而要求比梁要具有更 为坚固的基础或支承结构（墙、柱、墩、台等）。可见， 推力的存在与否是区别拱与梁的主要标志。
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三、内力图的绘制
绘制内力图的一般步骤为： （1）求反力：同简支梁反力的求解。 （2）分段：凡外力不连续点均应作为分段点； 同时，为了绘制内力图将拱轴线沿水平方向等分。 （3）定点：将分段点各截面上的内力值用截面 法求出，并在内力图上用竖标绘出。 （4）连线：根据各段的内力图形状，将其控制 点以直线或曲线相连绘出内力图。
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一、支座反力的计算
a1 a2 F1 A l/2 l F1 FAx FAy a1 F1 FAx FAy A C FCy l/2 (a) FCx A
f
b1 b2 C f l/2 F2 B F1 A l/2 l F2 B FBx FBy F1 A
0 FAy
a1 a2 C
b1 b2 F2 B l/2
40kN
(b)
FAx FAy
A
B
FBx FBy
5 (c) 7.5 10 7.5 10 9 2.5 _ 2.5 5 46 (e) 9 39 33.5 30.3 30 + 30.3 29 + _
5.2 三铰拱的内力计算
C
0 ，可得
0 FHA 0
FP1Biblioteka A K C0 MCFP2
B
0 FVB
l l FV A FP 1 a1 FH f 0 2 2
0 M C FH f 0
0 MC FH f
0 FVA
l/2
l/2
l
类似平行弦桁架的弦杆内力与 相应梁截面弯矩的内力关系
67
76
78 77.8
B
15
20
15
20
E
M图(kN· m)
FN图(kN)
q=10kN/m C 4.9
FP=40kN C E E yE B FH=60kN
17.9
E y A D x FVA=70kN 4m 4m
4 7.1
A
D 4.9
10
17.9
4
7
B
FH=60kN
f=4m
FQ图(kN)
4m l=16m
FVA=70kN
l=16m q=10kN/m A D FP=40kN B
0 M C 50 8 40 4 FH f 4
C 16m
E
60 kN （推力）
0 FVA
0 FVB
聊城大学建筑工程学院
(2)计算各截面几何参数（y和φ ）
1) 求 y：将l 和f 代入拱轴线方程
4f y 2 x(l x) l
【例5-3】求图示三铰拱式屋架在竖向荷载作用下的支反力和内力。 解： (1) 计算支座反力
q
0 VB
FH 0, FV A F , F V B F
0 VA
y FH FVA
A
三铰拱的内力计算
取半拱： ΣmC=0； XA·4－YA·4=0； XA=1kN
【例4—1】求图示半圆形三铰拱K截面的弯矩。
C K
P=4kN
D
30 30
MK NK K
QK
XA
YA
A
4m
O
B
4m
XB
YB
将拱从K位置截开，取AK。
A XA
YA
ΣmK=0； M K YA 2 X A 2 3 0, MK=－1.464kN.m(外侧受拉)
合理选择拱的轴线可使横截面的弯矩为零。使拱各截面的弯 矩皆为零的轴线称为合理拱轴线，如均布荷载下三铰拱的合理拱 轴线为抛物线。
【例4—1】求图示半圆形三铰拱K截面的弯矩。
C K
P=4kN
D
30 30
C
XC YC
A
XA YA
4m
O
B
4m
XB
YB
A XA
YA
取整体： ΣmB=0； YA·8－P·2=0； YA=1kN
XA
f
YA
l 2
0,
XA
Pl 8f
P
K
C
MK
K αNK
y f y
A
XA YA
x l/2
B
XB
l/4 l/4 YB
A
XA
x
QK
YA
三铰拱支座的水平推力XA=XB的大小与拱的高跨比
跨比
f l
越小
，水平推力XA=XB越大。
f l
有关，高
将拱从K位置截开，取AK。
由 ΣX=0； NKcosα+QKsin α+XA=0 ΣY=0； NKsinα－QKcosα+YA=0
第二节三铰拱内力计算
0 得 VK = VK cosϕ K − H sin ϕ K
最后由N 方向合力为零： 最后由 K方向合力为零：
− N K + H cos ϕ K + (V A − P1 ) sin ϕ K = 0
得 N K = V sin ϕ K + H cos ϕ K
0 K
三铰拱任一截面内力计算公式为 三铰拱任一截面内力计算公式为 ： 任一截面内力计算公式
四三铰拱内力图的绘制方法即先求出拱若干截面一般是将拱沿跨长方向若干等分后的等分点截面同时注意集中力作用截面应为等分点截面之一的内力然后以拱轴为基线按比例画出各内力竖标再连以光滑曲线即得所求内力图
§4-2 三铰拱的内力计算
一、三铰拱支反力的计算
由∑ M B = 0 ，
VA l − P1 (l − a1 ) − P2 (l − a2 ) − L = 0
例
