幅相频率特性图奈奎斯特Nyquist图
信号幅频相频特性的画法(频率响应法)
1、频率响应法•基本思想是把系统中的信号分解为多种不同频率的正弦信号，这些信号经过控制系统时，会以一定的规律产生幅值和相位的变化，通过分析这些变化规律就能得出关于系统运动的性能指标。
•由于幅值和相位的变化称频率特性函数可以绘制在图形上，因此该方法非常直观。
另外，可以用实验法建立系统的模型，也可以据开环频率特性分析闭环系统的特性。
该方法具有很高的工程价值，深受工程技术人员欢迎。
6 频率响应分析法22、频率特性的图示方法•为了直观地分析系统的特性，通常把幅频和相频特性以图形的形式表示出来：1.幅相频率特性（奈氏图）2.对数频率特性（Bode图）3.对数幅相特性（尼氏图）6 频率响应分析法52.1 幅相频率特性图•极坐标图：奈奎斯特(Nyquist)图，幅相特性图，当频率连续变化时，频率特性函数在复平面的运动轨迹。
G(jω)=x(ω)+ j y(ω)ω：0→+∞6 频率响应分析法62.2 对数频率特性（Bode图）•对数坐标图：伯德(Bode)图，由两辐图组成。
对数幅频特性图+对数相频特性图，横坐标为频率的(以10为底数)对数，单位是10倍频程(dec)。
–对数幅频图的纵坐标为幅频的对数，单位为分贝(dB)–对数相频图的纵坐标为相频值，单位为弧度6 频率响应分析法86 频率响应分析法10伯德(Bode)图的优点•对数坐标图有如下优点：–把乘、除的运算变成加、减运算。
串联环节的Bode 图为单个环节的Bode图迭加。
–K 的变化对应于对数幅频曲线上下移动，而相频曲线不变。
–一张图上可以同时画出低、中、高频的特性。
•因此在工程上得到了广泛的应用6 频率响应分析法112.3 对数幅相特性(尼氏图)对数幅相图•尼科尔斯(Nichols)图，以对数幅频特性为纵坐标（分贝），相频特性为横坐标，频率ω为参变量。
6 频率响应分析法126 频率响应分析法146 频率响应分析法203.7 用Matlab绘制频域特性图•sys = tf(num,den);•伯德图–bode(sys); [mag,phase,w] = bode(sys);•奈奎斯特图–nyquist(sys); [re,im,w] = nyquist(sys);•尼科斯图–nichols(sys); [mag,phase,w] = nichols(sys);6 频率响应分析法23对数频域特性图与频域性能指标分贝对应的频率：截止频率-3分贝对应的频率：带宽6 频率响应分析法5. 开环传递函数的频率特性5.1 开环对数频率特性的绘制①以典型环节的频率特性为依据进行迭加；②首先考虑积分环节和比例环节；③充分利用环节的特征点。
5.1频率特性-5.2典型环节的极坐标图-5.3Nyquist图的绘制
jt jt x ( t ) ae a e o (4-2)
i 1
n
bi e pi t
(4-4)
因此，系统的稳态响应为：
t 趋向于零
xos (t ) ae jt ae jt
a G (s) R s2 R s2 2 ( s j ) s j G ( j ) 2 R R ( s j ) s j G ( j ) ( s j )(s j ) 2j R R ( s j ) s j G ( j ) ( s j )(s j ) 2j
第五章 系统的频率特性分析 2. 控制系统在正弦信号作用下的稳态输出
设系统的传递函数为 G ( s)
X o (s) U (s) X i (s) V (s)
已知输入 xi (t ) R sin( t ) 其拉氏变换 则系统输出为
X i ( s)
R s2 2
U (s) R U ( s ) R X o (s) G (s) X i (s) ( s p1 )( s p 2 ) ( s p n ) s 2 2 V (s) s 2 2
arctan T
第五章 系统的频率特性分析 • uo(t)表达式中第一项是瞬态分量，第二项是稳态 分量。显然上述RC电路的稳态响应为
lim uo (t )
t
U
2 2
1 T 1 1 U sin t 1 jT 1 jT
sin(t )
第五章 系统的频率特性分析 5.2.1 典型环节的极坐标图
• 用频域分析法研究控制系统的稳定性和动
态响应时，是根据系统的开环频率特性进
《自动控制原理》MATLAB用于频域分析实验
[mag,phase,w]=bode(num,den,w)
四、实验内容及步骤
1、曲线1
k = 500;
num = [1,10];
den = conv([1,0],conv([1,1],conv([1,20],[1,50])));
《自动控制原理》MATLAB用于频域分析实验
一、实验目的
1、加深了解系统频率特性的概念。
2、学习使用Matlab软件绘制Nyquist图、
Matlab2014b版
三、实验原理
1、奈奎斯特图（幅相频率特性图）
MATLAB为用户提供了专门用于绘制奈奎斯特图的函数nyquist
