平面解析几何PPT教学课件

12. 设直线 的l 方程为（a+1）x+y+2-a=0(a∈R). (1)若 l在两坐标轴上截距相等，求 的l 方程； （2）若 l不经过第二象限，求实数a的取值范围.
解析 (1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，当然 相等,∴a=2,即方程为3x+y=0. 当直线不过原点时，又截距存在且相等，则截距均不为0，
①
ab
又∵直线与坐标轴围成的三角形面积为1，
∴ ｜1 a｜·｜b｜=1.
2
a-b=1,
由①②可得，（1）
ab=2，
②
a-b=-1,
或（2） ab=-2.
a=2， a=-1，
由(1)解得 或
方程组（2）无解.
b=1 b=-2，
故所求的直线方程为 x y 或 1 x , y 1
21
1 2
即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.
3
设直线的倾斜角为β,则tanβ=
cos 3
又 3 cos即 3 ,
3
33
3 tan 3
3
3
所以β∈
0,
6
[.5 , )
6
学后反思 求倾斜角范围的步骤是： （1）求出斜率的取值范围； （2）利用正切函数的单调性，结合图象，确定倾斜角的取值 范围.
举一反三
1. 直线xcosθ+y-1=0(θ∈R)的倾斜角的范围是 ( )
4
4k
1 k
1 2
4
4
4
当且仅当 4k ,即1k=- 时，1 等号成立.
k
2
故直线l的方程为y-1=-
1(x-2),即x+2y-4=0.
2
方法二：设过P（2，1）的直线为x y (a1＞0,b＞0),
ab
则 2 1 . 1
ab
由基本不等式得 2 2 1 2,即1ab1≥8,
ab a b
SOAB
4
方法二：依题意知，直线 l的斜率存在.
设直线l的方程为y-2=k(x-3)(k<0),
则有A（3-k2 ,0）,B(0,2-3k),
∴
S
(k
)
1 2
2
3k
3
2 k
1 2
12
9k
4 (k)
1
12
2
2
9k
4 k
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1 2
12
12
12
当且仅当-9k= 4 时，即k=-
k
2时，等号成立，
A.[ 0,π)
B
C.
4
,
4
D
4
,
3 4
0,
4
[3 , ) 4
解析 设倾斜角为α,则k=tanα=-cosθ.
∵θ∈R,-1≤-cosθ≤1,∴-1≤tanα≤1，
∴α∈
0,
4
.[ 3 , )
4
答案 D
题型二 求直线的方程
【例2】求下列直线l 的方程.
（1）过点A(0,2),它的倾斜角的正弦是
x 25 2 25 2 15 3
令y=0,得 25 2 5 2 3
x 25 2 5 2 3 3
∴ x 25 2 9 3 15 2 ,15 6 9 7.7 41
∴车站应修在距该镇的正西方约7.7 km处.
易错警示
【例】已知直线l过点P(1,2)且与以A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交，求 直线 的斜率l的取值范围.
方程
点斜式 斜截式
y y0 k x x0
ｙ＝ｋｘ＋ｂ
适用范围 不含直线 x x0 不含垂直于ｘ轴的直线
两点式 截距式 一般式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
x y 1 ab
Ａｘ＋Ｂｙ＋Ｃ＝０
A2 B2 0
不含直线 x x1 x1 x2
和直线 y y1 y1 y2
分析 欲使草坪面积最大，点P的位置选取是关键，因此，应考虑建 立适当的坐标系，求出线段EF所在直线的方程，再设出点P的坐标， 做为解题的切入点.
解 如图所示建立直角坐标系，则E(30,0),F(0,20),…………………2′ 所以线段EF的方程为
x y(0≤1x≤30)……………………………………………4′
1.
当直线l由PA变化到与y轴平行的位置时，它的倾斜角由α增至90°，
故斜率的取值范围为[ 5,+∞)；
3
当直线l由与y轴平行的位置变化到PB的位置时，它的倾斜角由90°增至
β,此时斜率的取值范围为（-∞,-1］. 综上，斜率的取值范围为（-∞,-1］∪[ ,+5 ∞).