三铰拱所受荷载如下图所示， 三铰拱所受荷载如下图所示，拱轴方程为 4 f 绘内力图。 y = 2 x ( l − x ) ，绘内力图。
l
解 （1）计算支反力 ）
0 VA = VA =
40 × 4 + 10 × 8 × 12 = 70kN (↑) 16 8 × 10 × 4 + 40 × 12 VB = V B0 = = 50kN (↑) 16 0 M C 50 × 8 − 40 × 4 H= = = 60kN (向内) f 4
VA =
同理 ，由∑ M A = 0有
P (l − a1 ) + P2 (l − a2 ) + L 0 1 = VA l
VB = VB0
结论一：三铰拱的竖向支反 结论一： 力与类似简支梁相同
由∑ X = 0 ，得H A = H B = H
最后由N 方向合力为零： 最后由 K方向合力为零：
− N K + H cos ϕ K + (V A − P1 ) sin ϕ K = 0
得 N K = V sin ϕ K + H cos ϕ K
0 K
三铰拱任一截面内力计算公式为 三铰拱任一截面内力计算公式为 ： 任一截面内力计算公式
四三铰拱内力图的绘制方法即先求出拱若干截面一般是将拱沿跨长方向若干等分后的等分点截面同时注意集中力作用截面应为等分点截面之一的内力然后以拱轴为基线按比例画出各内力竖标再连以光滑曲线即得所求内力图
§4-2 三铰拱的内力计算
一、三铰拱支反力的计算
由∑ M B = 0 ，
VA l − P1 (l − a1 ) − P2 (l − a2 ) − L = 0
例
三铰拱所受荷载如下图所示， 三铰拱所受荷载如下图所示，拱轴方程为 4 f 绘内力图。 y = 2 x ( l − x ) ，绘内力图。
l
解 （1）计算支反力 ）
0 VA = VA =
40 × 4 + 10 × 8 × 12 = 70kN (↑) 16 8 × 10 × 4 + 40 × 12 VB = V B0 = = 50kN (↑) 16 0 M C 50 × 8 − 40 × 4 H= = = 60kN (向内) f 4
VA =
同理 ，由∑ M A = 0有
P (l − a1 ) + P2 (l − a2 ) + L 0 1 = VA l
VB = VB0
结论一：三铰拱的竖向支反 结论一： 力与类似简支梁相同
由∑ X = 0 ，得H A = H B = H
3静定结构的受力分析-三铰拱结构力学
1 结构力学多媒体课件一、拱式结构的特征 1、拱与曲梁的区别拱式结构：指的是杆轴线是曲线，且在竖向荷载作用下会产生水平反力（推力）的结构。
FABH A ＝0 FABH A ＝0 三铰拱F PF P曲梁H≠0H≠0是否产生水平推力，是拱与梁的基本区别。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱结构的应用：主要用于屋架结构、桥梁结构。
拱桥 （无铰拱）超静定拱 世界上最古老的铸铁拱桥（英国科尔布鲁克代尔桥) 万县长江大桥：世界上跨度最大的混凝土拱桥 灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称“渭水长虹”、“渭水第一桥” 主跨：40 米 建成时间：三峡工程对外交通专用公路下牢溪大桥（上承式钢管混凝土拱桥，主跨：160米 ，建成时间：1997）2、拱的类型三铰拱两铰拱无铰拱拉杆拱静 定 拱超 静 定 拱3、拱的优缺点a、在拱结构中，由于水平推力的存在，其各截面的弯矩要比相应简支梁或曲梁小得多，因此它的截面就可做得小一些，能节省材料、减小自重、加大跨度b、在拱结构中，主要内力是轴压力，因此可以用抗拉性能比较差而抗压性能比较好的材料来做。
c、由于拱结构会对下部支撑结构产生水平的推力，因此它需要更坚固的基础或下部结构。
同时它的外形比较复杂，导致施工比较困难，模板费用也比较大4、拱的各部分名称lf 高跨比 BACf拱顶拱轴线拱高 f拱趾 起拱线跨度 l 平拱斜拱二、三铰拱的计算 1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBAfF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3B M =∑0Pi iYA YAFbF FL ==∑0A M =∑0Pi iYB YBF a F FL==∑取左半跨为隔离体：CM=∑()()01111212YA P P CH F L F L a F L a M F ff⨯----==F HF H1、支座反力的计算L 2L 1Lb 2a 2b 3a 3b 1a 1k y kx kCBA fF P1F P2F P3kCBAF P1F P2F P3在竖向荷载作用下，三铰拱的支座反力有如下特点： 1）支座反力与拱轴线形状无关，而与三个铰的位置有关。
第3章 拱的计算
x 0, dx
y
B
0:
B0
qC γ γ y Ach x Bsh x H H γ