五、实验原始数据记录与数据处理
六、实验结果与分析讨论
通过使用Matlab2014b版，加深了解系统频率特性的概念以及典型环节的频率特性。
七、结论
本实验验证的典型环节的频率特性。
八、实验心得体会（可略）
常用格式：
nyquist (num,den)
或nyquist (num,den,w) 表示频率范围0～w。
或nyquist (num,den,w1:p:w2) 绘出在w1～w2频率范围内，且以频率间隔p均匀取样的波形。
举例：
2、对数频率特性图（波特图）
MATLAB为用户提供了专门用于绘制波特图的函数bode
常用格式：
bode (num,den)
或bode (num,den,w) 表示频率范围0～w。
或bode (num,den,w1:p:w2) 绘出在w1～w2频率范围内，且以频率间隔p均匀取样的波形。
举例：系统开环传函为 绘制波特图。
实验三 控制系统的幅相频率特性
实验三 控制系统的幅相频率特性一、实验目的1、 利用计算机绘制开环系统的奈奎斯特（Nyquist ）图。
2、 进行奈奎斯特图系统分析。
二、实验步骤给定系统开环传递函数()s G 的多项式模型，其传递函数为：())()(s den s num s G =式中，num 为开环传递函数()s G 的分子多项式系数向量，den 为()s G 的分母多项式 系数向量。
作系统的奈奎斯特图的函数调用格式有： 函数格式1：()den num ,nyquist给定num 和den 作Nyquist 图，角频率向量ω范围为自动设定。
函数格式2：()ω,,nyquist den num角频率向量ω的范围可以自己设定，如01.0:1.0:1=ω。
函数格式3：[]()den num im re ,nyquist ,,=ω返回变量格式，计算所得的实部re 、虚部im 及角频率ω，返回至MATLAB 命令窗口, 不做图。
三、实验内容1、 已知控制系统的开环传递函数为：()()11+=Ts s s G其中T =1，试绘制出系统的奈奎斯特图。
解： 其开环频率特性Matlab 程序为： t=1;num=[0,0,1]; den=[t,1,0];nyquist(num,den);grid;该系统的奈奎斯特图如图3.1所示。
2、 已知控制系统的开环传递函数为：-1-0.8-0.6-0.4-0.20-20-15-10-5051015200 dB-6 dB-4 dB -2 dB 6 dB4 dB 2 dB Nyquist DiagramReal AxisI m a g i n a r y A x i s图3.1 实验内容1系统的Nyquist 图()12+s T s 其中2=k ，试绘制出系统的奈奎斯特图，并比较21T T 与21T T 时图形的区别与特点。
解： 其开环频率特性Matlab 程序为： 1T =2，2T =3时，k=2; t1=2; t2=3;num=[0,k*t1,k]; den=[t2,1,0]; nyquist(num,den); grid;该系统的奈奎斯特图如图3.2所示。
频率特性几种表示方法.pptx
2
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二、对数频率特性曲线（又称波德图）
它由两条曲线组成：幅频特性曲线和相频特性曲线。 波德图坐标（横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角）的分度： 横坐标分度：它是以频率 的对数值 log 进行分度的。所 以横坐标（称为频率轴）上每一线性单位表示频率的十倍变化， 称为十倍频程（或十倍频），用Dec表示。如下图所示：
Dec Dec Dec Dec
... 2 1
0 0.01 0.1
01
2
1 10 100
log பைடு நூலகம்
由于 以对数分度，所以零频率线在 处。
Sunday, November 24, 2024
3
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纵坐标分度：幅频特性曲线的纵坐标是以log A()或20log A() 表示。其单位分别为贝尔（Bl）和分贝（dB）。直接将log A() 或 20log A() 值标注在纵坐标上。
工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：
1．极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的
实部 为直角坐标横坐标，以其虚部 为纵坐标，以 为参变量的
幅值与相位的图解表示法。 2．对数坐标图，也称波德(Bode)图。它是由两张图组成，以lg 为横坐标，对数分度，分别以 20lg G( j) 和 ( j) 作纵坐 标的一种图示法。
Q( )
A( ) ( )
P( )
G(s)
s 1 s2 s 1
