高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数均值不等式的证明方法
对数均值不等式的证明方法对数均值不等式（AM-GM不等式）是数学中常用的一种不等式，它是初等数学和高等数学中必学的知识点之一。
本文将介绍针对对数均值不等式的证明方法。
一、对数均值不等式的表述对数均值不等式又称为算术平均数和几何平均数不等式，它的数学表述为：对于任意非负实数$x_1, x_2, \ldots, x_n$，有：$$\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} $$其中，$n$为非负整数。
二、直接证明法对数均值不等式的证明方法有多种，其中一种是直接证明法。
这种方法通过将不等式两边进行变换和分析，从而得到等价的形式，最终得证。
首先，根据不等式的左侧，我们可以将$x_1, x_2, \ldots, x_n$的乘积写成指数的形式：$$x_1 \cdot x_2 \cdots x_n = e^{\ln(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n)}$$然后，利用指数函数的性质，我们知道：$$e^{\ln(x_1 \cdot x_2 \cdots x_n)} = e^{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \lnx_n}$$接下来，我们可以应用算术平均数和指数函数的关系，即：$$\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n} \ge \ln\left(\frac{x_1 +x_2 + \cdots + x_n}{n}\right)$$再次利用指数函数的性质，我们有：$$e^{\frac{\ln x_1 + \ln x_2 + \cdots + \ln x_n}{n}} \gee^{\ln\left(\frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}\right)}$$化简后得：$$\sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n} \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}因此，我们通过直接证明法证明了对数均值不等式。
5.对数平均不等式-教师
对数平均不等式1.定义：设,0,,a b a b >≠则2ln ln a b a bab a b+->>-其中ln ln a b a b --被称为对数平均数2.几何解释：反比例函数()()10f x x x=>的图象，如图所示，AP BC TU KV||||||，MN CD x ||||轴， (),0,A a 1,,P a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,0,,B b Q b b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,,T ab ab ⎛⎫ ⎪⎝⎭作()f x 在点2,2a b K a b +⎛⎫⎪+⎝⎭处的切线分别与,AP BQ 交于,E F ，根据左图可知，因为ABNM ABQP ABFE S S S >=矩形曲边梯形梯形，所以()12ln ln ,badx b a b a x a b=->-+ò① 又1ln ln abAUTP aS dx ab a x==-ò曲边梯形， ()11ln ln 22ABQP b a S =-=曲边梯形，()11111222AUTPABCD b a S ab a S aab ab骣-÷ç=+-=?÷ç÷ç桫梯形梯形， 根据右图可知，AUTP AUTP S S <曲边梯形梯形 ，所以ln ln b ab a ab--<， ②另外，ABQX ABYP ABQP ABQP S S S S <<<矩形矩形曲边梯形梯形，可得：()()()11111ln ln ,2b a b a b a b a b a b a骣÷ç-<-<+-<-÷ç÷ç桫 ③ 综上，结合重要不等式可知：()()()()211111ln ln 2b a b a b a b a b a b a b a b a b a ab骣--÷ç-<<-<<+-<-÷ç÷ç桫+，即 ()20112ln ln a b b ab ab a b a b aa b+->>>>>>>-+. ④等价变形： )0.()(2ln ln >≥+-≥-b a ba b a b a)0.(ln ln >≥-≤-b a ab b a b a 3.典例剖析对数平均数的不等式链，提供了多种巧妙放缩的途径，可以用来证明含自然对数的不等式问题．对数平均数的不等式链包含多个不等式，我们可以根据证题需要合理选取其中一个达到不等式证明的目的． （一）()0ln ln b ab a a b a->>>-的应用例1 （2014年陕西）设函数)1ln()(x x f +=，()()g x xf x '=其中()f x '是)(x f 的导函数．（1）（2）（略） （3）设+∈N n ，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，并加以证明．解析 （3）因为()1xgx x=+， 所以()()()1211112231231n gg g n n n n ⎛⎫+++=+++=-+++ ⎪++⎝⎭， 而()()ln 1n f n n n -=-+，因此，比较()()()12g g g n +++ 与()n f n -的大小，即只需比较113121++++n 与()ln 1n +的大小即可． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,1n n n <+-+ 所以1ln 2ln1ln 22<-=，1ln 3ln 23<-，1,ln(1)ln 1n n n <+-+ ， 将以上各不等式左右两边相加得：()111ln 1231n n +++<++ ， 故()()()()12gg g n n f n +++>- .评注 本题是高考试题的压轴题，难度较大，为了降低试题的难度采取多步设问，层层递进，上问结论，用于下问，其第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，尽管如此，步骤依然繁琐，求解过程复杂，但我们这里应用对数平均数不等式链来证明，思路简捷，别具新意，易于学生理解、掌握． 当0b a >>时，ln ln b a a b a ->-，即()1ln ln ,b a b a a-<-令,1,a n b n ==+则()1ln 1ln ,n n n +-<可得：()111ln 1123n n+<++++L . （二）()2202ln ln a b b a b a b a+->>>-的应用 例2设数列{}n a 的通项()111n a n n =++，其前n 项的和为n S ，证明：()ln 1nS n <+．解析 根据0b a >>时，222ln ln a b b ab a+->-，即()222ln ln b a b a a b-->+，令1,,b n a n =+=则()()222ln 1ln 1n n n n +->++22221n n =++22222n a n n >>++，易证()ln 1n S n <+．（三）()02ln ln a b b ab a b a+->>>-的应用 例3.设数列{}n a 的通项111123n a n=++++ ，证明：()ln 21n a n <+．解析 根据0b a >>时，2ln ln a b b a b a+->-，即()2ln ln b a b a a b-->+，令21,21,b n a n =+=-则()()1ln 21ln 21n n n+-->，易证()ln 21na n <+．（四）()2011ln ln b a b a b a a b->>>-+的应用 例 4.（2010年湖北）已知函数()()0bf x ax c a x=++>的图象在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-．（1）用a 表示出,b c ；（2）（略）（3）证明：()()()1111ln 11.2321n n n n n ++++>++?+L 解析 （1）1,12b a c a =-=-；（3）当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以111ln 2ln1,212骣÷ç-<+÷ç÷ç桫111ln 3ln 2,223骣÷ç-<+÷ç÷ç桫L ，()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+将以上各不等式左右两边分别相加得： ()()111111ln 1,223421n n n 骣÷ç+<++++++÷ç÷ç桫+L即()()111111ln11,234212n nn +<++++++-+L故()()1111ln 1.2321n n n n ++++>+++L（五）()0ln ln b aab b a b a->>>-的应用例5. （2014福建预赛）已知1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）（略） （2）求证：()222223411ln 21411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立．