qC γ
γ ch x 1 H
4、例题1
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f B
y x A l/2
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 MC ql 2 推力H为： H f 8f
l/2
0 令： M K M K H yK 0
0 VA VA
0 MC 105 6 100 3 H 82.5kN f 4
（2）计算各截面内力
截面1
2 1.5ql2 1.5ql cos φ1
x1 1.5m
N1
82.5cosφ 1
1.5ql2sin φ1 82.5sin φ1
1 Q1
M1
82.5kN
115sin φ1
0
2、压力线的绘制：
P2 P1
12 D K1 K E P3 RA P1 QK NK R P 12 K 2 23 P3
φK K2
C
23 K3
F O
A
B
RB
3、合理拱轴的概念：
RA
RB
（1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而 弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。 （2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式， 而后令其等于零即可确定合理拱轴。
两铰拱
无铰拱
吊杆 拉杆
花篮螺丝
带拉杆的三铰拱
带吊杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
y
B
0:
B0
qC γ γ y Ach x Bsh x H H γ
qC γ
γ ch x 1 H
4、例题1
设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，试求其合理拱轴线。
q
解法1：相应简支梁的弯矩方程为
M0
f B
y x A l/2
C
1 1 1 qlx qx 2 qx(l x) 2 2 2
0 MC ql 2 推力H为： H f 8f
l/2
0 令： M K M K H yK 0
0 VA VA
0 MC 105 6 100 3 H 82.5kN f 4
（2）计算各截面内力
截面1
2 1.5ql2 1.5ql cos φ1
x1 1.5m
N1
82.5cosφ 1
1.5ql2sin φ1 82.5sin φ1
1 Q1
M1
82.5kN
115sin φ1
0
2、压力线的绘制：
P2 P1
12 D K1 K E P3 RA P1 QK NK R P 12 K 2 23 P3
φK K2
C
23 K3
F O
A
B
RB
3、合理拱轴的概念：
RA
RB
（1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而 弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。 （2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式， 而后令其等于零即可确定合理拱轴。
两铰拱
无铰拱
吊杆 拉杆
花篮螺丝
带拉杆的三铰拱
带吊杆的三铰拱
四、拱各部分的名称：
3_4三铰拱
Q2 Q2 cos 2 H sin 2 11 2 3 0.832
0.667
7.5 0.555 0.0025kN 0.003kN
N 2 Q2 sin 2 H cos 2 11 2 3 0.555
2 33 41,sin 2 0555 . ,cos 2 0832 .
例2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是圆弧曲线。
[证明] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
q
s
D
E
ds R d
M0 0: ND R NE R dR 0
ND NE N
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为常数。
MC 11 6 2 6 3 H 7.5kN f 4
M2 M2 Hy2 11 3 2 3 15 . 7.5 3
15 . kN m
tg 2 4 f 2x 1 l l
x 3
4 4 2 3 1 12 12
q=2kN∙m y
1 0 3 4 5
P=8kN
例 1、三铰拱及所受荷载如图
2
所示，拱的轴线为抛物线方程
6 7 8 B
2
y2 x
f=4m H 7.5kN VB 9kN
7.5kN
A
4f y 2 xl x ，计算反力并 l 绘制内力图。
x2=3m VA 11kN
3m 6m 6m
d2y 1 qc y q x qc y 则 2 dx H q y y c 即 H H
6-5-2三铰拱的内力计算.