3
考点演练
10.（2009·广东湛江）曲线y=x3-2x+4在（1，3）处的切线的倾斜角
.
4 b
1
由①、②解得
或
b=3
b=16.
① ②
故所求的直线方程为 x y或 1
93
即x+3y-9=0或4x-y+16=0.
x 4
,
y 16
1
题型三 与直线方程有关的最值问题
【例3】直线l 过点M(2,1),且分别与x、y轴交于A、B两点，O为原点.求当 △AOB面积最小时，直线l 的方程.
分析 先根据题意，用点斜式设出直线的方程，然后求方程中的参数，从 而求出直线的方程.
举一反三
3. 已知直线 过l 点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点， 如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线 的方l 程.
解析 方法一：设A(a,0),B(0,b)(a>0,b>0),则直
线l的方程为
x a
y b
1
∵ l过点P(3,2),∴
3 2 ,1且,ba＞23a.
ab
不含垂直于坐标轴和过 原点的直线
平面直角坐标系内的直 线都适用
典例分析
题型一 直线的倾斜角和斜率
【例1】直线xcosα+ 3y+2=0的倾斜角的范围是 ( )
A.
6
,
2
( , 5 ]
26
B.
0,
6
[5 , )
6
C.
0,
5
6
D.
6
,
5
6
分析 先求斜率的取值范围，再求倾斜角的取值范围.
解 由直线xcosα+ y3+2=0, 所以直线的斜率为k= cos
a3
从而
SABO
1 2
ab
1 2
a , 2a a3
a2 a3
故有
SABO
a
32
6a
a3
3 9
a
3
a
9 3
6
2 a 3 9 6 12
a3
当且仅当a 3 ,a即9 3a=6时,等号成立.
SABO
,此时12
min
b. 2 6 4
63
故直线l的方程为
x 6
y,即 12x+3y-12=0.
1 ,a当b 且4仅当 2
,即a2a= b14,b12=2时，等号成立.
故直线方程为 x y,即 1x+2y-4=0.
42
学后反思 (1)对直线 的l 大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范围，
指明了解题方向，这种分析是避免解题盲目性的重要技能. （2）本题将面积表示为k的函数，再用基本不等式求最小值，方程选 择不同，自然参数不同，但是求最值的方法首先考虑基本不等式，然 后是函数单调性、换元等方法.
①定义
一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母
k表示，即k=tan α,倾斜角是90°的直线斜率不存在.
②过两点的直线的斜率公式
经过两点P1 x1, y1 , P2(其x2中, y2 )的直x1线的x2斜率公式为
k y2 y1 x2 x1
2. 直线方程的五种形式
名称
;53
(2)过点A(2,1),它的倾斜角是直线 ：l1 3x+4y+10=0的倾斜角的一半.
分析 由已知条件求出直线的斜率，然后用适当形式写出直线的方程.
解 （1）设直线 的l 倾斜角为α,则sinα= ，3
5
所以tanα=±
3,故
4
的l方程为y=±
x+3 2，
4
即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.
3
SABO
.
min
12
故所求直线的方程为2x+3y-12=0.
方法三：如图所示，过P分别作x轴，y轴的垂线PM,PN,垂足分别为 M,N.
设SAθOB=∠SPPABNM =S长∠方形BNPPMNO ,则SPMA
1 3 3 tan 6 1 2 2 1
2
2
tan
6 9 tan 2
3
3
所以当m=5时，S有最大值，这时EP 30 5 … 5…:1………….10′
PF 5
所以当草坪矩形的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点 分EF成5∶1时，草坪面积最大…………………………………..12′
学后反思 本题是一道用地规划的实际问题，应把问题化归为在线段EF 上找一点，使长方形PQCR面积最大的数学问题，这样，就需要建立直 角坐标系，用坐标表示点，用方程表示曲线，从而把问题转化为代数 问题，利用代数方法使问题得到解决.
解 方法一：如图所示，直线 如l 果
通过一、二、三或一、三、四象限时， △AOB的面积不存在最值，因此只考虑
直线 l与x,y轴正方向相交的情况，这时
斜率必为负值.