解析 （2）根据0b a >>时，ln ln b aab b a->-，即ln ln ,b ab a ab --<令21,21,b n a n =+=-则()()22ln 21ln 21,41n n n +--<-变形可得：()()2222111142ln 21ln 21,4414141n n n n n n n -+轾+--<=<臌---则 ()212ln 3ln1,4411-<?()213ln 5ln 3,,4421-<?L ()()211ln 21ln 21,441n n n n +轾+--<臌-将以上各不等式左右两边相加得： 222223411ln(21)411421431414n n n +++++>+⨯-⨯-⨯-⨯- 对一切正整数n 均成立． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的a的最小值2a =-时，12l n (1)3101x x x -+++->+,即()1312ln 11x x x +->++，结合待证不等式的特征， 令()2*21x k N k =∈-，得122312ln(1)22121121k k k +⨯->+--+-， 整理得：288212ln 4121k k k k ++>--，即()()211ln 21ln 21414k k k k +>+--⎡⎤⎣⎦-,借此作为放缩的途径达到证明的目的．你能注意到两种方法的区别吗？对数平均数的不等式链的运用是近几年数学竞赛、名校模拟数学试题、高考数学真题的理论背景，正如罗增儒教授指出：通过有限的典型考题的学习去领悟那种解无限道题的数学机智.这里的领悟解题的数学机智从某种意义上说就是对问题本质的理解，而对问题本质的发现还在于我们对问题信息的审视和挖掘，水有源，题有根，茫茫题海，寻觅其根源，领悟其通性通法方是提升数学素养的途径. 强化训练1.（2012年天津）已知函数()()()ln 0f x x x a a =-+>的最小值为0．（1）（2）（略）（3）证明：()()12ln 212*.21ni n n N i =-+<∈-∑解析 （3）易求1a =，待证不等式等价于()2222ln 2135721n n ++++<+- ． 根据0b a >>时，ln ln b ab b a ->-，即()1ln ln ,b a b a b -<-令21,21,a n b n =-=+则()()()22ln 21ln 21,21121n n n n =<+--+-+2ln 3ln1,3<-2ln 5ln 3,5<-2ln 7ln 5,,7<-L()()()2ln 21ln 21,211n n n <+--+-将以上各不等式左右两边分别相加得：()22222ln 213572121n n n +++++<+-+ ， ()122ln 21222121ni n i n =-+<-<-+∑.得证. 2.（2013年新课标Ⅰ）已知函数()()()1ln 11x x f x x xλ+=+-+．（1）若0x ≥时,()0,f x ≤求λ的最小值；（2）设数列{}n a 的通项111123n a n =++++ ，证明：21ln 24n na a n-+>． 解析 （1）易得()()()221200,(1)x x f f x x λλ--'==+．令()0,f x '=则120,,x x λλ-==若0λ<，则当0x >时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若102λ≤<，则当120x λλ-≤<时，()()0,f x f x '>是增函数，()()00,f x f >=不符合题意；若12λ≥，则当0x >时，()()0,f x f x '<是减函数，()()00,f x f ≤=符合题意；综上，λ的最小值是12．（2) 当0b a >>时，211ln ln b a b a a b->-+，即()111ln ln 2b a b a a b 骣÷ç-<+-÷ç÷ç桫， 令,1,a n b n ==+则()111ln 1ln ,21n n n n 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ 所以()111ln1ln ,21n n nn 骣÷ç+-<+÷ç÷ç桫+ ()()111ln 2ln 1,212n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++ ()()111ln 3ln 2,223n n n n 骣÷ç+-+<+÷ç÷ç桫++L()111ln 2ln 21,2212n n n n 骣÷ç--<+÷ç÷ç桫-将以上各不等式左右两边分别相加得： 1122221ln 2ln ,2123212n n n n n n n n骣÷ç-<++++++÷ç÷ç桫+++-L 即111111ln 2,2123214n n n n n n骣÷ç<++++++÷ç÷ç桫+++-L 故1111ln 21224n n n n++++>++ ． 评注 本题提供标准答案是借助于第一问的λ的最小值12λ=时，()()()2l n 1022x x x x x++<≥+加以赋值，并进行变形，令1x k=，有()121111l n 12121k k kk k k +⎛⎫⎛⎫+<=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，亦即()111ln 1ln 21k k k k ⎛⎫+-<+ ⎪+⎝⎭达到放缩的目的.两者相比较，自然是运用对数平均值的不等式链的方法简捷.。
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用引言：数学作为高考的一门重要科目，其中不等式是数学中的一个重要概念。
在高考中，有一类不等式常常被提及，那就是对数均值不等式及其变式。
本文将对对数均值不等式及变式的应用进行探讨，并从深度和广度两个方面阐述其在高考压轴题中的实际应用。
一、对数均值不等式的定义与简单应用1.1 对数均值不等式的定义对数均值不等式是数学中的一类不等式，它是由均值不等式推导而来。
对于两个正数a和b，可以定义它们的几何平均数M和算术平均数A 为：\[ M = \sqrt{ab} \]\[ A = \frac{a+b}{2} \]而对于这两个平均数的自然对数，我们可以定义为：\[ m = \ln{M} \]\[ a = \ln{a} \]则对数均值不等式可以表示为：\[ \frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \]即：\[ \frac{a+b}{2} \geq \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \ln{\sqrt{ab}} \]\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]1.2 对数均值不等式的简单应用对数均值不等式在求证过程中往往与其他的不等式相结合，从而达到简化证明的目的。
例：设a、b、c为正数，证明以下不等式：\[ \frac{ab+bc+ca}{a+b+c} \leq \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{8abc}\] 解：由对数均值不等式可得：\[ \ln{(a+b)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ab} \]\[ \ln{(b+c)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{bc} \]\[ \ln{(c+a)} \geq \ln{2} + \frac{1}{2} \ln{ca} \]将上述三个不等式相加，得到：\[ \ln{(a+b)} + \ln{(b+c)} + \ln{(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]\[ \ln{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 3 \ln{2} +\frac{1}{2}(\ln{ab}+\ln{bc}+\ln{ca}) \]由对数的性质可得：\[ (a+b)(b+c)(c+a) \geq 8abc \cdot \sqrt{2} \]将上述不等式代入原式，即可得到所要证明的不等式。
2023年高考数学二轮复习(新高考版) 第1部分 专题突破 培优点2 对数平均不等式、切线不等式
综上，
ab＜ln
a－ln
＜ b
2
.
规律方法
该类问题的特征是双变量，将双变量问题转变为单变量问题
处理，即将
a b
看成一个新对象(整体)，从而进行降维打击.
跟踪演练1 已知函数 f(x)＝1x－x＋aln x. (1)讨论f(x)的单调性；
f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝－x12－1＋ax＝－x2－xa2x＋1.
方法二 f(x)＝exln x＋2xex－1＝exln x＋e2x.
当x＞0时，ex＞1＋x，所以ex－1≥x，
即eex≥x，ex≥ex，当 x＝1 时等号成立， 即 e－ln x≥e(－ln x)，所以1x≥e(－ln x)，
即 ln x≥－e1x，当 x＝1e时等号成立，
所以
exln
x＋e2x≥ex－e1x＋e2x＝eexx ＞1(等号不同时成立).
规律方法
指数的放缩.形如：
x
ex－1≥x－1＋1⇒ex≥ex，e n
≥e·nx⇒ex≥nennxn.
对数的放缩.形如：
eln x≥1＋ln x⇒ln x≤x－1⇒ln(1＋x)≤x，
ln1＋1x<1x⇒ln(x＋1)－ln x<1x，ln1＋－1＋1 x<－1＋1 x ⇒ln(1＋x)－ln x>1＋1 x，ln xe≤xe－1⇒x≥eln x.