1 f FAy l F a 1 1 2
FAx
l 2
与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图b所示，其支座反力为
0 FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l 0 1 FBy ( F1a1 F2 a2 ) l 0 FAx 0
f 125kN
（2）计算D截面上的内力。计 an D FS0DA yD 4f xD (l xD ) 3 m 2 l sin D 0.371, cos D 0.928
dy ＝ 0.400 , x＝ 5 m dx 100kN, FS0DC 0 ,
6－ 5 － 2
1. 求支座反力 取拱整体为隔离体，
三铰拱的内力计算
由平衡方程ΣMB=0，得
FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l
由ΣMA=0，得
FBy 1 ( F1a1 F2 a2 ) l
由ΣFy=0，得
FAx=FBx=Fx
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再取左半个拱为隔离体，由平衡方程ΣMC=0，得
解 （1）计算三铰拱的支座反力。
0 FAx 0
F F 100kN
0 Ay 0 。 By
相应简支梁截面C处的弯矩为
0 MC 500kN m
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三铰拱的支座反力为
0 FAy FAy 100 kN 0 FBy FBy 100 kN 0 FAx FBx Fx M C
0 MD 500kN m
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算得三铰拱D截面上的内力为
0 MD MD Fx y D 125kN m
FAx
l 2
与三铰拱同跨度同荷载的相应简支梁如图b所示，其支座反力为
0 FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l 0 1 FBy ( F1a1 F2 a2 ) l 0 FAx 0
f 125kN
（2）计算D截面上的内力。计 an D FS0DA yD 4f xD (l xD ) 3 m 2 l sin D 0.371, cos D 0.928
dy ＝ 0.400 , x＝ 5 m dx 100kN, FS0DC 0 ,
6－ 5 － 2
1. 求支座反力 取拱整体为隔离体，
三铰拱的内力计算
由平衡方程ΣMB=0，得
FAy 1 ( F1b1 F2b2 ) l
由ΣMA=0，得
FBy 1 ( F1a1 F2 a2 ) l
由ΣFy=0，得
FAx=FBx=Fx
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再取左半个拱为隔离体，由平衡方程ΣMC=0，得
解 （1）计算三铰拱的支座反力。
0 FAx 0
F F 100kN
0 Ay 0 。 By
相应简支梁截面C处的弯矩为
0 MC 500kN m
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三铰拱的支座反力为
0 FAy FAy 100 kN 0 FBy FBy 100 kN 0 FAx FBx Fx M C
0 MD 500kN m
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算得三铰拱D截面上的内力为
0 MD MD Fx y D 125kN m
三铰拱
2 1.75 0.75 36º 0.600 0.800 5 12 -10.5 1.5 52´
4 3.00 0.50 26º 0.447 0.894 3 20 -18.0 2 34´ 6 3.75 0.25 14º 0.234 0.970 1 24 -22.5 1.5 2´ 8 4.00 0 0 0 1 -1 24 -24.0 0
a2 P1 C D y f
b2 P2
特点：有四个支座反力VA 、 B HB HA A VB、HA、HB，求解时需要四个方 程。拱的整体有三个方程，此外 VB VA l1 l2 C铰增加一个静力平衡方程，即： l MC=0。四个方程可解四个未知量。 (a) 为比较方便，考虑同跨度、同荷载的简支梁，竖向荷 载下，简支梁没有水平反力，只有竖向反力VA0 和VB0 。而 VA0和VB0的求解是简单的。
yk = y x=4 = 3m，
sink = 0.447 ，
cosk = 0.894 。
M k 在 k点左右两侧不同，分为 M kz 和 M ky。
0 M kz＝ M kz - Hy k = -20 - 10 3 = -50 kN m（外拉） 0 M ky＝ M ky - Hy k = 60 - 10 3 = 30 kN m（内拉） 0 Q k = Q k cos k - H sin k = -5 0.894 - 10 0 .447 = -8.94 kN 0 N k = -Q k sin k - H cos k = 5 0.447 - 10 0.894 = -6.705 kN
0 A