根据上面的说明，可知： 频率特性曲线是S平面 上变量s沿正虚轴变化 时在G(s)平面上的映射。
0 由于 | G( j) |是偶函数， 所以当 从 0 和0 变化时，乃奎 斯特曲线对称于实轴。
Sunday, November 24, 2024
幅相频率特性(Nyquist
（5-39）
不稳定二阶振荡环节是“非最小相角”环节，其相角从 − 360o 连续变化到 − 180o 。不
稳定振荡环节的极点分布与幅相曲线如图 5-16 所示。
（3） 由幅相曲线确定 G(s)
163
例 5-3 由实验得到某环节的幅相特性曲线如图 5-17 所示，试确定环节的传递函数
G(s) ，并确定其 ωr ， M r 。
解 根据幅相特性曲线的形状可以确定 G(s) 的形式为
G(s) =
Kωn 2
s 2 + 2ξωn s + ωn 2
（5-40）
图 5-16 不稳定振荡环节的极点分布与幅相特性曲线图
图 5-17 幅相特性曲线图
其频率特性为
⎧ ⎪
A(ω)
=
⎪
⎪
⎪
K
⎛ ⎜1− ⎝
ω2 ωn2
⎞2 ⎟ ⎠
+
4ξ
2
ω2 ωn2
(ω
)
=
arctan
1
−
ωn ω2
ωn2
二阶复合微分环节的零点分布以及幅相特性曲线如图 5-18 所示。
（5-42） （5-43）
图 5-18 二阶复合微分环节的零点分布及幅相特性
不稳定二阶复合微分环节的频率特性为
G(
jω )
=
1
−
ω2 ωn2
−
j2ξ
ω ωn
（5-44）
⎧
⎪ ⎪
A(ω
)
=
⎪⎪
⎨
⎛⎜1 − ⎝
（2）不稳定二阶振荡环节的幅相特性 不稳定二阶振荡环节的传递函数为
G(s)
=
s2
−
ωn2 2ξωn s
自动控制原理--幅相频率特性幅相频率特性(Nyquist图)相关知识
1
起点
Байду номын сангаас
终点
v 3 v 0
5.2.2 开环系统的幅相频率特性
例7
G1 ( s )
s2 (T1s
K 1)(T2s
1)
G1( j0) 180
G1 G1
G1( j) 0 360
G2 ( s)
K ( s 1)
s2 (T1s 1)(T2s 1)(T3s
1)
G2( j0) 180
G(
j )
1
2 n2
1
j2
n
n
n
1
G
[1
2
2 n
]2
[2
n
]2
2
G arctan
n 2
1 - n2
5.2.1 典型环节的幅相频率特性
谐振频率r 和谐振峰值Mr
G 1
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
d G 0
d
d
d
[1
2 n2
]2
[2
n
]2
0
2[1
2 n2
][2(n2
)]
2
[ 2
W( j) K () 0
比例环节的幅相特性 是G平面实轴上的一 个点
5.2幅相频率特性曲线（Nyquist）
5.2.1典型环节的幅相特性曲线 微分环节的幅值与成正比，
2. 微分环节频率特性
相角恒为90度。频率从0→∞
（1）理想微分环节频率特性
幅相特性曲线由G平面原点趋 向虚轴的+j∞处。
① 传递函数 W (s) X c (s) s
n
2
](
机工社控制工程基础2023教学课件第5章5-2极坐标图
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
1.极坐标图的基本概念
由图可看出比例环节的幅频特性为常数K，相频特性等于零度，它们都与频率无关。理想的比例环节能够无失真和无滞后地复现输入信号。
1）比例环节
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
2.典型环节的极坐标图
2）积分环节
2.典型环节的极坐标图
3）微分环节
解：
渐近线：
与实轴交点：
例1
起点：
终点：
1.极坐标图的一般画法
小 结
1.极坐标图的一般画法
和相角
然后将这些点连成光滑的曲线；第二种方法是对每一个
值计算
和
，然后逐点描绘成光滑曲线。
1.极坐标图的一般画法
有两种方法：
0
Re[G(jω)]
Im[G(jω)]
1
5.2 频率特性的极坐标图(奈奎斯特图)
1.极坐标图的基本概念
绘制方法比较麻烦，但具有一定的规律，依照规律就可以画出简略的幅相频率特性曲线，注意关键点的处理。
2.典型环节的极坐标图
4）惯性环节
2.典型环节的极坐标图
5）一阶微分环节
2.典型环节的极坐标图
传递函数：
频率特性：
6）振荡环节
2.典型环节的极坐标图
小 结
1.极坐标图的基本概念
2.典型环节的极坐标图
频率特性的极坐标图(二)
主讲：宋小娜
学习目标
极坐标图的一般画法
第一种方法是对每一个
值计算幅值
系统的频率特性为
1.极坐标图的一般画法
设系统的传递函数的一般形式为
1.极坐标图的一般画法
起点取决于传递函数中积分环节的个数和系统增益。
4.2.14.2频率特性的几何表示法
对数频率特性曲线——伯德图
对数相频特性曲线
1 横坐标为的对数lg 分度 2 纵坐标为()