设直线l的方程为y-1=k(x-2)（k＜0）,
则有A(2- 1,0)与B(0,1-2k)，
k
所以
S
(k
)
1 2
1
2k
2
1 k
1 2
(2)设直线 和l 的l1 倾斜角分别为α、β，则
又tanβ=- 3,故- =3tan2α= 2 t，an
4
4
1 tan2
解得tanα=3或tanα=- 1(舍去).
3
由点斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.
,
2
学后反思 求直线方程首先要根据已知条件选择合适的方程形式，同 时注意各种形式的适用条件.用斜截式或点斜式时，直线的斜率必须 存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与 坐标轴垂直或经过原点的直线等.
错解 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,
则
kPA
tan
5 3 , kPB
tan
1,
所以直线 l的斜率k的取值范围为-1≤k≤ .5
3
错解 分析不清楚倾斜角和斜率的关系，尤其是忽略了当倾斜角 为90°时，斜率不存在这种情况.
正解 设PA与PB的倾斜角分别为α,β,
则
kPA
tan
5 3
,
kPB
tan
2
tan
6 2 2 9 tan 12, tan 2
当且仅当 2 9 t，an即 tanθ= 时, 2
tan 2
3
,SABO min 12
此时直线l的斜率为-
，2 其方程为2x+3y-12=0.
3
题型四 应用问题
【例4】(12分)为了绿化城市，拟在区域ABCD内建一个草坪（如 图），另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,应如何设计才能使草坪面积最 大？
则A、B两点坐标分别为A(-153 ,15),B(25 ,225 ),作2 A点关于x轴的
对称点A′(-15 ,-315),连接A′B交x轴于C.∵x轴是线段AA′垂直平
分线，∴|CA|=|CA′|,
∴|CA|+|CB|=|CA′|+|CB|=|A′B|最短.
由两点式,得 y 25 2 25 2 15
为——.
解析 y′=3 -x22,曲线在（1，3）处的切线斜率为 y ',设倾1 x1
斜角为θ，且0°≤θ＜180°,∴θ=45°.
答案 45°
11. 一条直线经过点A(-2,2),并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1， 求此直线的方程.
解析 设所求直线的方程为 x .y 1
ab
∵A(-2,2)在直线上，∴ 2 ，2 1
∴ a 2 ,a即a2+1=1,∴a=0,即方程为x+y+2=0. a 1
(2)方法一：将 的l 方程化为y=-(a+1)x+a-2,
-(a+1)>0, -(a+1)=0,
第十单元 平面解析几何
第一节 直线与方程
基础梳理
1. 直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①定义：当直线 l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l
向上方向之间所成的角α叫做直线 的l 倾斜角.当直线 与lx轴平行或重合时，
规定它的倾斜角为0°.
②倾斜角的范围为0°≤α<180°.
(2)直线的斜率
举一反三
2. 直线 过l 点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12,求直线 的方l 程.
解析 由于直线在两坐标轴上的截距之和为12，因此直线 在l 两轴上的截距
都存在且不过原点，故可设为截距式直线方程.
设直线l的方程为
x a
y,则 1a+b=12.
b
又直线l过a点=(9-,3,4),则a=-4a3,
举一反三
4. 美丽的呼伦贝尔大草原的一条公路旁边，在某镇北偏西60°且距该镇 30 km处有A村，在镇东北50 km处有B村，要在公路旁修一车站C,从 车站C向A、B两村修公路，问：车站C修在公路的什么地方，可使费用 最小？（结果保留1位小数）
解析 以公路为x轴，该镇为原点建立平面直角坐标系，如图所示，
30 20
在线段EF上取点P(m,n), 作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R,设矩形PQCR的面积为S，则 S=｜PQ｜｜PR｜=(100-m)(80-n)…………………………………….6′
又
m 30
n 20
1, n
20 1
m 30
20
2 3
m,
∴
S
100
m
80
20
2 3
m
2 m 52 1805…0 (0……m …3…0) ………………. 9′