高考数学培优专题(1)——对数平均不等式的证明与应用(答安详解)

解（Ⅰ）、（Ⅱ）略．
（Ⅲ）将 x1ex1
x2e x2
两边取自然对数得， ln x1
x1
ln x2
x2 ，故 ln
x1 x1
x2 ln x2
1，
由对数平均数不等式知， x1 x2 ln x1 ln x2
1
x1
x2 2
，即 x1
x2
2．
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高考数学培优专题（1）
例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
f
(1)
0 ，因此当 t
1时，
f (t) 2 lnt t 1 0恒成立，即 ln a a b 成立．
t
bba
再证
ln
a a
b ln
b
a
2
b
，即证
ln
a b
2( a 1) b a 1
，
b
令 a t(t 1) ， g(t) ln t 2(t 1) (t 1) ，
b
t 1
则 g(t) 1 4 (t 1)2 0 ，所以 g(t) 在 (1,) 递增，而 g(1) 0 ，因此当 t 1时， t (t 1)2 t(t 1)2
（二）对数平均不等式的证明
不妨设 a b 0 ．先证 ab a b ，即证 ln a a b ，
ln a ln b
bba
令 a t(t 1) ，设 f (t) 2ln t t 1(t 1) ，
b
t
则
f (t)
2 t
1 1 t2
(t 1)2 t2
0 ，所以
f
(t) 在 (1,) 递减，而
对数平均数：对于正数 a ， b ，且 a b ，定义 a b 为 a ， b 的对数平均数； ln a ln b
对数平均不等式：对于正数 a ， b ，且 a b ，则有 ab a b a b ，即几何平均数＜对 ln a ln b 2
数平均数＜算术平均数，简记为 G a,b L a,b Aa,b ．
高考数学培优专题（1）
对数平均不等式的证明与应用
——由 2018 年全国 I 卷理科 21 题想到的
近年来以对数平均不等式为背景的试题经常活跃在各类考试中，2018 年全国 I 卷理科 21 题（见例
1）再次考了这个问题，值得大家引起高度重视。但很多同学，或年轻教师并不了解，为此介绍如下：
（一）对数平均数与对数平均不等式
ln t 2(t 1) 0恒成立，即 a b a b 成立．
t 1
ln a ln b 2
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高考数学培优专题（1）
（三）对数平均不等式的应用
例 1（2018 年全国 I，21）已知函数 f (x) 1 x a ln x . x
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若
f
(x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，证明：
.
例 2（2010 年天津高考理科 21 题）已知函数 f (x) xex (x R) ．
（Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间和极值；
（Ⅱ）已知函数 y= g( x) 的图象与函数 y= f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，证明：当 x 1 时，
f (x) g(x) ；
（Ⅲ）如果 x1 x2 ，且 f (x1) f (x2 ) ，证明： x1 x2 2 ．
a2 4 ) ， (a
a2 4 , ) 单调递
2
2
2
2
减，在 (a
a2 4 a ,
a2 4 ) 单调递增.
2
2
（2）由（1）知， f (x) 存在两个极值点当且仅当 a 2 .
由于 f (x) 的两个极值点 x1 ， x2 满足 x2 ax 1 0 ，所以 x1x2 1 ，不妨设 x1 x2 ，则 x2 1 . 由于
（1）讨论 f (x) 的单调性；
（2）若
f
(x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，证明：
f
百度文库
(x1) f (x2 ) x1 x2
a2.
解：（1）
f
(x) 的定义域为 (0, ) ，
f (x)
1 x2
1
a x
x2
ax x2
1
.
（ⅰ）若 a ≤2 ，则 f (x) ≤ 0 ，当且仅当 a 2 ， x 1时 f (x) 0 ，所以 f (x) 在 (0, ) 单调递减.
（1）讨论函数 f (x) 的单调性；
（2）设 a
0 ，证明：当 0
x
1 a
时
，
f (1 x) a
f
(
1 a
x)
；
（3）若函数 y f (x) 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，线段 AB 中点的横坐标为 x0 ，证明：
f (x0 ) 0 ．
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高考数学培优专题（1）
答案
例 1（2018 年全国 I，21）已知函数 f (x) 1 x a ln x . x
（ⅱ）若 a 2 ，令 f (x) 0 得， x a a2 4 或 x a a2 4 .
2
2
当 x (0, a
a2 4 )
(a
a2 4 , ) 时， f (x) 0 ；
2
2
当 x(a
a2 4 a ,
a2 4 ) 时， f (x) 0 . 所以 f (x) 在 (0, a
f
(x1) f (x2 ) x1 x2
a2.
例 2（2010 年天津高考理科 21 题）已知函数 f (x) xex (x R) ． （Ⅰ）求函数 f (x) 的单调区间和极值； （Ⅱ）已知函数 y= g( x) 的图象与函数 y= f (x) 的图象关于直线 x 1 对称，证明：当 x 1 时， f (x) g(x) ； （Ⅲ）如果 x1 x2 ，且 f (x1) f (x2 ) ，证明： x1 x2 2 ．
f (x1) f (x2 ) 1 1 a ln x1 ln x2 2 a ln x1 ln x2 ，
x1 x2
x1 x2
x1 x2
x1 x2
由对数平均不等式， x1 x2 > ln x1 ln x2
x1 x2
1
，所以
ln
x1 x1
ln x2 x2
1
所以 f (x1) f (x2 ) a 2 x1 x2
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例 3 (2014 年江苏南通二模)设函数 f (x) ex ax a ，其图像与 x 轴交于 A(x1, 0), B(x2, 0) 两点，且
x1 x2 ． （Ⅰ）求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）求证： f ( x1x2 ) 0 ．
例 4（2011 年辽宁理科）已知函数 f (x) ln x ax2 (2 a)x ．