则 f′(t)＝2t －1－t12＝－t－t212＜0，
所以f(t)在(1，＋∞)上单调递减，又f(1)＝0，
所以 f(t)<0，即 2ln t＜t－1t ，原不等式得证.
a－b a＋b
a－b
②要证 ln
a－ln
＜ b
对数平均数不等式的证明与应用
35be b ba作c图图2a ~ba ~b对数平均数不等式的证明与应用0),P9+2&成立'a陀,0),0卩，+),幷 Tab彳二 t(t>l),设/"(t ) = 21nr<屮，即证In 牛2 b令》=心 > l),g(O = In 一^119 M 15%2 -119,9a;2 -18% -119 WO,% W 1 +攀2020年第4期中学数学研究安徽省合肥一六八中学(230000) 谈世勇故原不等式成立.注8：本题来源于对2019年秘鲁数学奥林匹克 试题的改进：已知 a,b,c 是满足 a + — = b + — = c + -7-=cab1的实数，求证：丨a I +1 6 1+1 cl < 5.令％ =丨 a I +1 b I +1 c 丨，贝J % > 0=(I al +1 6 1 +1 cl )2 = a 2 + 62 + c 2 + 2(1 I +al? + b 2 c 2 + c a + 2 I abc I (I al+l & I+I cl)=9 + J18 +6% ,(%+ 3)( %3 - 3%2 一 9% + 3) = 0, 3x(x + 3) = x 3 + 3,6x(x + 3) =(/+%'+ 125)-已知为两不等的正实数，我们称］"十人Ina - lnb为a,b 的“对数平均数”.它与a,b 的“几何平均数应”及“算术平均数巻乜”之间有如下不等关系：质 < 1 a < 屮•此不等式我们称之为“对Ina - lnb 2/(/)在(1,+8)递减，而/(I) =0,因此当/ >1时,O'则刃)所以 g(t)在(1, + 8 )递增，而g(l) = 0,因此当t > 1时川-半屮>0恒成立，即吕 <中成立.该不等式本身的证明是通过构造函数，借助于导数作为工具，利用函数单调性而得•在处理某些与 指数、对数相关的不等式问题时，可以尝试应用它来帮助思考分析.2.对数平均数的不等关系的几何证明所示,AP // BC // TU // KV,MN // CD // x 轴,A(a,/(%)在点《(号2焉)处的切线分别与AP,BQ 交于E,F,根据图1可知.2(f -1)数平均不等式”.1.对数平均不等式的代数证明不妨设a > b > 0,先证価< | a 十即证Ina - lnb1),则7(0 = y-l = - (^1)2 <0,所以/(f) = 2 I ni - / + *<0恒成立，即1咗<反比例函数/■(%)=—(X > 0)的图象，如图1X审、〒 a - b 再证 Ina - lnb・36 •中学数学研究2020年第4期因为S 曲边梯形4BQP > S 梯形4BFE = S 矩形ab /VM ，所以『^—dx = ln6 - Ina > - ？J a x as/ab ]—dx a XT （lnb — Ina ）=㊁S 曲边abqp ,=In ^ab - Ina S 梯^autp 二 +（+ + ^=）（_ °）二*.~由图2可知S 曲边梯形A&7P < S 梯形As ,所以lnb -V ab1 b - aIna < — .y/ab综上可得质 < 严二h<屮.Ina - lnb 23.对数平均数不等关系的应用举例例1(2010年天津高考理科21题)已知函数= xe~x (x e 7?).(I )求函数/仏)的单调区间和极值；(II )已知函数y = g (久)的图象与函数y =fM 的图象关于直线％二1对称，证明：当％〉1时， /(^) > g (光);(皿)如果久1工％2,且/(衍)二/(衍)，证明沦1 +光2 > 2.分析：(I )、( H)略•(皿)由前知,％ = 1是函数/(%)的极值点，不妨设0 <衍< 1 <悠，则根据 心)=心)，有*—2宀即宀诗按故要证f(x 0) <0,即证％ =法则这样高等数学的知识•调整思路,利用对数平均数不等式作如下尝试.将衍= x 2e~X2两边取自然对数得lrujj -x x =久1 + %2lnx 2 -慾，故]I/ = 1.由对数平均数不等式知久i - 久1 +心 一]-----}—二 1 < 一5—,即衍 + %2 > 2.llU¥ ] — 厶例2 (2011年辽宁高考理科压轴题)已知函数_/(%) - In% - ax 2 + (2 - a)x.(1) 讨论函数人小的单调性；(2) 设a > 0,证明：当0<力 < 丄时,/(丄+%)a a> y (+ - %)；(3)若函数y =只小的图象与％轴交于两点，线段中点的横坐标为％，证明：/(%0) < 0.分析:(1)、(2)略；(3)由(1)知a > 0时歹= 尸仏)在(0, + 8 )单调递减且f (+)=0.已知函数y =/&)的图象与％轴交于两点，设4(衍,0), B (X 2,0) ,0 < 幻 < * < %2,由/(«1 ) =/(%2)= 0 得lnx 1 - ax^ + (2 - a)%】二 0,lnx 2 - % + (2 - a)x 2 =0,故 In%] - lnx 2 +2(%i -％2)二 a (并-光；+%i -%2),所以「肌-血2 +2(衍7)2 2 , '久1_ %2 + %] _ X 2尤1 +禺 1 一>丄，即证2 a—=t(t > 1),则["2 =阿' 二衍+"(：+」罟,然后通过构I 一 久1 + %2 -匕 1造函数h(t) = a + 1?叫/ > 1)来解决.但如此需i — 1要两次构造函数过程繁琐，而且还要用到像罗必塔照常规思路，一般设e+%22---------<街+尤2\nx 1 - \nx 2lnx 1 - lnx 2 £x 1 - x 2（光]+ %2 ） +1，光1+ x 20—->街一％2 2不等式可得命题得证.只x 1 -光22需证卞<\nx 1 - liLr 2'由对数平均数。
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用
对数均值不等式及变式在高考压轴题的应用一、引言在高中数学的学习过程中，对数均值不等式是一个重要且常见的概念。
它不仅在数学理论中有着广泛的应用，更是在高考压轴题中经常出现的考点之一。
本文将深入探讨对数均值不等式及其变式在高考压轴题中的应用，希望能够帮助读者更深入地理解这一概念，并为高考做好充分的准备。
二、基本概念所谓对数均值不等式，即指若a>0，b>0，则有ln(a) + ln(b) ≥2ln(√ab)，这是对数均值不等式的基本形式。
对数均值不等式的变式有很多种，常见的有加权形式、n元形式等。
在高中数学的学习中，对数均值不等式主要被用来证明不等式或者进行估值。
三、应用举例1. 高考压轴题一题目：已知a，b，c为正实数，求证：(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥(a^2b + b^2c + c^2a)/3。
解析：根据对数均值不等式，可知ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥3ln(abc)，即3ln(abc) ≤ ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3)。
两边同时除以3，得ln(abc) ≤ (ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3))/3。
由于ln是增函数，故ln(a^3) + ln(b^3) + ln(c^3) ≥ ln(a^2b) +ln(b^2c) + ln(c^2a)。
代回，得ln(abc) ≤ ln(a^2b) + ln(b^2c) +ln(c^2a)/3，即abc ≤ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。
又由于a，b，c为正实数，所以(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ (a^2b + b^2c + c^2a)/3。
2. 高考压轴题二题目：证明当x，y > 0时，有x/y + y/x ≥ 2。
解析：根据对数均值不等式，可知ln(x) + ln(y) ≥ 2ln(√xy)，即ln(x) + ln(y) ≥ ln(x) + ln(y)。
第21讲对数平均不等式及其应用导数专题提升讲义)