频率每变化十倍，称为十倍频程，记作dec。
对数频率特性曲线——伯德图
对数幅频特性 横坐标表示为：ω 为方便只表示
纵坐标表示为：
L(ω )=20lgA(ω)
L(ω )=20lgA(ω ) dB
40 -20dB/dec
（3）在一张图上绘制低、中、高频段特 性，对系40dB/dec
-1
0
1 lgω
0
0.1
1
10 ω
-20 -40
十倍频程 dec
-20dB/dec
φ (ω )
单位为 dB
0
0.1
1
-90
10 ω
对数相频特性 -180
伯德图的优点
（1）对数运算，将串联环节的幅值相 乘转化为幅值相加的运算
（2）这种方法建立在渐近线的基础上， 简化了幅频特性的绘制过程
频率特性的几何表示法
频率特性法是一种图解分析法，常见的频率 特性曲线有两种：
1 幅相频率特性曲线
2 对数频率特性曲线
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
特点： 以频率ω为变量，将频率特性的幅频特性A(ω)
和相频特性φ(ω)同时表示在复平面上。
Im
= 0 Re
=0
幅相频率特性曲线——奈奎斯特曲线（奈氏图）
作图方法： 取=0和=两点，必要时可在0< < 之间选取
一些特殊点，算出这些点处的幅频值和相频值，然后在 幅相平面上做出这些点，并用光滑的曲线连接起来。
Im
= 0 Re
=0
对数频率特性曲线——伯德图
3-3 对数幅相特性
12
4. 闭环系统的特征参数 a. 零频值M(0) b. 复现精度和复现频率 c. 相对谐振峰值 M r 和谐振频率 d. 系统截止频率 b 和带宽 二阶系统 b 1 2 2 2 4 2 4 4
Mr
r
M0 0.707 M 0
m
r
b
13
( j )
此时
M 0dB
G( j ) 1 1 G( j )
0
b. 高频段闭环对数幅频特性基本上与开环对数幅 频特性重合 因为 G( j ) 1 时
( j )
此时
G( j ) G( j ) 1 G( j )
M (dB) G( j ) (dB)
四、对数幅相特性
上海交通大学自动化系 田作华
Zhtian@
1
四、对数幅相特性
频率特性图示： 1、极坐标图 ——Nyquist图（又叫幅相频率特性、 或奈奎斯特图，简称奈氏图） 2、对数坐标图——Bode图（又叫伯德图，简 称伯氏图） 将伯德图中的对数幅频曲线和相频曲线合并，画 在以对数幅值为纵坐标，以相角为横坐标的图上。这 种图形就称为对数幅-相图——Nichocls图（又叫尼柯 尔斯 图，简称尼氏图）； 一般用 于闭环系统频率特性分析的。
1
1
1
cos φ sin φ (1 ) j A A
-1
得到
α (ω ) tg
sin φ cos φ A
20 lg A 20lg
sin [φ (ω ) α (ω )] sin α (ω )
) 上式令α（ω）为常数，20lg|A|与 (为单值方 程，与求取等M曲线相似的方法在L（ω）～ ( ) 平面上得到一条等α曲线。 等M线和等α线组成了尼柯尔斯图线——复合坐 标系（P108）
第5章2——Nyquist曲线
2 n arc tg n 2 1 2 n 2 n arc tg n 2 1 2 n
2016/5/20
autocumt@
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
d A( ) 0 d d 1 0 d 2 2 2 2 1 n n
S (T j S 1)
j 1
h
1 ( n h ) 2 j 1
2 2 ( T j S 2 jT j S 1)
开环传递函数分解成 典型环节串连形式
autocumt@ 1
G( S ) H ( S ) Gi ( S )
i 1
N
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
谐振频率：r n 1 2 2 谐振峰值：M r 1 2 1
2
自动控制原理
Im 0
0 1 Re
1 2
n
M
r
A ( r )
r
2 谐振条件： 0 0.707 2
autocumt@ 12
振荡环节的幅相特性曲线
2016/5/20
A( ) 1 T 1
2 2
( ) arctan T
Im
A(0) 1; (0) 0 A() 0; () 90
0 45
1 0
Re
autocumt@ 6
1 T
2016/5/20
5-2 幅相频率特性——Nyquist曲线
i 1
结论：开环幅频特性是串联环节幅频特性幅值之积 开环相频特性是串联环节相频特性相角之和
autocumt@
机械工程控制基础典型环节奈氏图
注意到：
P(
)
1 2
2
Q( )2
1 2
2
Im
0
=
即惯性环节的奈氏图为圆
1/2 1 Re
45G(j) =0
心在(1/2, 0)处，半径为1/2
=1/T
的一个圆。
Nyquist Diagram
第4章 频域分析法
一阶微分环节
