抛物线的焦点弦_经典性质及其证明过程

AB
1 2 1
2 3
有关抛物线焦点弦问题的探讨
过抛物线 y 2
= 2 px (p>0)的焦点 F 作一条直线 L 和此抛物线相交于 A (x , y ) 、B (x , y ) 两点
1
1
2
2
结论 1： AB = x 1 + x 2 + p
AB =
AF + BF = (x + p ) + (x + p
) = x + x + p
1 2 2 2
1 2
2 p
结论 2：若直线 L 的倾斜角为θ，则弦长 AB π
=
sin 2 θ
证: (1)若θ= 时,直线 L 的斜率不存在，此时 AB 为抛物线的通径,∴ AB 2
= 2 p ∴结论得证
π
(2)若θ≠
时,设直线 L 的方程为： y = (x -
2
p ) tan θ即 x = y ⋅ cot θ+ p
2 2
代入抛物线方程得
y 2 - 2 py ⋅ cot θ- p 2 = 0 由韦达定理 y y = - p 2 , y + y = 2 p cot θ 由弦长公式得 AB =
y 1 - y 2 = 2 p (1 + cot 2
θ) =
2 p sin 2 θ
结论 3： 过焦点的弦中通径长最小
sin 2 θ≤ 1∴
2 p
sin 2 θ
≥ 2 p ∴ AB 的最小值为 2 p ,即过焦点的弦长中通径长最短.
结论 4：
S 2 ∆oAB = p (为定值) 8 1 + cot 2 θ
AF + BF 2
2
2 2
1
2 2 1 S
= S
+ S
= 1
OF ⋅ BF ⋅ sin θ+ 1
OF ⋅ AF ⋅ sin ϑ ∆OAB
∆OBF
=
1
⋅ (
+
∆ 0 AF
) 2 2 θ= 1 ⋅ ⋅ θ= 1 ⋅ ⋅ 2 p ⋅
θ=
p 2
OF
2 S 2
AF
= P 3 8 BF
sin OF AB 2
sin
2 2 sin 2 θ
sin
2 sin θ
结论 5： (1) y 1 y 2 = - p p
2 (2) x 1x 2=
4
y 2 y 2 ( y y )2 P 2
证 x = 1 , x = 2 ,∴ x x =
1 2 = 1 2 p 2
2 p
1 2 4P 2 4
结论 6：以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切
证：设 M 为 AB 的中点，过 A 点作准线的垂线 AA 1， 过 B 点作准线的垂线 BB 1，
过 M 点作准线的垂线 MM 1，由梯形的中位线性质和抛物线的定义知
MM 1 =
= = 2 2 2
故结论得证
结论 7：连接 A 1F 、B 1 F 则 A 1F ⊥ B 1F
AA 1 = AF ,∴∠AA 1 F = ∠AFA 1 AA 1 // OF ∴∠AA 1 F = ∠A 1 FO ∴∠A 1 FO = ∠A 1 FA
同理∠B 1 FO = ∠B 1 FB ∴∠A 1 FB 1 = 90︒
∴A 1F ⊥ B 1 F
结论 8：（1）AM 1 ⊥ BM 1
（2）M 1F ⊥ AB
（3） M 1 F = （4） 设 AM 1 与 A 1F 相交于 H ，M 1B 与 FB 1 相交于 Q （5） AM 1
+ M 1 B = 4 M 1 M
AF ⋅ BF
则 M 1，Q ，F ，H 四点共圆
证：由结论（6）知 M 1 在以 AB 为直径的圆上∴ AM 1 ⊥ BM 1
∆A 1 FB 1 为直角三角形， M 1 是斜边 A 1 B 1 的中点
∴ A 1 M 1 = M 1 F ∴∠M 1 FA 1 = ∠M 1 A 1 F ∠AA 1 F = ∠AFA 1
∠AA 1 F + ∠FA 1 M 1 = ∠AA 1 M 1 = 90︒
∴M 1F ⊥ AB
∴∠AFA 1 + ∠A 1 FM 1 = 90︒
∴ M F 2
= AF ⋅ BF AM 1 ⊥ BM 1 ∴∠AM 1 B = 90︒又 A 1F ⊥ B 1F
∴∠A 1FB 1 = 90︒
所以 M 1，Q ，F,H 四点共圆， AM 1 + M 1 B = AB
2
= ( A F + BF )2
= ( AA
+ BB 1 )2
= (2 MM )2
= 4 MM 2
结论 9： （1） A 、O 、B 1 三点共线 （2）B ，O ，A 1 三点共线
（3） 设直线 AO 与抛物线的准线的交点为 B 1，则 BB 1 平行于 X 轴 （4） 设直线 BO 与抛物线的准线的交点为 A 1，则 AA 1 平行于 X 轴
AA 1 + BB 1 AB
1 2
1
FA FB AF FA FB BF FA B 1 E EA 1 AF BF
AE BE
AF BF 时
⎪ y 1 y 1 1
证：因为 k oA = x = y 2 = 2 p , k y
oB 1 = y 2 - p = - 2 y 2 p ，而 y 1 y 2 = - p 2
1 1 1
2 p
2 所以 k oA 结论 10：
+
=
2 p
- p 2
y 2 1 = = - 2 y 2 p
2 p
= k oB 1
所以三点共线。

同理可征（2）（3）（4）
证：过 A 点作 AR 垂直 X 轴于点 R ， 过 B 点作 BS 垂直 X 轴于点 S ， 设准线与 x 轴交点为
E,因为直线L 的倾斜角为θ
则 ER = EF + FR = P + AF cos θ= AF ∴ AF =
P 1 - cos θ ∴ 1
= 1 - cos θ P
1
同理可得
结论 11：
=
1 + cos θ
∴ 1 + 1 = 2 P p
(1) 线段EF 平分角∠PEQ (2) =
(3) K AE + K BE = 0
(4) 当θ =
π
AE ⊥ BE , 当θ ≠ π