第14讲 对数平均不等式及其应用整理：广西南宁覃荣一、对数平均不等式及其证明设0b a >>，则211ln ln 2b a a b a b b a a b-+<<<<<-+，其中ln ln b a b a --叫做对数平均数，2a b+叫做几何平均数，211a b+叫做调和平均数，ln ln 2b a a bb a -+<<-称之为：“对数平均不等式”．ln ln 2b a a bb a -+<<-． （1ln ln b ab a-<-．ln ln b ab a -<-得ln ln b a -<，即ln b a <．记t =12ln t t t <-(1)t >．令1()2ln f t t t t=-+(1)t >， 221()1f t t t'=--2221t t t -+-=22(1)0t t --=<， 所以()f t 在(1,)+∞递减，而(1)0f =，因此当1t >时，1()2ln 0f t t t t=-+<恒成立，即lnb a < （2）再证ln ln 2b a a bb a -+<-． 由ln ln 2b a a b b a -+<-得2()ln ln b a b a a b --<+，即2(1)ln 1bb a b a a-<+．令b t a =(1)t >，则有2(1)ln 1t t t -<+(1)t >，设2(1)()ln 1t g t t t -=-+(1)t >，22214(1)()0(1)t(1)t g t t t t -'=-=>++，所以()g t 在(1,)+∞递增，而(1)0g =， 因此当1t >时，2(1)()ln 01t g t t t -=->+恒成立，即ln ln 2b a a bb a -+<-． 本证法，通过比值换元构造函数，再利用函数的单调性来证明不等式，这种把双变量变为单变量的方法是证明不等式的基本方法．几何意义：首先，我们先对对数平均不等式进行变形：2ln ln 1a b a b a b ab-<<+-，ln ln a b a b --表示经过曲线ln y x =上两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b 的直线斜率，2a b +表示曲线ln y x =在2a bx +=ab表示曲线ln y x =在x ab = 由此可知2ln ln a b a b a b ab-<<+-的几何意义是：曲线ln y x =上两点连线的斜率大于曲线ln y x =在两端点横坐标算术平均数处的切线的斜率，小于曲线ln y x =在两端点横坐标几何平均数处的切线的斜率．于是ln ln 2a b a bab a b -+<-的几何意义为： 对于曲线ln y x =上任意两点(,ln )A a a 和(,ln )B b b ()a b <，在区间(,)a b 上都存在唯一实数0x ，使得曲线ln y x =在0x x =处的斜率等于割线AB 02a bab x +<<，这里的0x 就是a ，b 的对数平均，(这个表述实际上就是高等数学里的拉格朗日中值定理)拉格朗日（Lagrange ）中值定理：若函数()f x 满足下列条件：①()f x 在闭区间[,]a b 上连续；②()f x 在开区间(,)a b 上可导，则在 (,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()f b f a f b aξ-'=-．拉格朗日中值定理的几种常见表达形式：①()()()()f b f a f b a ξ'-=-，b a ξ<<；②()()[()]()f b f a f a b a b a θ'-=+--，01θ<<； ③()()()f a h f a f a h h θ'+-=+，01θ<<．对数平均不等式主要是用来处理一些与指数、对数有关的不等式问题． 对数平均不等式解题范式：下面以“已知函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点为1x ，2x ，求证：12()02x x f +'< ”为例说明一下对数平均不等式解题范式． 步骤1：构建等量关系式．因为1x ，2x 是函数2()ln (2)f x x ax a x =-+-的两个零点，所以12()()0f x f x ==，即22111222ln (2)ln (2)x ax a x x ax a x -+-=-+-．步骤2：对等量关系式进行处理．对题目给出的是含自然底数的指数形式，我们通常需要把指数分离出来，然后再对等式两边同时取对数，而像本例本身就是含有自然底数的对数形式，不需要再进行两边取对数，我们通常把对数ln x 分离出来即可：22121221ln ln (2)(2)x x ax ax a x a x -=-+---．步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解．变形可得：12121212ln ln ()()(2)()x x a x x x x a x x -=+----，转化出对数平均数（或它的倒数）：2121121ln ln ()2x x x x a x x a -=-++-．步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．本题目标：证1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，故工具的选择上应该是 ln ln 2b a a bb a -+<-，即211221121ln ln ()22x x x x x x a x x a -+=<-++-，再把12x x +当一个整体解出来代入目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+，从而证明目标． 当然，考虑到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+的结构形式，将目标变形为：12122()2a x x a x x ++->+，步骤3转化出对数平均不等式的倒数212112ln ln 2x x x x x x ->-+，即12122()2a x x a x x ++->+更加有利于后面的操作，只需将12122()2a x x a x x ++->+左边移到右边，即可得到目标1212122()()202x x f a x x a x x +'=-++-<+．二、对数平均不等式在极值点偏移中的应用类型一：不含参数的极值点偏移问题【例1】（2010年高考天津理科第21题（3））已知函数()xf x xe-=()x R ∈，如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：122x x +>．解析：由12()()f x f x =得1212x x x ex e --=，又12x x ≠，所以1x 和2x 同号，当0x <时，()(1)0xf x x xe -'=->，()f x 单调递增，若10x <，20x <，则由12()()f x f x =得12x x =，这与题设不符，所以10x >，20x >． 将等式1212x x x e x e --=两边同时取以自然对数得1122ln ln x x x x -=-，即2121ln ln x x x x -=-，所以21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得12212112ln ln x x x x x x +->=-，即1212x x+>，所以122x x +>．下面证明121212ln ln 2x x x xx x -+<-．证明：（比值换元+构造函数）11122212122(1)2()ln1x x x x x x x x x x -->=++，构造函数2(1)()ln 1t g t t t -=-+，所以214()(1)g t t t '=-+22(1)0(1)t t t -=≥+，所以()g t 是增函数，又因为121x x >，所以12()(1)0x g g x >=，即1122122(1)ln1x x x x x x ->+，故121212ln ln 2x x x xx x -+<-成立，命题得证． 【方法小结】利用对数平均不等式解题的一般步骤：步骤1：构建等量关系式；步骤2：对等量关系式进行处理；步骤3：恒等变形转化出对数平均数（或它的倒数），代入对数平均不等式（根据题目需要和放缩的方向，可以恰当选择调和平均数等其它形式）进行求解；步骤4：根据证明的目标，从不等式211ln ln 2b a a ba b b a a b-+<<<<<-+中恰当选择放缩的方向和放缩的工具．在这特别强调一下：利用对数平均不等式证明的时候，必须要证明一下对数平均不等式．本文为了节约篇幅，今后都把证明对数平均不等式省略，特此说明．【变式训练1】已知1212ln ln x x x x =12()x x ≠，求证：212x x e >．解析：设1212ln ln x x a x x ==，则1122ln ln x ax x ax =⎧⎨=⎩，两式相减得1212ln ln ()x x a x x -=-，即1212ln ln x x a x x -=-，不妨设12x x >，所以212x x e >两边取对数得12ln ln 2x x +>，由等比性质知结合1212ln ln x x a x x ==可得：1212ln ln x x a x x +=+，1212ln ln ()x x a x x +=+，故命题等价于证明12()2a x x +>成立，将1212ln ln x x a x x -=-代入12()2a x x +>得121212ln ln ()2x x x x x x -+>-，即121212ln ln 2x x x x x x -+<-，这就是对数平均不等式，显然成立． 类型二：含参数的极值点偏移问题【例2】已知函数2()ln f x x x ax =-+．