传递函数： G(s) s 1 频率特性： G( j) 1 j 1 2 2 e jarctg
第4章 频域分析法
在复平面上，随（0 ~ ）的变化，向量 G(j)端点的变化曲线（轨迹），称为系统
的幅相频率特性曲线。得到的图形称为系 统的奈奎斯特图或极坐标图。
易知，向量G(j)的长度等于A() （|G(j)|）；由正实轴方向沿逆时针方向 绕原点转至向量G(j)方向的角度等于() （G(j)）。
= n时
A( )
A(n )
1
2
= 时
() (0) 0 () (n ) 90
A() A() 0 () () 180
第4章 频域分析法
0 -1 -2
Im -3
-4
Nyquist Diagram
= =0 =1
=0.7
1
2
=0.5 =0.3 =0.2
-5
=n =0.1
-6 -3 -2 -1 0 1 2 3
幅频特性： A() 1 2 2 相频特性： () = arctg
➢ 一阶微分环节的Nyquist图 Im
=
实频特性：
1 2 2
P() 1
虚频特性：
Q()
0
=0 Re
arctg 1
第4章 频域分析法
幅相频率特性图—奈奎斯特Nyquist图
第五章频率特性1．本章的教学要求1) 掌握频率特性的基本概念、性质及求取方法；2)掌握典型环节及系统的频率特性图—奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；3)掌握典型环节及系统的对数频率特性图—波德图(Bode)图的绘制方法；4)使学生掌握频率特性的实验测定法。
5）使学生掌握奈奎斯特（Nyquist）稳定性判据应用；6）掌握对数频率稳定性判据（Bode判据）应用；7）掌握相对稳定性的基本概念，相位裕量Υ、幅值裕量K g定义、计算、在Nyquist图与Bode图上的表示。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是掌握频率特性的基本概念、求取方法；奈奎斯特(Nyquist)图的绘制方法；波德图(Bode)图的绘制方法;利用频率特性分析控制系统。
3．本章的教学安排本课程预计讲授14个学时第一讲5.1 频率特性1．主要内容：1）频率响应和频率特性2）频率特性的求取方法3）频率特性的表示方法2．讲授方法及讲授重点：本讲首先给出频率响应定义，用图说明线性系统稳态响应曲线的特点，由此引出幅频特性、相频特性的概念，然后给出频率特性的定义及数学表达式，利用图及公式说明幅频特性、相频特性、实频特性、虚频特性的关系。
在介绍频率特性的求取方法时，首先说明频率特性一般有三种求法：利用定义求取、根据系统的传递函数来求取、通过实验测得。
在此主要说明和推导根据系统的传递函数来求取的方法, 第三种方法后面介绍。
在介绍频率特性的表示方法时，首先说明频率特性的表示方法主要有如下几种：幅频特性和相频特性图、幅相频率特性图、对数频率特性图、对数幅相频率特性图、实频特性图和虚频特性图，分别简单介绍各自特点，然后强调本章重点介绍幅相频率特性(Nyquist)图和对数频率特性(Bode)图。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，频率特性概念比较抽象，同学不好理解，但此概念在本门课中又非常重要，可以联系实际举几个简单例子说明此概念。
第5章 频率特性分析法
( ) : 0 900
3. 积分环节
1 G( s) s 1 G ( j ) j
A( )
1
( ) 90o
Im
Re
0
4. 振荡环节 n2 G( s) 2 2 s 2n s n
2 n G ( j ) 2 2 ( j ) 2n ( j ) n 1 ( ) 2 j 2 n n = 22 2 2 [1 ( ) ] 4 ( ) n n
Im
G ( s ) 1
A( ) 1 2 2 P( ) 1 ( ) arctan ，Q ( )
1 0
0
Re
6. 延迟环节
G ( s) e
s
G ( j ) e
j
1* e
j
A( ) 1 常数, 单位圆 ( ) 0, 0 Im
二、对数频率特性曲线
对数幅频特性曲线 20 lg A( )
伯德（Bode)曲线，Bode图
对数相频特性曲线
( )
半对数坐标：横坐标是对数刻度，纵坐标是均匀 刻度。
1
10
100
1000
横坐标采用对数分度，但标出的是 的实际值。
L( ) 20 lg A( ) 对数幅值，单位为分贝(dB)
因此,
G j频率特性 Gs s j 传函
K 例5-1 已知系统的传递函数为， 求频 G( s) Ts 1 率特性
解：令s=jω得系统的频率特性
K K G ( j ) e jarctg T 1 jT 1 (T ) 2
或
K K KT G( j ) j 2 2 1 jT 1 T 1 2T 2
机械工程控制基础-典型环节奈氏图
P ( )
1 1 10 4 2
,
Q ( ) 0 .5 2
0 . 01 1 10 4 2
P ( ) 0 .5 2 Q ( ) 2