q=1kN/m P=4kN y A C D x 8m 4m l=16m 4m B f =4m
H=
M 58 - 4 4 = = 6kN f 4
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MK FAV x F(x a) FH y
M
0 K
FH
y
M
0 K
水平推力的存在，拱截面上的弯矩比代梁小得多。
结构力学
第3章静定结构的内力计算
剪力与轴力
a
b
F KC
f
A FAH
FAV F
A FA0H
l KC
y
a F MK FNK K
n φK
x
B
A
y FQK
x
FBH
FAH
第3章静定结构的内力计算
2、拱与曲粱的基本区别
qA A
FAH
FAV
f
qC C l
qB B
FBH
FBV
F1
A FAH
FAV
F2 B FBV
有无水平推力存在。 由于水平推力的存在，使拱与同荷载的简支梁相比：
M
FN
拱成为以受压为主或单纯受压的结构。
充分发挥抗压强度高的廉价建筑材料，如砖、石、砼等。
结构力学
中国拱桥
扬州拱桥
结构力学
第3章静定结构的内力计算
结构力学
第3章静定结构的内力计算
结构力学
第3章静定结构的内力计算
结构力学
第3章静定结构的内力计算
t
FAV
FBV
Ft 0
FQK FQ0K cos FH sin
B Fn 0 FNK FQ0K sin FH cos
拱截面上有较大的轴力。
FA0V
l
FB0V
式中： 称为截面的倾角。
tan dy
dx
截面与竖直线的夹角，或K点切线与水平线的夹角。
只取锐角，水平线逆时针转到拱切线为正，反之为负。
故：左半拱为方正，右半拱为负。
结构力学
a F
A FAH
FAV
f
b KC
l
F A FA0H
FA0V
KC l
第3章静定结构的内力计算B FBHFBV Nhomakorabeay
a F MK FNK K
n φK
x
A
y FQK
FAH
x t
FAV
B
MK FQ K
M
0 K
FQ0K
FH y
cos
FH
sin
f
2f
代梁：同跨度同荷载的简支梁
结构力学
2、内力计算
第3章静定结构的内力计算
ya
b
FF a
MKK
FCNK
K
n φK
f
Ax
A
y FQK
B
FAFHAH FAFVAV
tl
x FBH FBV
F
A
KC
B
已知拱轴线方程： y f (x)
FA0H
任意K（x，y，）截面
FA0V
l
FB0V
弯矩 mK 0 M K FAV x FH y F (x a) 0
带拉杆的三铰拱
A
B
结构力学
二、三铰拱计算
a FF A FA0H A FAH FA0V FAV
b
KK
C C
f
l l
第3章静定结构的内力计算
B B
FB0V FBH FBV
1、支反力
FAV FA0V Fb l
FBV FB0V Fa l
FAH
FBH
FH
M
0 C
f
(Fa l) (l 2) Fa
结构力学
第3章静定结构的内力计算
三铰拱内力计算
结构力学
一、概述
qA A A
qC qB
C
B
C
B
l
f f
第3章静定结构的内力计算
qA A
FAH
qC C
qB B
FBH
FAV
l
FBV
F1
F2
三铰拱桥
A FAH
1、定义
FAV
F
在竖向荷载作用下，产生水平推 力的曲杆结构，称为拱。
B 曲梁
FBV
三铰刚架
结构力学
令
M M 0 FH y
0
y M0 FH
由上式可见，在竖向荷载作用下，三铰拱合理拱轴线的纵坐标 与代梁弯矩图的纵坐标成正比。
结构力学
第3章静定结构的内力计算
例题 试求图示三铰拱承受均布荷载时，其合理拱轴线。
y q C
解：合理拱轴线方程：
M0 y
FH
A
f
B x
代梁弯矩方程： M 0 ql x q x2
第3章静定结构的内力计算
3、三铰拱各部分名称
qC
拱顶C（顶铰）
qA
qB
拱脚A、B（拱趾）
A
f
C
B
拱高：f （矢高）
FAH
FBH 跨长：l
FAV
l
FBV
矢跨比（f/l）
矢跨比是拱的重要几何特征，其值可在1/10～1之间变化。 矢跨比要根据具体工程条件来确定。
拱轴线形状：常用的有抛物线、圆弧线、悬链线等。
22
l
q A
FA0H
FA0V
x
l
B
水平推力：
FH
M
0 C
f
ql 2 8f
FB0V
M0 4f y x(l x)
FH l 2
三铰拱在竖向均布荷载作用下，合理拱轴线为抛物线。但上式
中拱高未限定，具有不同矢跨比的一组抛物线均为合理拱轴线。
拱身材料 f
FH
基础处理费用
经济、技术比较确定合理的矢跨比。
结构力学
第3章静定结构的内力计算
拱上填料荷载作用
qA
qC
q=qC+γ×y qB
x
C
f
A
B
l/2
l/2
y
悬链线
y
qC
cosh
FH
x
1
沿拱轴线法向均布荷载作用 （水压力）
q
A ρ
C
ρ
α
α
B ρ
圆弧线
轴力为常数 FN q
结构力学
第3章静定结构的内力计算
拱结构的应用（工程结构、生活、体育等）
FN
K
FQ0K
sin
FH
cos
FB0V
左半拱为方正，右半拱为负。
结构力学
例题
P59，例4-1
第3章静定结构的内力计算
结构力学
三、合理拱轴线
第3章静定结构的内力计算
在一定的荷载作用下，使拱处于均匀受压（无弯矩）状态的轴 线，称为合理拱轴线。
合理拱轴线最经济。
合理拱轴线方程：