（1）当(1,)x ∈+∞时，函数()f x 为递减函数，求a 的取值范围；（2）设()f x '是函数()f x 的导函数，1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，求证：12()02x x f +'<． 解析：（1）1a ≤（过程略）．（2）证明：由1x ，2x 是函数()f x 的两个零点，且12x x <，所以21112222ln 0ln 0x x ax x x ax ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，两式相减得：22221211ln ()()0x x x a x x x --+-=，所以211221ln()x x a x x x x =++-， 所以12()2x x f +'2112121221ln22()x x x x a x x x x x x =-++=+++-212121212()ln x x xx x x x x --+=-， 要证12()02x x f +'<，只需证2121212()ln 0x x x x x x --<+即可． 解法一（对数平均不等式）由2121212()ln 0x x x x x x --<+变形得211221ln ln 2x x x x x x -<+-．由对数平均不等式可知，上式显然成立．解法二（比值换元+构造函数）由2121212()ln 0x x xx x x --<+变形得2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，记211x t x =>，则有2(1)ln 1t t t ->+(1)t >，构造函数2(1)()ln 1t h t t t -=-+(1)t >， 22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t -'=-=>++(1)t >，()h t 在(1,)+∞单调递增，∴2(1)()ln (1)01t h t t h t -=->=+，∴2212112(1)ln 1x x x x x x ->+，∴12()02x x f +'<．【方法小结】本例跟例题1相比，要构建对数平均数（或它的倒数）的障碍就是参数m ，所以这种含参数的应该首先消去参数再按照常规的对数平均数解题范式进行解题． 【变式训练】（2016年4月湖北七市教科研协作体高三文科第21题） 已知函数1()ln f x m x x=--()x R ∈，若恰有两个零点1x ，2x 12()x x <，求证：122x x +>． 解析： 1x ，2x 是()f x 的两个零点，∴ 11221ln 1ln m x x m x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，得121211ln ln x x x x +=+，即212112ln ln x x x x x x -=-，所以2121121ln ln x x x x x x -=-， 又由对数平均不等式得2121ln ln x x x x -->即121x x >，则121x x >，所以122x x +>>，命题得证． 三、对数平均不等式在双变量中的应用【例1】（2015年合肥高三模拟最后一卷）已知函数()ln f x x kx =-()k R ∈． （1）若0k >，求函数()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x =的两个相异的零点1x ，2x ，求证：212x x e >．解析：（1）()f x 的单调增区间为1(0,)k ；减区间为1(,)k+∞，过程略． (2)证明：因为1x ，2x 是函数()y f x =的两个相异的零点，必有0k >，不妨设210x x >>则有1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩，两式相减得：2121ln ln ()x x k x x -=-，可得 2121ln ln x x k x x -=-．要证212x x e >，即证：12ln ln 2x x +>，将1122ln ln x kx x kx =⎧⎨=⎩两式相加得1212ln ln ()x x k x x +=+，故只需证1212ln ln ()2x x k x x +=+>，即2121ln ln x x k x x -=-122x x >+，由对数平均不等式211221ln ln 2x x x xx x -+<-可知上式显然成立．【方法小结】用对数平均不等式解决双变量的不等式证明问题时，解题的模式还是用范式的步骤来解．这种问题往往需要对证明目标进行变形，然后将对数平均数对变形的结果进行整体代换即可．【变式训练2】（2015江南十校联考部分）已知函数()ln f x x ax =-．若函数()y f x =的图像在1x =处的切线平行于x 轴，且11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x <是函数()y f x =的图像上任意两个不同的点，设直线AB 的斜率为k ，证明：211111k x x -<<-． 证明：由题意知，1()f x a x '=-，1(1)01f a '=-=，即 1a =，所以()ln f x x x =-． 直线AB 的斜率为2122112121(ln )(ln )y y x x x x k x x x x ----==--2121ln ln 1x x x x -=--．故要证211111k x x -<<-，即证21111k x x <+<，只需证212211ln ln 11x x x x x x -<<-，由对数平均不等式知211221ln ln 2x x x x x x -<<+- 又12x x <，所以22212122x x x x x =<++，11x <=，故有212211ln ln 11x x x x x x -<<-，命题得证．四、对数平均不等式在证明数列不等式中的应用 1、应用ln ln b aa b b a-<<-(0)a >证明数列不等式．由对数平均不等式ln ln 2b a a b b a -+<<-(0)a b <<，可得ln ln 2b a b bb a -+<<-，即ln ln b a a b b a-<<-(0)a >．【例1】（2014年陕西卷理科第21题）设函数()ln(1)f x x =+，()()g x xf x '=，0x ≥，其中()f x '是()f x 的导函数．（1）导1()()g x g x =，1()(())n n g x g g x +=，n N +∈，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x ≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设n N +∈，比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明．解析：（1），（2）略；（3）证法一：（利用ln ln b a b b a -<-放缩证明）由题意，得()1xg x x=+，所以 12(1)(2)()231n g g g n n +++=++++111()231n n =-++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，因此，只需比较12231nn ++++和ln(1)n +的大小关系即可．现证12ln(1)231nn n +>++++．当0b a >>时，有ln ln b a b b a -<-，即1()ln ln b a b a b-<-，令a n =，1b n =+，则1ln(1)ln 1n n n <+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：1ln 2ln12<-， 1ln 3ln 23<-，1ln 4ln 34<-，，1ln(1)ln 1n n n <+-+，将以上式子左右两边分别相加可得：111ln(1)231n n +++<++，故12ln(1)231nn n +>++++得证，从而命题得证． （证法二：由对数平均不等式的单变量形式证明）由题意，得()1xg x x=+，所以12(1)(2)()231ng g g n n +++=++++，而()ln(1)n f n n n -=-+，由1(1)1ln 21()2g f n =>-=-进行猜想，有(1)(2)()()g g g n n f n +++>-，该不等式等价于12231nn ++++ln(1)n <+．由对平均不等式的单变量形式：当1x >-时，恒有ln 1x x x ≥+，可知当0x >时，恒有ln(1)1xx x +>+，令1x k =，有11ln(1)11k k k+>+，即1ln(1)ln 1k k k +->+，其中k N +∈，于是有111[ln(1)ln ]()1n nk k k k k ==+->+∑∑，即12ln(1)231nn n +>++++，猜想得证． 【方法小结】本题作为压轴题，难度较大，题目采取多步设问，层层递进的方式出题，上一 问的结论可用于下一问，其中第二问是为第三问做铺垫的“梯子”，但是还是步骤繁琐，求 解过程复杂．