Im
0 0.5
0
1 Re
2）
G (s)
G ( j )
＝0： A(0)＝ ＝： A()＝0
＝0
n=4
(0)＝－180°
()＝ (m －n) ×90°
Im
n=3
＝
n=2 0 Re
第4章 频域分析法 Nyquist图的特点： 开环含有v个积分环节系统，Nyquist曲线 起自幅角为－v90°的无穷远处。v=0时， Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点。 n = m时， Nyquist曲线止于实轴上的某一 有限远点。 n > m时，Nyquist曲线终点幅 值为 0 ，而相角为 (m －n) ×90°。
第4章 频域分析法 二、典型环节的频率特性图 比例环节 传递函数： G(s) = K 幅频特性：A() = K 实频特性：P() = K 频率特性：G(j) = K = Kej0 相频特性：() = 0 虚频特性：Q() = 0
Im
比例环节的频率特性图：
0 K Re
Nyquist Diagram
2
即： r n
1 2
2
显然r 应大于0，由此可得振荡环节出现谐 振的条件为： 2 2 0.707
谐振峰值： M r A( r )
1 2 1
2
第4章 频域分析法
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0
100 90 80 70 60 Mp 50 40 30 Mr 20 10 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
控制工程基础第六章
幅频特性 G j K 1 T1
2
1 T2
2
相频特性 G j arctan T1 arctan T2
根据频率特性公式，求其某些特殊点的值为
当 0 时，G j
K , G j 0 ； 0 , G j 180 。
令 n
G j
n2 1 G s 2 2 s2 s s 2 n s n 2 1 2 n n
1 2 j 1 1 2 1 2 j 2 n n
j 2
n2
n
虚频特性与实频特性之比为
V T U
将其代入实频特性表达式中，可得
u 1 2
2
1 v 2
2
2
上式表明，当ω =0→∞时，惯性环节的极 坐标图是一个圆心在点 (1/2,0)点、半径为1/2的 下半圆
5. 一阶微分环节
一阶微分环节的传递函数为 其频率特性为 幅相频率特性
1 1+ Ts
T─惯性环节的时间常数。 1 其频率特性为：G j 1 j T
G j
1 u v 1 j T 1 T j 2 2 1 T 1 2T 2
1 实 频 特 性 为 U (w )= ； 2 2 1+ T w Tw 虚 频 特 性 为 V (w )= 。 2 2 1+ T w
2
当 0时， G j 1, G j 0 ； 当 1 T 时， G j 2 , G j 45 ； 当 时， G j , G j 90 。
5.2系统的频率响应法(2)
G ( j )
频率特性：
1
1 2T 2
幅频特 2T 2
() = - arctanT
第5章 系统的频率响应法
当ω＝0时， G( j ) 1, G(j ) 0
G ( j ) 1 / 2 , G(j ) -45 当ω＝1/T时，
G ( j ) 0 , G(j ) -90 当ω＝∞时，
下面证明其Nyquist是一个半圆： 由式（5－10）知
1 P ( ) 2 2 T 1
Q( )
T 2T 2 1
第5章 系统的频率响应法
由于
P 2 ( ) Q 2 ( )
2
1 P ( ) 2 (T ) 1
第5章 系统的频率响应法
5.2.2开环系统的Nyquist图 把开环频率特性化成如下的极坐标形式：
G( j ) G( j ) e j ( ) u vj
当 由 0 变化时，逐点计算相应的实部特性和 虚部特性的值，据此画出开环系统的Nyquist图。
0 下面分析不同类型的Nyquist图在 和
第5章 系统的频率响应法
wn=1; zeta=[0.1:0.1:1.2]; 增加点数,得到 X=[ ];Y=[ ]; 光滑曲线 w=logspace(-1,1,1000) for i=1:length(zeta) dd=wn^4+w.^4+2*(2*zeta(i)^2-1)*wn^2*w.^2; x=wn^2*(wn^2-w.^2)./dd; y=-2*zeta(i)*wn^3*w./dd; 2 X=[X,x'];Y=[Y,y']; ( 2 n 2 )n P( ) 2 end 2 2 2 2 2 ( ) 4 n n plot(X,Y),axis('square') grid 2 3 n xlabel('real Axis');ylabel('Imag axis') Q( )