AE 不垂直于BE 2 2
证: BB 1 // EF // AA 1 ∴
= BF
= B 1 B , FA = A 1 A ∴ =
∠AA 1 E = ∠BB 1 E = 90︒∴ ∆A 1 EA 相似于∆B 1EB ∴∠A 1EA ＝∠B 1EB
∠AEF ＋∠A 1EA ＝∠BEF ＋∠B 1EB ＝90︒∴ ∠AEF ＝∠BEF 即EF 平分角∠PEQ
∴
=
直线AE 和直线BE 关于X 轴对称∴ K
π
AE
＋K BE ＝0
(4) 当θ=
时，AF ＝EF ＝FB ∴∠AEB ＝90︒
2
当θ≠ π时，设直线L 的方程为y = 2 ⎛ k x - ⎝ p ⎫ 将其代入方程y 2 = 2px 2 ⎭
得k 2 x 2
- p(k 2 + 2)x + k 2 p 2 4
= 0 设A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) 则x 1 + x 2 =
p (k 2 + 2) k 2
p 2
y y x 1x 2=
假设AE ⊥ BE 则K ⋅ K ＝－1∴ 1 ⋅ 2
= -1
4 AE BE x + p 1
2 x + p
2 2
BF
B 1 E EA 1
B 1
B A 1 A AE
BE
时
y = 2px y - 2pmy - 2ap = 0 y y = -2pa
即 y y = ⎛ p ⎫⎛
p ⎫ ⎛ p ⎫ ⎛ p ⎫ ⎛ p ⎫⎛ p ⎫
1 2
- x 1 + 2 ⎪ x 2 + 2 ⎪ ∴ k x 1 - 2 ⎪ ⋅ k x 2 - 2 ⎪ = - x 1 + 2 ⎪ x 2 + 2 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭⎝ ⎭
∴( 2 + ) - p ( + )( 2
- )+ p 2 ( 2 + )
= ∴ p 2 ( 2 + ) = p 2 (k 2 + 2)(k 2 - 1)
k 1 x 1 x 2 2
x 1 x 2 k 1
k 1 0 k 1 4 2 2k 2
∴ -2 = 0 ∴不可能∴假设错误∴结论得证
结论 12：过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦 AB 、CD ，则
1 + 1 = 1
| AB| | CD | 2p
推广与深化：
深化 1：性质 5 中，把弦 AB 过焦点改为 AB 过对称轴上一点 E （a,0），则有 y 1 y 2 = -2pa ． 2
2
证：设 AB 方程为 my=x-a ，代入 ．得： ，∴ 1 2 ． | FR | = 1
深化2：性质12 中的条件改为焦点弦AB 不垂直于x 轴，AB 的中垂线交x 轴于点R ，则
| AB | 2
证明：设 AB 的倾斜角为 a ，直线 AB 的方程为：
y = tga(x - p
)
2 ， 代入y 2
= 2px 得： tg 2
2
a(x 2
2
- px +
p 2
p 2
) = 2px 4 ， x - x(p + 2pctg 即：
a) + = 0
4 ． 由性质 1 得
| AB |= x 1 + x 2
+ p = 2p + 2pctg 2a =
2p
sin 2 a ，
x 1 + x 2 - p
又设 AB 的中点为 M ，则
| FM |=| 2 2 cos a |=|
pctg 2a | cos a ，
| FE |=
∴
| FM | | cos a | pctg 2
a | cos 2 a |= p
sin 2 a ， | FR | =
1 ∴
| AB| 2 ． 深化 3：过抛物线的焦点 F 作 n 条弦A 1B 1、A 2 B 2、⋯
A n
B n ，且它们等分周角 2π，则有
=
p
2
∑ 1 ∑
1
（1） i =1
| A i
F | ⋅ | FB i
|
为定值；
（2） i =1 | A i B i | 为定值．
证明：（1）设抛物线方程为 = 1 - cos θ , ∠A 1Fx = a
．
由题意
∠A 2 Fx = a + π , ∠A n Fx = a + 2π⋯∠A 3 n n
Fx = a + n - 1
π n ， 1 = 1 - cos a ⋅ 1 - cos(π + a) = 1 - cos 2 a = sin 2 a
所以
| A 1F | ⋅ | FB 1 | p p p 2 p 2
，
1 =
同理| A 2 F | ⋅ | FB 2 |
sin 2 (a + π) n p 2
,⋯, 1 = | A n F | ⋅ | FB n | sin 2 (a + n - 1 π)
n p 2 sin 2 a + sin 2 (a + π) sin 2 (a + 2π) + ⋯+ sin 2 (a + n - 1 π) = n
易知
n n n 2 ， n 2
sin 2 (a + π) sin 2 (a + n - 1
π) ∑ 1 = sin a + n
+ ⋯ + n = n
∴ i =1
| A i F | ⋅ | FB i | p 2
p 2 p 2 2p 2 ． | A B |= p
+ p = 2p = 2p （2）∵
1 1
1 - cosa 1 - cos(π + a) 1 - cos
2 a sin 2 a ，
1 = sin a , ⋯,
1
sin 2 (a +
n - 1 π)
= n
∴ | A 1B 1
| n
2p | A n B n | 2
sin 2 (a + π
)
2p
，
sin 2 (a + n - 1
π)
∑ 1 = sin a +
n + ⋯ + n = n
∴
i =1 | A i
B
i |
2p 2p 2p
4p ．
n
n。