在这里，证法一利用对数平均不等式的变形ln ln b ab b a-<-，进一步变形为1()ln ln b a b a b-<-，再根据所要证明的式子的需要，对a ，b 进行赋值a n =，1b n =+ 从而使问题大大地简化，易于被学生接受．证法二则是利用对数平均不等式的单变量形式来 证明，这需要学生掌握对数平均不等式的单变量常见的几种形式：①当01x <≤2(1)ln 1x x x -≤≤+；②当1x ≥时，恒有2(1)ln 1x x x -≤≤+事实上，对于这两个命题，当1x =时，是显然成立的．当1x ≠ln ln 2b a a bb a -+<<-， 令1a =，b x =11ln 2x x x -+<，再注意到ln x 正，负两种情况，容易得到这两 个命题．③当1x >-时，恒有ln 1x x x ≤≤+，现证这个结论如下： 证明：当0x >时，(1)1(1)11ln(1)12x x x +-++<<<+-112xx =+<+，即11ln(1)1x x x <<++-⇔ln(1)1xx x x <+<+．当10x -<<时，(1)1(1)11ln(1)ln12x x x x +-+++<<<+-112x=+<，即11ln(1)x x x +<<+⇔11ln(1)x x x x <<++⇔ln(1)1xx x x <+<+，当且仅当0x =时等号成立．【变式训练1】（2012年天津卷理科第20题）已知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中0a >． （1）求a 的值；（2）若对任意的[0,)x ∈+∞有2()f x kx ≤成立，求实数k 的最小值； （3）证明：122ln(21)222121ni n i n =-+<-<-+∑ ()n N*∈．解析：(1)、（2）略；（3）证明：由(1)知，1a =，所以待证不等式等价于：2222ln(21)35721n n ++++<+-． 当0a b <<时，ln ln b a b b a -<-，变形得1()ln ln b a b a b-<-，令21a n =-，21b n =+，则22ln(21)ln(21)2(1)121n n n n =<+--+-+，对该式子赋值1，2，3，，n 得：2ln 3ln 23<-，2ln 5ln 35<-，2ln 7ln 57<-，，22(1)1n +-ln(21)n <+ln(21)n --，将以上式子左右两边分别相加得：2222ln(21)35721n n ++++<+-， 即12ln(21)221ni n i =-+<-∑ ()n N *∈．2．应用211ln ln b ab aa b-<-+(0)b a >>证明数列不等式．[例2] （2013年大纲卷理科第22题）已知函数1()ln(1+)1x x f x x xλ(+)=-+．(1)若0x ≥时，()0f x ≤，求λ的最小值；(2)设数列}{n a 的通项111=1+23n a n +++，证明：21ln 24n n a a n -+>． (1) 解析：由已知(0)0f =，2212()1x x f x x λλ(-)-'=(+)，(0)0f '=． 若12λ<，则当02(12)x λ<<-时，()0f x '>，所以()0f x >．若12λ≥，则当0x >时，()0f x '<，所以当0x >时，()0f x <．综上，λ的最小值是12．(2) 证法一：(利用211ln ln b ab a a b-<-+证明)： 当0b a >>时，211ln ln b ab a a b-<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-， 令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +- 111()21n n <++，所以，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，ln(2)ln(1)n n +-+ 111()212n n <+++，ln(3)ln(2)n n +-+111()223n n <+++，， ln 2ln(21)n n --111()2212n n<+-，将以上不等式左右两边分别相加得： 111111ln 2()2123214n n n n n n <+++++++++-11111122124n n n n n=+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证． 证法二：(对数平均不等式的单变量形式证明)：由命题2知，当1x >时，有ln x <，令2x t =，可得12ln t t t <-(1)t >，再令1k t k +=，得112ln 1k k kk k k ++<-+ 111k k =++，即1111ln ()21k k k k +<++，分别令k n =，1n +，2n +，，21n -，得到n 个不等式，两边叠加，化简得111ln 2ln 21n n n n -<⋅++，两边叠加，化简可得ln 2ln n n -<1111212n n n ⋅++++1112122n n+++⋅-11111122124n n n n n =+++++++-，即21ln 2()4n n a a n<-+，问题得证． 证法三：(利用第一问结果证明）令12λ=．由(1)知，当0x >时，()0f x <，即2ln(1)22x x x x (+)>++，取1x k =，则211>ln 21k k k k k ++(+)， 于是212111[] 422(1)n n n k n a a n k k -=-+=++∑212121n k n k k k -=+=(+)∑211ln n k nk k -=+>∑ln 2ln ln 2n n =-=，所以21ln 24n n a a n-+>．【方法小结】方法二利用对数平均不等式的单变量形式ln x <，先对x 赋值变形2x t =，再对t 进行赋值1k t k+=，构建对数不等式，最后对k 进行赋值，这个思路不宜想 到，另外操作赋值过多，难度较大；方法三借助第一问12λ=，2ln(1+)22x x x x(+)<+(0)x ≥，加以赋值，并进行变形，令1x k=，121111ln(1)<()2121k k k k k k ++=+(+)+，即ln(1)ln k k +- 111()21k k <++从而达到放缩的目的；方法一利用对数平均不等式衍生211ln ln b ab a a b-<-+，再变形为111ln ln ()()2b a b a a b-<+-，再结合结论进行恰当赋值令a n =，1b n =+，相对其他两种方法而言，还是比较容易操作．【变式训练2】（2010年高考湖北省理科数学第题）已知函数()bf x ax c x=++(0)a >的图像在点(1,(1))f 处的切线为1y x =-． （I ）用a 表示b ，c ；（II ）若()ln f x x ≥在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围；（Ⅲ）证明：1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++ (1)n ≥．解析：（I ）1b a =-，12c a =-；（II ）1[,)2+∞（端点效应+分类讨论）．（III ）证明：当0b a >>时，211ln ln b ab a a b -<-+，即111ln ln ()()2b a b a a b -<+-，令a n =，1b n =+，则ln(1)ln n n +-111()21n n <++，所以， ln(1)ln n n +-111()21n n <++，因此111ln 2ln1()212-<+，111ln 3ln 2()223-<+， ，ln(1)ln n n +-111()21n n <++，将以上不等式左右两边分别相加得： 11111ln(1)()2232(1)n n n +<++++++，即11ln(1)123n +<+++1112(1)2n n ++-+，可化得1111ln(1)232(1)nn n n ++++>+++，命题得证．3ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式． 【例3】设数列}{n a 的通项公式n a =n 项和为n S ，求证：ln(1)n S n <+．证明：当(0)b a >>ln ln b a b a ->-，即ln ln b a ->，令1b n =+，a n =，则ln(1)ln n n +->=n a >>，即ln(1)ln n a n n <+-，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得1ln 2ln1a <-，2ln 3ln 2a <-，3ln 4ln 3a <-，，ln(1)ln n a n n <+-，将以上不等式左右两边分别相加得：122n a a a a ++++(ln 2ln1)(ln3ln 2)(ln 4ln3)<-+-+-+(ln(1)ln )n n ++-，即ln(1)n S n <+．4．应用ln ln 2b a a bb a -+<-(0)b a >>证明数列不等式．