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第二章控制系统的数学模型1．本章的教学要求1）使学生了解控制系统建立数学模型的方法和步骤；2）使学生掌握传递函数的定义、性质及传递函数的求取方法；3）掌握典型环节及其传递函数；4）掌握用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。
2．本章讲授的重点本章讲授的重点是传递函数的定义、性质；用方框图等效变换的基本法则求系统传递函数的方法。
3．本章的教学安排本课程预计讲授10个学时第一讲2.1 线性系统的微分方程1．主要内容：本讲介绍数学模型定义、特点、种类；主要介绍控制系统最基本的数学模型——微分方程，通过举例说明列写物理系统微分方程的基本方法和步骤。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先给出数学模型定义，说明为什么建立数学模型；介绍建立数学模型的依据；介绍数学模型特点，重点说明相似系统的概念、模拟的概念，由此引出今后研究控制系统问题都是在典型数学模型基础上进行的；介绍数学模型种类，说明本课程主要介绍微分方程、传递函数、频率特性形式数学模型。
其次，本讲主要以电气系统为例介绍列写物理系统微分方程的方法和步骤，通过例题的详细讲解，使学生了解微分方程是描述控制系统动态性能的数学模型，熟悉在分析具体的物理系统过程中，要综合应用所学过的物理、力学、机械等学科的知识。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应说明列写物理系统微分方程的依据是系统本身的物理特性，本课程主要讲授物理系统微分方程列写的方法和步骤。
5．课时安排：1学时。
6．作业：p47 2-17．思考题：复习拉普拉斯(Laplace)变换2.2 拉普拉斯变换的基本知识1．主要内容：本讲简要回顾拉普拉斯(Laplace)变换定义、拉普拉斯反变换、常用函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的基本运算定理等基本知识；主要介绍应用拉普拉斯变换法求解微分方程。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先简要回顾拉普拉斯(Laplace)变换定义、拉普拉斯反变换、介绍拉氏变换的特点及应用，重点介绍常用函数的拉普拉斯变换、拉普拉斯变换的基本运算定理等基本知识，强调本课程只要求记住结论，推导过程自己看参考书。
在介绍应用拉氏变换把线性微分方程的求解问题转换为代数方程运算和查表求解的问题时，公式可直接给出，不用推导，强调会应用公式灵活解决求解微分方程的问题。
在讲解本讲过程中，应举1-2个例子说明求解微分方程问题的方法。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合，以板书为主。
4．注意事项：在讲授本讲时，应重点说明应用拉普拉斯变换法求解微分方程的方法。
本讲不要求推导公式，但要求会应用公式。
5．课时安排：1学时。
6．作业：P48，2-4第二讲2.3 传递函数1．主要内容：本讲主要介绍传递函数的定义、性质及传递函数的求取方法；典型环节及其传递函数。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先介绍描述控制系统的又一数学模型——传递函数，介绍其基本概念，给出传递函数公式，绘制动态结构图，说明输入量、输出量、传递函数三者之间的关系。
在讲传递函数的性质时，一方面要重点说明传递函数的分母只取决于系统的结构和元件的参数等与外界无关的固有因素，因而它描述了系统的固有特性，而分子取决于系统与外界的关系，因而它描述了系统与外界的联系；另一方面要画图重点说明一定的传递函数与其零、极点分布图相对应，因此传递函数的零、极点分布图也表征了系统的动态性能。
在讲求取传递函数的方法时，重点介绍直接计算法，其它两种方法以后陆续介绍。
本讲在介绍组成控制系统的典型环节及其传递函数时，首先说明环节的概念，用公式给出典型环节的数学表达式；然后，通过实例分别介绍各个典型环节，其中应重点介绍惯性环节、振荡环节，说明这两个环节的特点。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应强调掌握传递函数的定义、性质的重要性，在讲典型环节及其传递函数时，应联系实际，适当多举一些例子。
5．课时安排：2学时。
6．作业：书后P48，2-5，第三讲2.4 方框图1．主要内容：本讲主要介绍控制系统的函数方框图及其等效变换法则，要求学生熟练掌握函数方框图等效变换法则。
另外还介绍反馈控制系统的传递函数，控制系统传递函数推导举例。
2．讲授方法及讲授重点：本讲首先介绍函数方框图的概念，表达内涵，说明比较点、引出点的特点，重点说明比较点的代数运算功能。