[例4]设数列}{n a 的通项公式111123n a n=++++，证明：ln(21)n a n <+．证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a b b a -+<-，2()ln ln b a b a a b -->+，令21a n =-，21b n =+，则1ln(21)ln(21)n nn+-->，对该不等式两边的n 同时赋值1，2，3，，n 得：ln3ln11->，1ln 5ln 32->，1ln 7ln 53->，，1ln(21)ln(21)n n n+-->，将以上不等式左右两边分别相加化简得：111123n++++ln(21)n <+，ln(21)n a n <+．【变式训练】（2102年高考湖北文科第题）设函数()(1)nf x ax x b =-+ (0)x >，n 为正整数，a ，b 为常数，曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=． （1）求a ，b 的值；（2）求函数()f x 的最大值（3）证明：1()f x ne<．解析：（1）1a =，0b =；（2）1(1)nn n n ++； （3）证明：当(0)b a >>时，ln ln 2b a a bb a -+<-，令a n =，1b n =+，则(1)ln(1)ln n n n n +-+-(1)12n n n ++<<+，即(1)ln(1)ln n n n n +-+-1n <+，所以1ln(1)ln 1n n n +->+，即 11ln 1n n n +>+，该不等式两边同乘以1n +得11ln()1ln n n e n ++>=，即11()n n e n++<，所以11(1)n n n n ne +<+，由（2）知11()(1)n n n f x n ne+≤<+，命题得证． 5．应用ln ln b ab a->-(0)b a >>证明数列不等式．【例5】（2014年福建预选赛）已知函数1()ln(1)311f x a x x x =+++-+． （1）若0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围；（2）求证：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈． 解析：（1）a 的取值范围为[2,)-+∞．（2）证法一:(利用ln ln b a b a ->-证明）当(0)b a >>时，ln ln b ab a->-，变形得ln ln b a -<21a n =-，21b n =+，ln(21)ln(21)n n +--<，变形可得：2111[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<=<-，对该不等式的n 赋 值1，2，3，，n 得：212(ln 3ln1)4411-<⨯-，212(ln 5ln 3)4421-<⨯-， 312(ln 7ln 5)4421-<⨯-，，211[ln(21)ln(21)]441n n n n ++--<⨯-，将以上不等式 左右两边分别相加化简得：2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯- 1ln(21)4n >+，n N +∈． 证法二:(利用第一问进行赋值）由（1）知，当0x >时，有1312ln(1)1x x x +->++，令221x k =-()k N +∈，则有211211ln [ln(21)ln(21)]414214k k k k k k ++>=+--⨯--，对该不等式的k 赋值1，2，3，，n 得：221(ln 3ln1)4114>-⨯-，221(ln 5ln 3)4214>-⨯-，321(ln 7ln 5)4214>-⨯-，，2141n n +⨯- 1[ln(21)ln(21)]4n n >+--，将以上不等式左右两边分别相加化简得： 2222234141142143141n n +++++⨯-⨯-⨯-⨯-1ln(21)4n >+，n N +∈．【方法小结】证法一本题根据目标1ln(21)4n +和左边式子的通项公式2141n n +⨯-，恰当选择不等式ln ln b a -<，然后再对变量进行赋值21a n =-，21b n =+；证法二利用 第一问可得出的不等式1312ln(1)1x x x +->++进行对变量x 进行赋值令221x k =-，不 等式放缩的目标和通项公式是不等式证明的导航灯，它指引着我们解题工具的选用，赋值的选择，这恰恰是这种问题证明的最难之所在，例3，例4操作的方法也基本上通过这样的路 径来选择不等式证明的工具和对变量进行赋值． 三、巩固练习1．（2016年全国课标卷I 理科第21题）已知函数错误!未找到引用源。
高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)
对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
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高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中的一种重要不等式，它常常被用于证明和推导其他数学定理。
在本文中，我们将介绍对数平均不等式的定义、证明以及一些应用。
一、对数平均不等式的定义对数平均不等式又称为加权对数平均，它是指对数平均和算术平均之间的不等关系。
具体来说，设x_1, x_2, ..., x_n是n个正实数，a_1, a_2, ..., a_n是n个非负实数且满足a_1 + a_2 + ... + a_n = 1，则对数平均不等式定义为：(\prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i})^{\frac{1}{1}} \geq (\sum_{i=1}^{n} a_ix_i)\prod_{i=1}^{n} x_i^{a_i}表示x_i的加权乘积，\sum_{i=1}^{n} a_ix_i表示x_i的加权和。
二、对数平均不等式的证明对数平均不等式的证明可以通过多种方法，其中一个比较简单的证明思路如下：假设n=2，即x_1和x_2是两个正实数，a_1和a_2是两个非负实数且满足a_1 + a_2 = 1。
我们需要证明以下不等式成立：(x_1^{a_1} \cdot x_2^{a_2})^{\frac{1}{1}} \geq (a_1x_1 + a_2x_2)我们可以通过将不等式两边同时取对数，化为等价的形式，即证明以下不等式成立：\frac{1}{1} \cdot (a_1\ln{x_1} + a_2\ln{x_2}) \geq \ln{(a_1x_1 + a_2x_2)}进一步化简得到：a_1\ln{x_1} + a_2\ln{x_2} \geq \ln{(a_1x_1 + a_2x_2)}通过进一步变形和化简，可以得到对数平均不等式成立的结论。
对于n > 2的情况，证明的思路和方法也是类似的，只是需要进行更多的数学推导和变形运算。
有兴趣的读者可以尝试通过数学归纳法或其他方法进行证明。
对数平均不等式的证明与应用
差
变
形
得
１犿Βιβλιοθήκη 烆２ｌｎ狓２＝１－狓２，
狓１－狓２ ｌｎ狓１－ｌｎ狓２
＝
狓１狓２ ２犿
，再
根
据
对
数
平
均
不
等
式
得
狓１－狓２
狓１狓２ 狓１＋狓２
ｌｎ狓１－ｌｎ狓２＝ ２犿 ＜ ２ ．
综上，我们通 过 对 典 型 考 题 进 行 学 习，以 领 悟 解
题中的数学 智 慧．这 里 的 “数 学 智 慧”，从 某 种 意 义 上
＞ ０，犪
≠ 犫，则
犪＋犫 ２
＞
犪－犫 ｌｎ犪－ｌｎ犫．
不妨设犪＞犫＞０，则欲证犪２＋犫＞ｌｎ犪犪－ －ｌ犫ｎ犫，即 证
犪
ｌｎ犪－ｌｎ犫＞２犪（犪＋－犫犫），即 证
１犪 ２ｌｎ犫
犫 ＞犪
－１ ．
犫 ＋１
设犪 犫
＝狋（狋＞１），即
证
１ ２ｌｎ狋＞狋狋－ ＋１ １．令
犳 （狋）＝
１２ｌｎ狋－狋狋－＋１１（狋＞１），则
因
为
犳′（狋）＝２１狋－
２ （狋＋１）２
＝
２狋（狋（狋－＋１１）２）２＞０，所以犳（狋）在 （１，＋ ∞）上 单 调 递 增，所
以
犳（狋）＞犳（１）＝０，即
１ 狋－１ ２ｌｎ狋＞狋＋１．
２）再 证 若 犪 ＞０，犫＞０，犪 ≠犫，则ｌｎ犪犪－－ｌ犫ｎ犫 ＞
槡犪犫 ．
不妨设犪＞犫＞０，则 欲 证ｌｎ犪犪－ －ｌ犫ｎ犫＞槡犪犫，即 证
·学 海 导 航·
◇ 河北 卢立华
对数 平 均 不 等 式犪２＋犫＞ｌｎ犪犪－ －ｌ犫ｎ犫＞槡犪犫，成 立
的前
【高中数学】MS16对数平均不等式(含答案)
，即 x2
ax 1
0 ，故
x1
x2
a, x1x2
1；
要证
f
x1
f
x2 a 2 ，只需证
1 x1
x1
a
ln
x1
1 x2
x2 a ln x2
a2，
x1 x2
x1 x2
11 只需证 x1 x2 1 a ln x1 a ln x2 a 2 ，只需证
1
1 a ln x1 ln x2 a 2 ，
2
lnx1 lnx2
例 6：（2018 高考全国卷 I 理科）已知函数 f x 1 x a ln x .
x
（1）讨论
f
x 的单调性；（2）若
f
x 存在两个极值点 x1, x2
，证明：
f
x1 f x2
x1 x2
a2
解：（1）略。（2）
f
x
1 x2
1
a x
x2
ax x2
1
0
f
x0
1 x0
2ax0
2 a ，由
f
( x1 )
f
(x2 )
0
ln ln
x1 x2
ax12 (2 a)x1 0(1) ax22 (2 a)x2 0(2)
(1) (2) : ln
x1
ln
x2
a( x12
x2 2)
a 2 ( x1
x2 )
，同除以 x1
x2 得，ln
构造对数平均不等式，在证明
x1
x2
b a
或者
x1
x2
b a
，往往用反证法减少运算；对于
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式（Logarithmic mean inequality）是数学中的一种重要不等式，它是关于算术平均值和几何平均值之间关系的一种描述。
对数平均不等式可以用于解决很多数学问题，如“证明 e 的值大于2”、“证明当 a,b,c>0 时，有abc≤(a+b+c)³/27 ”等问题。
不妨设 a>b>0，则有$$a>b \Leftrightarrow \ln a > \ln b $$根据以上变换可知，$\ln$ 是严格单调递增的函数。
考虑一个函数 $f(x) = \ln x$，显然 $f(x)$ 在 $(0,\infty)$ 中是一个连续、单调递增的函数。
根据中值定理，对于 $a,b>0$，存在 $c \in (a,b)$ 使得$$\frac{\ln a- \ln b}{a-b} = \frac{1}{c}$$整理可得设 $x = b/c$，则 $a/c = x+(a-b)/c$，因此设 $y=\ln x$，则对数平均有$$\frac{\ln a-\ln b}{\ln(a/b)}= \frac{\ln a-\ln c}{\ln(a/c)} = \lne^{\frac{y}{2}} =\frac{y}{2} $$根据上式可知，根据等比关系 $\frac{a}{c}=[\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}]^{1/2}$，可得由于 $y=\ln x >0$，所以 $\sqrt x>1$，则即 $y>0$，所以显然，$\ln a-\ln b>0$，因此 $\ln a-\ln c>0$，所以 $a>c$。
由于这一步的推导是对称的，故得到 $b<c$。
因此，对于 $a>b>0$，有 $a>c>b>0$，根据几何平均和算术平均的定义，可得：$$\sqrt{bc}<\frac{b+c}{2}<\sqrt{a}\Rightarrow b+c<2\sqrt{ab}$$即得证。
对数平均不等式的证明及应用
对数平均不等式的证明及应用【摘要】对数平均不等式是数学中的重要不等式之一，它在分析和应用中都有着广泛的用途。
本文通过对对数平均不等式的证明和应用进行深入探讨，展示了其在数学领域的重要性和实用性。
文章介绍了对数平均不等式的证明过程，详细解释了其推导和原理。
接着，分析了对数平均不等式在实际问题中的应用，展示了其在求解各种数学问题中的价值。
通过实例分析和一般形式的推广，展示了对数平均不等式在不同领域的灵活运用。
文章探讨了对数平均不等式与几何平均和算术平均的关系，为读者提供了更深入的理解。
结论部分总结了对数平均不等式的重要性、在数学中的应用和意义，强调了其在数学研究和实际问题中的不可或缺性。
通过本文的研究，读者可以更好地认识和应用对数平均不等式，提升数学问题的解决能力和分析水平。
【关键词】对数平均不等式、证明、应用、实例分析、推广、几何平均、算术平均、关系、重要性、数学应用、意义1. 引言1.1 对数平均不等式的证明及应用对数平均不等式是数学中经常用到的一个重要不等式，其证明及应用涉及到多个领域，包括数学、物理、经济等。
本文将对对数平均不等式进行详细的介绍和分析。
我们将详细介绍对数平均不等式的证明过程。
通过推导和分析，我们可以明确对数平均不等式的成立条件和相关性质。
接着，我们将探讨对数平均不等式在实际问题中的应用。
这些应用涉及到各种不同的情境和领域，例如在统计学中的数据分析、在金融学中的投资决策等。
在实例分析部分，我们将通过具体的案例来展示对数平均不等式的具体应用以及其解决问题的能力。
我们还将对对数平均不等式进行一般形式的推广，以便更好地理解这一不等式的应用范围和特点。
我们将讨论对数平均不等式与几何平均与算术平均的关系，进一步揭示其在数学中的重要性。
结合以上内容，我们将总结对数平均不等式在数学中的应用和意义，以及其在实际问题中的重要性和价值。
通过本文的介绍和分析，相信读者们对对数平均不等式的理解和应用能力将会得到提升。
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对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
.
例 2（2010 年天津高考理科 21 题）已知函数 f (x) xex (x R) ．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 y= g( x) 的图象与函数 y= f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，证明：当 x 1 时，
f (x) g(x) ；
（Ⅲ）如果 x1 x2 ，且 f (x1) f (x2 ) ，证明： x1 x2 2 ．
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
a2.
例 2（2010 年天津高考理科 21 题）已知函数 f (x) xex (x R) ． （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数 y= g( x) 的图象与函数 y= f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，证明：当 x 1 时， f (x) g(x) ； （Ⅲ）如果 x1 x2 ，且 f (x1) f (x2 ) ，证明： x1 x2 2 ．
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高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．
解（Ⅰ）、（Ⅱ）略．
（Ⅲ）将 x1ex1
x2e x2
两边取自然对数得， ln x1
x1
ln x2
x2 ，故 ln
x1 x1
x2 ln x2
1，
由对数平均数不等式知， x1 x2 ln x1 ln x2
1
x1
x2 2
，即 x1
x2
2．
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例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
f
(1)
0 ，因此当 t
1时，
f (t) 2 lnt t 1 0恒成立，即 ln a a b 成立．
t
bba
再证
ln
a a
b ln
b
a
2
b
，即证
ln
a b
2( a 1) b a 1
，
b
令 a t(t 1) ， g(t) ln t 2(t 1) (t 1) ，
b
t 1
则 g(t) 1 4 (t 1)2 0 ，所以 g(t) 在 (1,) 递增，而 g(1) 0 ，因此当 t 1时， t (t 1)2 t(t 1)2
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
——由 2018 年全国 I 卷理科 21 题想到的
近年来以对数平均不等式为背景的试题经常活跃在各类考试中，2018 年全国 I 卷理科 21 题（见例
1）再次考了这个问题，值得大家引起高度重视。但很多同学，或年轻教师并不了解，为此介绍如下：
（一）对数平均数与对数平均不等式
ln t 2(t 1) 0恒成立，即 a b a b 成立．
t 1
ln a ln b 2
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高考数学培优专题（1）
（三）对数平均不等式的应用
例 1（2018 年全国 I，21）已知函数 f (x) 1 x a ln x . x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若
f
(x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，证明：
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若
f
(x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，证明：
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
a2.
解：（1）
f
(x) 的定义域为 (0, ) ，
f (x)
1 x2
1
a x
x2
ax x2
1
.
（ⅰ）若 a ≤2 ，则 f (x) ≤ 0 ，当且仅当 a 2 ， x 1时 f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0, ) 单调递减.
f (x1) f (x2 ) 1 1 a ln x1 ln x2 2 a ln x1 ln x2 ，
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
由对数平均不等式， x1 x2 > ln x1 ln x2
x1 x2
1
，所以
ln
x1 x1
ln x2 x2
1
所以 f (x1) f (x2 ) a 2 x1 x2
（1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）设 a
0 ，证明：当 0
x
1 a
时
，
f (1 x) a
f
(
1 a
x)
；
（3）若函数 y f (x) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0 ，证明：
f (x0 ) 0 ．
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高考数学培优专题（1）
答案
例 1（2018 年全国 I，21）已知函数 f (x) 1 x a ln x . x
（二）对数平均不等式的证明
不妨设 a b 0 ．先证 ab a b ，即证 ln a a b ，
ln a ln b
bba
令 a t(t 1) ，设 f (t) 2ln t t 1(t 1) ，
b
t
则
f (t)
2 t
1 1 t2
(t 1)2 t2
0 ，所以
f
(t) 在 (1,) 递减，而