在讲授函数方框图变换法则时，应利用黑板进行公式推导，首先讲清串联法则、并联法则、反馈法则，与此同时，由于并联法则、反馈法则在应用中易混淆，应说明并联法则用于同向环节的并联运算、反馈法则用于回路的反馈运算；其次，在讲比较点、引出点等效移动时，画图进行讲解、推导，说明等效的含义，注意强调，两个相邻的比较点可互换位置，两个相邻的引出点也可互换位置，一个比较点和一个引出点即使相邻也不能简单地互换位置。
最后，举1-2个例子说明函数方框图变换法则的灵活应用情况，总结出一些规律性的东西。
即：回路的传递函数保持不变，前项通道的传递函数保持不变。
在讲授系统方框图举例时，通过实际的物理系统的例子说明绘制方框图的方法，重点说明如何由单个环节的数学模型，直接绘制出单个环节传递函数框图，然后根据信号传递方向，连线绘制出整个闭环系统的传递函数框图。
给出反馈控制系统的开环传递函数的概念，推导控制系统在控制输入量和扰动输入量的分别作用下的闭环传递函数计算公式，以及系统在控制输入量和扰动输入量的同时作用下的输出量计算公式3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：本讲是本门课的重点，在讲授本讲时，应强调掌握传递函数的等效变换法则的重要性，在讲传递函数等效变换时，应展开多讲几种解决问题的方法，使同学能灵活运用所学方法，解决各种等效变换问题。
5．课时安排：2学时。
6．作业：书后P48，2-6，2-7第四讲2.5 信号流图1．主要内容：本讲主要介绍信号流图和梅逊公式反馈控制系统的传递函数2．讲授方法及讲授重点：本讲首先在讲授信号流图和梅逊公式时，首先说明信号流图的概念，然后，讲清公式的应用注意事项，通过1-2个例子说明梅逊公式的具体应用。
3．教学手段：Powerpoint课件与黑板讲授相结合。
4．注意事项：在讲授本讲时，应强调掌握反馈控制系统的开环传递函数、闭环传递函数和偏差传递函数的概念及推导方法，在讲授控制系统传递函数推导举例时，重点说明的是求取传递函数的方法。
应使同学能灵活运用所学方法，解决各种实际控制系统求取传递函数问题。
5．课时安排：1学时。
6．作业：书后P48，2-97．思考题：书后P48，2-8，2-10第五讲1．主要内容：本讲为习题课。
本章讲述的内容很多,牵扯到数学和物理系统的一些理论知识,有些需要进一步回顾,有些需要加深理解，特别是对时间域和复频率域的多种数学描述方法，各种模型之间的对应转换关系，都比较复杂。
学习和复习好这些基础理论，对下一步深入讨论自控理论具体方法至关重要。
2．讲授重点：先作本章小结（5条）基本概念归纳1）在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变换与输入量的拉普拉斯变换值比，定义为线性定常系统的传递函数。
传递函数表达了系统内在特性，只与系统的结构、参数有关，而与输入量或输入函数的形式无关。
2）一般控制系统由若干个典型环节构成，常用的典型环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和延迟环节等。
3）组成方框图的基本符号有四种，即信号线、比较点、方框和引出点。
4）环节串联后总的传递函数等于各个环节传递函数的乘积。
环节并联后总的传递函数是所有并联环节传递函数的代数和。
5）在使用梅逊增益公式时，注意增益公式只能用在输入节点和输出节点之间。
传递函数、方框图、梅森公式例3．教学手段：黑板讲授，动画演示。
4．课时安排：2学时。
小结：1．数学模型是描述系统（或元件）动态特性的数学表达式，是从理论上进行分析和设计系统的主要依据。
2．本章介绍了线性定常系统的四种数学模型：微从方程、传递函数、动态结构科和信号流图。
微分方程是描述自动控制系统动态特性的基本方法。
传递函数是经典控制理论中与更为重要的模型，它是从对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的，在工程上用得最多。
动态结构图是传递函数的一种图解形式，它能直观、形象地表示出系统各组成部分的结构及系统中信号的传递与变换关系，有助于对系统的分析研究。
对于较为复杂的系统，应用信号流图更为简便，用梅逊公式可直接求出系统中任意两个变量之间的关系。
3．一个复杂的系统可以分解为为数不多的典型环节，常见的基本环节有比例环节、惯性环节、积分环节、微分环节、振荡环节和时滞环节等，熟悉各典型环节数学表达式和响应特性骨助于对复杂系统的动态分析和设计。
4．对于同一个系统，不同的数学模型只是不同的表示方法。
因此，系统动态结构图与其它数学模型有着密切的关系。
由系统微分方程经过拉氏变换得到的变换方程，可能很容易画出动态结构图。
通过动态结构图的等效变换可求出系统的传递函数。
对于同一个系统，动态结构图不是唯一的，但由不同的动态结构图得到的传递函数是相同的。
5．一般地讲，系统传递函数多是指闭环系统输出量对输入量的传递函数，但严格说来，系统传递函数是个总称，它包括几种典型传递函数：开环传递函数、闭环传递函数、在给定和扰动作用下的闭环传递函数及由给定的扰动引起的误差传递函数。